Algebraische Definition von Drinfeld-Moduln

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1 Agebra in positive Characteristic Frühjahrssemester 08 Lecturer: Prof. R. Pink Organizer: P. Hubschmid Agebraische Definition von Drinfed-Modun J. Brugger 5. Mai, 2008 Sei von nun an K ein Körper mit char(k) = p > 0 sowie q = p k für k N. Wir betrachten den nicht notwendigerweise kommutativen Ring (K{τ}, +, ), der F q - inearen Poynome in K[T ], wobei wir τ mit dem Poynom T q identifizieren. Beachte, dass τ i x = x qi τ i git, für ae x K. Definition 1. Der Grad bzw. die Höhe ist definiert as die Funktion n { deg : K{τ} N { }, β(τ) = b i τ i, β(τ) = 0 max{i ; b i 0}, β(τ) 0 i=0 bzw. ht : K{τ} N { }, β(τ) = n { b i τ i i=0, β(τ) = 0 min{i ; b i 0}, β(τ) 0. Bemerkung 2. Für α, β K{τ} geten offenbar (i) deg(αβ) = deg(α) + deg(β) (ii) deg(α + β) max{deg(α), deg(β)} (iii) ht(αβ) = ht(α) + ht(β) (iv) ht(α + β) min{ht(α), ht(β)}. Definition 3. Die Abbidung 0 sei definiert as 0 : K{τ} K, n i=0 b iτ i b 0. Es handet sich hierbei um einen Ringhomomorphismus. Definition 4. Wir sagen ein Eement β(τ) = n i=0 b iτ i K{τ} sei genau dann separabe, wenn das zugehörige Poynom n i=0 b it qi K[T ] separabe ist. Bemerkung 5. Offenbar ist β K{τ} genau dann separabe, wenn 0 (β) 0, da additive Poynome genau dann separabe sind, wenn der Koeffizient von T nicht verschwindet. Proposition 6. Sei 0 α K{τ}. Dann existieren ein eindeutiges h N und ein eindeutiges β K{τ} so, dass β separabe ist und α = β τ h git. Es git dann h = ht(α). 1

2 Beweis. Sei α = n i=0 a iτ i. Setze h := min{i ; a i 0} sowie β = n i=h a iτ i h. Die Existenz fogt aus Bemerkung 5, die Eindeutigkeit fogt durch Koeffizientenvergeich. Proposition 7. K{τ} mit (i) Für ae α, β K{τ} mit β 0 existieren eindeutige γ, δ α = γ β + δ, deg δ < deg β. (ii) Die Linksideae von K{τ} sind genau die Linkshauptideae von K{τ}. Beweis. (i) Wir beweisen zunächst den Existenztei mit Induktion nach deg(α). Ist deg(α) =, d.h. α = 0, können wir γ = 0 und δ = 0 wähen und sind fertig. Sei jetzt m := deg(α) 0. O.B.d.A. können wir deg(α) deg(β) =: n annehmen (sonst setzen wir γ = 0 und δ = α). Sei aso α = m i=0 a iτ i und β = n j=0 b jτ j, wobei a m 0 b n. Setze γ := a m (b qm n n ) 1 τ m n. Da α := α γ β keineren Grad hat as α, gibt es nach Induktionsvoraussetzung γ, δ K{τ} mit deg(δ) < deg(β) so, dass α = γ β + δ. Setzen wir jetzt γ := γ + γ, sind wir fertig. Sei nun α = γ β + δ, wobei deg(δ ) < deg(β), eine weitere soche Zeregung. Daraus fogt (γ γ ) β = δ δ. Wegen Bemerkung 2 (i) und (ii) git deg(γ γ ) + deg(β) < deg(β), was unmittebar γ = γ impiziert. Daraus fogt jetzt auch δ = δ, was zeigt, dass γ, δ eindeutig bestimmt sind. (ii) Sei a K{τ} ein Linksidea. Ist a = 0, so ist a ein Linkshauptidea und wir sind fertig. Sei jetzt a nichttrivia. Dann finden wir ein 0 β a mit minimaem Grad in a. Es git K{τ} β a. Umgekehrt hat jedes α a nach (i) eine Darsteung der Form α = γ β + δ mit γ, δ K{τ} und deg(δ) < deg(β). Da α, γ β a ist auch δ a. Da jedoch β minimaen Grad hat, ist offenbar δ = 0. Somit ist a K{τ} β und daher a ein Linkshauptidea. Definition 8. Ein Erweiterungskörper F von F q heisst Funktionenkörper, fas F/F q endich erzeugt ist und Transzendenzgrad 1 hat. Definition 9. Sei jetzt F F q ein Funktionenkörper zusammen mit einer fest gewähten diskreten Bewertung v. Wir definieren A as die Teimenge von F, die aus aen x F besteht mit v(x) 0 für sämtiche diskrete Bewertungen v von F, die nicht äquivaent zu v sind. Man verifiziert sofort, dass A ein Ring ist. Man kann sogar zeigen, dass A ein Dedekindring ist. Dedekindringe sind höchstens eindimensionae, noethersche, normae (= ganzabgeschossen im Quotientenkörper) Integritätsbereiche. Beispiee von Dedekindringen sind integre Hauptidearinge. Beispie 10. Wir wähen F = F q (T ) und v : F q (T ) Z, deg(g) deg(f). g Jede nichttriviae Bewertung, die nicht äquivaent zu v ist, muss zu einer Bewertung v p äquivaent sein, wobei p ein irreduzibes, normiertes Poynom ist. Offensichtich git dann F q [T ] A. Sei umgekehrt x = g/h F q (T )\F q [T ] mit teierfremden g, h F q [T ] und h 0. Somit existiert ein irreduzibes Poynom p mit p h und p g. D.h. v p (x) < 0, aso x / A. Wir haben insgesammt A = F q [T ] gezeigt. f 2

3 Definition 11. Gegeben seien der Ring A, so definiert wie in Definition 9, sowie ein Tupe (K, γ), wobei γ : A K ein Homomorphismus von Ringen ist. Ein Drinfed A-Modu über K ist ein Ringhomomorphismus so, dass geten: (i) 0 φ = γ (ii) φ(a) K. φ : A K{τ}, a φ a Bemerkung 12. Der Einfachheit haber werden wir nur Drinfed F q [T ]-Modun, gemäss Beispie 10, betrachten. In der obigen Definition kann man somit A durch F q [T ] ersetzen. Wenn wir von Drinfed-Modun sprechen, sind immer Drinfed F q [T ]- Modun gemeint. Dies vereinfacht Beweise erhebich, da F q [T ] ein integrer Hauptideabereich ist, aso insbesondere faktorie. Bemerkung 13. Die Einschränkung von φ auf F q ist geich der Einschränkung von γ auf F q, da φ(f q ) K (Einheiten werden unter Ringhomomorphismen auf Einheiten abgebidet). Diese Einschränkung γ Fq : F q K ist ein Körperhomomorphismus, aso insbesondere injektiv. Daher enthät K ein isomorphes Bid von F q. Wenn wir dieses wieder mit F q identifizieren, ist ein Drinfed F q [T ]-Modu φ ein Homomorphismus von F q -Agebren. Wenn wir von Agebren sprechen, beziehen wir uns auf fogende Definition. Definition 14. Sei R ein kommutativer Ring. Ein R-Modu A zusammen mit einer R-biinearen Verknüpfung : A A A heisst eine R-Agebra. Die Agebra heisst assoziativ, fas assoziativ ist. In diesem Fa ist (A, +, ) ein Ring. Git die Kommutativität der Verknüpfung, spricht man von einer kommutativen Agebra. Existiert ein neutraes Eement, spricht man von einer unitären Agebra. Wir woen im Fogenden stischweigend voraussetzen, dass Agebren assoziativ, kommutativ und unitär sind. Definition 15. Die Charakteristik eines Drinfed-Modus ist definiert as das Primidea char(φ) := p 0 := ker( 0 φ) = ker(γ) F q [T ]. Wir sagen, φ habe generische Charakteristik, wenn char(φ) = 0. Sonst sagen wir, φ habe endiche Charakteristik. Proposition 16. Sei φ ein Drinfed-Modu über K. Dann ist der Homomorphismus φ injektiv. Beweis. Aus φ(f q [T ]) K fogt die Existenz eines f F q [T ] mit deg(φ f ) > 0. Aus (φ f ) n = φ f n φ(f q [T ]) für n N, fogt mit Bemerkung 2 (i), dass card(φ(f q [T ])) =. Sei widerspruchsweise (p) = p := ker(φ) 0, wobei 0 p F q [T ]. Da jedoch F q [T ]/p endich ist, erhaten wir einen Widerspruch zu F q [T ]/p = φ(f q [T ]). 3

4 Proposition 17. Sei φ ein Drinfed-Modu über K. Dann existiert ein eindeutiges r N so, dass für ae f F q [T ] git deg(φ f ) = rv (f) = r deg(f). Beweis. Sei f = n i=0 f it i F q [T ]. Dann git φ f = φ(f) = n i=0 φ(f i) (φ T ) i. Da φ(f q [T ]) K ist r := deg(φ T ) N. Mit Bemerkung 2 (i) schiessen wir deg(φ f ) = deg(φ T ) deg(f). Definition 18. Sei φ ein Drinfed-Modu. Die Zah r aus der obigen Proposition heisst der Rang von φ und wird mit rank(φ) bezeichnet. Proposition 19. Sei φ ein Drinfed-Modu über K von endicher Charakteristik char(φ) = (p), für ein normiertes, irreduzibes p F q [T ]. Dann existiert ein eindeutiges h Q >0 so, dass für ae f F q [T ] git ht(φ f ) = hv p (f) deg(p). Beweis. Sei char(φ) = (p). Wir setzen h := ht(φp) deg(p) Q >0. Man findet für jedes f F q [T ] eine Zeregung f = p n g, wobei p g. Dann git mit Bemerkung 2 (iii) ht(φ f ) = ht(φ n p) + ht(φ g ) = nht(φ p ) = v p (f)ht(φ p ) = hv p (f) deg(p). Definition 20. Sei φ ein Drinfed-Modu von endicher Charakteristik. Die Zah h aus der obigen Proposition heisst die Höhe von φ und wird mit height(φ) bezeichnet. Bemerkung 21. Sei φ ein Drinfed-Modu über K und sei B eine K-Agebra. Dann wird B zu einem unitären F q [T ]-Modu bzg. der Mutipikation fb := φ f (b), für f F q [T ], b B. Hier steht φ f (b) für die Substitution τ b q, aso ( n i=0 a iτ i ) (b) := n i=0 a ib qi. Beweis. Seien f, f F q [T ] sowie b, b B. Beachte, dass wegen (1 K K )1 B = 1 B + +1 B entweder B = 0 oder char(b) = p git. Dann ist offensichtich (f +f )b = (φ f + φ f )(b) = fb + f b sowie 1b = τ 0 (b) = b. Seien jetzt φ f = n i=0 f iτ i bzw. φ f = n i=0 f iτ i. Dann git f(b+b ) = n i=0 f i(b+b ) qi = n Schussendich git auch f (fb) = n i=0 f iτ i ( n j=0 f jb qj ) = 2n k=0 (φ f φ f)(b) = (f f)b. Definition 22. Sei a ein Idea von F q [T ]. Dann ist ker(φ a )(B) := (0 : B a) := {b B ; f a : fb = 0} i=0 f i(b qi +b qi ) = fb+fb. i+j=k f if qi j bqk = ein F q [T ]-Untermodu von B. Sind nämich g F q [T ] und b, b ker(φ a )(B), so ist auch gb + b ker(φ a )(B), da f(gb + b ) = f(gb) + fb = (fg)b + 0 = 0 für ae f a git. Da ker(φ a )(B), ist dies tatsächich ein Untermodu. Es handet sich sogar um einen F q [T ]/a-modu. Aufgefasst as F q [T ]/a-modu bezeichnen wir ker(φ a )(B) as den a-torsionsuntermodu von B. 4

5 Definition 23. Sei a ein Idea von F q [T ]. Die Abbidung ker(φ a ) : K Ag F q [T ]/a Mod, B ker(φ a )(B) von der Kategorie der K-Agebren in die Kategorie der F q [T ]/a-modun heisst der a-torsionsfunktor von φ. Behauptung 24. Der a-torsionsfunktor ker(φ a ) ist ein Funktor. Beweis. Seien B, C gegebene K-Agebren, sowie ψ : B C ein Morphismus von K- Agebren. Wir müssen edigich zeigen, dass die Abbidung ker(φ a )(ψ) : ker(φ a )(B) ker(φ a )(C), b ψ(b) ein wohdefinierter Homomorphismus von F q [T ]/a-modun ist, d.h. dass ψ(ker(φ a )(B)) ker(φ a )(C); die Funktoreigenschaften fogen dann sofort. Dies ist aufgrund der Eigenschaften von Morphismen von K-Agebren offensichtich, da mit fb = 0 auch fψ(b) = ψ(fb) = 0 fogt. Bemerkung 25. Da a = (f) für ein f F q [T ], git ker(φ a )(B) = ker(φ f )(B) := {b B ; fb = 0}. Den fogenden Satz kennt man unter dem Begriff Struktursatz für endich erzeugte Modun über integren Hauptidearingen bzw. Hauptsatz für endich erzeugte Modun über integren Hauptidearingen. Einen Beweis findet man z.b. im Bosch, Kapite 2.9, Eementarteiertheorie. Satz 26. Seien R ein integrer Hauptideabereich und M ein endich erzeugter R- Modu. Dann existiert eine endiche Menge P von paarweise nichtassoziierten Primeementen aus R sowie natüriche Zahen d, r p, 1 ν(p, 1)... ν(p, r p ) für ae p P, so dass ein Isomorphismus M = R d p P r p j p=1 R/p ν(p,jp) R von R-Modun existiert. Die Primzahen aus P sind bis auf Einheiten eindeutig, die natürichen Zahen d, r p, ν(p, 1),..., ν(p, r p ) sind eindeutig. Satz 27. Seien φ ein Drinfed-Modu mit Charakteristik char(φ) = (p), p F q [T ], und K ein agebraischer Abschuss von K. Dann geten: (i) Ist f F q [T ] ein Poynom mit p f, dann ist ker(φ f )(K) ein freier F q [T ]/(f)- Modu vom Rang rank(φ). (ii) Ist p 0, dann ist ker(φ p n)(k) ein freier F q [T ]/(p n )-Modu vom Rang rank(φ) height(φ), für ae n N. Beweis. Sei zunächst f = s n, n N, wobei s F q [T ] irreduzibe ist. Der Modu ker(φ s n)(k) hat Kardinaität q n(deg(φs) ht(φs)) ; dies fogt aus Proposition 6 und der Bijektivität von τ : K K, x x q (agebraisch abgeschossene Körper sind perfekt). Nach dem Struktursatz 26 ist der endich erzeugte F q [T ]-Modu ker(φ s n)(k) isomorph zu einem Modu der Form F q [T ] d F q [T ]/(g 1 ) F q [T ]/(g r ), 5

6 wobei d, r N, und g i die Potenz eines irreduziben Poynoms ist, für ae i = 1,..., r. Wegen der endichen Kardinaität ist d = 0. Wei dies sogar ein F q [T ]/(s n ) Modu ist, git s n + (g i ) = (g i ), aso g i s n, für ae i = 1,..., r. Wir haben daher gezeigt, dass ker(φ s n)(k) = F q [T ]/(s j 1 ) F q [T ]/(s jr ) git, mit 1 j 1... j r n. Dieser Modu hat Kardinaität q deg(s) r i=1 j i, woraus wir deg(s) r i=1 j i = n(deg(φ s ) ht(φ s )) schiessen. (i) Sei jetzt p s. Dann impiziert Proposition 17 die Beziehung r i=1 j i = nrank(φ). Wir beweisen mit Induktion nach n, dass r = rank(φ) und j 1 =... = j r = n git. Für n = 1 ist die Aussage kar. Sei aso n > 1. Es git die Inkusion s ker(φ s n)(k) ker(φ s n 1)(K). Ist umgekehrt x ker(φ s n 1)(K), dann hat φ s (τ) x K[T ] eine Nustee y K; d.h. sy = x. Daraus fogt y ker(φ s n)(k), aso x s ker(φ s n)(k). Damit ist diese Inkusion sogar eine Geichheit. Offenbar git dann s ker(φ s n)(k) = ker(φ s n 1)(K) = F q [T ]/(s j1 1 ) F q [T ]/(s jr 1 ). Aus der Induktionsvoraussetzung fogt nun unmittebar die Behauptung. Sei nun f = s n 1 1 s n eine Primfaktorzeregung, wobei n i N und p s, für i = 1,...,. Wir woen nun mit Induktion nach zeigen, dass ker(φ f )(K) = (F q [T ]/(f)) rank(φ) git, und sind dann fertig. Ist = 1, so haben wir die Aussage bereits oben gezeigt. Sei aso > 1. Zur Abkürzung setzen wir g := s n 1 1 s n 1 1. Dann git nach Induktionsvoraussetzung ker(φ g )(K) = (F q [T ]/(g)) rank(φ) und ker(φ n s )(K) = (F q [T ]/(s n )) rank(φ). Sei x ker(φ g )(K) ker(φ n s )(K). Aufgrund dieser Isomorphien kann, da g und s n 1 1 teierfremd sind, nur x = 0 geten. Daher ist ker(φ g )(K) + ker(φ s n 1 1 )(K) ker(φ f )(K) eine direkte Summe. Wenn wir den Chinesischen Restsatz anwenden, so sehen wir, dass ker(φ f )(K) einen zu ker(φ g )(K) ker(φ n s 1 )(K) = (F q [T ]/(f)) rank(φ) 1 isomorphen Untermodu enthät. Da die Kardinaitäten von (F q [T ]/(f)) rank(φ) und ker(φ f )(K) jeweis q rank(φ) deg(f) beträgt, muss bereits ker(φ f )(K) = (F q [T ]/(f)) rank(φ) geten. (ii) Sei schiessich s = p und p 0. Dann git r i=1 j i = n(rank(φ) height(φ)), wobei wir Proposition 17 und 19 verwendet haben. Mit Induktion nach n wie in (i) zeigt man jetzt r = rank(φ) height(φ) und j 1 =... = j r = n, woraus wir ker(φ p n)(k) = (F q [T ]/(p n )) rankφ height(φ) schiessen. Koroar 28. Sei φ ein Drinfed-Modu endicher Charakteristik. Dann ist height(φ) N. Beispie 29. Ein Drinfed-Modu über K ist bereits durch φ T = γ(t )+c 1 τ + +c r τ r wobei c 1,..., c r K eindeutig festgeegt. Ist c r 0 handet es sich um einen Drinfed- Modu vom Rang r. Umgekehrt definiert jede Wah c 1,..., c r K mit c r 0, r N einen Drinfed-Modu vom Rang r. 6

7 Beispie 30. Sei γ(t ) = 0. Dann ist char(φ) = (T ) und es git height(φ) = ht(φ T ). Definition 31. Seien φ und φ Drinfed F q [T ]-Modun über K. Ein Morphismus von φ nach φ über K ist ein Eement ρ(τ) K{τ} mit f F q [T ] : ρ φ f = φ f ρ Ist ρ eine Einheit, aso ρ K, so heissen φ und φ isomorph. Bemerkung 32. Seien φ und φ isomorph, d.h. es existiert ein ρ K mit φ = ρ 1 φ ρ; dies ist äquivaent zu φ T = ρ 1 φ T ρ. Ist φ T = γ(t ) + c 1τ + + c r τ r, so ist φ T = γ(t ) + ρ q 1 c 1 τ + ρ q2 1 c 2 τ ρ qr 1 c r τ r. Isomorphe Drinfed-Modun haben somit den geichen Rang. Beispie 33. Sei K agebraisch abgeschossen. Ist r = 1, so existiert nur eine Isomorphiekasse von Drinfed F q [T ]-Modun vom Rang 1, da K K : x x q 1 surjektiv ist. Die Standardwah, Caritz Modu genannt, ist durch φ T = γ(t ) + τ gegeben. Proposition 34. Sei K agebraisch abgeschossen. Dann steht die Menge der Isomorphiekassen von Drinfed F q [T ]-Modun über K vom Grad 2 in Bijektion zu K. Beweis. Sei φ ein Drinfed-Modu vom Grad 2 mit φ T definieren ( c q+1 ) 1 j(φ) := K. c 2 = γ(t ) + c 1 τ + c 2 τ 2. Wir Ist φ isomorph zu φ, dann fogt mit Bemerkung 32 und wegen (q + 1) = (q 2 1)/(q 1), dass j(φ) = j(φ ). Sei jetzt x K. Wir wähen c 2 = 1. Da K agebraisch abgeschossen ist, finden wir auch ein c 1 mit c q+1 1 = x. Somit wird der Drinfed-Modu φ mit φ T = γ(t ) + c 1 τ + c 2 τ 2 durch j auf x abgebidet. Seien nun φ, φ Drinfed- Modun vom Rang 2 mit j(φ) = j(φ ). Es git c 1 = 0 genau dann, wenn c = 0 git. Ist dies der Fa, sind φ und φ isomorph, da x x q2 1 surjektiv ist. Nehmen wir aso c 1 0 c 1 an. Wir finden ein ρ K mit c 1 = ρ q 1 c 1. Daraus fogt dann aber auch c 2 = (c 1/c 1 ) q+1 c 2 = ρ q2 1 c 2. Daher sind φ und φ isomorph. Wir haben zusammengefasst gezeigt, dass j eine Bijektion zwischen den Isomorphiekassen von Drinfed-Modun vom Rang 2 und K induziert. 7