Algorithmentheorie 4. Vorlesung

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1 Algorithmentheorie 4. Vorlesung Martin Dietzfelbinger... Turingmaschinen B B B b a n d i n B B * # s c h r i f t B B B B B B B... Lese Schreib Kopf: Bewegen um 1 Bandfeld Schreiben Lesen 27. April 2006 Übergangsfunktion δ q m q 0 q 1 q q 3 2 Steuereinheit gegenwärtiger Zustand q Zustandsmenge Q FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Turingmaschinen Akzeptierte Sprache L M := {x Σ M akzeptiert x} heißt die von M akzeptierte Sprache. Turingmaschinen Haltesprache H M := {x Σ M hält auf x} heißt die Haltesprache von M. Rekursiv aufzählbare und rekursive Sprachen Eine Sprache L heißt rekursiv aufzählbar (r.a.), falls es eine TM M gibt, so dass L = L M ist. Eine Sprache L heißt rekursiv (rek.), falls es eine TM M gibt, die auf allen Inputs x Σ hält, so dass L = L M ist. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

2 Partiell rekursive Funktionen Eine Funktion f : D R heißt partiell rekursiv (p.r.), falls es eine TM M = (...,Σ,Γ,...) gibt derart dass D = H M, R (Γ {B}) und f = f M ist. Turingmaschinen Tricks endlicher Speicher in Steuereinheit Spurtechnik, Markierungen Kopieren/Transport von Bandinschriften Eine Funktion f : Σ R heißt (total) rekursiv, falls es eine TM M = (...,Σ,...) gibt derart dass f = f M ist. Beachte: Diese TM M hält auf allen Inputs x Σ. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Turingmaschinen Varianten mehrere Spuren einseitig unendliches Band k-band-tm Berechnungskraft unverändert Beweismethode: Simulation Modellerweiterung: k-band-turingmaschinen Eine 3-Band-TM:... B B B e i n g a b e B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B... Steuer einheit Allgemeiner: k Bänder, k Köpfe. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

3 Modellerweiterung: k-band-turingmaschinen Fazit: Wenn es bequem ist, können wir uns jede beliebige feste Menge von Bändern als gegeben vorstellen. Die Berechnungskraft des Modells ändert sich dadurch nicht. Welche Variante man benutzt, spielt für die Begriffe rekursiv aufzählbare Menge, rekursive Menge, partiell rekursive Funktion usw. keine Rolle. Zeit-/Platzbedarf bei Turingmaschinen Für M eine k-band-tm, x Σ : t M (x) := Zahl der Schritte, die M auf Eingabe x ausführt N { } s M (x) := Anzahl der verschiedenen Zellen, auf die die Köpfe von M bei Eingabe x schreibend zugreifen, auf allen Bändern zusammen ( N { }); T M (n) := max{t M (x) x Σ n } (Zeitbedarf im schlechtesten Fall über alle Eingaben der Länge n: worst-case- Zeitkomplexität); S M (n) := max{s M (x) x Σ n }. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Zeit-/Platzschranken bei Turingmaschinen Sei t: N R + eine Funktion. M heißt t(n)-zeitbeschränkt, falls T M (n) t(n) für alle n N gilt, d.h. falls t M (x) t( x ) für alle x Σ gilt. Beispiel: TM M ist 10n 2 -zeitbeschränkt (Genauer Verlauf von T M (n) ist nicht wichtig.) FG KTuEA, TU Ilmenau AT Zeit-Komplexitätsklassen Für t: N R + definieren wir: DTIME(t(n)) := {L M M ist k-band-tm, Die so definierten Sprachenmengen heißen Zeit-Komplexitätsklassen. Beispiele: c > 0 : M ist c t(n)-zeitbeschränkt}. DTIME(n),DTIME(n 2 ),DTIME(n log n),dtime(2 n ). Linearzeit, Quadratische Zeit,... FG KTuEA, TU Ilmenau AT

4 Programmiertechnik: Unterprogramme Bemerkung: M sei TM. Man kann bei der Programmierung einer anderen TM M die TM M als Unterprogramm nutzen Bänder von M... B B a a a... a B B B n Band von M M : Programm von M ohne M Beschreibung von M endliches Objekt! FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Programmiertechnik: Unterprogramme M schreibt auf ein sonst leeres Band Eingabe x für M, startet M durch Umschalten auf den Startzustand von M, und erhält nach Ende der M-Berechnung die Information, ob x L M oder nicht (per Zustand), oder den Funktionswert f M (x) Programmiertechnik: Unterprogramme Variante: M mit einseitig unbeschränktem Band: es genügt auch ein einseitig leeres Band von M als Arbeitsbereich für M. Möglich: Rücksprungpunkte im Programm von M aufs Band schreiben Aufrufe an beliebigen Stellen in M und sogar: rekursive Unterprogramme. Band von M kann gelöscht (mit B s überschrieben) werden oder für den nächsten Aufruf aufbewahrt. Dann setzt M seine eigene Berechnung fort. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

5 Programmiertechnik: Textsuche Häufige Teilaufgabe: suche Muster p = a 1 a n in Text t = b 1 b m. Beispiel: p = 10010, t = , p in t bei Position 9 und bei Position 12. Programmiertechnik: Textsuche Aufgabe: Auf Eingabe a 1 a n #b 1 b m {#} die erste Stelle j so dass a 1 a n = b j b j+n 1 falls eine solche Stelle existiert. Methode: Kopiere a 1 a n auf Band 3. Initialisiere Band 2 mit 1. Markiere b 1 auf Extra-Spur auf Band 1 mit. finde FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Band 1 Band 2 Band 3 Programmiertechnik: Textsuche Bandinhalt während der Rechnung : B a a... a # b b B B n 1 2 B a a... a B n b j * bin(j) b m Wiederhole: Programmiertechnik: Textsuche Vergleiche Wort auf Band 1, startend bei, Zeichen für Zeichen mit a 1 a n. Bei Übereinstimmung: fahre den Bandkopf auf Band 1 nach links zum und halte akzeptierend. Falls b 1 b m zu kurz : halte verwerfend. Sonst rücke um eine Zelle weiter nach rechts, erhöhe die Binärzahl auf Band 2 um 1. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

6 Programmiertechnik: Textsuche Anwendung: Records/Verbünde/Zeiger... feld3 # # identifier # feld1 # feld2 # feld3 # # identifier... Binärzahl Binärzahl Modelleinschränkung: Standardalphabete Hintergrund/Motivation: In echten Computern wird alles binär kodiert. Dies sollte auch bei TM gehen. (a) Eingabealphabet: Beispiel: Binärkodierung a a b c d # $ ϕ(a) ## identifier # 0 induziert und ϕ(ab#dc) = ϕ({ab#dc, a$d}) = { , }. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Standard-Eingabealphabet Allgemein: Zu Alphabet Σ, Σ 2, betrachte Binärkodierung ϕ : Σ 1 1 {0,1} log 2 Σ für die Buchstaben. Induziert Binärkodierung für die Wörter: ϕ(a 1 a n ) := } ϕ(a 1 ) {{ ϕ(a n } ), für n N,a 1,...,a n Σ {0,1}... und Binärkodierung für Sprachen über Σ: ϕ(l) = {ϕ(w) w L} {0,1}, für L Σ.... und Binärkodierung f ϕ für Funktion f über Σ. Proposition Standard-Eingabealphabet (i) L ist rekursiv ϕ(l) ist rekursiv; (ii) L ist rekursiv aufzählbar ϕ(l) ist rekursiv aufzählbar; (iii) f ist partiell rekursiv f ϕ ist partiell rekursiv. Beweisidee: (ii) : Habe: TM M mit L = L M. Neue TM M mit Eingabealphabet {0,1} tut folgendes: Teile Eingabe w in Blöcke der Länge log 2 Σ, übersetze mittels ϕ 1 in w = ϕ 1 (w ) über Σ, starte M. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

7 Standard-Eingabealphabet Proposition (i) L ist rekursiv ϕ(l) ist rekursiv; (ii) L ist rekursiv aufzählbar ϕ(l) ist rekursiv aufzählbar; (iii) f ist partiell rekursiv f ϕ ist partiell rekursiv. Beweisidee: (ii) : Habe: TM M mit ϕ(l) = L M. Neue TM M mit Eingabealphabet Σ tut folgendes: Übersetze Eingabe w in ϕ(w), starte M. (i), (iii): analog. Modelleinschränkung: Standardalphabete (b) Bandalphabet: Standardalphabet Γ = {0,1,B }, Blank B. Voraussetzung: Eingabealphabet {0,1}, nach (a) möglich. Behauptung: Sei M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ) mit Σ = {0,1} eine TM. Dann kann das Verhalten von M durch eine TM M = (Q, Σ, Γ,...) mit Bandalphabet Γ = {0,1,B } simuliert werden. D.h.: es existiert eine TM M = (Q, {0,1,B }, {0,1},B,...) mit L M = L M, H M = H M, f M = f M. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Idee: log ( Γ ) B B B B B B code(b) code(a) code(b) 2 Kapitel 1.3: Nichtdeterministische Turingmaschinen... und Chomsky-0-Grammatiken Kopfbewegungen von M : M : Puffer: a ε Γ Decode Programm von M Nichtdeterministische TM deterministisch : in jeder Konfiguration genau eine Nachfolgekonfiguration... oder keine Haltekonfiguration Code a nichtdeterministisch : es ist erlaubt, dass in manchen Konfigurationen mehr als eine Nachfolgekonfiguration existiert FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

8 Nichtdeterministische Turingmaschinen kein Modell für realistischen Rechner wie weiß die Maschine, was sie als nächstes tun soll? : kein echtes Problem, denn eine nichtdeterministsiche TM rechnet nicht einfach Schritt für Schritt abstraktes Modell erleichtert (manchmal) Programmierung (in diesem Kapitel) hilft bei der interessanter Sprachklassen (Theorie der NP-Vollständigkeit) Eine nichtdeterministische Turingmaschine (NTM) M besteht aus 7 Komponenten: Q,Σ,Γ,B, q 0,F: wie bei gewöhnlichen TM δ: Q Γ P(Q Γ {L,R,N}) In einer Situation (q, a) (Zustand, gelesener Buchstabe) gibt es keinen, einen, oder mehr als einen möglichen Zug (q,a,d). Die möglichen Züge sind die Elemente von δ(q, a). Wenn δ(q, a) 2, dann existiert eine Auswahl oder Verzweigungsmöglichkeit. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Beispiel: Exaktes Rucksackproblem Problem RUCKSACK : Input: n Objekte mit Volumina a 1,...,a n, Rucksack mit Kapazität b. Frage: Kann man aus den Objekten einige auswählen, so dass sie den Rucksack exakt füllen, d.h. dass ihr Gesamtvolumen genau b ist? Gibt es eine Teilmenge I {1,...,n} mit i I a i = b? Formalisierung durch Sprache L Rucksack := {bin(a 1 )# #bin(a n )#bin(b) n N,a 1,...,a n,b 1, I {1,...,n} : i I Das Entscheidungsproblem RUCKSACK ist genau das Wortproblem für L Rucksack. Beispiel: a i = b}. 1010#101#1000#11#1101 L Rucksack ; 110#10#1010#110#1111 / L Rucksack. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

9 NTM für RUCKSACK 3 Phasen: auf Input w passiert folgendes: 1. Syntaxcheck: Hat w das richtige Format? Ist w L(1(0 + 1) (#1(0 + 1) ) + )? Bei Erfolg: Erreiche Zustand q 2, Kopf auf erstem Inputzeichen. Sonst: Halte verwerfend. 2. Wähle nichtdeterministisch einige der Zahlen aus. Formal: Ersetze einige der #-Zeichen durch 3. Streiche die per bin(a i ) markierten Zahlen. Addiere (Übung!) die restlichen Zahlen und prüfe, ob die Summe b ist. NTM für RUCKSACK : technisch 1. Syntaxcheck: wie ein DFA Bei Erfolg: Erreiche Zustand q 2, Kopf auf erstem Inputzeichen; sonst: Halte verwerfend. 2. δ(q 2,a) = {(q 2,a,R)}, für a Σ δ(q 2,#) = {(q 2,,R),(q 2,#,R)}, für a Σ δ(q 2,B) = {(q 3,B, L)}. 3. Überschreibe bin(a i ) mit Nullen: 00 0# (Skript: Deterministische TM für diese Aufgabe.) FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Addiere die verbleibenden Zahlen und prüfe, ob die Summe b ist. Falls ja, akzeptiere, falls nein, verwerfe. NTM für RUCKSACK : Eigenschaften Eingabe (a 1,...,a n,b) bestehe aus n + 1 Zahlen, syntaktisch korrekt. Nach Phase 2 sind genau 2 n viele verschiedene Situationen möglich. Entspricht: 2 n Teilmengen I {1,...,n} Falls i I a i = b, wird akzeptiert, sonst verworfen. Manche Berechnungen akzeptieren, manche verwerfen. (Willkürliche) Festlegung: NTM M akzeptiert w, falls mindestens eine der möglichen Berechnungen akzeptiert. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

10 Semantik von NTM NTM M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ) sei gegeben. Schreibe k M k. Iteration k M k wird definiert wie bei TM. Menge K M der Konfigurationen: wie bei TM Startkonfiguration init M (x): wie bei TM Sei k = α 1 (q, a)α 2 Konfiguration. Für jedes Tripel (q,a,d) δ(q, a) gibt es eine Nachfolgekonfiguration k von k, und zwar: k wird aus k gebildet wie bei (deterministischen) TM, unter Benutzung des Zuges (q,a,d). FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT NTM M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ) sei gegeben. k = α 1 (q, a)α 2 K M heißt Haltekonfiguration, wenn δ(q, a) = ist. Akzeptierend: q F Verwerfend: q Q F Folge init M (x) = k 0 k 1 k 2 (ohne Ende) heißt nicht-haltende Berechnung von M auf x. akzeptierende Berechnung : endet in akzeptierender Haltekonfiguration verwerfende Berechnung : endet in verwerfender Haltekonfiguration init M (x) = k 0 k 1 k t heißt eine haltende Berechnung von M auf x falls k t Haltekonfiguration. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

11 . NTM M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ) sei gegeben. M akzeptiert x Σ, wenn M mindestens eine akzeptierende Berechnung für x hat, d.h. wenn es eine Berechnung Bemerkung: Wir definieren für NTM nicht: H M und f M. (3 Zeilen im Skript S. 61 streichen.) init M (x) = k 0 k 1 k t gibt, so dass k t akzeptierende Haltekonfiguration ist. Achtung: Es ist dann unwichtig, ob es auch verwerfende oder nicht haltende Berechnungen gibt. L M := {x Σ M akzeptiert x}. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Wurzel Zeitschritte Berechnungsbaum k 0 init (x) M 0 In einem Berechnungsbaum sind alle möglichen Berechnungen einer NTM M auf einem Input x zusammengefasst. Jede Berechnung ist ein Weg aus Konfigurationen, alle Wege haben einen gemeinsamen Startpunkt, die Startkonfiguration. k 1.. k 2 k 1 k k 2 k t k 1 k 2 k 3 k 4 Nachfolge konfigurationen von k t + 1 "akzeptiere" "verwirf" FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

12 Berechnungsbaum CT(M,x) ( computation tree ) ist ein endlicher oder unendlicher gerichteter Baum, folgendermaßen gebaut: (i) Wurzel, mit init M (x) markiert. (ii) Hat ein Knoten v im Baum Markierung k = α 1 (q, a)α 2 und ist δ(q, a) = {(q 1,a 1,D 1 ),...,(q s,a s,d s )}, und sind k 1,...,k s die Nachfolgekonfigurationen von k zu den s Zügen in δ(q, a), so hat v Nachfolger v 1,...,v s, die mit k 1,...,k s markiert sind. jeder Berechnung init M (x) = k 0 k 1 k t (endlich oder unendlich) entspricht ein Pfad im Baum; ein Knoten mit Markierung k ist Blatt k Haltekonfiguration; M akzeptiert x CT(M,x) hat mindestens ein akzeptierendes Blatt. CT(M,x) enthält alle Berechnungen von M auf x als Pfade. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Bemerkung Endlichkeit des Berechnungsbaums CT(M,x) hat endlich viele Knoten Beweis: : trivial. jede Berechnung von M auf x endet nach endlich vielen Schritten. : Wenn CT(M,x) unendlich ist, kann man per Induktion einen unendlichen Weg in CT(M, x) konstruieren; dies ist eine nicht abbrechende Berechnung; Details siehe Skript. Modellvarianten, Programmiertricks... genau wie bei den (deterministischen) TMs. Besonders wichtig: Nichtdeterministische Turingmaschinen mit k Bändern. Satz M sei NTM mit k Bändern. Dann gilt: (a) Es gibt eine 1-Band-NTM M mit L M = L M (b) Wenn jede Berechnung von M auf Inputs x Σ n nach höchstens t(n) Schritten anhält, so kann die NTM M in (a) so konstruiert werden, dass jede Berechnung von M auf Inputs x Σ n nach höchstens O(t(n) 2 ) Schritten anhält. Fazit: Benutze k Bänder, wenn bequem. Ende FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

13 Beispiel: Oberfolgenproblem Teilfolge : 1000 ist Teilfolge von Def.: u = b 1 b m heißt Teilfolge von x = a 1 a n, wenn es 1 i 1 < < i m n gibt, so dass b 1 b m = a i1 a im. Oberfolge : Def.: x heißt Oberfolge von u, wenn u Teilfolge von x ist. Beispiel: ist Oberfolge von 1000, nicht aber Beispiel: Oberfolgenproblem Gegeben: Beliebige r.a. Sprache L = L M, M TM. L := {x Σ w L : x ist Oberfolge von w}. Menge der Oberfolgen von Wörtern in L. Wir entwerfen eine 2-Band-NTM für L. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Input: x = a 1...a n Beispiel: Oberfolgenproblem 2 Phasen: 1: Lese x von links nach rechts, wähle nichtdeterministisch Zeichen aus, die auf Band 2 kopiert werden. Fahre Kopf auf Band 2 zurück. δ(q 0,a, B) = {(q 0,a,a, R,R),(q 0,a,B, R,N)}, für a Σ; δ(q 0,B, B) = {(q 1,B, B, N,L)}; δ(q 1,B, a) = {(q 1,B, a, N,L)}, für a Σ; δ(q 1,B, B) = {(q M 0,B, B, N,R)}. Beispiel: Oberfolgenproblem In Phase 1 gibt es genau 2 n verschiedene Abläufe. Auf Input x = abac steht auf Band 2 eines der folgenden Wörter: abac,aba,abc,ab,aac,aa,ac,a,bac,ba,bc,b,ac,a,c,ε. (16 Abläufe, 14 verschiedene Wörter.) Es gilt: M akzeptiert x genau dann wenn x eine Teilfolge y L M hat, d.h. wenn x L ist. 2: Lasse M auf der Inschrift von Band 2 ablaufen. FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

14 Gewöhnliche TM ist praktisch ein Spezialfall von NTM: Sei M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ) eine deterministische TM Betrachte ˆδ : Q Γ P(Q Γ {L,R,N}) mit ˆδ(q, a) := { {(q,a,d)}, falls δ(q, a) = (q,a,d);, falls δ(q, a) = (undefiniert). Frage: Kann man mit NTM mehr berechnen als mit TM? Nein! Z.B.: = {a,b,c} Technik: Aufzähler für Erzeuge nacheinander: ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc, aaa, aab, aac,... Lemma Sei Alphabet. Dann existiert eine deterministische 1-Band- TM, die auf Eingabe ε unendlich lange läuft und dabei nacheinander die Konfiguration (q fertig,b) und dann die Konfigurationen (q fertig,a 1 )a 2 a n erreicht, für alle a 1 a n +. Idee: Zähle im d-ären System. (Details: Übung). FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Satz Ist L = L M für eine nichtdeterministische TM M, dann ist L rekursiv aufzählbar. Beweis: Gegeben sei NTM M = (Q,Σ,Γ,B, q 0,F, δ). Simulation : Beschreibe Arbeitsweise einer TM M. Menge der Einzelzüge von M: Z := Q Γ {L,R,N} (Endliche Menge!) Jede Berechnung k 0 k 1 k 2... entspricht einer (eindeutigen) Zugfolge (z 1,z 2,...) in Z. Aber: Nicht jede Zugfolge liefert Berechnung! Beispiel Rucksack-NTM: Konfiguration Zug (q 0,1)1#11#1#100 (q 0,1,R) (q 2,1)1#11#1#100 (q 2,1,R) 1(q 2,1)#11#1#100 (q 2,1,R) 11(q 2,#)11#1#100 (q 2,,R) 11 (q 2,1)1#1#10 (q 2,1,R) 11 1(q 2,1)#1#10 (q 2,1,R) 11 11(q 2,#)1#10 (q 2,#,R) 11 11#(q 2,1)#10 (q 2,1,R) (q 4,0)0#11#1# FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

15 TM M hat drei Bänder. Band 1: Eingabe x, nie verändert. Band 2: Arbeitsband von M. Band 3: Zugfolgen (z 1,z 2,...). M erzeugt auf Band 3 nacheinander jede mögliche endliche Folge (z 1,z 2,...,z r ) Z. Für jede dieser Folgen (z 1,z 2,...,z r ) wird folgendes getan: ( ) Kopiere x von Band 1 auf Band 2. Rechne auf Band 2 wie M, führe dabei im i-ten Schritt Zug z i aus, solange dies mit δ konsistent ist. Falls akzeptierende Konfiguration von M erreicht wird: halte, akzeptiere. Sonst: Lösche Band 2, erzeuge auf Band 1 nächste Zugfolge, gehe zu ( ) FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Beobachtung: Wenn x L M, es also mindestens eine akzeptierende Berechnung k 0 k 1 k 2... von M gibt, dann wird irgendwann eine Zugfolge erzeugt, die einer akzeptierenden Berechnung von M entspricht M hält akzeptierend. Wenn M akzeptierend hält, dann hat M soeben eine akzeptierende Berechnung von M durchgeführt x L M Ergänzung Leichte Modifikation von M kann beobachten, ob CT(M,x) endlich ist. (Für ein t führen alle mit δ konsistenten Zugfolgen der Länge t in eine Haltekonfiguration.) Dann: Verwerfend halten. Fazit: Wenn alle Berechnungsbäume von M endlich sind, dann ist L M rekursiv und M (modifiziert) hält auf allen Eingaben. Also: M akzeptiert x x L M. D.h.: L M = L M FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT

16 Zeitaufwand der Simulation: Z r O( x + r) = O( Z t ( x + t)) = O( Z t t). 0 r t Benutze NTM als bequeme Programmiertechnik! Hilfreich für den Nachweis von Abschlusseigenschaften (Übung, später) Fazit: Wenn t: N R + so ist, dass für jedes x Σ jede Berechnung von M auf x höchstens t( x ) Schritte macht, dann ist die simulierende Turingmaschine M O(2 c t(n) )- zeitbeschränkt, für c = 1 + log Z. (Exponentieller Blow-up) FG KTuEA, TU Ilmenau AT FG KTuEA, TU Ilmenau AT Skript Seiten Bis nächste Woche Übungsaufgaben drucken und vorbereiten FG KTuEA, TU Ilmenau AT