Web Algorithmen. Ranking. Dr. Michael Brinkmeier. Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik. Wintersemester 2008/09
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1 Web Algorithmen Ranking Dr. Michael Brinkmeier Technische Universität Ilmenau Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2008/09 M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 1 / 29
2 Ranking: HITS M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 2 / 29
3 Der Name HITS ist ein anderes linkbasiertes Ranking-Verfahren [Kleinberg 99]. Hypertext Induced Topic Search Wie Topic andeutet, ist es als lokales (themenweises) Ranking konzipiert. Aber es kann als globales Ranking auf einem Teilgraphen verstanden werden. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 3 / 29
4 Autoritäten und Hubs Jeder Knoten kann zwei Rollen erfüllen: Er kann eine Autorität sein, d.h. Informationen enthalten. Er kann ein Hub sein und auf andere Seiten verweisen. (Hub = (Rad-)Nabe, Mittelpunkt, Zentrum) Jeder Knoten kann beide Rollen gleichzeitig ausfüllen. Ziel ist es, zu bewerten, wie stark/gut er welche Rolle spielt. Dazu werden jedem Knoten v zwei Werte zugeordnet: die Autorität a(v) und der Hub-Score h(v). M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 4 / 29
5 Autoritäten und Hubs Beide Werte beeinflussen sich gegenseitig: Ein Hub ist so gut, wie die Autoritäten auf die er zeigt. h(v) = a(u) u v u Eine Autorität ist so gut, wie die Hubs die auf sie zeigen. a(v) = h(u) u u v Man beachte die beiden unterschiedlichen Richtungen! Frage: Wie können die Werte berechnet werden? M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 5 / 29
6 Autoritäten und Hubs u n w m. v. u 1 w 1 a(v) = n h(u i ) h(v) = i=1 m a(w i ) i=1 M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 6 / 29
7 Die Berechnung Diesmal benutzen wir die Adjazenzmatrix A. { 1 falls u v A = (a uv ) u,v V mit a uv = 0 sonst D.h. in der Zeile für u steht in Spalte v genau dann eine 1, wenn eine Kante von u nach v existiert. Es ergibt sich h(v) = u a(v) = u a vu a(u) a uv h(u) und mittels der Adjazenzmatrix A h = Aa und a = A T h. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 7 / 29
8 Die Berechnung Kombination der beiden Gleichungen führt zu: h = AA T h und a = A T Aa Damit stellt sich HITS, wie auch PageRank, als Eigenvektor-Problem dar: a ist ein Eigenvektor von A T A zum Eigenwert 1. h ist ein Eigenvektor von AA T zum Eigenwert 1. Frage: Existieren die Vektoren und wie können sie berechnet werden? M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 8 / 29
9 Die Autoritätsmatrix A T A Die Einträge b uv von A T A ergeben sich als: b uv = w a wu a wv. Dabei gilt a wu a wv = { 1 falls a wu = 1 = a wv 0 sonst w u v Damit ist b uv die Anzahl der Knoten w, die sowohl auf u, als auch auf v verlinken. b vv = in(v). M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 9 / 29
10 Die Hubmatrix AA T Die Einträge c uv von AA T ergeben sich als: c uv = w a uw a vw. Dabei gilt a uw a vw = { 1 falls a uw = 1 = a vw 0 sonst u v w Damit ist c uv die Anzahl der Knoten w, die sowohl von u, als auch von v verlinkt werden. c vv = out(v). M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 10 / 29
11 Existenz der Lösung Frage Existieren Lösungen? Beobachtung A T A und AA T sind beide symmetrisch, d.h. b uv = b vu und c uv = c vu. Damit gibt es V Eigenwerte λ 1,...,λ V mit λ 1 λ 2 λ V. (Resultat der linearen Algebra) Problem Der Eigenwert 1 ist nicht grantiert! Aber: Kleinberg s ursprünglicher Ansatz ist etwas anders. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 11 / 29
12 Kleinberg s Algorithmus Kleinberg verwendete von Anfang an einen iterativen Ansatz. Statt die Gleichungen zu lösen, verwendete er eine Iteration um ein Gleichgewicht für alle Werte zu finden. Eingabe: Ein Graph G = (V,E) und k N Ausgabe: Die Autoritäts- und Hubvektoren a und h a,h := (1,...,1) für 1,...,k tue a := A T h h := Aa a := a a 1 h := h h 1 Ende Diese Normierung mit x 1 := i x i macht den Unterschied aus. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 12 / 29
13 Konvergenz der Iteration Satz (Potenzmethode) Sei A eine diagonalisierbare n n-matrix mit den Eigenwerten λ 1 = λ 2 = = λ r > λ r+1 λ n und den zugehörigen Eigenvektoren v 1,...,v n. Ferner sei x (0) ein Vektor aus R n, so dass <x (0),v i > 0 für ein 1 i r und x (i+1) = Ax(i) Ax (i) 1, dann existiert ein c 0, so dass: ) lim i x(i) = c (<x (0),v 1 > v <x (0),v r > v r M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 13 / 29
14 Konvergenz der Iteration Defacto wird die folgende Iteration durchgeführt: und somit a (i+1) = a (i+1) = Beweis: Übungsaufgabe a (0) = h (0) = (1,...,1) AT h (i) A T h (i) 1 h (i+1) = Aa(i+1) Aa (i+1) 1 AT Aa (i) A T Aa (i) h (i+1) = AAT h (i) 1 AA T h (i) 1 Damit konvergieren h und a gegen einen Eigenvektor des betragsmäßig größten Eigenwertes von A T A bzw. AA T (sofern (1,..., 1) nicht senkrecht auf dem zugehörigen Eigenraum steht). M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 14 / 29
15 Konvergenz der Iteration Problem Die Lösung ist nicht eindeutig, wenn der grösste Eigenwert mehrfach auftritt. Dann gibt es einen ganzen Vektorraum von gleichwertigen Rankings. Aber: Scheint in der Praxis kein Problem zu sein. Beobachtung Die Iteration konvergiert in der Praxis relativ schnell. Das liegt an dem Verhältnis zwischen größtem und zweitgrößtem Eigenwert. Die Iteration konvergiert um so schneller, je kleiner ist. λ r+1 λ 1 M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 15 / 29
16 HITS als lokales Ranking Kleinberg schlug HITS als lokales Ranking vor. Eingabe: Eine Suchanfrage Q und eine Zahl d N Ausgabe: Eine Menge R von Seiten und ein Ranking r auf R R := Ergebnis der textbasierten Anfrage Q; für alle v Q tue Füge d verschiedene Vorgänger von v zu R hinzu; Füge d verschiedene Nachfolger von v zu R hinzu; Ende r := HITS(R); M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 16 / 29
17 Stärken und Schwächen von HITS Stärken Die Seiten können zwei verschiedene Rollen wahrnehmen. Dadurch wird eine differenziertere Betrachtung erlaubt. Lokales Ranking Anfrage-spezifisch Einflüsse anderer Themen werden (im Idealfall) ausgeschlossen Schwächen Ranking muss bei jeder Anfrage neu berechnet werden. Tightly Knit Community Effekt Konsequenz: Einfaches Spamming Hub Ranking kann durch ausgehende Links leicht beeinflusst werden. Dadurch wird auch der Autoritätswert der verlinkten Seiten gesteigert. Konsequenz: Topic Drift M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 17 / 29
18 Der Tightly Knit Community Effekt HITS bevorzugt dicht vernetzte Gruppen von Seiten. Lempel und Moran (2001): HITS hat eine Tendenz dazu, kleine vollständige bipartite Graphen hoch zu bewerten. Experimente bestätigen diese Tendenz für Gruppen von Seiten im Web, die nicht bipartit sind. Konsequenz: Spamming Die eigene Website muss einen vollständigen bipartiten Graphen darstellen. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 18 / 29
19 Topic Drift Die Ergebnisse einer Anfrage driften in eine themenfremde, dichtere Community ab. Beispiele: jaguar +car driftet zu car ab (Bharat & Henzinger, 1998) Java driftet zu EarthWeb ab (Lempel & Moran, 2000) movies driftet zu go.msn.com ab (L&M) abortion bevorzugte die pro-life Community (L&M) genetics bevorzugte Genetic Algorithms (L&M) M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 19 / 29
20 Variationen Bharat & Henzinger, 1998 Normalisiere die verteilten Werte, d.h. h(v) = 4u v u a(u) in(u) a(v) = 4u u v h(u) out(u). Dies läuft auf die Verwendung von normalisierten Adjazenzmatrizen hinaus und reduziert den Tightly Knit Community Effekt. Schränke die Menge der zusätzlichen Seiten ein. Bestimme die 100 häufigsten Stichworte des ursprünglichen Ergebnisses. Bewerte die Häufigkeit dieser Stichworte in den benachbarten Seiten. Füge nur Seiten mit hoher Übereinstimmung hinzu. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 20 / 29
21 SALSA Ranking: SALSA M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 21 / 29
22 SALSA SALSA Stochastic Approach for Link Structure Analysis Lempel & Moran (2000): Kombination von PageRank und HITS Idee Führe zwei Zufallsmärsche auf dem Web aus, benutze aber nicht direkt die Links, sondern die Kozitate. Damit besteht ein einzelner Schritt des Zufallssurfers aus zwei Teilschritten: v Autoritätenmarsch: w Wähle einen Vorgänger w aus. u Wähle einen Nachfolger u von w aus. v Hubmarsch: w Wähle einen Nachfolger w aus. u Wähle einen Vorgänger u von w aus. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 22 / 29
23 SALSA SALSA Damit ergeben sich die folgenden Übergangswahrscheinlichkeiten: P A (v,u) = w v w u 1 1 in(v) out(w) und P H (v,u) = w v w u 1 1 out(v) in(w). Man sieht leicht: P A (u,v) 0 P A (v,u) 0 P H (u,v) 0 P H (v,u) 0 v ist also genau dann von u aus erreichbar, wenn auch umgekehrt u von v aus erreicht werden kann. Damit ergeben sich für beide Zufallsmärsche disjunkte Komponenten von gegenseitig erreichbaren Knoten. M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 23 / 29
24 Ergänzungen Ranking: Ergänzungen M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 24 / 29
25 Ergänzungen Probabilistisches Ranking Idee Die Relevanz einer Seite ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, dass Sie verlinkt wird. Global betrachtet, kann jeder Link als ein Experiment betrachtet werden. Damit gilt: r(v) = P( v) = in(v) E. Damit sind wir wieder bei Eingangsgraden. Verbesserung Aber: Nicht jede Seite kommt als Ziel eines Links in Betracht. Idee: Versuche das Ranking themenweise durchzuführen. Cohn & Chang (2000): Gleichzeitige Unterteilung in vorgegebene Themen M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 25 / 29
26 Ergänzungen Probabilistisches Ranking Prinzipielle Vorgehensweise: Ausgangspunkt: Statistisches Modell für das WWW. Relevanz von v = P( v), d.h. WS, dass v verlinkt wird. Eventuell themenbasiertes Ranking möglich, d.h. P( v t) = WS, dass v wegen Thema t verlinkt wird. Eventuell auch andere Beschränkungen möglich (Bekanntheit, textbasiertes Ranking etc.) Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten mittels geeigneter Verfahren Maximum-Likelihood-Methode, d.h. wähle die WS so, dass die beobachtete Instanz (das WWW) mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit eintritt. Schätze einige Parameter des Modells mit Hilfe von Messungen und berechne daraus die Wahrscheinlichkeiten M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 26 / 29
27 Ergänzungen Textbasiertes Ranking Inhaltliches Ranking: Versehe jeden Begriff mit einer Relevanz Messe die Relevanz einer Seite mittels der häufigkeit der Begriffe und ihrer Gewichte Kritisch: Wahl der Gewichte der einzelnen Begriffe Problem: Relevanz von Begriffen wird sehr individuell empfunden Anfrage-bezogenes Ranking: Bewerte eine Seite des Ergebnisses bezogen auf die Begriffe in der Suchanfrage Häufigkeit und Position der Begriffe auf der Seite Globale Häufigkeit der Begriffe M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 27 / 29
28 Ergänzungen Inhalt und linkbasiertes Ranking Inhaltliche Informationen können in linkbasierte Rankings einfliessen: PageRank Wähle Personalisierungsvektor mittels textbasiertem Ranking Wähle die Übergangswahrscheinlichkeiten nicht gleichmäßig, sondern mittels Textbasierter Relevanz Textähnlichkeit Verwende nicht (nur) die echten Links, sondern künstliche Links, basierend auf der Ähnlichkeit der Inhalte HITS und andere Verfahren wie oben M.Brinkmeier (TU Ilmenau) Web Algorithmen Wintersemester 2008/09 28 / 29
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