Information für Lehrer/innen. Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe. Bildungsstandards für höchste Qualität an Österreichs Schulen

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1 Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe überarbeitete Neuauflage 2011 Information für Lehrer/innen Bildungsstandards für höchste Qualität an Österreichs Schulen

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3 Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe

4 Impressum Herausgeber: Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens Stella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B / 2. OG / 1020 Wien in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1) Minoritenplatz 5 / 1014 Wien Praxishandbuch für Mathematik 4. Schulstufe. 2., durchgesehene und erweiterte Auflage BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2011 ISBN Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg & Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services Layout & Satz: Sandra Hechenberger, BIFIE I Zentrales Management & Services Redaktion & Lektorat: Alexander Ruprecht, Stefan Terler & Brigitte Zöchlinger Druck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L. Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.h. Nfg. & Co.KG Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen (Abt. I/1) Der Text zu den Bildungsstandards (Kompetenzbereiche usw.) sowie die Aufgabenbeispiele können von österreichischen Schulen sowie von den Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Lehrer/innenaus-, Lehrer/innenfort- und Lehrer/innenweiterbildung in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Website des BIFIE ( heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden. Mitglieder der Arbeitsgruppe M 4 in der Pilotphase I und II VD Dipl.-Päd. Edith Brunner VD Dipl.-Päd. Ursula Cermak Dipl.-Päd. Mag. Maria Fast VD Dipl.-Päd. Gudrun Laimer, Bakk. phil. VD OSR Dipl.-Päd. Rudolf Langer BSI RR Franz Nösterer Dipl.-Päd. Mag. Franz Platzgummer BSI Dipl.-Päd. Elisabeth Repolusk VD Dipl.-Päd. Mag. Andrea Riess Koordination Dr. Wilhelm Wolf Dr. Brigitta Scheiber Dipl.-Päd. Claudia Koch Aktualisierung Dipl.-Päd. Susanne Scherf VD Dipl.-Päd. Brigitte Zöchlinger, MSc

5 Inhalt 3 Vorwort 4 Vorbemerkungen 5 Zur Implementierung der Bildungsstandards 6 Bildungsstandards Mathematik 6 Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes Mathematik zur Bildung 7 Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes Mathematik 17 Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe 20 Aufgabenbeispiele 20 Vorbemerkungen 21 Erläuterungen zur Struktur der Aufgabenbeispiele 22 Aufgabenbeispiel 1 - Runden 26 Aufgabenbeispiel 2 - Flächeninhalt 33 Aufgabenbeispiel 3 - Überschlag 38 Aufgabenbeispiel 4 - Gewichte I 42 Aufgabenbeispiel 5 - Gewichte II 46 Aufgabenbeispiel 6 - Rätsel 52 Aufgabenbeispiel 7 - Zahlen darstellen 57 Aufgabenbeispiel 8 - Zahlbeziehungen 61 Aufgabenbeispiel 9 - Symmetrische Figuren 66 Aufgabenbeispiel 10 - Kopfrechnen 73 Aufgabenbeispiel 11 - Längenmaße 79 Aufgabenbeispiel 12 - Zeitmaße 83 Aufgabenbeispiel 13 - Bruchzahlen 90 Aufgabenbeispiel 14 - Würfel 98 Aufgabenbeispiel 15 - Umfang 108 Aufgabenbeispiel 16 - Schriftliches Rechnen 118 Aufgabenbeispiel 17 - Tabellen und Diagramme 126 Aufgabenbeispiel 18 - Relationen 132 Aufgabenbeispiel 19 - Vorteilhaftes Rechnen 140 Aufgabenbeispiel 20 - Sachaufgaben 151 Diagnoseinstrumente zur Informellen Kompetenzmessung (IKM) 154 Anhang 154 Glossar 163 Rechtliche Grundlagen 171 Literaturempfehlungen 171 Abkürzungen

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7 Vorwort Die Qualität an unseren Schulen zu sichern und kontinuierlich weiterzuentwickeln, ist ein wichtiges Anliegen. Die Bildungsstandards als Konkretisierungen des Lehrplans sollen dazu beitragen, dieses Ziel zu erreichen, indem Schülerinnen und Schüler jene Kompetenzen erwerben können, die sie als Grundlage für ihren weiteren Lernprozess benötigen. Die Schaffung und Sicherung der entsprechenden Rahmenbedingungen für den Unterricht sind dafür eine wesentliche Voraussetzung. Die Aufgabensammlungen zu den Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik auf der vierten Schulstufe wurden von engagierten Lehrerinnen und Lehrern in der Pilotphase in ganz Österreich erprobt und auf deren Tauglichkeit für den Schulalltag überprüft. Die Rückmeldungen aus der Schulpraxis wurden von den Expertinnen und Experten, die die Bildungsstandards erstellt haben, in die nunmehr vorliegende Version eingearbeitet. Die Aufgabenbeispiele dienen zur Veranschaulichung und praktischen Umsetzung der Bildungsstandards für Deutsch und Mathematik. Sie bieten damit Lehrerinnen und Lehrern ein Werkzeug zur Sicherung der Unterrichtsqualität und eröffnen den Schülerinnen und Schülern erfolgreiche Lernwege. Dr. Claudia Schmied Bundesministerin für Unterricht, Kunst und Kultur

8 4 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Vorbemerkungen Die Entwicklung der Bildungsstandards erfolgte vor dem Hintergrund der besonderen pädagogischen Aufgaben der Grundschule mit dem Ziel, sowohl den individuellen Bildungsansprüchen der Kinder gerecht zu werden als auch tragfähige Grundlagen für das weitere Lernen zu schaffen. Diese doppelte Aufgabe wird durch Bandbreiten der Zielerreichung bewältigt. Gleichzeitig wird großer Wert darauf gelegt, dass auch die dafür nötigen Rahmenbedingungen des Unterrichts genau beschrieben werden, um den Schülerinnen und Schülern faire Chancen zu geben, diese Leistungen auch tatsächlich erbringen zu können. Es bedarf keiner besonderen Erwähnung, dass der Lehrplan die Grundlage für die Bildungsstandards darstellt und die Bedeutung der Lehrpläne für die Planung und Gestaltung des Unterrichts durch die Bildungsstandards nicht verringert wird. Die vorliegenden Bildungsstandards dienen der Orientierung und sollen darauf Antwort geben, in welchem Ausmaß Kompetenzen bereits vorliegen bzw. in welchen Bereichen noch Handlungsbedarf besteht. Unter Hinweis auf die derzeitige Rechtslage ist ausdrücklich zu betonen, dass Bildungsstandards nicht zur Leistungsbeurteilung herangezogen werden dürfen. Sie finden in diesem Praxishandbuch einleitende Hinweise, die Kompetenzbereiche und die Bildungsstandards zu Mathematik. Die jeweils angeführten Aufgabenbeispiele veranschaulichen exemplarisch einzelne Bildungsstandards, stellen jedoch keine Testitems dar. Die Aufgabenbeispiele zeigen, in welchem Zusammenhang bzw. in welchen unterrichtlichen Situationen die Kinder die entsprechenden Aufgaben erfüllen sollen. Sie erheben jedoch keineswegs den Anspruch, den gesamten Bereich des Unterrichtsgegenstandes Mathematik abzubilden. Dieses Praxishandbuch soll dazu beitragen, die Unterrichtsarbeit während der gesamten Grundschulzeit zu unterstützen, die Qualität des Unterrichts zu sichern und es soll dazu anleiten, die Kompetenzen der Kinder aufzubauen, zu erweitern und nachhaltig zu sichern. Willi Wolf Leiter der Abteilung für Volksschulen und Minderheitenschulen, BMUKK

9 Mathematik 5 Zur Implementierung der Bildungsstandards Die gesetzliche Verankerung der Bildungsstandards im 17 des Schulunterrichtsgesetzes und die Verordnung zu den Bildungsstandards legen Ergebnisorientierung, nachhaltigen Kompetenzaufbau und gezielte individuelle Förderung als verpflichtende Unterrichtsprinzipien fest. Das Wiener Zentrum des Bundesinstituts für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens (BIFIE) hat den gesetzlichen Auftrag, die Implementierung der Bildungsstandards zu unterstützen. Dies geschieht in vielfältiger Weise durch Entwickeln von Konzepten und Strategien zur Umsetzung, durch Publikationen von Materialien etc. Das vorliegende Praxishandbuch zu den Bildungsstandards auf der 4. Schulstufe stellt eine solche Unterstützungsmaßnahme für die Lehrer/innen dar und soll sie auf dem Weg zu einem kompetenzorientierten Unterricht hilfreich begleiten. LSI Mag. Gabriele Friedl-Lucyshyn Leiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

10 6 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Der Beitrag des Unterrichtsgegenstandes Mathematik zur Bildung Die Grundschule ist der pädagogische Ort für die Grundlegung der Bildung, um wichtige Voraussetzungen für die Teilhabe am kulturellen und gesellschaftlichen Leben zu entwickeln. Mit Blick auf ihre Gegenwart sollen die Kinder in der Grundschule lernen, ihre Umwelt besser zu verstehen und in ihr handlungsfähig zu werden. Im Hinblick auf ihre Zukunft wiederum gilt es, jene Kompetenzen aufzubauen, die als Grundlage für anschließende bzw. spätere Lernprozesse dienen. Um diesen Ansprüchen gerecht zu werden, trägt der Unterrichtsgegenstand Mathematik Folgendes zur Bildung der Schüler/innen bei: Mathematik als Mittel zum Erfassen und Beschreiben der Umwelt Mit Hilfe der Mathematik erschließen Schüler/innen ihre wahrgenommene Welt unter der strukturierten Sichtweise von Zahl, Maß und geometrischer Form. Vergleichen, Zählen, Rechnen, Messen und Zeichnen sind einige der grundlegenden Tätigkeiten, die in allen Kulturen entwickelt werden. Sie sind das Rüstzeug für eine vertiefende Auseinandersetzung mit den Phänomenen unserer Umwelt. Für den Unterricht bedeutet das, Gelegenheiten zu schaffen, in unterschiedlichsten Situationen die Notwendigkeit dieser Tätigkeiten zu erleben, die Freude am Finden von geeigneten Ergebnissen zu ermöglichen und den Aspekt der Nützlichkeit erleben zu lassen. Sinnvolle Verknüpfungen zu anderen Gegenständen, wie z. B. zum Sachunterricht oder zum Technischen Werken, sind dabei naheliegend und werden für den Mathematikunterricht genützt. Mathematik als Mittel zum Aufbau regelhafter Strukturen Mathematisches Handeln basiert auf dem Erkunden von Zusammenhängen, auf dem Entwickeln und Untersuchen von Strukturen sowie auf dem Streben nach Abstraktion und Verallgemeinerung. Schüler/innen lernen die Zeichen der Mathematik als eigene Sprache und als ein Regelsystem kennen. Sie erfahren in der Auseinandersetzung mit Zahlen, Rechenoperationen und geometrischen Figuren die Notwendigkeit von tragfähigen Begriffen und Regeln. Neben dem Erwerb von Grundvorstellungen mathematischer Inhalte ist auch das Automatisieren von Grundaufgaben und Algorithmen ein notwendiger Aspekt des Mathematikunterrichts der Grundschule. Für den Unterricht bedeutet das, dass Schüler/innen durch vielfältige Tätigkeiten Zusammenhänge und Strukturen erkennen, Beziehungen zwischen Begriffen und Regeln aufdecken und dafür eigene Vorgehensweisen finden. Um über gesicherte Grundkenntnisse zu verfügen, bedarf es motivierender und vielfältiger Übungsformen. Mathematik als Schulung des Denkens Kritisches Denken und Analysieren von Problemen sind für die Lebensbewältigung unumgängliche Grundhaltungen. Schüler/innen entwickeln Problemlösekompetenz, indem sie mathematische Problemstellungen bearbeiten. Sie vergleichen und bewerten Aussagen, reflektieren Lösungswege, beurteilen Ergebnisse und lernen, die Folgewirkungen ihrer Entscheidungen abzuschätzen. Für den Unterricht bedeutet das, Mathematik als Tätigkeit zu betreiben, Schüler/innen als Forscher/innen in die Mathematik eindringen zu lassen sowie ihre Neugierde und Entdeckungsfreude zu erhalten und nicht fertige Mathematik zu vermitteln. Es hängt nicht nur davon ab, welche Inhalte unterrichtet werden, sondern mindestens ebenso davon, wie sie unterrichtet werden, das heißt, in welchem Maße Kindern Gelegenheit gegeben wird, selbst Probleme zu lösen, über Mathematik zu kommunizieren, eigene Lösungswege zu suchen und aus Fehlern zu lernen. Fehler und Missverständnisse, die im Laufe des Lösungsprozesses auftreten, werden zum Ausgangspunkt für noch tieferes Verständnis. Mathematische Leistung umfasst daher nicht nur das niedergeschriebene Resultat oder die mündliche Bekanntgabe des Ergebnisses, sondern auch den Prozess des Lösens. Für die Umsetzung dieses Anspruchs sind allgemeine mathematische Kompetenzen erforderlich. Diese beziehen sich eher auf Mathematik als Tätigkeit und sind daher prozessorientiert. Inhaltliche Handlungskompetenzen orientieren sich eher an den spezifischen Gegenstandsbereichen und Sachverhalten der Mathematik.

11 Mathematik 7 Kompetenzbereiche des Unterrichtsgegenstandes Mathematik Unter mathematische Kompetenzen werden in diesem Zusammenhang kognitive Fähigkeiten, kognitive Fertigkeiten und die Bereitschaft, sich mit mathematischen Inhalten auseinanderzusetzen, verstanden. Mathematische Kompetenzen beinhalten zwei Komponenten: - Allgemeine mathematische Kompetenzen - Inhaltliche mathematische Kompetenzen Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf den Prozess, inhaltliche mathematische Kompetenzen auf Inhalte. Diese beiden Komponenten sind untrennbar miteinander verknüpft, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung beide Komponenten benötigt werden. Die untenstehende Grafik bietet einen Überblick über die Kompetenzbereiche, die auf den nächsten Seiten näher erläutert werden. Kompetenzbereiche Operieren Kommunizieren Modellieren Problemlösen Allgemeine mathematische Kompetenzen Inhaltliche mathematische Kompetenzen Arbeiten mit Zahlen Arbeiten mit Ebene und Raum Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Größen

12 8 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind. AK 1 Modellieren Umfasst die Kompetenz, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertragen. Dazu ist es erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist im Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen. AK 3 Kommunizieren Umfasst die Kompetenz, mathematische Sachverhalte zu verbalisieren, zu begründen und darzustellen. AK 4 Problemlösen Umfasst die Kompetenz, besonders im innermathematischen Bereich Probleme zu erkennen und anzunehmen sowie Strategien zu (er)finden und zu nutzen, um Aufgabenstellungen zu lösen. In den folgenden Ausführungen werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen näher beschrieben und die notwendigen Rahmen- und Lernbedingungen angeführt. AK 2 Operieren Umfasst die Kompetenz, Verfahren, die für die Lösung eines mathematischen Problems zielführend sind, anzuwenden, wie z. B. fachspezifische Zeichen zu verwenden und mit Gleichungen und Termen zu arbeiten.

13 Mathematik 9 ad AK 1: Modellieren Beim Modellieren stehen Schüler/innen vor der Situation, Mathematik auf eine konkrete Aufgabenstellung der Erfahrungsumwelt anzuwenden. mit Sachproblemen zu leisten ist. Die Grafik veranschaulicht den Ablauf des zyklischen Konstruktionsprozesses, der unter Umständen mehrmals durchlaufen werden muss. Die Fähigkeit des Modellierens ist ein individueller, zyklischer Konstruktionsprozess, der von den Schülerinnen und Schülern weitgehend autonom in der Auseinandersetzung Situationsmodell Mathematisieren, Abstrahieren, Idealisieren Mathematisches Modell Individuelles Konstruieren, Abstrahieren Verarbeiten, Rechnen, Konstruieren Sachproblem Interpretieren, Validieren Lösung Das Sachproblem bezieht sich auf die reale Welt. Es kann real sein oder durch ein Bild, einen Text usw. aus der Welt des Kindes repräsentiert werden. Individuelles Konstruieren, Abstrahieren Ausgehend von einem fiktiven oder realen Sachproblem wird mit Hilfe eigener Erfahrungen bzw. entsprechender Denkstrategien das Problem erfasst. Dieses konstruiert jede Schülerin bzw. jeder Schüler für sich selbst neu, es entsteht ein Situationsmodell (individuelles Konstruieren). Dabei kann auf unwichtige Details verzichtet werden (Abstrahieren). Das Situationsmodell ist die Sichtweise des Kindes, wie es das Sachproblem auffasst. Dabei kann es auf bekannte Strukturen, wie z. B. die Struktur Preis gegebenes Geld Rückgeld, zurückgreifen oder es müssen neue gebildet werden. Mathematisieren, Abstrahieren, Idealisieren Darunter versteht man eine mathematische Interpretation des konstruierten Situationsmodells. Das Situationsmodell wird durch Weglassen von nicht strukturbildenden Merkmalen (Abstrahieren) bzw. durch Hinzufügen oder Annehmen von Merkmalen (Idealisieren) in ein mathematisches Modell übergeführt. Dabei wird mathematisch Relevantes herausgelöst (Mathematisieren), z. B. durch Messen, Zählen, Schätzen, Finden der passenden Rechenoperation, Finden von möglichen Lösungswegen usw.

14 10 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Bei eingekleideten Aufgaben ist das Modell bereits in der Aufgabenstellung vorgegeben. Bei Textaufgaben gibt es die Möglichkeit, die Aufgabe entweder durch ein den Schülerinnen und Schülern bekanntes Modell zu lösen oder eine neue Lösungsstrategie zu finden. Im mathematischen Modell wird das Sachproblem mit Hilfe mathematischer Zeichen festgehalten. Die Darstellung kann in Form einer Gleichung ( Rechensätzchen ), eines Rechenplans, einer Grafik oder durch individuelles Dokumentieren der Rechenschritte erfolgen. Die Lösung ist das Ergebnis dieser mathematischen Transformation. Interpretieren, Validieren Die aus dem Verarbeiten gewonnenen Ergebnisse werden mit der realen Situation in Zusammenhang gebracht (z. B. passende Antwort, genaue Zeichnung ) und auf ihre Plausibilität überprüft. Weiters soll ein Rückblick auf den gewählten Lösungsweg erfolgen, ob dieser zielführend war (z. B. Verbalisieren, Argumentieren des Lösungsweges ). Verarbeiten, Rechnen, Konstruieren Mittels mathematischer Verfahren (schriftliches Rechnen, Kopfrechnen, Konstruktion ) wird eine Lösung des mathematischen Modells erarbeitet. Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern altersadäquate Sachsituationen anbieten wenn möglich von echten statt von konstruierten Sachsituationen ausgehen, Zeit geben, sachbezogene Fragen zu stellen, die Möglichkeit geben, eigene Sichtweisen und Lösungswege zu entwickeln, in verschiedenen Darstellungsebenen Operationsstrukturen anbieten, um die Grundvorstellungen von Rechenoperationen zu sichern, den Vergleich der Ergebnisse mit den zuvor durchgeführten Überschlagsrechnungen als Vorteil aufzeigen, nachhaltig bewusst machen, dass sie die Ergebnisse in Bezug auf ihre Gültigkeit zur Sachsituation hin überprüfen sollen, Gelegenheiten eröffnen, ihren individuellen Lösungsweg schriftlich festzuhalten, bei Problemen passende Bearbeitungshilfen anbieten, die den Prozess des Sachrechnens unterstützen. Während des gesamten Prozessablaufes sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit. Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht.

15 Mathematik 11 ad AK 2: Operieren Um mathematische Sachverhalte zu bearbeiten, müssen die Kinder aus unterschiedlichen Verfahren das passende auswählen und korrekt durchführen können. Dies kann erfolgen durch: geometrisches Konstruieren, konkretes Tun, Anwenden algorithmischer Verfahren, Probieren, Kopfrechnen, grafisches Darstellen von Lösungen... Rahmen- und Lernbedingungen Das Durchführen unterschiedlicher Verarbeitungsmöglichkeiten soll im Unterricht ermöglicht werden (z. B.: Probieren, systematisches Vorgehen, Lösen von Gleichungen, Durchführen algorithmischer Verfahren ). Grundlegende Verfahren müssen gesichert werden. Es muss genügend Übungszeit für die Kinder eingeplant werden, damit sie die additiven und multiplikativen Grundaufgaben im mündlichen Bereich schnell und sicher beherrschen und die Durchführung der schriftlichen Rechenverfahren automatisieren. des Denkens, wie dies vielfach in Aufgabenblöcken provoziert wird, kann dazu führen, dass das mathematische Verständnis gänzlich verschüttet wird und nur noch das unverstandene Arbeiten von Routinen stattfindet. Der sachgerechte Umgang mit Zeichen- und Messgeräten muss gesichert sein. Mit Hilfe von Lineal und Geodreieck können die Kinder millimetergenau messen, parallele Geraden und rechte Winkel zeichnen. Die korrekte Handhabung von Messgeräten, wie z. B. Waagen oder Uhren, tragen zum vertiefenden Verständnis von Größen bei. Aufgaben sind so zu gruppieren, dass verschiedene Denkmuster und Lösungsstrukturen gefordert werden. Innerhalb eines Aufgabenblockes sollten mindestens zwei Denkmuster vorkommen. Das Üben unter Ausschaltung

16 12 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe ad AK 3: Kommunizieren Kommunikation und Interaktionen auch zwischen den Mitschülerinnen und Mitschülern helfen den Kindern, Wissen aufzubauen, andere Denkweisen kennen zu lernen und sich über das eigene Denken klar zu werden. Kommunizieren ist eine mathematische Grundtätigkeit, wenn Mathematik als ein System von Kommunikationssymbolen verstanden wird. Dazu gehört, eigene Gedanken und Lösungswege zu verbalisieren, zu protokollieren, Sachverhalte auf verschiedene Weise darzustellen und mit anderen zu erörtern. Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/Entscheidung sprechen. Durch Infragestellen und Überprüfen ihrer mathematischen Tätigkeiten und Aussagen werden Kinder angeregt, über ihr Vorgehen nachzudenken. Durch schlüssiges Argumentieren sollen sie ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. Darstellen ist das Übertragen mathematischer Inhalte in eine andere Form der Repräsentation. Für das Bearbeiten mathematischer Aufgabenstellungen sollen geeignete Repräsentationsformen erstellt, ausgewählt und genutzt werden. Darstellen bedeutet auch das verständige Umgehen mit bereits vorgegebenen Repräsentationen. Darstellen hat die Funktion, den Sachverhalt anderen mitzuteilen oder so festzuhalten, dass man sich später an ihn erinnert. Neben den grafischen Darstellungen (Diagramme, Abbildungen, Fotos, Skizzen, statistische Schaubilder ) sind weitere Darstellungsmöglichkeiten, wie z. B. Tabellen, Listen, sprachliche Darstellungen bzw. Handlungen und Gesten, von Bedeutung.

17 Mathematik 13 Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern sind Unterrichtsformen anzubieten, die Fragen aufwerfen, Gespräche begünstigen und Erklärungen verlangen. Nur ein Mathematikunterricht, der Fragen aufkommen lässt und die Schüler/innen zum Fragen und Vermuten anregt, bevor Antworten gegeben werden, trägt zu echtem Verständnis von Mathematik bei. Es macht keinen Sinn, den Lernenden Antworten auf Fragen zu geben, die sie sich nie gestellt haben. Im Unterricht ist sowohl auf standardsprachliches Sprechen als auch auf die korrekte Verwendung der Fachbegriffe zu achten. Das Erlernen und Anwenden der Fachsprache der Mathematik erfordert entsprechende Unterrichtssituationen. In diesen wird Alltagssprache mit mathematischer Sprache und Symbolik in Verbindung gesetzt. Das sachgerechte Formulieren eines mathematischen Zusammenhanges mit eigenen Worten trägt zum vertiefenden Verständnis des Unterrichtsgegenstandes bei. Das Verwenden von geeigneten Veranschaulichungsmitteln, die ein Kommunizieren über mathematische Strukturen ermöglichen, ist notwendig. Da Kindern oft die passenden Worte fehlen, um ihre Denkweise auszudrücken, müssen geeignete Veranschaulichungsmittel zur Verfügung stehen. Für Kinder ist es erleichternd und hilfreich, anfangs für häufig verwendete Strategien und Lösungswege individuell vereinbarte Zeichen und Namen zu verwenden. Diese sollen im Laufe der Zeit in eine Fachsprache übergeführt werden. Legen, Beschreiben (verbal/schriftlich) und Zeichnen von Mustern und Beziehungen unterstützen das Analysieren von mathematischen Situationen. Sowohl in der Arithmetik als auch in der Geometrie können Kinder viele Aufgaben selbst erfinden oder durch Vorlegen, Beschreiben oder Aufzeichnen einander Aufgaben stellen. Auch Schreiben und Protokollieren sind Kommunikationsformen, die im Mathematikunterricht der Grundschule regelmäßig von den Kindern durchgeführt werden müssen. Eigene Lösungsversuche mündlich oder schriftlich festzuhalten heißt, sich reflektierend mit der gestellten Problematik auseinanderzusetzen (Metaebene). Weiters ermöglichen schriftliche Dokumentationen einen zeitunabhängigen Einblick in die Denkwege und damit die Möglichkeit, sich mit Aspekten auseinanderzusetzen, die ohne schriftliche Fixierung vielleicht verloren gegangen wären. Die Kinder sollen erkennen, dass Präsentieren, Diskutieren, Lesen, Schreiben und Zuhören in der Mathematik ein notwendiger Teil des Lernens und Nutzens der Mathematik sind. Durch entsprechende Techniken wie etwa Strategieplakate (als Ergebnis von Strategiekonferenzen), Notationen der Lernwege oder Rechentagebücher können Denkweisen für Kinder und Lehrer/innen sichtbar gemacht werden. Fehler sind Bestandteile des Lernprozesses und bieten Anlässe zur Reflexion der eigenen Denkstrategien. Fehler sind unumgängliche Begleiterscheinungen des Lernens und können darüber hinaus vielfach positiv genutzt werden. Vorerst gilt es eine Atmosphäre zu schaffen, in der Schüler/innen offen, ehrlich und produktiv mit den eigenen Fehlern umgehen lernen. Sie brauchen einen Schonraum, in dem sie angstfrei Lösungsstrategien ausprobieren und auch Fehler machen dürfen. Dabei ist es wichtig, Situationen zu schaffen und zu nutzen, in denen der Verlauf des Lernens transparent wird. Nur so können die Kinder erkennen, dass Einsicht in Vorgänge zu haben wichtiger ist als das Streben, Fehler zu vermeiden. Das kann geschehen durch eine Diskussion im Klassenverband oder in Gruppen, in der die günstigen und weniger günstigen Lösungswege thematisiert werden. Aber auch ein klärendes Gespräch zwischen Lehrenden und Lernenden sollte im Sinne des Schonraumes stattfinden. Beim Vergleich von Lösungsstrategien entstehen Situationen, bei denen Kinder die eigenen und die Denkstrategien anderer durchschauen und auch neue zielführende Lösungswege finden. Außerdem unterstützt das Nachdenken, Reden und Reflektieren über den Lösungsweg und die eventuell entstandenen Fehler Schüler/innen beim tieferen Durchdringen des mathematischen Sachverhalts.

18 14 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe ad AK 4: Problemlösen Ein Problem ist keine objektive Gegebenheit, sondern entsteht, wenn jemand ein Ziel kennt und nicht weiß, wie er dieses Ziel erreichen soll. Konkret hängt es vom Wissensstand eines Kindes ab, ob es die Aufgabe nach einem bekannten Schema abarbeiten kann oder ob es notwendig ist, einen für das Kind neuen Lösungsweg zu finden. Der Bereich AK 4 Problemlösen 1 deckt Probleme im innermathematischen Bereich ab. Darunter werden Inhalte aus der Arithmetik und Geometrie ohne direkten Realitätsbezug verstanden. Hingegen sind im Bereich AK 1 Modellieren 2, in dem ebenfalls problemhaltige Situationen auftreten, immer Realitätsbezüge gegeben. Problemlösungsaktivitäten bestehen aus Tätigkeiten wie Vermuten, Probieren, systematisches Durchforsten, Erkennen von Zusammenhängen oder Anlegen von Tabellen, um sich schrittweise einer Lösung zu nähern. Um Antworten auf die gestellten Fragen zu bekommen, ist es für das einzelne Kind notwendig, den Weg zu einer Lösung aktiv zu finden. Die Lösungswege und gefundenen Lösungen sind kritisch zu hinterfragen und gegebenenfalls zu ändern. Nicht immer muss die Problemstellung von der Lehrperson kommen. Kinder sind dazu auch selbst in der Lage. Dabei setzen sie sich mit der Problemsituation genauer auseinander und bewerten, ob eine Frage interessant und verfolgenswert erscheint. Es ist für die Kinder reizvoller, ein selbst gestelltes Problem und nicht ein vorgegebenes zu lösen. selbstkritischen Umgang mit den eigenen Ergebnissen und Verarbeiten sachgerechter Kritik anderer. Ein problemorientiertes Herangehen erfordert von den Schülerinnen und Schülern einen kritischen Umgang mit den Lösungswegen und Ergebnissen. Fehler zu machen, sie zu finden und über sie zu reflektieren sind als notwendige Teile des Problemlösungsprozesses und als Chance für das Lernen zu sehen. Obwohl zeitintensiv, liegt der Vorzug problemorientierten Lernens darin, dass das neu Gelernte mit dem vorhandenen Wissen verknüpft wird, um nachhaltig Strukturen aufzubauen. Damit wird nicht nur dem Vergessen vorgebeugt, sondern es wird ermöglicht, dieses Wissen zukünftig abrufen und anwenden zu können. Setzen sich die Schüler/innen ohne anfängliche Hilfe von außen mit dem Problem auseinander, erzieht diese Vorgehensweise zur Selbstständigkeit und bedingt nahezu automatisch unterschiedliche Lösungswege in Bezug auf Qualität und Quantität. Wichtig: Der Wert des Prozesses des Problemlösens soll genauso geschätzt werden wie die Lösung selbst. Eine wesentliche Bedingung für das Lösen von mathematischen Problemen ist das Vertrauen in die eigene Leistungsfähigkeit. Dies wird benötigt beim Durchhalten und Bewältigen von schwierigen Aufgabensituationen, Suchen alternativer Lösungswege, 1 Problemlösen (AK 4): Arbeit in innermathematischen Situationen (keine Realitätsbezüge) 2 Modellieren (AK 1): Arbeit in außermathematischen Kontexten (Realitätsbezüge)

19 Mathematik 15 Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern wird eine problemhaltige Situation angeboten. Der Sachverhalt wird begleitet durch die Lehrerin/den Lehrer ausreichend geklärt. Schriftlich fixierte Informationen und unterschiedliche Materialien können das Verständnis des Sachverhalts unterstützen. Diese Klärung kann im Plenum, in der Kleingruppe oder in Einzelarbeit erfolgen. Die Kinder erkennen ein Problem. Das Problem kann genau definiert oder offen sein. Ist das Problem offen, sollen Kinder selbst zu eigenen Fragestellungen kommen. Die Kinder lassen sich auf einen Lösungsprozess ein. Nach der prinzipiellen Klärung der geforderten Problemstellung bzw. des Themenbereichs muss viel Zeit zum Explorieren und zum kreativen Bearbeiten gegeben werden, auch wenn sich vielleicht aus Sicht der Lehrerin/des Lehrers Irroder Umwege ergeben. Bei der Beschäftigung mit solchen Fragen entwickeln Kinder individuelle Lösungsansätze, die (innerhalb der Gruppe) diskutiert werden können. Jedes Kind notiert seinen bevorzugten Lösungsweg. Die Lehrerin/ der Lehrer bietet von sich aus keine Lösungsstrategien an. Sie/er lässt alle Problemlösungsansätze zu. Die Kinder stellen ihre Arbeitsergebnisse vor. Ein Unterrichtsgespräch im Klassenverband ergibt sich erst nach der eigenständigen Arbeit. Dieses Gespräch lenkt zwar meist die Lehrperson, die Schüler/innen sind aber inzwischen kompetente Partner/innen bezüglich des gestellten Problems geworden und können den Erklärungen und Diskussionsbeiträgen mit größerem Verständnis folgen. Die Lösungswege und Ergebnisse werden in der Gruppe reflektiert und vervollständigt, wobei besonders die Problemlösungskompetenzen und die unterschiedlichen Wege des Denkens der einzelnen Kinder deutlich gemacht werden sollten (Strategiekonferenz/Strategieplakat).

20 16 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK) Inhaltliche mathematische Kompetenzen beschreiben die Gegenstandsbereiche der Mathematik, wie sie im Lehrplan verankert sind. IK 1 Arbeiten mit Zahlen Umfasst die Kompetenz, Darstellungen von Zahlen und Beziehungen zwischen den Zahlen zu erkennen, anzuwenden und zu verbalisieren. IK 2 Arbeiten mit Operationen Umfasst die Kompetenz, Operationen und ihre Zusammenhänge zu verstehen und mündliches und schriftliches Rechnen sicher zu beherrschen. IK 3 Arbeiten mit Größen Umfasst die Kompetenz, brauchbare Vorstellungen von Größen zu besitzen, geeignete Maßeinheiten zum Messen zu verwenden und mit Größen zu rechnen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum Umfasst die Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermögen zu nutzen, geometrische Figuren zu erkennen, mit den geometrischen Figuren zu operieren, Beziehungen zwischen den Figuren herzustellen und diese zu vermessen. Verknüpfung der allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kompetenzen Alle vier allgemeinen mathematischen Kompetenzen können mit allen vier inhaltlichen mathematischen Kompetenzen verknüpft werden, so dass insgesamt sechzehn Knoten entstehen. In jeder Aufgabe ist ein Potenzial mit allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen enthalten. Die folgende Grafik zeigt den Knoten AK 3 / IK 2, der die Bereiche AK 3 Kommunizieren mit IK 2 Arbeiten mit Operationen verknüpft. IK 1 IK 2 AK 1 AK 2 AK 3 AK 4 IK 3 IK 4 Allgemeine Kompetenzen Inhaltliche Kompetenzen IK 1: Arbeiten mit Zahlen IK 2: Arbeiten mit Operationen IK 3: Arbeiten mit Größen IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum AK 1: Modellieren AK 2: Operieren AK 3: Kommunizieren AK 4: Problemlösen

21 Mathematik 17 Bildungsstandards für Mathematik 4. Schulstufe Allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) Kompetenzbereich: Modellieren (AK 1) 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, passende Lösungswege finden, die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. 1.2 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler können zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen. Kompetenzbereich: Operieren (AK 2) 2.1 Mathematische Abläufe durchführen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren, arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, geometrische Konstruktionen durchführen. 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Tabellen und Grafiken erstellen, Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. Kompetenzbereich: Kommunizieren (AK 3) 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Begriffe und Zeichen sachgerecht in Wort und Schrift benützen, ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren, Lösungswege vergleichen und ihre Aussagen und Handlungsweisen begründen. 3.2 Mathematische Sachverhalte in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können ihre Vorgangsweisen in geeigneten Repräsentationsformen festhalten, Zeichnungen und Diagramme erstellen. Kompetenzbereich: Problemlösen (AK 4) 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellen Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler können ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden, zielführende Denkstrategien wie systematisches Probieren oder Nutzen von Analogien einsetzen. Inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK) Kompetenzbereich: Arbeiten mit Zahlen (IK 1) 1.1 Zahldarstellungen und -beziehungen verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen im Zahlenraum lesen und darstellen, sich im Zahlenraum orientieren, Zahlen vergleichen und diese in Relation setzen, arithmetische Muster erkennen, beschreiben und fortsetzen. 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden, Anzahlen schätzen.

22 18 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe 1.3 Das Wesen der Bruchzahl verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Bruchzahlen darstellen, Bruchzahlen vergleichen, ordnen und zerlegen, Bruchzahlen im Zusammenhang mit Größen benützen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Operationen (IK 2) 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler verfügen über Einsicht in das Wesen von Rechenoperationen, können die Zusammenhänge zwischen den Grundrechnungsarten erklären, können Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses, können Tausch-, Nachbar- und Analogieaufgaben verwenden. 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beherrschen sicher und schnell additive Grundaufgaben im Zahlenraum 20, beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, können nichtautomatisierte Rechenoperationen in Teilschritten durchführen, können einfache Gleichungen mit Platzhaltern lösen, können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. 2.3 Schriftliche Rechenverfahren beherrschen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Algorithmen der schriftlichen Rechenverfahren, können die Algorithmen der schriftlichen Verfahren für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen, können die Lösung mit Hilfe einer Probe überprüfen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Größen (IK 3) 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen, können geeignete Repräsentanten zu Maßeinheiten angeben, können Größen in unterschiedlichen Schreibweisen darstellen. 3.2 Größen messen und schätzen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beherrschen den Grundvorgang des Messens, können mit geeigneten Maßeinheiten messen, können Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. 3.3 Mit Größen operieren Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Größen miteinander vergleichen, mit Größen rechnen. Kompetenzbereich: Arbeiten mit Ebene und Raum (IK 4) 4.1 Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Körper und Flächen benennen, die Eigenschaften geometrischer Figuren beschreiben, Modelle von geometrischen Körpern herstellen, geometrische Figuren zeichnen oder konstruieren. 4.2 Beziehungen bei geometrischen Figuren erkennen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können Lagebeziehungen zwischen Objekten im Raum und in der Ebene beschreiben und nutzen, vorgegebene geometrische Muster erkennen, selbst entwickeln oder fortsetzen, den Zusammenhang zwischen Plan und Wirklichkeit herstellen.

23 Mathematik Mit geometrischen Figuren operieren Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Figuren zerlegen und sie wieder zusammensetzen, Netze den entsprechenden Körpern zuordnen und umgekehrt. 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können den Umfang einer geometrischen Figur mittels Einheitslängen messen, den Umfang von Rechteck und Quadrat berechnen, den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen, den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

24 20 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiele Vorbemerkungen Die nachfolgenden Aufgabenbeispiele konkretisieren die Bildungsstandards und machen deutlich, welche Kompetenzen erforderlich sind, um sie zu erfüllen. Die Beispiele wurden von vielen Pilotschullehrerinnen und -lehrern in der Entwicklungsphase erprobt. Die Praktiker/innen brachten auch für die vorliegende Fassung wertvolle Anregungen und Verbesserungsvorschläge ein. Die Aufgabenbeispiele decken exemplarisch einzelne Bildungsstandards ab. Sie verdeutlichen diese im Hinblick auf ihre Inhalte und stellen einen Orientierungsrahmen bezüglich Angemessenheit und Komplexität dar. Sie erheben nicht den Anspruch, den gesamten Lehrstoff der Mathematik der Grundschule zu erfassen. Sie sind als Denkanstöße für die Planung und Gestaltung des Unterrichts zu verstehen. Je nach Fähigkeiten, Fertigkeiten und Wissensstand des Kindes ist es erforderlich, individuelle Unterstützung anzubieten. Es gibt Aufgaben bzw. Teilaufgaben, die sich durch Reproduzieren im Rahmen gelernter und geübter Verfahren lösen lassen. Das Lösen dieser Aufgaben erfordert Grundwissen und das Ausführen von Routinetätigkeiten. Der Lösungsweg besteht in der Regel aus einem Schritt. Manche Aufgaben verlangen das Erkennen und Herstellen von Zusammenhängen, den selbstständigen kreativen Umgang mit erworbenen mathematischen Kompetenzen bzw. oft auch komplexe Tätigkeiten, wie Strukturieren oder Entwickeln von Strategien. Der Lösungsweg umfasst in der Regel mehrere Schritte. Darüber hinaus kann es bei einzelnen Beispielen mehrere Lösungen bzw. Lösungsmöglichkeiten geben. Alle Lösungswege, die zu einem richtigen Ergebnis führen und mathematisch begründbar sind, sind zu akzeptieren (außer es ist explizit die Anwendung einer bestimmten Methode für den Lösungsweg gefordert). Die vorliegenden Aufgaben sind keine Testitems, wie sie in den regelmäßig stattfindenden Überprüfungen der Bildungsstandards eingesetzt werden. Bei jedem Aufgabenbeispiel zeigt im Vorspann ein Raster, auf welche Bildungsstandards sich die jeweilige Aufgabe bezieht.

25 Mathematik 21 Erläuterungen zur Struktur der Aufgabenbeispiele Im ersten Block werden der Titel bzw. Themenbereich, die Kompetenzbereiche, die Anzahl der Aufgaben und in den folgenden Blöcken die einzelnen Aufgaben mit den Kompetenzen beschrieben. Titel/Thema Kompetenzbereiche Anzahl der Aufgaben 6 Runden Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6 AK 2 Operieren IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 3 Arbeiten mit Größen AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter,... Zehntausender runden. Erklärung Der Titel bzw. das Thema charakterisiert einen Bereich der Grundschulmathematik. Zu diesem Themenbereich werden mögliche Beispiele angeboten. Hier werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzbereiche (AK) und die inhaltlichen mathematischen Kompetenzbereiche (IK) dem Themenbereich zugeordnet. Hier wird angegeben, wie viele Aufgaben zu diesem Themenbereich angeführt sind. Hier werden die jeweiligen Nummern der einzelnen Aufgaben angeführt. Den hier angeführten Aufgaben werden die zutreffenden allgemeinen und inhaltlichen mathematischen Kompetenzen zugeordnet. Aufgabe Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6 Siehe oben. Hier werden Hinweise auf Hilfsmittel, die zur Bearbeitung der Aufgabe erforderlich sind (Zeichengeräte, Materialien zur Veranschaulichung...), gegeben. Hier werden Hinweise zum Schwierigkeitsgrad der Aufgaben bzw. zu den Komplexitätsstufen (niedriger, höher) gegeben.

26 22 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 Runden Aufgabenbeispiel 1 Titel/Thema Kompetenzbereiche Anzahl der Aufgaben 6 Runden Aufgaben 1, 2, 3, 5, 6 Aufgabe 4 AK 2 Operieren IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 3 Arbeiten mit Größen AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.1 Größenvorstellungen besitzen und Einheiten kennen Die Schüler/innen - kennen genormte Maßeinheiten und können diese den Größenbereichen zuordnen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5, 6

27 Aufgabenbeispiel 1 Runden Mathematik Aufgabe: Runde die Zahl 344 auf Zehner. Kreuze das richtige Ergebnis an Aufgabe: Runde auf Hunderter Aufgabe: Helmut hat eine Zahl auf Hunderter gerundet. Seine gerundete Zahl heißt nun: Welche der folgenden Zahlen könnte er gerundet haben? Kreise die möglichen Zahlen ein

28 24 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 1 Runden 4. Aufgabe Berti hat hier seine Geldtasche ausgeleert. a) Wie viel Geld hatte Berti in der Geldtasche? b) Runde den Betrag auf ganze Euro. 5. Aufgabe: Jutta rundet auf Tausender: a) Schreib 5 Zahlen auf, die Jutta auf runden kann. b) Schreib die größte Zahl, die Jutta auf runden kann, auf. c) Schreib die kleinste Zahl, die Jutta auf runden kann, auf. 6. Aufgabe: Erfinde eine Zahl, in der sechzigtausend vorkommt, und runde sie. Schreib beide Zahlen auf. erfundene Zahl gerundete Zahl

29 Lösungen Aufgabenbeispiel 1 Runden Mathematik 25 Lösungen: 1. Aufgabe: Aufgabe: Aufgabe: 7 469, Aufgabe: a) genauer Betrag: 3 98 c b) gerundeter Betrag: 4 5. Aufgabe: a) viele Möglichkeiten von bis b) c) Aufgabe: viele Möglichkeiten, z. B.: erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl erfundene Zahl gerundete Zahl Die Zahl kann sowohl in der erfundenen Zahl als auch in der gerundeten Zahl aufscheinen.

30 26 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Aufgabenbeispiel 2 Titel/Thema Kompetenzbereiche Anzahl der Aufgaben 5 Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Flächeninhalt AK 1 Modellieren AK 2 Operieren AK 3 Kommunizieren AK 4 Problemlösen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum AK 3 Kommunizieren AK 3.1 Mathematische Sachverhalte verbalisieren und begründen - ihre Vorgangsweisen beschreiben und protokollieren. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen. AK 1 Modellieren AK 1.1 Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen - aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. AK 2 Operieren AK 2.2 Mit Tabellen und Grafiken arbeiten - Informationen aus Tabellen und Grafiken entnehmen. AK 4 Problemlösen AK 4.1 Mathematisch relevante Fragen stellen - ein innermathematisches Problem erkennen und dazu relevante Fragen stellen. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen - mit geeigneten Maßeinheiten messen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen.

31 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik 27 Aufgabe 4 Aufgabe 5 AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - Zahlen, Größen und geometrische Figuren strukturieren. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.2 Größen messen und schätzen - Größen schätzen und ihre Vorgangsweise begründen. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt einer geometrischen Figur mittels Einheitsflächen messen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen, - geometrische Konstruktionen durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.1 Die vier Grundrechnungsarten und ihre Zusammenhänge verstehen - Umkehroperationen verwenden, auch zur sinnvollen Überprüfung des Ergebnisses. IK 4 Arbeiten mit Ebene und Raum IK 4.4 Umfang und Flächeninhalt ermitteln - den Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat berechnen. Hilfsmittel Anmerkungen Geodreieck Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3 - höher: Aufgaben 4, 5

32 28 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt 1. Aufgabe: Welches Klassenzimmer hat den größeren Flächeninhalt? 2a-Klasse 3a-Klasse Ergebnis: Schreib auf, wie du zu deinem Ergebnis gekommen bist.

33 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik Aufgabe: Hier ist die Skizze des Wohnzimmers von Familie Huber abgebildet. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Wohnzimmers? 4 m 6 m 3. Aufgabe: Berechne den Flächeninhalt dieses Quadrats. Miss ganz genau. Der Flächeninhalt dieses Quadrats beträgt.

34 30 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt 4. Aufgabe: Welche dieser Figuren haben einen Flächeninhalt von ungefähr 10 cm²? A B C D E F G H Kreuze richtig an. Figur A B C D E F G H ungefähr 10 cm²

35 Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Mathematik Aufgabe: Annas Rechteck hat einen Flächeninhalt von 96 cm². Eine Seite hat sie schon gezeichnet. Zeichne das Rechteck fertig.

36 32 Praxishandbuch Bildungsstandards 4. Schulstufe Lösungen Aufgabenbeispiel 2 Flächeninhalt Lösungen: 1. Aufgabe: Die 3a-Klasse hat den größeren Flächeninhalt. Da nur eine ungefähre Zahl für den Größenvergleich notwendig ist, sind die folgenden Zahlen nur Richtwerte. 2a-Klasse: 76 FE 3a-Klasse: 83 FE FE Flächeneinheiten 2. Aufgabe: 6 m² 4 = 24 m² Das Zimmer hat einen Flächeninhalt von 24 m². 3. Aufgabe: Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von mm² = 12 cm² 25 mm². (±1 mm Seitenlänge Toleranz mm² bzw mm²) 4. Aufgabe: Figur A B C D E F G H ungefähr 10 cm² X X X 5. Aufgabe: Die Länge des Rechtecks beträgt 12 cm. Flächeninhalt gleich 1. Streifen mal Anzahl der Streifen 96 cm² : 12 cm² = 8 Es gibt insgesamt 8 Streifen. Die Breite beträgt daher 8 cm. Beim Zeichnen der zweiten Seite ±1 mm Toleranz, beim rechten Winkel ± 1 Toleranz. Empfehlenswert ist es, zur Kontrolle eine Schablone (Folie) zu verwenden.

37 Aufgabenbeispiel 3 Überschlag Mathematik 33 Aufgabenbeispiel 3 Titel/Thema Kompetenzbereiche Anzahl der Aufgaben 5 Aufgaben 1, 2 Aufgaben 3, 4 Aufgabe 5 Überschlag AK 2 Operieren AK 4 Problemlösen IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 3 Arbeiten mit Größen AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 1 Arbeiten mit Zahlen IK 1.2 Zahlen runden und Anzahlen schätzen - Zahlen auf volle Zehner, Hunderter, Zehntausender runden. IK 3 Arbeiten mit Größen IK 3.3 Mit Größen operieren - mit Größen rechnen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen - Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. AK 2 Operieren AK 2.1 Mathematische Abläufe durchführen - arithmetische Operationen und Verfahren durchführen. AK 4 Problemlösen AK 4.2 Lösungsstrategien (er)finden und nutzen - geeignete Lösungsaktivitäten wie Vermuten, Probieren, Anlegen von Tabellen oder Erstellen von Skizzen anwenden. IK 2 Arbeiten mit Operationen IK 2.2 Mündliches Rechnen sicher beherrschen Die Schüler/innen - beherrschen sicher und schnell multiplikative Grundaufgaben im Zahlenraum 100, - können Ergebnisschätzungen mit Hilfe von Überschlagsrechnungen durchführen. Hilfsmittel Anmerkungen keine Komplexitätsstufen - niedriger: Aufgaben 1, 2, 3, 4 - höher: Aufgabe 5