Kompensationsprüfung zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik Stand: 1. März 2016

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1 Kompensationsprüfung zur standardisierten schriftlichen Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik Stand: 1. März Grundlagen Informationen zu den rechtlichen Grundlagen finden Sie im Dokument Mündliche Kompensationsprüfung Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter Allgemeines Die mündliche Kompensationsprüfung in Angewandter Mathematik bietet die Möglichkeit, die negative Beurteilung der schriftlichen Klausur im Rahmen desselben Termins zu kompensieren und damit einen Laufbahnverlust zu vermeiden. Bei der Kompensationsprüfung sind, wie bei der schriftlichen Überprüfung, Grundkompetenzen und clusterspezifische Kompetenzen nachzuweisen. Das Prüfungsgespräch muss sich inhaltlich ausschließlich an der vorgegebenen Aufgabenstellung orientieren. 2 Konzeption der Kompensationsprüfung Die Aufgabenstellung besteht aus 3 Teilaufgaben. Eine Teilaufgabe setzt sich aus einem schriftlich vorgelegten Teil und einer verpflichtenden verbalen Fragestellung zusammen. Der den Kandidatinnen und Kandidaten schriftlich vorgelegte Teil ( Angabe für Kandidatinnen/Kandidaten ) bildet die wesentlichen Bereiche der Prüfung ab (vgl. LBVO). Die verpflichtenden verbalen Fragestellungen, die während des Prüfungsgesprächs von der Prüferin/vom Prüfer zusätzlich gestellt werden müssen, finden sich (neben der Lösungserwartung) in der Angabe für Prüfer/innen. Diese dienen einerseits dazu, Defizite auszugleichen, andererseits dazu, den Kandidatinnen und Kandidaten eine zusätzliche Gelegenheit zu geben, über die wesentlichen Bereiche hinausgehende Kompetenzen unter Beweis zu stellen.

2 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik Charakterisierung der Aufgaben Die mathematische Inhaltsdimension mit allen Ausprägungen ist in der Kompensationsprüfung möglichst breit gestreut (bezogen auf die Kompetenzkataloge für die standardisierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung in Angewandter Mathematik, die auf der Website des BIFIE unter aufrufbar sind). Die Handlungsdimension mit allen Ausprägungen wird ebenfalls möglichst breit abgebildet. Die Teilaufgaben jeder Aufgabenstellung sind streng unabhängig voneinander. Die Aufgabenstellung entspricht stets den inhaltlichen Anforderungen des jeweiligen Clusters und deckt mit ihren Teilaufgaben sowohl die Grundkompetenzen als auch die clusterspezifischen Kompetenzen ab (vgl. Prüfungsordnung BHS, Bildungsanstalten 19 i. V. m. 13 (2)). 2.2 Hilfsmittel Die Verwendung von durch die Schulbuchaktion approbierten Formelheften und von elektronischen Hilfsmitteln (z. B. grafikfähige Taschenrechner oder andere entsprechende Technologie) ist erlaubt, sofern keine Kommunikationsmöglichkeit (z. B. via Internet, Intranet, Bluetooth, Mobilfunknetzwerke etc.) gegeben ist und keine Eigendaten in die elektronischen Hilfsmittel implementiert sind. Handbücher zu den elektronischen Hilfsmitteln sind in der Original-Druckversion oder in im elektronischen Hilfsmittel integrierter Form zulässig.

3 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 3 3 Beurteilung 3.1 Gesamtbeurteilung Da sowohl die von der Kandidatin/vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit für die Gesamtbeurteilung herangezogen werden, kann die Gesamtbeurteilung besser als Befriedigend lauten. 3.2 Erläuterungen zur Beurteilung der Kompensationsprüfung Die Angaben für Prüfer/innen enthalten eine vollständige Lösungserwartung der Aufgabenstellung mit der Angabe der jeweils nachzuweisenden Handlungskompetenzen. Eine Aufgabenstellung umfasst stets 12 nachzuweisende Handlungskompetenzen, welche durch die Großbuchstaben A (Modellieren & Transferieren), B (Operieren & Technologieeinsatz) oder R (Interpretieren & Dokumentieren und Argumentieren & Kommunizieren) gekennzeichnet sind. Beurteilungsrelevant ist nur die gestellte Aufgabenstellung, d. h. der der Kandidatin/dem Kandidaten schriftlich vorgelegte Teil und die verpflichtenden verbalen Fragestellungen. Für die Beurteilung ist jede nachzuweisende Handlungskompetenz als gleichwertig zu betrachten. Die Gesamtanzahl der von der Kandidatin/vom Kandidaten vollständig nachgewiesenen Handlungskompetenzen ergibt gemäß dem nachstehenden Beurteilungsschlüssel die Note für die mündliche Kompensationsprüfung. Beurteilungsschlüssel: Gesamtanzahl der nachgewiesenen Handlungskompetenzen Beurteilung der mündlichen Kompensationsprüfung 12 Sehr gut 11 Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend Die gesetzliche Regelung sieht vor, dass der Prüferin/dem Prüfer und der Fachbeisitzerin/dem Fachbeisitzer bei der Beurteilung des Prüfungsgebiets eine gemeinsame Stimme zukommt. Der Klassenvorstand/der Jahrgangsvorstand und die Direktorin/der Direktor oder deren Vertreter/innen sind die weiteren stimmberechtigten Mitglieder der Prüfungskommission (vgl. Dokument Mündliche Kompensationsprüfung Relevante Auszüge aus Gesetzen und Verordnungen, abrufbar unter

4 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 4 4 Prototypische Teilaufgaben 1. Teilaufgabe Die nachstehende Grafik zeigt die Entwicklung der jährlichen Besucherzahlen eines Museums für die Jahre 2000 bis jährliche Besucherzahlen in Tausend Anzahl der Jahre seit Die Steigerung der Besucherzahlen soll durch eine Exponentialfunktion modelliert werden. Stellen Sie unter Verwendung der Besucherzahlen für die Jahre 2000 und 2010 die entsprechende Funktionsgleichung auf. (A) Ermitteln Sie, welche Besucherzahl sich für das Jahr 2015 mit diesem Modell ergibt. (B) Bestimmen Sie mithilfe der Funktionsgleichung das mittlere jährliche prozentuelle Wachstum der Besucherzahlen. (R)

5 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 5 Lösung: (A): Jahr 2000: Besucher/innen Jahr 2010: Besucher/innen = a 10 a = 1, ,05048 N(t) = ,05048 t t Anzahl der Jahre seit 2000 N(t) Anzahl der Besucher/innen nach t Jahren (B): N(15) = , (R): jährlicher Änderungsfaktor: 1,05048 Das mittlere jährliche prozentuelle Wachstum der Besucherzahlen betrug rund 5,0 %. Verpflichtende verbale Fragestellung: Erklären Sie, warum man mit einem linearen Modell arbeiten kann, wenn von einem prozentuellen Wachstum ausgegangen wird. (R) Bei einem linearen Modell ist die absolute Zunahme konstant. Die prozentuelle Zunahme wird von einem jährlich neuen, größeren Grundwert berechnet und dadurch wird die absolute Zunahme immer größer. insgesamt 4 nachzuweisende Handlungskompetenzen in dieser Teilaufgabe (A, B, R, R)

6 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 6 2. Teilaufgabe Wolfgang besucht einen Schießstand. Er nimmt an, dass er unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit p das Ziel. Wolfgang schießt 3-mal. Erstellen Sie ein Baumdiagramm, in dem alle möglichen Versuchsausgänge und die entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten dargestellt werden. (A) Beschreiben Sie, wie man mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Wolfgang genau 1-mal, berechnen kann. (R) Wolfgang schätzt, dass er unabhängig von den vorherigen Ergebnissen in 80 % der Fälle. Um ein Plüschtier zu gewinnen, müssen bei 10 Schüssen mindestens 9 Treffer erzielt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Wolfgang bei einem Versuch mit 10 Schüssen das Plüschtier gewinnt. (B) Lösung: (A): Start p 1 p 1. Schuss p 1 p p 1 p 2. Schuss p 1 p p 1 p p 1 p p 1 p 3. Schuss (A) (R): Es müssen alle Pfade berücksichtigt werden, die genau 1-mal enthalten. Längs jedes dieser Pfade werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ergibt den gesuchten Wert. (B): Binomialverteilung: X Anzahl der Treffer bei 10 Schüssen n = 10 k = 9 p = 0,8 P(X 9) = 1 P(X 8) = 0, ,376 Mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 37,6 % gewinnt Wolfgang das Plüschtier.

7 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 7 Verpflichtende verbale Fragestellung: Erklären Sie, warum die Wahrscheinlichkeit, bei einem Versuch mit 10 Schüssen das Plüschtier zu gewinnen, mit der Binomialverteilung berechnet werden kann. (R) Die Wahrscheinlichkeit bleibt konstant, es gibt genau 2 mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments: oder. Die Ereignisse sind unabhängig. insgesamt 4 nachzuweisende Handlungskompetenzen in dieser Teilaufgabe (A, R, B, R)

8 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 8 3. Teilaufgabe (für Cluster 6 und 8) Das Management eines Unternehmens plant eine Investition in Höhe von 1,8 Mio., die über einen Kredit finanziert werden soll. Dazu werden Angebote bei 2 verschiedenen Banken eingeholt: Bank A verlangt zu Tilgung des Kredits 10 nachschüssige jährliche Raten in Höhe von je Veranschaulichen Sie das Angebot von Bank A auf einer Zeitachse. (A) Berechnen Sie den Jahreszinssatz, den die Bank ihrer Kalkulation zugrunde gelegt hat. (B) Bank B übermittelt einen Tilgungsplan. Ein Auszug dieses Tilgungsplans ist in der nachstehenden Tabelle dargestellt. Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld , , , , ,06 Ermitteln Sie die Restschuld nach 2 Jahren. (B) Lösung: Bank A: (A): Zeit in Jahren (B): Berechnung des Zinssatzes: Barwert: Rate: Anzahl der nachschüssigen jährlichen Raten: (1 + i ) = (1 + i ) 10 i Lösung mittels Technologieeinsatz: i = 0, ,0383 Der Zinssatz beträgt rund 3,83 % p. a.

9 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 9 Bank B: (B): Jahr Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld , , , , , , , , ,91 Verpflichtende verbale Fragestellung: Beschreiben Sie, wie man mithilfe des angegebenen Tilgungsplans die Laufzeit des Kredits von Bank B berechnen kann. (R) Der Barwert und die Höhe der Rate können aus dem Tilgungsplan abgelesen werden. Der jährliche Zinssatz kann aus den gegebenen Daten ermittelt werden. Aus dem Tilgungsplan ist ersichtlich, dass die Raten ganzjährig und nachschüssig bezahlt werden. Damit kann die Laufzeit des Kredits berechnet werden. insgesamt 4 nachzuweisende Handlungskompetenzen in dieser Teilaufgabe (A, B, B, R)

10 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik Teilaufgabe (für Cluster 1a, 1b, 2, 3, 4 und 5) Die Schadstoffmengen an einem bestimmten Ort in einer bestimmten Entfernung von der Schadstoffquelle werden häufig als normalverteilt angenommen, vor allem dann, wenn ungefähr zur gleichen Tageszeit und am gleichen Ort die Immissionsmenge betrachtet wird. Die Angabe der Schadstoffmengen erfolgt in Milligramm pro Betriebsstunde (mg/h). Ein Unternehmen gibt an, dass Langzeitmessungen immer um die gleiche Zeit am Vormittag normalverteilte Schadstoffwerte mit μ = 140 mg/h und σ = 8 mg/h ergeben haben. Eine private Bürgerinitiative zieht diese Ergebnisse in Zweifel und möchte Messwerte ermitteln. Ermitteln Sie denjenigen 2-seitigen Bereich, in dem Mittelwerte von Stichproben mit Stichprobenumfang n = 10 mit 95 % bzw. 99 % Wahrscheinlichkeit liegen müssten, wenn die Angaben des Unternehmens als richtig angesehen werden. (A, B) Es wurde schließlich folgende Stichprobe ermittelt: Schadstoffmenge in mg/h Bestimmen Sie den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung dieser Messreihe. (B) Lösung: (A, B): Bestimmung des 95-%- und des 99-%-Zufallsstreubereiches für den Stichprobenmittelwert, ausgehend von den gegebenen Werten μ und σ: u 0,975 = 1,959 μ u 0,975 σn x μ + u σ 0,975 n 135,04 mg/h x 144,96 mg/h u 0,995 = 2,575 μ u 0,995 σn x μ + u σ 0,995 n 133,48 mg/h x 146,52 mg/h (B): Berechnung von Stichprobenmittelwert und Stichprobenstandardabweichung der 10 Messwerte: x = 1 n s = 1 n 1 n i=1 n x i = 145,5 mg/h i=1 ( x i x )² = 8,553 mg/h 8,55 mg/h

11 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 11 Verpflichtende verbale Fragestellung: Erklären Sie den Einfluss des Stichprobenumfangs auf die Breite eines Zufallsstreubereiches. Was passiert, wenn der Stichprobenumfang vervierfacht wird und alle anderen Parameter gleich bleiben? (R) Je größer der Stichprobenumfang, desto schmäler ist der Zufallsstreubereich. Eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs unter Beibehaltung der übrigen Parameter führt zur Halbierung der Breite des Zufallsstreubereiches. insgesamt 4 nachzuweisende Handlungskompetenzen in dieser Teilaufgabe (A, B, B, R)

12 Kompensationsprüfung Angewandte Mathematik 12 5 Konzepterstellungsgruppe Ao. Univ.-Prof. Mag. Dr. Karl Fuchs, School of Education der Universität Salzburg Mag. Wilfried Rohm, HTL Saalfelden Mag. Jörg Kliemann, HLFS St. Florian Mag. Andreas Kuba, HLFS Wieselburg Mag. Martin Hofer, Teamleitung SRDP Angewandte Mathematik, BIFIE Wien Mag. Martin Schodl, BHAK Wien 10