Compressive Sensing Erst denken, dann handeln!
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- Günther Pfeiffer
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1 Erst denken, dann handeln! Dr. Marcus Weber 13. Juli 2011 Computational Molecular Design Habilitationsvortrag Zuse Institut Berlin (ZIB) Freie Universität Berlin
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9 Kevin Kelly/Rice University
10 1 Pixel! Kevin Kelly/Rice University
11 1 Pixel! Kevin Kelly/Rice University Erst denken, dann handeln!
12 1 Pixel! Kevin Kelly/Rice University
13 1 Pixel! Kevin Kelly/Rice University Darstellungsform und Sensingmethode sind komplementär!
14 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
15 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
16 C. E. Shannon: Communication in the Presence of Noise; In: Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Jan. 1949), Nachdruck in: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2 (Feb. 1998)
17 Theorem: Ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von f min Hz und einer Maximalfrequenz von f max Hz, muss mit einer Frequenz größer als 2 (f max - f min ) gleichförmig abgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust exakt rekonstruieren zu können. Die Rekonstruktion benötigt unendlichen Aufwand oder das Signal kann mit endlichem Aufwand beliebig genau approximiert werden.
18 Theorem: Ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von f min Hz und einer Maximalfrequenz von f max Hz, muss mit einer Frequenz größer als 2 (f max - f min ) gleichförmig abgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust exakt rekonstruieren zu können. Die Rekonstruktion benötigt unendlichen Aufwand oder das Signal kann mit endlichem Aufwand beliebig genau approximiert werden. Intervall
19 Theorem: Ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von f min Hz und einer Maximalfrequenz von f max Hz, muss mit einer Frequenz größer als 2 (f max - f min ) gleichförmig abgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust exakt rekonstruieren zu können. Die Rekonstruktion benötigt unendlichen Aufwand oder das Signal kann mit endlichem Aufwand beliebig genau approximiert werden. Algorithmische Einschränkung
20 Theorem: Ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von f min Hz und einer Maximalfrequenz von f max Hz, muss mit einer Frequenz größer als 2 (f max - f min ) gleichförmig abgetastet werden, um aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust exakt rekonstruieren zu können. Die Rekonstruktion benötigt unendlichen Aufwand oder das Signal kann mit endlichem Aufwand beliebig genau approximiert werden. Kompression? meistens??
21 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
22 Signal Amplituden N Frequenzen
23 Signal zu rekonstruieren Orthonormale Basis - Pixel - trigonometrische Funktionen - Splines - Wavelets Sparse: Komprimierbar: Nur S der N Komponenten sind nicht Null S der N Komponenten sind groß
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25 Basisentwicklung von f
26 Komplette Aufnahme
27 1-Pixel Kamera, Sensing
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30 Eindeutig lösbar, wenn: Wir kennen die S Nicht-Null-Einträge von x K=S
31 Gut konditioniert lösbar, wenn wir die S Nicht-Null-Einträge von x kennen und für entsprechende Vektoren v gilt
32 Definition: S-beschränkte Isometriekonstante so dass für jeden S-sparsen Vektor v gilt: ist kleinste Zahl, E. J. Candès, T. Tao: Decoding by Linear Programming, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 12 (Dec. 2005)
33 Definition: S-beschränkte Isometriekonstante so dass für jeden S-sparsen Vektor v gilt: ist kleinste Zahl, E. J. Candès, T. Tao: Decoding by Linear Programming, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 12 (Dec. 2005)
34 Definition: Die Kohärenz zwischen den Matrizen ist gegeben durch und D. L. Donoho, X. Huo: Uncertainty principles and ideal atomic decomposition, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 47, No. 7 (Nov. 2001) Fourrier Basis Pixel-Basis 1 Haar Wavelets Noiselets 1.4 Daubechies D4 Noiselets 2.2 Daubechies D8 Noiselets 2.9 Pixel-Basis Noiselets 1 Fourier Basis Noiselets? Darstellungsform Sensingmethode
35 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
36 Niedrige Dimension R. Coifman, F. Geshind, Y. Meyer: Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 10, No. 1 (Jan. 2001)
37 Niedrige Dimension Hohe Dimension (höchstwahrscheinlich)
38 Niedrige Dimension Hohe Dimension (höchstwahrscheinlich) Der Zufall ist immer das Gegenteil vom Geordneten
39 Theorem 1 : Sei eine Matrix, deren Einträge unabh. Gauß-verteilte (Varianz 1/p) Zufallszahlen sind. Sei weiter T eine Auswahl von Spaltenindizes, dann gilt für jedes fest gewählte t > 0: M. Ledoux: The concentration of measure Phenomenon, Providence, RI: Amer. Math. Soc., Vol. 89, Mathematical Surveys and Monographs (2001)
40 Theorem 1 : Sei eine Matrix, deren Einträge unabh. Gauß-verteilte (Varianz 1/p) Zufallszahlen sind. Sei weiter T eine Auswahl von Spaltenindizes, dann gilt für jedes fest gewählte t > 0:
41 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
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45 i=0 i=1 i=2
46 i=0 i=1 i=2 -sparse -kombinatorisch - 0
47 i=0 i=1 i=2 -nicht sparse -konvexes Problem -robust
48 i=0 i=1 i=2 -nicht sparse -konvexes Problem -robust
49 i=0 i=1 i=2 -sparse -lineares Programm -robust
50 Satz (sp/0): Sei derart, dass (oder ). Weiter sei x ein S-sparser Vektor. Dann ist die Lösung x* des Optimierungsproblems exakt, d.h. x* = x. Lemma: Sei derart, dass dann existieren zwei verschiedene S-sparse Vektoren x 1 und x 2 mit E. J. Candès, T. Tao: Decoding by Linear Programming, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 12 (Dec. 2005) E. J. Candès, T. Tao: The Dantzig Selector: Statistical estimation when p is much larger than n, The Annals of Statistics, Vol. 35, No. 6 (2007)
51 Definition: S,S -beschränkte Orthogonalitätskonstante ist kleinste Zahl, so dass für alle disjunkten Index-Teilmengen T,T mit weniger als S bzw. S Elementen: Lemma (Parallelogrammungleichung): E. J. Candès, T. Tao: Decoding by Linear Programming, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 12 (Dec. 2005)
52 Beweis des Satzes (sp/0) Optimale Ecke bereits durch die Vorzeichen der x-komponenten bestimmt Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen K-Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
53 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
54 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
55 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
56 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle für alle Nebenrechnung:
57 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle (2) E (3)
58 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle (2) E (3) c j =0 c j =c j E (3)
59 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle (2) E (3) c j =0 c j =c j E (3) c j =0 (3)/E c j =c j (3)/E
60 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle - (2) E (3) c j =0 c j =c j E (3) + c j =0 (3)/E c j =c j - (3)/E (2) (3)
61 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle Nebenrechnung:
62 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
63 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
64 Das Minimum der Optimierungsaufgabe ist eindeutig bestimmt, wenn es einen Vektor w gibt und eine Indexmenge T, so dass (1) vollen Rang hat (2) für alle (3) für alle
65 1. verschiedene 2. ungenaues y
66 Satz (sp/e): Sei derart, dass, dann gilt für alle T-sparsen Vektoren x mit T<S und allen gestörten Messungen y mit, dass die Lösung x* zu dem Optimierungsproblem die Abschätzung erfüllt. E. J. Candès, J. K. Romberg, T. Tao: Stable Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Measurements, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 14 (2006)
67 x sparse
68 x komprimierbar
69 Theorem 2 Satz (sp/e): Sei derart, dass, dann gilt für alle T-sparsen Vektoren x mit T<S und allen gestörten Messungen y mit, dass die Lösung x* zu dem Optimierungsproblem die Abschätzung erfüllt. Satz (k/e): Situation wie oben. x ein beliebiger Vektor und x S ein S-sparser Vektor mit den S größten Einträgen von x. Dann gilt für die Lösung x* des obigen Optimierungsproblems die Abschätzung:
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71 Dantzig Selektor E. J. Candès, T. Tao: The Dantzig Selector: Statistical estimation when p is much larger than n, The Annals of Statistics, Vol. 35, No. 6 (2007)
72 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
73 Dantzig Selektor Canonical Feature Selection (Forster & George, 1994)
74 Satz (sp/0) Kodierungstheorie
75 Vorlesung Computer Vision IT412 von Bob Fisher an der University of Edinburgh
76 1) Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem 2) Sparsity und Inkohärenz 3) Randomisiertes Abtasten 4) Wahl der richtigen Norm 5) Bezug zu anderen Theorien 6) Sinnvolle Anwendungsfelder
77 DNA Microarrays Wei Dai, Mona A. Sheikh, Olgica Milenkovic, and Richard G. Baraniuk, Journal on Bioinformatics and Systems Biology (2009) Compressed Sensing Image Reconstruction via Recursive Spatially Adaptive Filtering (Tampere University of Technology)
78 f x
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80 f Sampling Konformationsdynamik x Konformationen
81 Komplementär zu Konformationen?
82 [1] C. E. Shannon: Communication in the Presence of Noise; In: Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Jan. 1949), Nachdruck in: Proc. IEEE, Vol. 86, No. 2 (Feb. 1998) [2] E. J. Candès, T. Tao: Decoding by Linear Programming, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 52, No. 12 (Dec. 2005) [3] D. L. Donoho, X. Huo: Uncertainty principles and ideal atomic decomposition, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 47, No. 7 (Nov. 2001) [4] R. Coifman, F. Geshind, Y. Meyer: Noiselets, Applied and Computational Harmonic Analysis, Vol. 10, No. 1 (Jan. 2001) [5] M. Ledoux: The concentration of measure Phenomenon, Providence, RI: Amer. Math. Soc., Vol. 89, Mathematical Surveys and Monographs (2001) [6] E. J. Candès, T. Tao: The Dantzig Selector: Statistical estimation when p is much larger than n, The Annals of Statistics, Vol. 35, No. 6 (2007) [7] E. J. Candès, J. K. Romberg, T. Tao: Stable Signal Recovery from Incomplete and Inaccurate Measurements, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. 14 (2006)
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