Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg

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1 Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg Schulversuch /13 vom 20. Juli 2012 Lehrplan für das berufliche Gymnasium der sechsjährigen Aufbauform Allgemeine Fächer Mathematik Klasse 8, 9 und 10 Der Lehrplan tritt für die Klasse 8 am 1. August 2012, für die Klasse 9 am 1. August 2013, für die Klasse 10 am 1. August 2014 in Kraft.

2 2 Mathematik Vorbemerkungen Da Mathematik Teil der Allgemeinbildung ist, soll der Mathematikunterricht den Schülerinnen und Schülern folgende Grunderfahrungen ermöglichen (Expertise zum Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe der BLK: Borneleit et al., 2000; Winter: Mathematik und Allgemeinbildung, 1996): Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen können (Mathematik und Alltagserfahrungen), Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln als geistige Schöpfungen, als deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen lernen und begreifen können (innermathematisches Arbeiten), in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben können, die über die Mathematik hinausgehen (heuristische Fähigkeiten). Im Laufe der drei Schuljahre sollen mathematische Arbeitstechniken erarbeitet und gefestigt werden, die sowohl in den profilbezogenen Fächern der Klassen 8 bis 10 Anwendung finden als auch für oberstufenspezifische Fragestellungen und damit für das Verständnis der in der gymnasialen Oberstufe zu behandelnden Themen grundlegend und unverzichtbar sind. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei die Fähigkeit erwerben, in Zusammenhängen zu denken, reale Vorgänge zu modellieren, Techniken des Problemlösens zu beherrschen sowie Ergebnisse darzustellen und zu interpretieren. In das Zentrum des Unterrichts treten daher verstärkt mathematische Fähigkeiten wie logisches und sprachliches Erfassen mathematischer Sachverhalte, mathematisches Modellieren realitätsbezogener Fragen, Plausibilitätsbetrachtungen und kritische Prüfung der Ergebnisse, Wahl geeigneter Lösungsmethoden und Darstellungsformen, Interpretieren und Beurteilen von Ergebnissen und ihrer sinnvollen Genauigkeit, Argumentieren, Dokumentieren und Präsentieren. Mathematische Sachverhalte werden einerseits anschaulich umgangssprachlich als auch in exakter mathematischer Diktion formuliert. Symbolik und Regeln von Mengenlehre und Aussagenlogik werden so weit eingeführt und verwendet, dass damit diese Sachverhalte knapp und präzise dargestellt werden können. Fächer übergreifende Aufgabenstellungen verdeutlichen die weitreichende Bedeutung der Mathematik. Aufgaben und Probleme, die diesen Praxisbezug herstellen, sollen sich am Profil des Beruflichen Gymnasiums orientieren und nach Möglichkeit dem Erfahrungsbereich der Schülerinnen und Schüler entstammen. Hilfsmittel wie Formelsammlung, Taschenrechner und PC werden selbstverständlich an geeigneter Stelle eingesetzt. Zu einem zeitgemäßen Mathematikunterricht gehört neben dem Erwerb von Rechenfertigkeiten die Visualisierung der erlernten Sachverhalte, der Erwerb von heuristischen Strategien, das Denken in Zusammenhängen, die Modellierung realer Vorgänge und die Interpretation der erhaltenen Ergebnisse. Zum Erreichen dieser Ziele ist es hilfreich und wichtig, elektronische Hilfsmittel einzusetzen. Die dargestellten Lehrplaneinheiten können auch in geeigneter Weise verzahnt und die Abfolge der Einheiten in pädagogischer Verantwortung abgeändert werden. Es bietet sich z. B. an, die Lehrplaneinheiten 2 und 3 zusammenzufassen.

3 Mathematik 3 Lehrplanübersicht Schuljahr L e h r p l a n e i n h e i t e n Zeitrichtwert Gesamtstunden Seite Klasse 8 Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) Termumformungen Lineare Gleichungen Lineare Funktionen Grundkonstruktionen und Ortslinien Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung 40 Klasse 9 Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) Kongruenz und Ähnlichkeit Quadratische Funktionen und Gleichungen Flächeninhalte, Satz des Pythagoras Daten und Zufall Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung Klasse 10 Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) Potenzfunktionen Kreisberechnung Darstellung und Berechnung von Körpern Trigonometrie Exponentialfunktionen Zeit für Leistungsfeststellung und zur möglichen Vertiefung

4 4 Mathematik

5 Mathematik 5 Klasse 8 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 20 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z. B. Projekt, eigenverantwortliches Arbeiten, aktives Modellieren Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 1 Termumformungen 25 Die Schülerinnen und Schüler beherrschen das Rechnen mit rationalen Zahlen sicher. Sie bearbeiten Terme auch mit Variablen und vereinfachen diese. Sie formulieren mathematische Sachverhalte umgangssprachlich und wissen, dass die mathematische Fachsprache es ermöglicht, mathematische Sachverhalte übersichtlicher und präziser zu formulieren. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen dabei die Abfolge der Rechenhierarchien und die Notwendigkeit der Klammersetzung. Am Beispiel der binomischen Formeln erkennen sie, dass Rechenoperationen nicht immer vertauscht werden können. Rechnen mit Termen Terme mit und ohne Variablen Klammerregeln Binomische Formeln Terme in faktorisierter Form Bruchterme Kopfrechnungen, schriftliches Rechnen, Rechnen mit Rechenhilfsmitteln Überschlagsrechnungen, Ergebnisse schätzen und mit dem Taschenrechner kontrollieren Einsetzen von Zahlen in Terme Faktorisieren, Ausklammern, Binomische Formeln wie u - 4x, 4x - 4x + 1 Grundrechenarten, Definitionsmenge 2 Lineare Gleichungen 25 Die Schülerinnen und Schüler bestimmen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge von linearen Gleichungen und verwenden die dazu notwendigen Mengensymbole. Unter Beachtung der Definitionsmenge erweitern sie diese Strategien auch auf das Lösen von Ungleichungen und Bruchgleichungen. Äquivalenzumformungen bei linearen Gleichungen Definitionsmenge und Lösungsmenge Auch Gleichungen mit Parametern Mengenbezeichnungen N, Z, Q, \

6 6 Mathematik Ungleichungen Durch Äquivalenzumformungen oder durch Lösen der Gleichung mit zusätzlicher Argumentation Einfache Bruchgleichungen Z. B. der Form 6x -7= 3 x - 2 Anwendungsaufgaben Dreisatz Prozent- und Zinsrechnung Bewegungsaufgaben Zahlenrätsel 3 Lineare Funktionen 30 Die Schülerinnen und Schüler interpretieren Abhängigkeiten zwischen zwei Größen als funktionale Zusammenhänge. Sie erkennen den Funktionsbegriff als fundamentales Element der Mathematik. Sie beschreiben an Beispielen aus dem Alltag sowie aus verschiedenen Bereichen der Naturwissenschaften, der Technik und der Wirtschaft lineare Beziehungen in mathematischer Terminologie. Die Schülerinnen und Schüler stellen funktionale Zusammenhänge in sprachlicher, tabellarischer oder grafischer Form sowie als Term dar und deuten Funktionen dynamisch. Sie erkennen, dass die Schaubilder der linearen Funktionen Geraden sind. Zur Visualisierung, zum explorativen Arbeiten und zum Problemlösen setzen sie auch die zur Verfügung stehenden elektronischen Hilfsmittel ein. Sie deuten lineare Gleichungssysteme grafisch, lösen sie und vergleichen die Effektivität verschiedener Vorgehensweisen. Sie entdecken den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Lösungen und der Lage der Geraden. Interpretation von Abhängigkeiten, funktionale Zusammenhänge Proportionale Abhängigkeiten Verschiedene Darstellungsmöglichkeiten von funktionalen Zusammenhängen Der Funktionsbegriff am Beispiel der linearen Funktion Einfluss der Koeffizienten auf das Schaubild Tarife (Strom, Handy) Gleichförmige und beschleunigte Bewegung, Fahrtenschreiber Hook sches Gesetz, Menge und Preis, Kapital und Zins Verbal, mit Tabelle, grafisch und algebraisch, auch mit Tabellenkalkulations-Programmen, GTR, dynamischer Geometriesoftware oder CAS Schreibweise f :x mx b; x Q oder f mit f(x) mx b; x Q Für das Schaubild auch g:y mx b ( Die Gerade g mit der Gleichung... ) Steigung, y-achsenabschnitt

7 Mathematik 7 Aufstellen von Geradengleichungen Spezielle Geraden Rechnen mit linearen Funktionen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen zeichnerische Lösung rechnerische Lösung Anzahl der Lösungen Bestimmung der Steigung, Punkt-Steigungs-Form Z. B. Parallelen zu den Koordinatenachsen Schnittpunkte, Achsenschnitte, Bedeutung dieser Schnittpunkte und der Steigung in Anwendungsbezügen, lineares Wachstum Schnittpunkt zweier Geraden Mit einem geeigneten Verfahren Anwendungen Probleme aus der Geometrie Tarifvergleiche Lineare Optimierung (HOT) 4 Grundkonstruktionen und Ortslinien 20 Bei Dreiecks- und Kreiskonstruktionen wenden die Schülerinnen und Schüler vorhandene Fertigkeiten an, vervollkommnen sie und entwickeln eigene Lösungsideen. Sie führen diese Konstruktionen mit Zirkel und Lineal und auch unter Verwendung von dynamischer Geometriesoftware durch. Grundkonstruktionen und Ortslinien Mittelsenkrechte Mittelparallele Kreis Thaleskreis Besondere Linien und Punkte im Dreieck Verwendung von Umgangssprache und mathematischer Fachsprache, z. B. P liegt auf g: P g g schneidet h in S: g h S Höhen, Seitenhalbierende Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt

8 8 Mathematik

9 Mathematik 9 Klasse 9 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 20 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z.B. Projekt, eigenverantwortliches Arbeiten, aktives Modellieren Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 5 Kongruenz und Ähnlichkeit 25 Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass es in der Geometrie der Mittelstufe nicht nur um Figuren, sondern auch um Beziehungen wie Kongruenz, Ähnlichkeit und Symmetrie zwischen den Figuren geht. Kongruenzabbildungen Verschiebung Achsenspiegelung, Punktspiegelung Verkettung von Spiegelungen und Verschiebungen Kongruenz und Ähnlichkeit von Dreiecken Symmetrie bei besonderen Vierecken Symmetriebetrachtungen Verwendung von dynamischer Geometriesoftware Kongruenzsätze Strahlensätze Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez Winkelsumme bei Dreiecken und Vierecken 6 Quadratische Funktionen und Gleichungen 40 Ausgehend von geometrischen oder algebraischen Problemen entdecken die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit einer weiteren Zahlbereichserweiterung. Sie stellen die Gleichungen von gedehnten und verschobenen Parabeln auf und bestimmen den Scheitelpunkt einer Parabel. Sie erfahren mit der quadratischen Funktion eine erste Erweiterung des Funktionsbegriffes. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen verschiedene Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen. Mit Hilfe dieser algebraischen und grafischen Fertigkeiten entwickeln sie Lösungsstrategien für einfache Anwendungsprobleme. Die Normalparabel und ihre Gleichung Die Quadratwurzel Rechnen mit Quadratwurzeln Reelle Zahlen Iterationsverfahren für 2 Formfaktor p:y = ax 2

10 10 Mathematik Verschiebung in y- und in x-richtung p:y = ax 2+u p:y a (x v) Scheitelform der Parabelgleichung p:y = a (x v) 2+u 2 Die quadratische Funktion 2 f mit f(x) ax bx c; x R Quadratische Gleichungen zeichnerische Lösung Gleichungstypen rechnerische Lösung Anzahl der Lösungen Schnitt von Parabel und Gerade Einfache Modellierungen Umformungen zwischen Hauptform und Scheitelform Wahl der geeigneten Lösungsmethode Achsenschnittpunkte einer Parabel ax² +c = 0, ax² + bx = 0, ax² + bx +c = 0 Anwendung der Lösungsformel, Satz von Vieta Diskriminante Tangente Extremwertbestimmungen: Kosten, Gewinn, Beispiele aus der Geometrie, Flächen und Volumina Wurfbewegungen, Brücken Einsatz von elektronischen Hilfsmitteln zur Visualisierung Bruchgleichungen Z. B. der Form 6x +7 = x x 2 Quadratische Ungleichungen Quadratische Gleichung mit anschließender grafischer Interpretation 7 Flächeninhalte, Satz des Pythagoras 15 Die Schülerinnen und Schüler erkennen den Satz des Pythagoras als einen der elementarsten Sätze der Geometrie mit vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung geometrischer Probleme. Sie formulieren diesen Satz als Aussage über Flächeninhalte und Streckenlängen verbal und in Gleichungsform. Sie beherrschen ihn als algebraisches Hilfsmittel zur Lösung vieler geometrischer Probleme und wenden ihn bei Konstruktionen und Berechnungen an. Flächeninhalt und Umfang von Parallelogramm, Dreieck und Trapez Satz des Pythagoras Berechnungen in Figuren und Körpern Auch Kehrsatz Anwendungsaufgaben Zwölfknotenschnur, zusammengesetzte Figuren und Körper

11 Mathematik 11 8 Daten und Zufall 20 Die Schülerinnen und Schüler sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen, stellen sie grafisch dar und werten sie aus. Sie beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen und verstehen Wahrscheinlichkeitsaussagen und den Begriff der Wahrscheinlichkeit. Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten. Daten und ihre Aufbereitung Urlisten absolute und relative Häufigkeit Häufigkeitstabellen Diagramme Lagemaße Wahrscheinlichkeiten Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsbestimmungen bei einstufigen Zufallsexperimenten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Baumdiagramme Pfad- und Summenregel Daten aus dem Umfeld der Schülerinnen und Schülern, aus Zeitungen, Veröffentlichungen, Internet Darstellung auch mit Tabellenkalkulationsprogrammen Mittelwert, Median Zufallserscheinungen, Wahrscheinlichkeitsaussagen im Alltag Auswertung von Zufallsexperimenten z. B. auch mit Tabellenkalkulationsprogrammen Würfeln, Karten I. a. zweistufig Z. B. Augensumme bei zwei Würfeln

12 12 Mathematik

13 Mathematik 13 Klasse 10 Zeitrichtwert Handlungsorientierte Themenbearbeitung (HOT) 20 Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten Themen handlungsorientiert. Z.B. Projekt, eigenverantwortliches Arbeiten, aktives Modellieren Die Themenauswahl hat aus den nachfolgenden Lehrplaneinheiten unter Beachtung Fächer verbindender Aspekte zu erfolgen. 9 Potenzfunktionen 25 Die Schülerinnen und Schüler erfahren die bekannten linearen und quadratischen Funktionen und die antiproportionale Funktion als Elemente der Potenzfunktionen. Sie entdecken die globalen Eigenschaften der Schaubilder dieser Funktionen. Sie beherrschen die Potenzgesetze und erkennen die Erweiterung auf negative und rationale Exponenten als logische Konsequenz. Die Schülerinnen und Schüler begreifen, dass das Rechnen mit Zehnerpotenzen vor allem im Makro- und Mikrozahlbereich äußerst vorteilhaft ist. Rückblick auf bekannte Potenzfunktionen lineare Funktion quadratische Funktion Antiproportionale Zuordnung Die Funktion f mit f(x) 1 ; x R x und ihr Schaubild Die Funktion f mit f(x) x z; z Z; x R bzw. x R und ihr Schaubild Potenzgesetze Rechnen mit Potenzen * * Spezialfall: Proportionalfunktion Z. B. Arbeitszeit, Höhe eines Gewinns bei n Gewinnern Hyperbel Gemeinsame Eigenschaften Potenzen mit ganzzahligen und rationalen Exponenten Erweiterung des Wurzelbegriffs m n n m * a a, n, m Z und a R Rechnen mit Zahlen in normierter Form 23 1 (SCI-Format), z. B. NA 6, mol Präfixe bei Maßeinheiten, z. B. GB, MHz, μg, nm

14 14 Mathematik 10 Kreisberechnung 15 Die Schülerinnen und Schüler entdecken die Kreiszahl und führen ein Näherungsverfahren zur Berechnung des Kreisumfangs oder der Kreisfläche durch. Sie wenden die Formeln zur Kreisberechung und für Berechnungen bei zusammengesetzten Figuren an. Kreiszahl Kreisumfang und Kreisinhalt Bestimmung durch ein Näherungsverfahren Z. B. Exhaustionsverfahren von Archimedes Bogenlänge und Flächeninhalt von Kreisausschnitten Anwendungsaufgaben Zusammengesetzte Figuren 11 Darstellung und Berechnung von Körpern 15 Die Schülerinnen und Schüler stellen Körper z. B. als Netz, Schrägbild oder Modell dar. Sie berechnen Volumen und Oberfläche von elementaren Körpern und verstehen die verwendeten Formeln. Darstellung von Körpern Rauminhalte und Oberflächeninhalte von Prisma, Pyramide, Kreiszylinder, Kegel und Kugel Auch unter Einsatz geeigneter Geometriesoftware Satz von Cavalieri Zusammengesetzte Körper 12 Trigonometrie 25 Die Schülerinnen und Schüler berechnen Winkel und Streckenlängen auch in Anwendungsbezügen mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen. Sie konstruieren die Schaubilder dieser Funktionen aus ihrer Darstellung im Einheitskreis. Definition von Sinus, Cosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck Berechnungen von Streckenlängen und Winkelgrößen am rechtwinkligen Dreieck Anwendungsaufgaben Steigung und Steigungswinkel einer Geraden Steigung einer Straße, Landvermessung, schiefe Ebene, Längen und Winkel in Körpern

15 Mathematik 15 Sinus und Cosinus im Einheitskreis Die Funktionen sin und cos Eigenschaften Schaubilder Einfache Beziehungen: 2 2 sin cos 1 0 cos sin(90 ) tan sin cos Periode, Amplitude Applets zu Pendelbewegungen o. ä. 13 Exponentialfunktionen 20 Die Schülerinnen und Schüler entdecken die Exponentialfunktionen als Funktionen, mit denen bestimmte Wachstums- und Zerfallsvorgänge beschrieben werden können. Sie verstehen die charakteristischen Eigenschaften dieser Funktionen und sind in der Lage, ihre Schaubilder zu skizzieren. Sie begreifen den Logarithmus als Umkehroperation und lösen damit einfache Exponentialgleichungen. Exponentielles Wachstum x * Die Funktion f mit f (x) a ; x R; a R \ 1 und ihr Schaubild Der Logarithmus Vergleich mit linearem Wachstum Zinseszins, Kettenbriefe Auch Beispiele wie f(x) 3 2x 4 Als Umkehrung zum Potenzieren Berechnung von * log b für a R \ 1 a In einfachen Fällen im Kopf, z. B. log28 sonst mit Rechner Exponentialgleichungen Z. B. 3 2x 4 20 Anwendungen bei Wachstums- und Zerfallsvorgängen Radioaktiver Zerfall, Halbwertszeit, Bevölkerungsentwicklung

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