Überzeugungen aufgeben: Full meet, Maxichoice

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1 Überzeugungen aufgeben: Full meet, Maxichoice Dr. Uwe Scheffler [Technische Universität Dresden] Mai 2011

2 Withdrawal die Rücknahme Rücknahme (Withdrawal, Makinson) heißt ein Operator auf einer Überzeugungsmenge, wenn er allen Gärdenfors- Postulaten außer Recovery genügt. Beispiel Wenn α A, dann A α = A Wenn α A, dann A α = Cn( ) Closure A α = Cn(A α) Inclusion A α A Vacuity α Cn(A) = A α = A Success α Cn( ) = α Cn(A α) Extensionality α β Cn( ) = A α = A β Recovery A Cn((A α) {α}) Dr. Uwe Scheffler 2

3 Noch einmal Full-Meet-Kontraktion Restemenge Sei A eine Satzmenge und α ein Satz. A α ist die Menge aller Mengen B so, daß: 1. B A 2. α Cn(B) 3. Es gibt kein B so, daß B B A und α Cn(B ). Full Meet K α = (K α) α-kern β aus A ist genau dann Element des α-kerns, wenn es kein A A so gibt, daß A = α, aber A {β} = α. Beispiel Was gehört zum p-kern von A = {p, q, p q, r}? p nicht, denn A, = p, {p} = p p q nicht: {q} A, {q} = p, {q} {p q} = p q nicht: {p q} A, {p q} = p, {p q} {q} = p r schon! Dr. Uwe Scheffler 3

4 Vorsichtiges epistemisches Verhalten Core Identität β A α genau dann, wenn β A und es gibt kein A A so, daß α Cn(A ) und α Cn(A {β}). Full Meet ist eine Operation über einer (beliebigen) Menge genau dann, wenn sie Core Identität erfüllt. Meet Identität Wenn α, β A, dann (A α) (A β) = A (α β). Full Meet ist eine Operation über einer Überzeugungsmenge genau dann, wenn sie alle Gärdenfors-Postulate und Meet Identität erfüllt. Dr. Uwe Scheffler 4

5 Meet Identität ist nichts für Überzeugungsbasen: Sei A = {p, p q, p q} und eine Full-Meet-Kontraktion. A (p q) = (A (p q)) = {{p, p q}} = {p, p q} A (q p) = (A (q p)) = {{p q}} = {p q} A (q p) = (A (q p)) = {{p, p q}} = {p, p q} (A (p q)) (A (q p)) (A (p q)) Dr. Uwe Scheffler 5

6 Meet Identität ist nichts für Überzeugungskontraktionen: Beispiel 1: L: Was sind Eisbären und Orcas? S: Beides Säugetiere. L: [Wartet, schweigt, lächelt fies] S: Eisbären sind jedenfalls Säuger. Theorem: Sei A logisch abgeschlossen und Full Meet. Dann gilt: A α = A Cn({ α}) Beispiel 2: Anne glaubt, daß ihr Freund treu ist und daß Sydney die Hauptstadt von Australien ist. Nachdem sie erfuhr, daß Canberra die Hauptstadt Australiens ist, zweifelt sie an der Treue ihres Freundes. Dr. Uwe Scheffler 6

7 Nochmal Maxichoice Restemenge Sei A eine Satzmenge und α ein Satz. A α ist die Menge aller Mengen B so, daß: 1. B A 2. α Cn(B) 3. Es gibt kein B so, daß B B A und α Cn(B ). Maxichoice -Kontraktion heißt eine, für die gilt: K α K α. Konservativ: Erhalte so viel wie möglich! (1) Fullness: β A & β A α = α Cn(A α) & α Cn((A α) {β}) Dr. Uwe Scheffler 7

8 Fullness Fullness: β A & β A α = α Cn(A α) & α Cn((A α) {β}) Beispiel: Welche β gehören in A p für A = {p, q, p q, r}? p nicht, sonst wäre p Cn(A p) q nicht, falls p q drin ist p q nicht, falls q drin ist r gehört rein Relevance: Wenn β A und β A α dann existiert ein A : A α A A, α Cn(A ), α Cn(A {β}). Dr. Uwe Scheffler 8

9 Maxichoice Die Repräsentation Überzeugungsbasen: γ ist genau dann Maxichoice, wenn es Success, Inclusion, Fullness und Uniformity erfüllt. Überzeugungsmengen: Sei A eine Überzeugungsbasis und γ eine Maxichoice-Kontraktion. Dann gilt für alle α A und alle β: Entweder α β A γ α oder α β A γ α. Beispiel: Anna glaubte, Orcas sind Fische. Nachdem sie erfuhr, daß das nicht stimmt, glaubt sie deswegen nicht, daß wenn Orcas kene Fische sind, sie ihr Geld vertrunken hat, noch daß wenn Orcas keine Fische sind, sie ihr Geld nicht vertrunken hat. Dr. Uwe Scheffler 9

10 Konjunktionen kontrahieren (2) Conjunctive Inclusion: α Cn(A (α β)) = A (α β) A α (Verliert man beim Kontrahieren einer Konjunktion auch eines der Glieder, so verliert man dabei mehr als bei der Kontraktion um das Konjunktionsglied alleine.) (3) Conjunctive Overlap: (A α) (A β) A (α β) (Was man nicht bei der Kontraktion um beide Glieder verliert, verliert man auch nicht bei der Kontraktion um die Konjunktion.) Dr. Uwe Scheffler 10

11 Wie plausibel ist Conjunctive Overlap (3)? 1. Anna hat genug Geld. 2. Anna hat gestern nicht gespielt. 3. Anna hat gestern nicht getrunken. 4. Nicht 2., aber dennoch Nicht 3, aber dennoch Nicht 2. und nicht 3., und also? 1. Pinguine können nicht fliegen. 2. Strauße können nicht fliegen oder Kontraktion um 1. bleibt Kontraktion um 2. bleibt Kontraktion um 1. & 2. also? Dr. Uwe Scheffler 11

12 Zwei weitere Konjunktions-Kontraktions-Prinzipien (4) Concunctive Factoring: Es gilt A (α β) = A α oder A (α β) = A β oder A (α β) = (A α) (A β) (5) Concunctive Trisection: α A (α β) = α A (α β δ) Über die Konjunktions-Kontraktionen: Sei A eine Überzeugungsmenge und sei Partial Meet. Dann gilt: 1. Konjunktives Überlappen (3) genau dann, wenn Konjunktives Überschneiden (5). 2. Konjunktive Faktorierung (4) genau dann, wenn Konjunktives Überlappen (3) und Konjunktiver Einschluß (2). Dr. Uwe Scheffler 12