Spezifikationsprobleme Omitted Variable Bias

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1 Spezifikationsprobleme Omitted Variable Bias

2 Spezifikationsprobleme In der Grundgesamtheit gilt der wahre (aber unbekannte) Zusammenhang y = 0 + 1x 1 + : : : kx k dieser Zusammenhang soll anhand einer repräsentativen Stichprobe ^y = ^ 0 + ^ 1x 1 + : : : ^ kx k und einem Schätzmodell erforscht werden Schätzmodell muss nicht zwangsläufiig wahrem Zusammenhang entsprechen mögliche Fehler Auslassen einer relevanten Variable (omitted-variable bias) Einschluss einer irrelevanten Variable 2

3 Gedankenexperiment Grundgesamtheit Grundgesamtheit raw_data.sav (Simulierter Datensatz) Beobachtungen Korrelation von ½=0.8 zwischen x2 und x3 Stichprobe zufälliger Einfluss, mit E(Ã) = 50 Was passiert, wenn wir den wahren Zusammenhang unter Verwendung dergrundgesamtheit schätzen? 3

4 wahrer Zusammenhang: Schätzmodell y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + u Source SS df MS Number of obs = F( 4, 9995) =. Model e Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] x x x x _cons ^y = ^ 0 + ^ 1x 1 + ^ 2x 2 + ^ 3x 3 + ^ 4x 4 + ^u = x 1 30x x x 4 4

5 Grundges. wahr Mod. Grundges. ohne x 3 Grundges. ohne x 1 Grundges. incl. x 5 ^ 0 50 ^ 1 10 ^ 2-30 ^ 3 50 ^ 4 12 ^

6 Gedankenexperiment Problem: Verhältnisse in Grundgesamtheit sind unbekannt was passiert, wenn wir ein fehlerhaftes Modell schätzen? (Fehlspezifikation) 1 y = x 2 + 3x 3 + 4x 4 + u 2 y = 0 + 1x 1 + 2x x 4 + u (fehlende relevante Variable) 3 y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 + u (Einschluss irrelevanter Variable) 6

7 Omitted Variable Bias Herauslassen einer relevanten Variable (z.b. x 1 ) Schätzmodell y = x 2 + 3x 3 + 4x 4 + u fehlender modellierter Effekt der Effekt der ausgelassenen Variable fließt in das Residuum 7

8 Annahme 3 des OLS-Modells: E(Ãjx 1 ; : : : ; x k ) = 0 wenn für alle relevanten Einflüsse kontrolliert wurde verbleibt kein kein systematischer Effekt im Residuum hier indessen: y = x 2 + 3x 3 + 4x 4 + u fehlender modellierter Effekt ^u = 1x 1 + ^Ã ) E(^u) = E( 1x 1 ) + E( ^Ã) = 1x 1 6= 0 Problem? 8

9 Schätzmodell y = x 2 + 3x 3 + 4x 4 + u Source SS df MS Number of obs = F( 3, 9996) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] x x x _cons ^y = ^ ^ 2x 2 + ^ 3x 3 + ^ 4x 4 = x x x 4 9

10 Schätzmodell ^y = ^ ^ 2x 2 + ^ 3x 3 + ^ 4x 4 = x x x 4 Modellgüte sinkt weil relevante Einflüsse nicht mitmodelliert wurden R 2 im wahren Modell ~ 0.99 R 2 im fehlspezifizierten Modell 0.44 geschätzte Koeffizienten 2, 3 und 4 sind aber unverzerrt (kein omitted variable bias) Grund: x1 ist nicht korreliert mit anderen Variablen 10

11 -20 0 x Omitted Variable Bias Herauslassen der relevanten Variable x 3 Schätzmodell y = 0 + 1x 1 + 2x x 4 + u x 3 ist mit x 2 korreliert (½=0.8) was passiert? x3 11

12 Schätzmodell y = 0 + 1x 1 + 2x x 4 + u Source SS df MS Number of obs = F( 3, 9996) = Model e Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] x x x _cons ^y = ^ 0 + ^ 1x 1 + ^ 2x ^ 4x 4 = x 1 19x x 4 12

13 Schätzmodell ^y = x 1 19x x 4 Korrelation ^y = ^ 0 + ^ 1x 1 + ^ 2x 2 + +^ 4x 4 + ^u x 3 hat positiven Einfluss auf y steigt x 3 ) steigt y positiver Effekt fehlt Variablen x 2 und x 3 sind positiv korreliert (½ = 0.8) steigt x 3 ) steigt x 2 positiv (>0) x 2 übernimmt (teilweise) positiven Effekt von x 3 negativer Einfluss wird abgeschwächt 13

14 Schätzmodell ^y = ^ 0 + ^ 1x 1 + ^ 2x ^ 4x 4 = x 1 19x x 4 geschätzter Koeffizient 2ist verzerrt (omitted variable bias) Grund: x 2 ist mit x 3 korreliert ist x 3 nicht im Modell, übernimmt x 2 (teilweise) den Einfluss von x 3 Koeffizienten 1 und 4 sind unverzerrt Koeffizienten 1 und 4 nicht mit x 3 korreliert ) nicht betroffen 14

15 Spezifikations-Irrgarten y = 0 + jx j + kx k + u k 6= 0 including x k excluding x k richtige Spezifikation Corr(x j x k ) 0 Corr(x j x k ) = 0 Verzerrung von ^ j ^ j unverzerrt Modellgüte sinkt 15

16 Misspezifikationen Einschluss einer irrelevanten Variable x 5 keine Bedeutung für Erklärung der abhängigen Variable y Schätzmodell y = 0 + 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5x 5 + u Einfluss ist irrelevant fehlende Relevanz sollte durch Modell erkannt werden (Signifikanztest) Koeffizienten 1 bis 4 sollten unverzerrt sein 16

17 Misspezifikationen Source SS df MS Number of obs = F( 5, 9994) =. Model e Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total e Root MSE = y Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] x x x x x5-2.72e _cons Koeffizient 5 ist ~ 0 (-2, ) Signifikanztest H0: j = 0 vs. j 0 wenn kein Zusammenhang, sollte H0 nicht abgelehnt werden können t-wert für 5 ist ~ 0 ) Signifikanzniveau ist nahezu 1 ) lehne H0 nicht ab ) 5 ist nicht signifikant 17

18 Spezifikations-Irrgarten k = 0 y = 0 + jx j + kx k + u k 6= 0 including x k excluding x k including x k excluding x k richtige Spezifikation Corr(x j x k ) 0 Corr(x j x k ) = 0 Corr(x j x k ) 0 Corr(x j x k ) = 0 Multikollinearität evtl. ^ j insignifikant kein Effekt Verzerrung von ^ j ^ j unverzerrt Modellgüte sinkt 18

19 Grundges. Stichprobe Stichprobe ohne x 1 Stichprobe ohne x 3 Stichprobe incl. x 5 ^ 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 19