Jetzt mit elearning besser lernen. Experimentalphysik 2. Felder und Wellen. Martin Erdmann Günter Flügge Markus Risse

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1 Jetzt mit elearning besser lernen Experimentalphysik 2 Felder und Wellen Martin Erdmann Günter Flügge Markus isse

2 Inhaltsverzeichnis 5.6 Dipolmoment Lorentzkraft Magnetisierung Zeitlich veränderliche Felder Verschiebungsstrom Induktion Stromkreise mit Wechselspannung Magnetische Feldenergie Felder bewegter Ladungen Kräfte in Bezugssystemen Lorentztransformation der Felder Elektrisches Feld einer Punktladung Gemeinsam verstehen 163 Teil II Elektromagnetische Wellen Elektromagnetische Schwingungen Schwingkreis Gedämpfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Gekoppelte Schwingungen Dipolstrahlung Elektrodynamische Potentiale Offener Schwingkreis Magnetfeld der Dipolstrahlung Elektrisches Feld der Dipolstrahlung Abstrahlungscharakteristik im Fernfeld Elektromagnetische Wellen im Vakuum Wellengleichungen Polarisation Energietransport Stehende Wellen Wellenleiter Elektromagnetische Wellen in Materie Brechungsindex Wellengleichung in Materie eflexion und Transmission Lichtausbreitung in nicht-isotropen Medien Gemeinsam verstehen 325 4

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4 9 Elektromagnetische Schwingungeng Elektromagnetische Schwingungen 9.1 Schwingkreis Gedämpfte Schwingungen Schwingfall Fälle ohne Schwingung Erzwungene Schwingungen Gekoppelte Schwingungen Ü B E B L I C K 9

5 9 Elektromagnetische Schwingungen»Schwingungen und Wellen spielen in der Physik eine zentrale olle. In diesem «Kapitel werden zunächst die Kenntnisse aus dem Studium der mechanischen Schwingungen auf elektromagnetische Systeme übertragen. 170

6 9.1 Schwingkreis 9.1 Schwingkreis Im elektrischen Schwingkreis wird ein Kondensator über eine Spule periodisch aufgeladen und entladen. Dabei wird die im Schwingkreis gespeicherte Energie W zwischen Kondensator und Spule hin- und hergeschoben ( Abbildung 9.1). L C Abbildung 9.1 Allgemeiner elektrischer Schwingkreis mit Induktivität L, Kapazität C und Widerstand Die zu einem Zeitpunkt t im Kondensator anliegende Spannung U (2.60) und dementsprechend gespeicherte Energie W el = CU 2 /2 (2.116) beträgt unter Berücksichtigung von Q = CU (2.108) W el (t) = 1 2 Q(t) 2 C, (9.1) wobei Q(t) die im Kondensator gespeicherte Ladung und C seine Kapazität (2.110) bezeichnet. Die Energie W m = LI 2 /2 (6.105) in der Spule mit Induktivität L (6.42) hängt quadratisch vom Strom I(t) = dq/dt (4.1) ab, der durch die Spule fließt: W m(t) = 1 2 L [I(t)]2 = 1 [ ] 2 dq(t) 2 L (9.2) dt Der Wechsel der Schwingungsenergie zwischen Kondensator und Spule kann anhand eines mechanischen harmonischen Oszillator verdeutlicht werden. In Abbildung 9.2 sei anfangs der Kondensator mit der vollen Ladung aufgeladen und habe die gesamte Energie des Schwingkreises in seinem elektrischen Feld gespeichert. Dieser Zustand entspricht dem vollständig ausgelenkten Federpendel mit maximaler potentieller Energie (erstes Bild). Der Kondensator entlädt sich über die Spule, in der dadurch ein Magnetfeld erzeugt wird (zweites Bild). Bei vollständig entladenem Kondensator wird das Magnetfeld maximal, und die gesamte Energie ist vom Kondensator in die Spule verschoben worden. Im mechanischen Analogon entspricht das maximaler kinetischer Energie. Das jetzt abnehmende Magnetfeld erzeugt durch Induktion seinerseits einen Strom, der nach der Lenzschen egel so gerichtet ist, dass er den Kondensator in entgegengesetzter Polung auflädt. Die Energie wird wieder vollständig von der Spule auf den Kondensator übertragen (drittes Bild), und der Vorgang wiederholt sich mit umgekehrter Stromrichtung. 171

7 9 Elektromagnetische Schwingungen Abbildung 9.2 Energieverteilung im elektrischen Schwingkreis und mechanisches Analogon einer Federschwingung. Von oben nach unten: Maximale elektrische (analog potentielle) Energie wechselt mit maximaler magnetischer (analog kinetischer) Energie ab. 9.2 Gedämpfte Schwingungen eale Schwingkreise besitzen einen Ohmschen Widerstand, sodass die elektromagnetische Schwingung gedämpft wird ( Abbildung 9.3). L C Abbildung 9.3 Gedämpfter elektrischer Schwingkreis Nach dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz (»Maschenregel«) (4.55) addieren sich die Spannungen aller Teilstücke einer Masche zu null: 3 U i = U L +U C +U = 0 (9.3) i=1 Alle Teilspannungen lassen sich durch Ströme oder Ladungen ausdrücken: Die auf dem Kondensator mit der Kapazität C gespeicherten Ladungen Q erzeugen die Spannung U C, sodass U C = Q/C (2.108) gilt. Der Spannungsabfall über den Widerstand entspricht nach dem Ohm schen Gesetz U = I (4.34). Die induzierte Spannung an den Enden der Spule mit der Induktivität L lässt sich nach dem Induktionsgesetz durch die zeitliche 172

8 9.2 Gedämpfte Schwingungen Änderung des Stroms I ausdrücken: U L = L di/dt (6.47). Wir setzen diese Terme in die Maschenregel ein: L di dt + Q +I = 0 (9.4) C Ersetzen des Stroms I in (9.4) durch die zeitliche Änderung der Ladung I = dq/dt liefert eine Differentialgleichung 2. Ordnung für die Ladung. Wichtiger ist aber die einfacher zugängliche Messgröße des Stroms I. Daher differenzieren wir (9.4) nach der Zeit t und erhalten direkt eine Differentialgleichung 2. Ordnung für den Strom I: L d2 I dt + 1 di I + 2 C dt = 0 (9.5) Als Lösungsansatz für das zeitliche Verhalten des Stroms im Schwingkreis verwenden wir den für Schwingungen vielversprechenden Ansatz I(t) = I e λt+ϕ. (9.6) Dabei bezeichnen I die Stromamplitude und ϕ die Phasenverschiebung des Stroms zum Zeitpunkt t = 0. Der Parameter λ soll bestimmt werden. Obwohl die Differentialgleichung (9.5) für physikalische, also reelle Zahlen aufgestellt wurde, wird sie hier mit einem komplexen Ansatz mit λ C gelöst. Das ist zunächst ein mathematischer»trick«, mit dem man das Problem ins Komplexe erweitert, um die Lösung zu vereinfachen. Auch wenn sich dabei komplexe Lösungen für I(t) C ergeben, so wird natürlich nur der ealteil eine physikalische Bedeutung haben. Wir setzen diesen Ansatz in (9.5) ein und lösen die Gleichung für λ: [ Lλ 2 I e λt+ϕ] + 1 [ I e λt+ϕ] [ +λ I e λt+ϕ] = 0 C Lλ 2 +λ+ 1 C = 0 λ 2 + L λ+ 1 LC = 0 (9.7) Durch quadratische Ergänzung ergeben sich zwei Lösungen für λ: ( ) ( λ 1,2 = ± 2L }{{} 2L γ ) 2 1 LC } {{ } ω 2 Um diese Lösungen genauer zu untersuchen, definieren wir die Größen (9.8) γ 2L, (9.9) ω 1, LC (9.10) ω 2 1 ( ) 2 LC, (9.11) 2L = ω 2 γ 2 (9.12) und erhalten die beiden Lösungen für den Strom I(t) in (9.6) in der kurzen Schreibweise: λ 1,2 = γ ± ω 2 (9.13) 173

9 9 Elektromagnetische Schwingungen Schwingfall Wir betrachten zunächst den Fall kleiner Widerstände ( Abbildung 9.4), sodass die Bedingung1/ LC > /(2L) erfüllt ist. Dann ist in (9.11)ω 2 > 0, und fürλ(9.13) ergeben sich die beiden komplexen Zahlen λ 1,2 = γ ±iω. (9.14) Die physikalische Lösung für das zeitliche Verhalten des Stroms im Schwingkreis ergibt sich durch Einsetzen in den Ansatz (9.6) und Bildung des ealteils: ( γ I(t) = e (I ±iω)t+ϕ) e = I e γ t cos(ωt + ϕ) (9.15) In dieser Form lässt sich die Bedeutung der Parameter gut erkennen: I ist der Anfangsstrom für den Fall ϕ = 0, γ beschreibt die exponentielle Dämpfung der Schwingung über den Term e γt, ω ist die Frequenz der Schwingung, ϕ ist die Phasenverschiebung. Abbildung 9.4 Zeitlicher Verlauf einer gedämpften elektrischen Schwingung. Die Spannung eilt dem Strom voraus. Der zeitliche Verlauf der Spannung U C(t) am Kondensator ist gegenüber dem Strom I(t) um 90 phasenverschoben (U = Q/C, du/dt = I/C). Solche Verschiebungen kennen wir bereits aus Abschnitt 6.3 über Stromkreise mit Wechselspannung ( Abbildung 6.14 und Gleichung (6.69)). Die Schwingfrequenz eines ungedämpften Schwingkreises ist (9.10) wie wir durch Einsetzen von = 0 in (9.11) sehen können. ω = 1 LC, (9.16) Für einen gedämpften Schwingkreis mit > 0 ist die Schwingfrequenz ω gegenüber der des ungedämpften Schwingkreises zu kleineren Werten hin verschoben (9.12): ω = ω 2 γ 2 (9.17) 174

10 9.3 Erzwungene Schwingungen Fälle ohne Schwingung Falls der Widerstand so groß ist, dass die Bedingung /(2L) > 1/ LC erfüllt ist, wird nach (9.11) ω 2 0. Dann sind beide Lösungen λ 1,2 = γ ± ω 2 (9.13) reelle Zahlen. Durch Einsetzen von (9.12) in (9.6) erhalten wir das zeitliche Verhalten des Stroms: I(t) = I e ( γ± γ 2 ω 2 )t+ϕ (9.18) Es kommt nicht zur Schwingung. Die verbleibenden Lösungsmöglichkeiten zeigen beide einen exponentiell verschwindenden StromI, daγ > γ 2 ω 2 ist. Dieses Stromverhalten nennt man Kriechfall. Unter der Bedingung /(2L) = 1/ LC in (9.11) oder auch γ = ω (9.12) ist die Schwingfrequenz ω 2 = 0. Widerstand, Kapazität C und Induktivität L stehen dabei durch = 2 L/C in Beziehung. In diesem Fall gibt es nur eine reelle Lösung λ = γ (9.13). Dieses Stromverhalten I = I e /2L (9.19) heißt aperiodischer Grenzfall. Er entspricht der geringsten Dämpfung mit der das System sich ohne ichtungswechsel am schnellsten dem uhezustand nähert. Er spielt in der Messtechnik eine wichtige olle. 9.3 Erzwungene Schwingungen Wir wollen eine gedämpfte Schwingung durch eine Generatorspannung anregen und aufrechterhalten. Dazu fügen wir dem bisherigen Schwingkreis eine Wechselspannung hinzu ( Abbildung 9.5): U = U e iωt (9.20) U ~ L C Abbildung 9.5 Schaltkreis zu einer erzwungenen gedämpften Schwingung Wir verwenden wieder die Maschenregel (9.3) und beachten dabei das negative Vorzeichen der Generatorspannung: U = U L +U C +U (9.21) Die Verluste der gedämpften Schwingung werden durch den Widerstand verursacht. Sie können z. B. durch Wärmeabgabe an die Umgebung passieren oder durch einen Verbraucher, der durch symbolisiert ist. 175

11 9 Elektromagnetische Schwingungen Diese Schaltung wirkt als Frequenzfilter (Abschnitt 6.3.6), weil am Verbraucher je nach Frequenz ω der Wechselspannung U eine unterschiedliche Leistung P abgenommen wird. Die Impedanz Z der drei Bauelemente des Frequenzfilters (6.85) beträgt Z = 2 + ( ωl 1 ) 2. (9.22) ωc Die Frequenzabhängigkeit der Verlustleistung P (4.87) im Widerstand beträgt damit und mit U = Z I (6.72) P(ω) = U I = I 2 = U2 Z 2 = 2 + ( ) ωl 1 2 U 2 cos 2 (ωt). (9.23) ωc Die über die Zeit gemittelte Leistung ist wegen 2π 0 cos 2 (x)dx = 0,5 P(ω) = 2 + ( U 2 ) ωl (9.24) ωc Die größtmögliche mittlere Leistung wird unter der Bedingung ω L = 1/(ω C) aufgenommen, d. h. bei der Frequenz des ungedämpften Schwingkreises ω = 1/ LC (9.16): P max(ω ) = U2 2 (9.25) Für sehr große und sehr kleine Frequenzen geht die mittlere Leistung P gegen null. Insgesamt ergibt sich eine esonanzkurve, deren Halbwertsbreite Γ wir folgendermaßen bestimmen: An den Stellen ( = ± ωl 1 ) (9.26) ωc sinkt P max auf P max/2. Die zugehörigen Frequenzen berechnen wir durch Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung: ( ω = ± ω 2 L 1 ) C (9.27) ω 2 ± L ω 1 LC = 0 ω 1,2 = ± ( + }{{} 2L 2L =γ ) LC }{{} =ω 2 } {{ } ω m (9.28) 176

12 9.3 Erzwungene Schwingungen Dabei haben wir als physikalische Lösungen nur positive Frequenzwerte zugelassen. Die Verschiebung des Mittelwerts ω m der beiden Lösungen ω 1 und ω 2 gegenüber der esonanzfrequenz zeigt, dass die esonanzkurve asymmetrisch und zu höheren Frequenzen hin verschoben ist ( Abbildung 9.6). Die Halbwertsbreite beträgt Γ = ω 1 ω 2 = 2γ. γ = 2L Γ = 2γ = L ω 2 = 1 LC ω m = ω 2 +γ 2 (9.29) (9.30) (9.31) (9.32) _ P max _ P max 2 Γ ω o ω Abbildung 9.6 esonanzkurve mit Dämpfung Aufgabe 16: Lorentz-Verteilung Zeigen Sie, dass sich die esonanzkurve P(ω) = 2 + ( U 2 ) ωl ωc auch als Verteilung der folgenden Form schreiben lässt (9.24) P(ω) ω 2 (ω 2 ω 2 ) 2 +Γ 2 ω 2. (9.33) Im Bereich schmaler esonanzen ω ω und Γ ω wird daraus eine Lorentz- Verteilung der Form P(ω) 1 (ω ω) 2 +Γ 2 /4. (9.34) 177

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