Peter Wriggers. Nichtlineare Finite-Element-Methoden

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1 Peter Wriggers Nichtlineare Finite-Element-Methoden

2 Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Peter Wriggers N ichtl i neare Fi n ite-element-methoden Mit 250 Abbildungen Springer

4 Professor Dr.-Ing. habil. Peter Wriggers Universität Hannover Institut fü r Baumechanik und Numerische Mechanik AppeJstraße 9A Hannover ISBN Die Deutsche Bibliothd - CIP EinheitsauCnahme WriggefS. Pettr Nichtlineare Finite-Element-Methoden f Peter Wriggers Berlin; Heidelberg; NewYork; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer 2001 ISBN S ISBN (ebook) DOI / Dieses Werk ist urheberrechtlich geschuttt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruck" des Vortrags, der Entnahme \'o n Abbildungen und Tabelle n, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur au$1ugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfiiltigu ng dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsge,etzes der Bundeuepublik Deutsch land vo m 9. Sept~mb~ r 1%5 in der jeweils geltenden Fassung w länig. Sie i5\ grundsätzlich vergülungs pflichtig. Zuwide rha ndlungen unterliegen den Strafbe$limmungen des Urh eberrechtsgesetus. CI Springer-Verlag Berl in Heidelberg 2001 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Yo rk 2001 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohnebesondere Kennzeichnung nicht tu der An nahme,daß solche Namen im Sinne der Warenzeicben- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden durft en. SoUte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, VorS( hrifte n oder Richtlinien (z.b. din, vdi, vde) Bezug genommen oder aus ih nen zitiert wo rden sein, so kann der Ve rlag keine Gewähr rur die Richligkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sicb, geg~bene nfalls ru r die eigenen Arbeiten die VOllständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandentwu rf: medio Innovative Medien Service GmbH,lIerlin Satz: Reprodukt ionsfertigc Vo rlag~ des AutoT$ Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: ISO Rw

5 Vorwort Die Methode der finiten Elemente (FEM) hat sich in den letzten Jahren als universelles Hilfsmittel des Ingenieurs zur Berechnung von komplexen Tragstrukturen erwiesen. Mit zunehmender Rechnerkapazität werden die unterschiedlichsten nichtlinearen Aufgabenstellungen behandelbar. Das vorliegende Buch beschreibt neben den physikalischen und mathematischen Grundlagen der Methode der finiten Elemente auch spezielle Elementtechniken und Algorithmen zur Behandlung von nichtlinearen Problemen der Festkörpermechanik. Dies schließt eine Darstellung der kontinuumsmechanischen Grundlagen, ingenieurgerechter Materialgleichungen und der für die FEM notwendigen Variationsprinzipien ebenso ein, wie die matrizielle Formulierung der Methode in unterschiedlichen Bezugsdarstellungen und die Angabe von Algorithmen zur Lösung der entstehenden nichtlinearen algebraischen Gleichungen. Auch zeitabhängige Problemstellungen werden diskutiert und die entsprechende algorithmische Behandlung wird beschrieben. Dies gilt sowohl für nichtlineare dynamische Probleme als auch für zeitabhängiges Material verhalten. Da bei nichtlinearen Problemen auch Singularitäten auftreten, die zu Durchschlags- oder Verzweigungspunkten gehören, werden Formulierungen angegeben, die die Berechnung dieser Punkte ermöglichen. Daneben werden Elementformulierungen für nichtlineare Fachwerke, Balken- und Schalenstrukturen bereitgestellt und beispielhaft angewendet. Ebenso werden unterschiedliche spezielle Diskretisierungsansätze für die Finite Element-Analyse dreidimensionaler Bauteile entwickelt und diskutiert. Adaptive Verfahren gewinnen heute immer mehr Bedeutung für die sichere und effiziente Anwendung der Methode der finiten Elemente. Daher werden diese Verfahren beschrieben und so formuliert, daß sie auf geometrisch und physikalisch nichtlineare Problemstellungen angewendet werden können. Entsprechendes gilt auch für die Formulierung von nichtlinearen Randbedingungen im Rahmen von Kontaktanalysen, deren Diskretisierung und algorithmische Aufbereitung dargestellt wird. Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, die sich im Vertiefungsstudium befinden und sich in numerischen Methoden für nichtlineare Problemstellungen der Festkörpermechanik einarbeiten wollen. Dies gilt auch für Doktoranden unterschiedlicher Disziplinien und in der Praxis tätige Ingenieure, die auf dem genannten Gebiet arbeiten. Aus diesem

6 VI Vorwort Grund sind im Text Beispiele eingefügt, die das Verständnis für die gewählten Formulierungen und Algorithmen vertiefen sollen. Die einzelnen Kapitel wurden von D. Freßmann, C. S. Han, C. Hahn, T. Raible, S. Reese und H. Tschöpe mit großer Sorgfalt durchgesehen. Viele Zeichnungen fertigte T. Raible an. Numerische Ergebnisse stammen unter anderem aus Arbeiten, die zusammen mit A. Boersma, R. Eberlein, C. S. Han, S. Meynen, T. Raible, S. Reese, A. Rieger, O. Scherf, J. Sansour und H. Tschöpe entstanden sind. Ihnen allen gebührt mein Dank für die hervorragende Zusammenarbeit. Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang auch die meinem Institut seitens der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gewährte Förderung unterschiedlicher Projekte im Bereich nichtlinearer Finite-Element-Methoden. Die hieraus entstandenen Ergebnisse sind an vielen Stellen des Buches zu finden. Nicht zuletzt sei auch dem Springer Verlag für Geduld und die angenehme Zusammenarbeit gedankt. Hannover, im Juli 2000 Peter Wriggers

7 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Nichtlineare Phänomene Geometrische Nichtlinearität Große Verschiebungen eines starren Balkens Große Verschiebungen eines elastischen Systems Verzweigungsproblem Durchschlagproblem Physikalische Nichtlinearität Nichtlinearität infolge von Randbedingungen Kontinuumsmechanische Grundgleichungen Kinematik Bewegung, Deformationsgradient Verzerrungsmaße Transformation von Vektoren und Tensoren Zeitableitungen Bilanzgleichungen Volumenbilanz Lokale Impulsbilanz, Drallbilanz Hauptsatz der Thermodynamik Umrechnung auf die Ausgangskonfiguration, verschiedene Spannungstensoren Zeitableitungen der Spannungstensoren Materialgleichungen Elastisches Materialverhalten Elasto-plastische Materialgesetze Viskoelastisches und viskoplastisches Materialverhalten Inkrementelle Form der Materialgleichungen Schwache Form des Gleichgewichts, Variationsprinzipien Schwache Formulierung des Gleichgewichts in der Ausgangskonfiguration Räumliche schwache Formulierung des Gleichgewichtes Variationsprinzipien... 84

8 VIII Inhaltsverzeichnis 3.5 Linearisierungen Linearisierung der kinematischen Größen Linearisierung der Materialgleichungen Linearisierung der Variationsformulierung Räumliche Diskretisierung der Grundgleichungen Generelles isoparametrisches Konzept Eindimensionale Ansätze Zweidimensionale Ansätze Dreidimensionale Ansätze Diskretisierung der Grundgleichungen FE-Formulierung der schwachen Form bezogen auf die Ausgangskonfiguration Linearisierung der schwachen Form in der Ausgangskonfiguration FE-Formulierung der schwachen Form bezüglich der Momentankonfiguration Linearisierung der schwachen Form in der Momentankonfiguration Verformungsabhängige Lasten Lösungsverfahren für zeitunabhängige Probleme Lösung nichtlinarer Gleichungssysteme Newton-Raphson-Verfahren Modifiziertes Newton-Verfahren Quasi-Newton-Verfahren Gedämpftes Newton Verfahren, Line-Search Bogenlängenverfahren Löser für lineare Gleichungssysteme Direkte Gleichungslöser Iterative Gleichungslöser Parallele Gleichungslöser Beispiele zu den Algorithmen und Gleichungslösern Lösungsverfahren für zeitabhängige Probleme Integration der Bewegungsgleichungen Explizite Verfahren Implizite Verfahren Impuls-, drall- und energieerhaltende Algorithmen Numerische Beispiele Integration inelastischer Materialgleichungen bei kleinen Deformationen Viskoelastisches Materialverhalten Elasto-plastisches Materialienverhalten Elasto-viskoplastisches Materialverhalten

9 Inhaltsverzeichnis IX 6.3 Integration der Materialgleichungen bei großen Deformationen Allgemeine implizite Integration Implizite Integration mit Bezug auf Hauptachsen Konsistenter Tangentenmodul Stabilitätsprobleme Vorbemerkungen Klassische und lineare Beulanalyse Nichtlineare Stabilitätsuntersuchungen Direkte Berechnung von Stabilitätspunkten Formulierung eines erweiterten Systems Berechnung der Richtungsableitung von K T Beispiel: Verzweigungspunkt eines Bogenträgers Algorithmus für nichtlineare Stabilitätsprobleme Adaptive Verfahren Randwertproblem und Diskretisierung Randwertproblem für finite Elastizität Das linearisierte Randwertproblem Diskretisierung Fehlerschätzer und -indikatoren Fehlerschätzung bei nichtlinearen Problemen Residuenbasierter Fehlerschätzer Fehlerindikator basierend auf der Z2-Methode Fehlerestimatoren basierend auf dualen Methoden Fehlerschätzung für Plastizität Netzverfeinerung Adaptive Netzgenerierung Netzerzeugung Transfer der Geschichtsdaten Beispiele Kontaktproblem nach Hertz Elastoplastische Deformation einer Zylinderschale Spezielle Strukturelemente Nichtlineares Fachwerkelement Kinematik und Verzerrungen Materialgleichungen für den Fachwerkstab Variationsformulierung und Linearisierung Finite-Element-Modell Zweidimensionales geometrisch exaktes Balkenelement Kinematik Schwache Form des Gleichgewichtes Materialgleichungen FE-Formulierung

10 X Inhaltsverzeichnis Beispiel...,.,.. " Zusammenfassung..., Rotationssymmetrisches Schalenelement Kinematik und Verzerrungen der rotationssymmetrischen Schale...,,..., ,3.2 Variationsformulierung...,..., Materialgleichungen...,...,...,.,'.., Finite-Element-Formulierung...,...,..., Allgemeine Schalenelemente..,., Vorbemerkungen... "...,..., Kinematik..., Parametrisierung der Rotationen Schwache Form Materialgleichungen für die Schale Finite-Element-Formulierung für das 5-Parameter ModelI..., Schalenverschneidungen.., Beispiele Biegung eines Kragträgers Aufblasvorgang einer quadratischen Platte Zylinder unter Einzellast Abschließende Bemerkungen Spezielle Kontinuumselemente Anforderungen an Kontinuumselemente Gemischte Elemente für Inkompressibilität Gemischtes Q1-PO Element Linearisierung des Q1-PO Elementes Stabilisierte finite Elemente Stabilisierungsvektoren Schwache Form und Linearisierung Enhanced Strain Element Generelle Vorgehensweise, klassische Formulierung Diskretisierung Kombination aus enhanced Formulierung und hourglass Stabilisierung Instabilitäten bei den enhanced Elementen Stabilisierung der enhanced Formulierung Spezielle Interpolation der enhanced Modes Kontaktprobleme Kontaktkinematik Konstitutive Gleichungen in der Kontaktzone Normalkontakt Tangentialkontakt

11 Inhaltsverzeichnis XI 11.3 Schwache Formulierung Diskretisierung NTS-Diskretisierung Matrizenform des Kontaktresiduums Integration des Reibgesetzes Algorithmen Linearisierung des Kontaktresiduums A. Tensorrechnung A.1 Tensoralgebra A.l.1 Definition eines Tensors A.l.2 Basisdarstellung von Vektoren und Tensoren A.l.3 Produkte von Vektoren und Tensoren A.l.4 Spezielle Formen von Tensoren A.l.5 Eigenwerte und Invarianten von Tensoren A.l.6 Tensoren höherer Stufe A.2 Tensoranalysis A.2.1 Differentiation nach einer reellen Variablen A.2.2 Gradientenbildung eines Feldes A.2.3 Divergenzbildung eines Feldes A.2.4 Rotation eines Vektorfeldes A.2.5 Ableitung der Invarianten nach einem Tensor A.2.6 Pull back und push forward Operationen A.2.7 Lie-Ableitung von Spannungstensoren A.2.8 Integralsätze Literatur Index