Vorlesung von Prof. Dr. D. Trautmann. ausgearbeitet von Dr. Andreas Aste und Dr. Oliver Conradt

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1 Einführung in die Physik III Vorlesung von Prof. Dr. D. Trautmann ausgearbeitet von Dr. Andreas Aste und Dr. Oliver Conradt Wintersemester 2001/2002

2 2 Dieses Skript ist als wissenschaftliches Werk geschützt durch das Bundesgesetz über das Urheberrecht und verwandte Schutzrechte (URG) vom 9. Oktober 1992, gemäss Art. 2, 2a des URG. Die gemeinschaftliche Urheberschaft wird geteilt durch die oben genannten Autoren gem. Art. 7, 1 URG.

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Inhalt der Vorlesung Lehrbücher Grundlagen der Quantenphysik Beispiele Einheiten Fundamentale Wechselwirkungen Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Inertialsysteme und Galilei-Transformation Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation Relativität von Längen und Zeiten Relativistische Mechanik Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik Hohlraumstrahlung Definitionen Kirchhoffsches Gesetz Energiedichte Definition des Raumwinkels Stefan-Boltzmann-Gesetz Gesetz von Wien Wiensches Verschiebungsgesetz Gesetz von Raleigh-Jeans Planck sches Strahlungsgesetz Herleitung des Planck schen Strahlungsgesetzes nach Einstein Spezifische Wärme von Festkörpern Definition der Dirac schen -Funktion Comptoneffekt Atombau und Korrespondenzprinzip Franck-Hertz-Versuch Welleneigenschaften der Materie Doppelspaltexperimente Unschärferelation Theoretische Grundlagen der Quantenphysik Wellenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsinterpretation Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödingergleichung Die relativistische Form der Schrödingergleichung (Klein-Gordon-Gleichung) Einführung von Operatoren

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Der Hamiltonoperator Drehimpulsoperatoren Fundamentale Vertauschungsrelationen für Ort und Impuls Fundamentale Vertauschungsrelationen für den Drehimpuls Einige mathematische Hilfsmittel Differentialoperatoren Funktionensysteme Erwartungswerte von Operatoren Eigenschaften hermitescher Operatoren Heisenberggleichung Wahrscheinlichkeitsdichte und Kontinuitätsgleichung Postulate der Quantentheorie Allgemeine Formulierung der Quantentheorie Einige lösbare quantenmechanische Probleme Eindimensionale Streuprobleme Eindimensionale gebundene Probleme Zentralsymmetrische dreidimensionale Probleme Grundlagen des Atombaus Magnetisches Moment und Zeemaneffekt Elektronenspin Spin-Bahnkopplung und anomaler Zeemaneffekt Feinstruktur und Hyperfeinstruktur Pauliprinzip und Periodensystem Röntgenspektren Atommodelle Exotische Atome Grundlagenprobleme der Quantenphysik Quantenmechanischer Zustand, Kausalität und Determinismus Quantenmechanische Interferenzen EPR-Paradoxon und Bell sche Ungleichung Interpretationen

5 Abbildungsverzeichnis 1.1 Photoeffekt Ablösearbeit beim Photoeffekt Elektromagnetische Streuung des Projektils p am Target t Im elektostatischen Feld beschleunigtes Elektron Freie Bewegung bezüglich zwei verschiedener Inertialsystemen S und S Geschwindigkeitsaddition Schematischer Aufbau des Michelson & Morley-Experiments Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Längenkontraktion Impulserhaltung im System S Relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie Relativistisches Energie-Geschwindigkeits Diagramm Hohlraum innerhalb eines Wärmebades Zur Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes Zur Herleitung der Universalität der spektralen Energiedichte Zur Berechnung des Energieanteils, der aus d nach d abgestrahlt wird Zur Definition des Raumwinkels d Kegel zum Winkel und der Fläche Abstrahlung von dem Oberflächenelement eines schwarzen Körpers Impulsdichte pro Zeit und Fläche Impulsdichte mit Einfallswinkel Carnot scher Kreisprozess Modes zu der totalen Länge Abstand zweier Moden im Wellenzahlintervall Dreidimensionaler Kasten, in welchem sich stehende Wellen ausbreiten Harmonischer Oszillator Quantenmechanische und klassische Oszillatorenergie im Vergleich Energieabstrahlung Energie-Niveauschema Absorption und Emission von Photonen durch ein Atom Oszillatorgitter Einstein- und Debeye-Modell für die temperaturabhängige Wärmekapazität Allgemeines Spektrum für die Eigenschwingungen Schwingung in Gegenphase Schematischer Aufbau zur Messung des Comptoneffektes Streuung eines Photons an einem Elektron Unerlaubtes Verhalten einer Wellenfunktion Ein (typisches) Energiespektrum

6 6 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 4.3 Drehimpuls eines Teilchens

7 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Inhalt der Vorlesung Die Vorlesung ist eine Einführung in die Quantenphysik auf relativ einfachem mathematischen Niveau. Im Wesentlichen wird die sogenannte Wellenmechanik, d.h. Lösungen der Schrödingergleichung diskutiert. Damit ist die Vorlesung einerseits die Vorbereitung auf die Quantenmechanik-Kursusvorlesung, andererseits führt sie in quantenmechanische Überlegungen ein, die in der Festkörperphysik sowie Kernund Teilchenphysik verwendet werden. Als Anwendungen diskutieren wir einfache Fragestellungen aus der Atomphysik. Die Vorlesung berücksichtigt vor allem theoretische Aspekte der elementaren Quantenphysik. Die experimentellen Aspekte werden im Rahmen der Physik IV-Vorlesung behandelt. 1.2 Lehrbücher Es gibt zahlreiche Lehrbücher, die in die Quantenphysik einführen und Anwendungen vorstellen; z.b.: M. Alonso & E. J. Finn, Fundamental University Physics, Volume III, Quantum and Statistical Physics. Addison-Wesley R. Eisberg & R. Resnick, Quantum Physics. John Wiley & Sons Beide Bücher sind sehr gute Einführungen, enthalten aber auch zahlreiche Anwendungen, die über diese Vorlesung hinausgehen. T. Mayer-Kuckuk, Atomphysik. Teubner (recht gute, elementare Darstellung der Atomphysik) H. Haken & H. C. Wolf, Atom- und Quantenphysik. Springer (moderne Darstellung, die viele zusätzliche Details enthält) G. Otter & R. Honecker, Atomphysik. Teubner (gute Darstellung der in dieser Vorlesung behandelten Physik) Weiterhin benutzen wir zahlreiche andere Lehrbücher in Auszügen, z.b. R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Volume III. Addison-Wesley F. Schwabl, Quantenmechanik. Springer 7

8 8 1. Kapitel. Einleitung Vakuumröhre einfallendes Licht mit Frequenz ν Metallplatten e- e- e- herausgeschlagene Elektronen mit kinetischer Energie T kin einfallendes Licht mit Frequenz ν Durch geeignete negative Spannung V wird die Bewegung der Elektronen kompensiert und damit die kinetische Energie T kin bestimmt. 0 V Abbildung 1.1: Photoeffekt 1.3 Grundlagen der Quantenphysik Die Gesetze der Quantenmechanik (QM) beschreiben bisher ohne Ausnahme alle mikroskopischen Phänomene über riesige Längen- ( cm bis cm) und Energieskalen ( ev bis ev) hinweg. Auch bei Fragestellungen im makroskopischen Bereich wird sie benötigt, so z.b. zur Erklärung der Stabilität der Materie, zum Verständnis der Energieerzeugung in Sternen (Sonne) und zur technischen Realisation von Lasern, Transistoren, Supraleitern und so weiter. Die QM muss zwingend angewendet werden, wenn die fundamentale Naturkonstante nicht mehr vernachlässigbar ist. Sie wird als Grösse mit der Dimension einer Wirkung (1.1) Impuls Länge Energie Zeit Drehimpuls Winkel Drehimpuls (Winkel im dimensionslosen Bogenmass gemessen). eingeführt. Der Wert der Planck schen Konstante (auch Wirkungsquantum genannt) ist in SI-Einheiten "! #%$ Js (1.2) und damit die Quantenkonstante (1.1) ( reduzierte Planck sche Konstante ) &(')&* #%$ #%$ Js + Js (1.3)

9 1.3. Grundlagen der Quantenphysik 9 E ν T W Vakuum Metall - Abbildung 1.2: Ein Elektron wird durch die Lichtenergie aus der Metalloberfläche herausgelöst. Dabei wird die Ablösearbeit verrichtet. Die verbleibende Energiedifferenz tritt in Form der kinetischen Energie des Elektrons auf. In den meisten quantenmechanischen Rechnungen tritt die Konstante (und nicht ) als die wirklich fundamentale Naturkonstante auf. Die experimentelle Bestimmung der Planck schen Konstante erfolgt z.b. aus dem photoelektrischen Effekt, der in Abbildung 1.1 schematisch dargestellt ist. Durch geeignete negative Spannung wird die Bewegung der Elektronen e kompensiert und damit die kinetische Energie der Elektronen gemessen. Aus dem Experiment erhält man, 1. dass proportional zu der Frequenz des einfallenden Lichts ist, und 2. dass die Elektronen erst von einer gewissen Grenzfrequenz an aufwärts durch den Lichteinfall aus dem Metall losgelöst werden können. Die Grenzfrequenz ist materialabhängig. Nach dem Vorschlag von Einstein (1905) setzen wir den Energiesatz an, (1.4) wobei die aus diesem Experiment zu bestimmende Planck sche Konstante und die vom Material abhängige Ablösearbeit für ein Elektron ist (siehe Abbildung 1.2). In Übereinstimmung mit dem Experiment erhalten wir aus Gleichung (1.4) den Ausdruck für die kinetische Energie (1.5) Bei der Wechselwirkung mit dem Metall tritt die Energie des Lichtes portionenweise in Form von Lichtquanten (Photonen) mit der Energie auf. Weitere Diskussion in den Übungen. Die so ermittelte Planck sche Konstante bestimmt nun den Quantencharakter eines physikalischen Prozesses. Dazu bilden wir für das gegebene physikalische Problem eine Grösse vom Typ Wirkung und vergleichen sie mit. Die Quantenphysik ist zur korrekten Beschreibung notwendig, wenn diese charakteristische Wirkung von der Grössenordung ist! Dabei sollte sie nicht viel kleiner als sein, da dies eine neue Physik jenseits der Quantenphyik erfordern würde. Bisher ist dieser Fall nicht beobachtet worden Beispiele (i) Mechanische Uhr: $ Unruh + m, Masse + $ kg und charakteristische Zeiteinheit s

10 0 +! 0 # Kapitel. Einleitung Die charakteristische Wirkung der Uhr ist ) Js + ( (1.6) d.h., es handelt sich also um ein klassisches System, wo die Quantenphysik unnötig ist. (ii) Radioantenne: Leistung + kw und Frequenz + MHz bzw. Kreisfrequenz Auch hier zeigt die charakteristische Wirkung dass es sich um ein klassisches System handelt. Energie und LC Zeit erhalten wir durch Vergleich der charakteristischen Wir- (iii) Elektrischer Schwingkreis: Kapazität + F, Induktivität + Mit kung mit, + Js + $ Hz und Strom + + s. (1.7) # A erneut ein klassisches System. + Js + (1.8) (iv) Wasserstoff-Atom: Charakteristische Ionisationsenergie ev + J und charakteristische Wellenlänge + Å, bzw. # + s Die charakteristische Wirkung des Wasserstoffatoms ist vergleichbar mit. + #%$ Es kann vollständig nur durch die Quantenphysik beschrieben werden, wobei gewisse Teilaspekte durchaus klassisch diskutiert werden können. (v) Atomkern: Typische Bindungsenergie pro Nukleon + MeV! +! %# ( m fm), Masse Nukleonmasse + kg Die charakteristische Wirkung ist vergleichbar mit #" $ + + # Js + Atomkerne müssen also mit der Quantenphysik beschrieben werden! (1.9) ev + J, mittlerer Radius mit dem Atomgewicht und der (1.10) (vi) Coulombstreuung: Positive Ionen mit der Ladung %'&)(+* (+* bezeichnet die Elementarladung bewegen sich mit Geschwindigkeit, im Coulombfeld eines Atomkerns, der die Ladung %.-/(+* trägt. Die elektrostatische Kraft zwischen Projektil p und Target t ist mit der Definition ( * '&21 (1.11) durch %43%65 (1.12)

11 , # # 1.4. Einheiten 11 p Z p q e Z t q e t Abbildung 1.3: Elektromagnetische Streuung des Projektils p am Target t gegeben. Die Definition (1.11) legt 0 in rein mechanischen Einheiten fest: 0. %43%65 ist ein Mass für die Stärke der Wechselwirkung und führt zur charakteristischen Wirkung Mit der dimensionslosen Geschwindigkeit gemessen wird, der dimensionslosen Feinstrukturkon- die in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit stante und dem dimensionslosen Coulombparameter % 3)%45 % 3 % 5, (1.13) (1.14) *! + % 3 % 5 * (1.15) (1.16) gilt (1.17) ist ein direktes Mass für die Klassik der Bewegung: Für kann die Streuung klassisch beschrieben werden, für + werden quantenmechanische Überlegungen wichtig. 1.4 Einheiten Die quantenphysikalische Beschreibung von mikroskopischen Prozessen wird erleichtert, wenn die auftretenden physikalischen Grössen von der Grössenordnung 1 und benachbarte Grössenordungen sind. Durch geeignete Wahl der Einheiten lässt sich dies erreichen. Nach oben ist die Stärke der elektrostatischen Wechselwirkung von zwei Einheitsladungen durch kg m # s (1.18) gegeben. Dazu kommen im atomaren Bereich als charakteristische Einheiten die Masse des Elektrons * und die Quantenkonstante. Abgeleitete Einheiten sind: (i) Rydberg-Energie (charakteristische Energie) * 0 $ ev Ry (1.19)

12 Kapitel. Einleitung E + - F m e d Abbildung 1.4: Im elektostatischen Feld beschleunigtes Elektron (ii) Bohr scher Radius (charakteristische Länge) (iii) Charakteristische Geschwindigkeit im Atom *, * *(' m + Å (1.20) * (1.21) Dabei haben wir die in Gleichung (1.15) definierte Feinstrukturkonstante benutzt. Aus Gleichung (1.21) folgt, dass die Geschwindigkeiten im Atom im allgemeinen klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind und das Atom deshalb meist nichtrelativistisch beschrieben werden kann. Alle Quantenphänomene mit Elektronen, sei es in der Atom-, Molekül- oder Festkörperphysik, werden durch die drei Grössen 0, * und bestimmt. Im Allgemeinen benutzt man als Energieeinheit im mikroskopischen Bereich nicht, sondern das Elektronenvolt (ev). Die kinetische Energie eines Teilchens mit der Ladung ( *, das durch die Spannungsdifferenz längs einer Strecke der Länge beschleunigt wurde, ist (+* (1.22) 1 ev definiert die kinetische Energie, die ein Elektron ((* As) durch die Beschleunigung innerhalb der Spannungsdifferenz V erhält. V ( * As J ev (1.23) (Siehe Abbildung 1.4.) Entsprechend benutzt man in der Kernphysik kev # ev bzw. MeV ev und in der Teilchenphysik GeV ev bzw. TeV ev. Sobald innerhalb physikalischer Vorgänge sehr hohe Geschwindigkeiten auftreten - z.b. bei Strahlungsprozessen in der Quantenelektrodynamik - tritt als weitere fundamentale Konstante noch die Lichtgeschwindikeit hinzu. Man spricht dann von relativistischen Prozessen (siehe unten). Als charakteristische Grössen in diesem Kontext benutzen wir: (i) die Ruheenergie des Elektrons * kev + MeV (ii) die Comptonwellenlänge des Elektrons! " #! m + fm

13 1.5. Fundamentale Wechselwirkungen 13 Analog benutzt man in der relativistischen Teilchenphysik die gleichen charakteristischen Grössen, wobei die Elektronenmasse * durch die entsprechende Elementarteilchenmasse ersetzt wird: (i) Energie (ii) Länge (iii) Zeit 1.5 Fundamentale Wechselwirkungen Abschliessend führen wir in Tabelle 1.5 einen kurzen, schematischen Überblick über die fundamentalen Wechselwirkungen an, bei denen zur genauen Diskussion die Quantentheorie verwendet werden muss. Wechselwirkung mikroskopische spiele starke Farb-Wechselwirkung (QCD) starke hadronische Wechselwirkung elektromagnetische Wechselwirkung van der Waals Wechselwirkung schwache Wechselwirkung Vektorbosonen (% Gravitations- Wechselwirkung Reichweite sehr kurz fm kurz fm lang Gluonen Mesonen (Pionen, Kaonen, u.a.) Photonen ( ) mittel Photonen sehr kurz fm lang # ) Bei- Kopplungskonstante Austauschteilchen Nukleonenaufbau durch WW zwischen Quarks Bindung zwischen Hadronen durch Mesonen (Kernkräfte) Atomaufbau durch WW von Elektronen mit Kernen Molekülaufbau durch elektromagnetische Restwechselwirkung zwischen den Atomen radioaktiver -Zerfall Graviton? Tabelle 1.1: Übersicht über die fundamentalen Wechselwirkungen Die elektromagnetische und schwache Wechselwirkungen bilden zusammen die elektroschwache Wechselwirkung. Es gibt zahlreiche Versuche, die elektroschwache und starke Wechselwirkungen als Grenzfall einer fundamentalen Wechselwirkung zu interpretieren, der sogenannten grossen vereinigten Wechselwirkung. Sie sagt z.b. vorher, dass das Proton langsam zerfalle, was bisher trotz vieler Experimente nicht beobachtet werden konnte. Bis heute ist der Ansatz also ohne endgültigen Erfolg geblieben. Das Verhältnis der Gravitations-Wechselwirkung zur elektromagnetischen ist z.b. im Wasserstoffatom ca. # (siehe Übungen) und spielt daher im mikroskopischen Bereich praktisch keine Rolle. Sie ist hingegen entscheidend beteiligt an den Prozessen in den ersten ungefähr # s nach dem Urknall, der sogenannten Planckzeit.

14 14 1. Kapitel. Einleitung

15 Kapitel 2 Einführung in die spezielle Relativitätstheorie In diesem Kapitel werden die wichtigsten Resultate der speziellen Relativitätstheorie diskutiert. Die experimentellen Aspekte werden in der Physik IV-, die elegante mathematische Formulierung in der Mechanik- bzw. Elektrodynamik-Vorlesung behandelt. 2.1 Inertialsysteme und Galilei-Transformation Ein freier Massenpunkt P ist per definitionem ohne Wechselwirkung mit anderen Massenpunkten. Ein Inertialsystem (IS) ist ein Bezugssystem, in dem sich ein Massenpunkt P auf einer geraden Bahn mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, wenn keine Kräfte auf ihn einwirken. Freie Massenpunkte bewegen sich in Inertialsystemen also mit konstanter Geschwindigkeit auf Geraden. Wir wollen zeigen, dass es unendlich viele Inertialsysteme gibt. Seien S und S zwei Bezugssysteme, die sich mit der Geschwindigkeit, relativ zueinander bewegen, und deren Ursprünge zur Zeit zusammenfallen:. Der Abstand der Ursprünge voneinander ist dann durch, gegeben. Die zurückgelegten Wege des im System S mit der Geschwindikeit Geschwindigkeit offensichtlich und im System S mit der. Es gilt sich bewegenden, freien Massenpunktes P sind OP und OP bzw., (2.1) y y P S u u v x, x z z S Abbildung 2.1: Die Bewegung des freien Massenpunktes P wird von den Inertialsystemen S und S aus betrachtet. 15

16 16 2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie y y S P u u v x, x z z S Abbildung 2.2: Geschwindigkeitsaddition und damit für die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen,, (2.2) Sei nun S ein Inertialsystem, d.h. P bewegt sich in S unbeschleunigt: (2.3) Wenn sich die Bezugssysteme S und S folgt erstens, dass mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, (2.4) und zweitens, dass auch S ein Inertialsystem ist. Jedes gleichförmig zu einem Inertialsystem bewegte System ist also wieder ein Inertialsystem. Q.E.D. Die Bewegungen von P sehen in verschiedenen Inertialsystemen verschieden aus. Die zugrundeliegenden Bewegungsgesetze (z.b. Newtonsche Gleichungen) sollen hingegen unabhängig von oder wie man auch sagt invariant bezüglich der Wahl des spezifischen Inertialsystems sein. Wir fordern daher das Relativitätsprinzip der Mechanik: Zur Beschreibung mechanischer Vorgänge sind alle Inertialsysteme gleichberechtigt. D.h. aber, dass es kein absolut ruhendes System und keine absolute Zeit gibt. Wenn die Relativgeschwindigkeit, von S in S parallel zur positiven -Achse gerichtet ist, folgen aus Figur 2.1 sofort die Transformationsgleichungen, (2.5) Dies sind die sogenannten (speziellen) Galilei-Transformationen (GT). Das Relativitätsprinzip der Mechanik fordert daher die Invarianz der Gleichungen der Mechanik unter diesen Galilei-Transformationen. 2.2 Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation Wir wählen wieder zwei zueinander mit der Geschwindigkeit, bewegte Inertialsysteme (Abbildung 2.2). Nach der Galilei-Transformation gilt sofort das klassische Additionstheorem der Geschwindigkeiten, (2.6) wo und die Geschwindigkeiten von P parallel zur -Achse bzw. -Achse sind. Gleichung (2.6) sollte eigentlich auch für die Ausbreitung von Licht gelten. Experimente wiederlegen diese Vermutung jedoch. Das erste Mal wurde die Ungültigkeit des Additionstheorems (2.6) für Geschwindigkeiten nahe

17 2.2. Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation 17 Spiegel 1 t 1 l 1 Lichtquelle l 2 t 2 Spiegel 2 halbdurchlässige Platte Beobachter Abbildung 2.3: Schematischer Aufbau des Michelson & Morley-Experiments der Lichtgeschwindigkeit 1887 durch das Experiment von Michelson & Morley gezeigt. Der in Abbildung 2.3 schematisch dargestellte experimentelle Aufbau bewegt sich beobachtet in einem Inertialsystem, in welchem die Sonne ruht als ganzes mit der Erdbahngeschwindigkeit, + km/h. Sei z.b. Lichtstrahl (1) parallel zur Erdbahngeschwindigkeit gerichtet, dann müsste nach der Galilei schen Transformation die Lichtgeschwindigkeit entlang (1) um, verringert bzw. vergrössert werden, wohingegen die Lichtgeschwindigkeit entlang (2) von der Erdbahngeschwindigkeit unberührt bleibt. Die Gangdifferenz der beiden Strahlen ist und die zugehörige Zeitdifferenz (Herleitung in den Übungen) +,, wobei + ist. Nach Drehen der Apparatur um ergibt sich eine einmalige Gangdifferenz +,, die für + m von der Grösse + m Åist. Beim Drehen der Apparatur sollte daher eine sichtbare Änderung des Interferenzmusters zu beobachten sein, was jedoch nicht eintraf und -trifft (Nullexperiment). Das Experiment sagt also: entlang des Lichtstrahles (1). Wenn wir weiterhin an der Gültigkeit der Galilei-Transformation festhalten, führt dies zu, ; ein offensichtlicher Widerspruch! Offensichtlich ist die Galilei sche Transformation nur für kleine Geschwindigkeiten von Gültigkeit. Einstein ging deshalb von zwei neuen Postulaten aus: (i) Allgemeines Relativitätsprinzip: Alle physikalischen Gesetze (nicht nur die mechanischen Gleichungen) müssen in allen Inertialsystemen die gleiche Form haben, d.h. sie müssen kovariant sein. (ii) Konstanz der Lichtgeschwindikeit: Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich gross, d.h., die Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle und des Beobachters. Wir diskutieren nun, was aus den Einstein schen Postulaten (i) und (ii) in Bezug auf Koordinatentransformationen folgt. Gegeben seien die in Abbildung 2.4 dargestellten Inertialsysteme S und S mit zur Zeit. Nach (ii) folgt sofort (2.7)

18 18 2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie y y Beobachter S Lichtquelle r v r x, x z z S Abbildung 2.4: Der Beobachter wird von einer Lichtkugelwelle erreicht, die vom Koordinatenursprung herkommt. und nach (i) fordern wir, dass sowohl in S wie auch in S die Lichtgeschwindigkeit als Kugelwelle beobachtet wird, in in (2.8) Mit diesen Gleichungen folgt für die Lichtausbreitung & (2.9) Wir definieren nun den sogenannten Ereignisabstand zweier Raum-Zeit-Punkte im Inertialsystem S (analog in S ) (2.10) O.B.d.A. können wir einen Punkt in O resp. O legen und erhalten damit in S bzw. in S (2.11) Für den Ereignisabstand von Ursprung und Lichtwellenfront erhalten wir nach Gleichung (2.9) in jedem Inertialsystem. Im Allgemeinen ist der Ereignisabstand in S eine zunächst beliebige Funktion, (2.12) von Grössen, die zum Inertialsystem S gehören. Zur Einschränkung von benutzen wir die offensichtlichen Forderungen: ) Homogenität von Raum und Zeit, d.h. alle Raum-Zeit-Punkte sind gleichberechtigt. darf nicht explizit enthalten, d.h., ) Isotropie des Raumes, d.h., ist nicht richtungsabhängig, Insbesondere gilt dann nach und dem Relativitätsprinzip:.,,, und es lässt sich folgern,,.,,,, Da für, sich die Quadrate der Ereignisabstände immer weniger unterscheiden,, kann nur die Identität darstellen,, und wir erhalten die allgemeine Forderung, die ganz allgemein und nicht nur für Licht gilt: (2.13)

19 2.2. Einsteinsche Postulate und Lorentz-Transformation 19 Ihr liegen nur die Einstein schen Postulate (i) und (ii) sowie die Homogenität von Raum und Zeit und die Isotropie des Raumes zugrunde. Die gesuchten Lorentz-Transformationen von S nach S und umgekehrt müssen die Forderung (2.13) erfüllen, & (2.14) Wenn wir, entlang der positiven -Achse wählen, reduziert sie sich mit und auf (2.15) Das Einstein sche Postulat (i) erlaubt nicht, dass sich durch Transformation physikalische Grössen ändern, z.b. dürfen Geschwindigkeiten nicht in Beschleunigungen übergehen. Es ist daher sinnvoll einen linearen Ansatz für die Lorenztransformation zu machen,, (2.16) muss die Galilei-Transformation (2.5) gelten, d.h., und. Es folgt Im Grenzfall, daraus für die der Möglichkeit nach von, abhängigen Koeffizienten, und,,, (2.17) Am Ort muss nach Voraussetzung für jede Geschwindikeit, gelten, und damit (2.18) Einsetzen des linearen Ansatzes (2.16) in Gleichung (2.15) führt zu,, % (2.19) was für alle und gelten muss und deshalb die drei Bestimmungsgleichungen liefert Die Lösungen dieser Gleichungen sind mit der in Einheiten von,, gemessenen Geschwindigkeit (2.20) (2.21) (2.22) und (2.23), (2.24) Einsetzen der Lösungen (2.23) in den linearen Ansatz (2.16) ergibt die spezielle Lorentz-Transformation (LT), (2.25), Die inverse Transformation ist dann,, (2.26) Die allgemeine Form der Lorentz-Transformation erhält man durch zusätzliche Drehung und Verschiebung der Koordinatensysteme zueinander. (Wird hier nicht weiterverfolgt.) Zusammenfassend können wir bemerken, dass aus den obigen Postulaten folgt, dass physikalische Gleichungen lorentzinvariant, d.h. invariant unter Lorentz-Transformation sein müssen.

20 20 2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie y y S S v x 1 x 2 l 0 x, x z z Abbildung 2.5: Längenkontraktion 2.3 Relativität von Längen und Zeiten Wir besprechen nun drei direkte Konsequenzen der Lorentz-Transformation. (i) Längenkontraktion Ein Stab der Länge ruht im Koordinatensystem S (Abbildung 2.5). Mit welcher Länge wird der gleiche Stab im System S beobachtet? Die Lorentz-Transformation (2.25) ergibt,, (2.27) Die Stablänge ist also kleiner, wenn er sich gegenüber dem Beobachter bewegt! (ii) Zeitdilatation Wir messen ein Zeitintervall in S und entsprechend in S. Die Uhr ruhe während des ganzen Zeitintervalls im Ursprung von S,. Mit der Lorentz- Transformation folgt dann sofort (2.28) Eine bewegte Uhr läuft also langsamer! Die Zeitdilatation zeigt sich in sehr eindrücklicher Weise beim Zerfall von Elementarteilchen. Die mittlere Lebenszeit des Teilchens in dessen Ruhesystem S sei ; im Laborsystem S wird die mittlere Lebensdauer gemessen. Der Zusammenhang dieser beiden im Allgemeinen unterschiedlichen Lebenszeiten ein und desselben Teilchens ist durch die Zeitdilatation gegeben Für, (d.h. ) ergeben sich also beträchtliche Unterschiede:. Die Zeitdilatation spielt auch bei Teilchenbeschleunigern eine wesentliche Rolle. (iii) Relativistisches Additionstheorem der Geschwindigkeiten Im System S sei die Geschwindikeit von P System S: (2.29) -. Gesucht ist die Geschwindigkeit von P im -. Mit der Lorentz-Transformation (2.26) erhalten wir die totalen Differentiale und daraus das gewünschte Additionstheorem, und Spezialfälle des Additionstheorems:,, (2.30) + Das relativistische Additionstheorem ist mit der Galilei-Transformation kompatibel.,

21 $ * 2.4. Relativistische Mechanik 21 Dies entspricht dem Postulat (ii). ist die maximale Geschwindigkeit für Materie und Signale. (iv) Dopplereffekt Der Beobachter B befinde sich im Ursprung des Systems S. Die Quelle einer elektromagnetischen Welle bewege sich bezüglich S mit der Radialgeschwindigkeit und ruhe im Inertialsystem S. Zwei im Zeitintervall aufeinanderfolgende Pulse strahlen mit der Geschwindigkeit von der Quelle Q in Richtung Beobachter B. In S wird die Zeitdifferenz (2.31) vom Beobachter gemessen. Damit erhalten wir den relativistischen Dopplereffekt zu (2.32) oder, falls der Winkel zwischen Quelle und -Achse ist, (, ) (2.33) Spezialfälle: Für die rein radiale Bewegung (, handelt es sich um einen rein relativisi- Bei der rein transversalen Bewegung, d.h. tischen Effekt, Beispiel: Bei, + ) gilt: erscheint eine rote Ampel ( Relativistische Mechanik und (2.34) (2.35) ) grün ( 5 + Wir diskutieren einige im Rahmen dieser Vorlesung wichtige Aspekte. Eine detailliertere Untersuchung mechanischer Probleme erfolgt in den Vorlesungen Mechanik und Elektrodynamik. Zur Behandlung relativistischer Phänomene ist es häufig zweckmässig, sogenannte Minkowski-Koordinaten einzuführen, # $ (2.36) Dabei ist die Einführung der imaginären Zeitkoordinate rein formal und ohne physikalische Bedeutung. Den speziellen Vierervektor kürzen wir mit ). # $ (2.37) ab, sodass sich das lorentzinvariante Abstandsquadrat dieses Vierervektors als Summe der quadrierten Komponenten schreiben lässt, (2.38)

22 # Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie Im Folgenden werden wir allerdings die üblichere Notation für Vierervektoren bevorzugen. Wir führen daher sogenannte kontravariante Komponenten und kovariante Komponenten eines Vie- rervektors ein gemäss # (2.39) # sodass sich das lorentzinvariante Abstandsquadrat schreiben lässt als (2.40) (2.41) Die Raumkomponenten des Vierervektors unterscheiden sich also durch das Vorzeichen. Die Definition (2.41) für das Abstandsquadrat unterscheidet sich von (2.38) ebenso durch das Vorzeichen, stellt aber die in der modernen Literatur übliche Variante dar. Ein Vektor mit positiver Lorentznorm,,, nennt man zeitartig, ein Vektor mit negativer Norm, (2.42) heisst raumartig, und bei verschwindender Norm, spricht man von einem lichtartigen Vektor. In Gleichung (2.42) haben wir die Einstein sche Summenkonvention vorausgesetzt, welche besagt, dass in formalen Ausdrücken automatisch über gleiche ko- und kontravariante Indices summiert wird. Wir versuchen nun weitere mechanischen Grössen zu Vierervektoren zusammenzufassen, um lorentzinvariante Grössen zu erhalten. Physikalische Gleichungen mit Vierervektoren (und abgeleiteten Grössen) sind lorentzinvariant oder was per definitionem das gleiche bedeutet kovariant. i) Totales Differential von ist das totale Differential von. In einfacher Weise erhalten wir den Lorentzskalar des infinitesimalen Abstandsquadrates, (2.43) das eine Mal in einem beliebigen System, das andere Mal im Ursprung des Ruhesystems von P. ist die differentielle Eigenzeit. Damit gilt:, oder " (2.44) ist also ebenfalls ein Lorentzskalar, und hat für jeden Beobachter denselben Wert. ii) Vierergeschwindigkeit Die Vierergeschwindigkeit ist der nach der Eigenzeit abgeleitete spezielle Eigenvektor: (2.45) iii) Viererimpuls Bezeichnen wir die Masse eines Teilchens im Ruhesystem mit (sogenannte Ruhemasse) und multiplizieren die Vierergeschwindigkeit (2.45) mit dieser, so erhalten wir wieder einen Vierervektor,. Wir definieren zunächst rein formal den relativistischen Impuls und die relativistische Energie durch: und (2.46)

23 2.4. Relativistische Mechanik 23 p 1 S P x-richtung p 2 Abbildung 2.6: Impulserhaltung im System S Mit diesen Definitionen kann der Impulsvierervektor als geschrieben werden. (2.47) Die speziell in -Richtung verlaufenden Lorentz-Transformationen von und erhalten wir analog zur Lorentz-Transformation des speziellen Vierervektors,,, (2.48) vergleiche (2.25). Für, erhalten wir + 5 und die Energie +. ist per definitionem die Ruheenergie eines Teilchens. Wir müssen nun noch zeigen, dass für die in (2.46) definierten relativistischen Formen von Impuls und Energie in jedem System die Erhaltungssätze gelten. Wir nehmen dazu an, dass im System S die Erhaltungssätze und (2.49) gelten. Betrachten wir denselben Vorgang vom System S aus. Aus der Lorentz-Transformation (2.48) folgt erstens und zweitens,,,, (2.50) (2.51) Q.E.D. Der Beweis zeigt, dass die in (2.46) definierten relativistischen Impulse und Energie die Erhaltungssätze in allen Inertialsystemen erfüllen. Sie gehen zudem für, in die bekannten nichtrelativistischen Grössen über. iv) Ruheenergie Das Skalarprodukt des Viererimpulses mit sich selbst führt auf einen weiteren wichtigen Lorentzskalar: die Ruheenergie. Im Ruhesystem verschwindet der Impuls,, und wir erhalten mit der Definition der Energie (2.46) sofort (2.52) Im Ruhesystem reduziert sich die Gesamtenergie auf die Ruheenergie bzw. innere Energie (2.53) Diese Beziehung stellt die bekannte Masse-Energie-Äquivalenz dar.

24 " " Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie E m o c 2 E=pc E 2 =(pc) 2 +(m 0 c 2 ) 2 0 pc Abbildung 2.7: Die gestrichelte Linie stellt die Energie-Impuls-Abhängikeit von Teilchen mit verschwindender Ruhemasse dar. Bei Teilchen mit der Ruhemasse ist der minimale Wert der Gesamterergie die Ruheenergie. v) Gesamtenergie In einem beliebigen Inertialsystem besteht die Gesamtenergie aus mehr als nur der Ruheenergie. Die allgemeine Form für ein relativistisches Teilchen ergibt sich aus Gleichung (2.52) zu " (2.54) + In Abbildung 2.7 ist die typische Abhängigkeit der totalen Energie vom Impuls des Teilchens dargestellt. Im ultrarelativistischen Grenzfall ( ) ist die Beziehung annähernd linear:. Die Linearität gilt exakt für Teilchen mit verschwindender Ruhemasse, also für Photonen und Neutrinos (?). Die relativistische Verallgemeinerung der kinetischen Energie eines Teilchens mit der Masse ist per definitionem die Arbeit, die benötigt wird, um die Masse von Null auf die Endgeschwindigkeit zu bringen. (2.55) vi) Kinetische Energie Der relativistische Ausdruck für die kinetische Energie eines Teilchens mit der Masse und der Geschwindikeit ist: (2.56) Für lässt sich in einer Taylorreihe entwickeln. Ebenso die kinetische Energie:! $ $! $ $ (2.57)! (2.58)

25 Relativistische Mechanik Energie ε=e/e Geschwindigkeit β=v/c Abbildung 2.8: Abhängigkeit der relativistischen Gesamtenergie 1 eines Teilchens von der Geschwindikeit. Die Übereinstimmung des relativistischen Ausdrucks mit der nicht-relativistischen Definition der kinetischen Energie für kleine Geschwindigkeiten ist wiederum offensichtlich. Wenn die Definition des relativistischen Impulses (2.46) in die Gesamtenergie (2.54) eingesetzt wird, erhält man (2.59) Vergleichen wir diesen Ausdruck für die Gesamtenergie mit der Ruheenergie (2.53) und der kinetischen Energie (2.56), so ergibt sich die einprägsame Beziehung (2.60) Die kinetische Energie ist also nichts anderes als der Überschuss der totalen Energie über die Ruheenergie. vii) Relativistische Masse Rein formal lässt sich auch eine relativistische Masse (2.61) definieren. Gesamtenergie und relativistischer Impuls (2.46) nehmen dann die aus der klassischen Mechanik bekannten Formen an: und. Die Abhängigkeit der in Einheiten von gemessenen totalen Energie 1 von der Geschwindigkeit ist in Abbildung 2.8 dargestellt. Für reduziert sich die Gesamtenergie auf die Ruheenergie,. Für wächst die Gesamtenergie gegen Unendlich, 1. Trotz immer grösser werdender Beschleunigungsarbeit resultiert ein immer kleiner werdender Zuwachs in der Geschwindigkeit, sodass nie über 1 hinauswächst. Die Lichtgeschwindikeit ist die maximale Geschwindigkeit für Materie und Energie!

26 26 2. Kapitel. Einführung in die spezielle Relativitätstheorie

27 Kapitel 3 Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik In diesem Kapitel diskutieren wir einige, auch historisch wichtige Experimente, die zwingend zur Quantentheorie führen, d.h., mit der klassischen Physik alleine nicht erklärbar sind. 3.1 Hohlraumstrahlung Die Hohlraumstrahlung ist der historische Ausgangspunkt der Quantenphysik. Der experimentelle Aufbau besteht aus einem Hohlraum, der von einem Wärmebad der Temperatur umgeben ist. Das Wärmebad wird von der Wandung der Temperatur gebildet. Siehe Abbildung 3.1. Wir betrachten den Zustand, wo die elektromagnetische Strahlung im Hohlraum im thermodynamischen Gleichgewicht mit der Wandung steht. Gleichgewicht bedeutet dabei Definitionen Absorption von Strahlungsenergie Flächeneinheit i) Strahlungsleistung pro Flächeneinheit Emission von Strahlungsenergie Flächeneinheit T Wand W Abbildung 3.1: Hohlraum innerhalb eines Wärmebades ii) Absorptionsgrad emittierte Strahlungsenergie absorbierte Strahlungsenergie auffallende Strahlungsenergie iii) Schwarzer Körper Man spricht von einem schwarzen Körper, wenn im ganzen Wellenlängenbereich gilt Kirchhoffsches Gesetz Für einen Hohlraumstrahler gilt das Gesetz von Kirchhoff : konst. (3.1) 27

28 # Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik ideale Spiegel (A=0) Hohlraum Wand W 1 Wand W 2 E s E T A=1 (schwarz) A< 1 Abbildung 3.2: Zur Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes Das Verhältnis von emittierter Strahlungsleistung pro Flächeneinheit und dem Absorptionsgrad wird Emissionsvermögen genannt. Gleichzeitig ist gerade die Strahlungsleistung eines schwarzen Strahlers:. Das Kirchhoffsche Gesetz hat universelle Gültigkeit für die Hohlraumstrahlung. Es hängt weder von der Temperatur noch vom Material und der Form der Hohlraumstrahlung ab. Die Herleitung des Kirchhoffschen Gesetzes führen wir anhand der Anordnung in Abbildung 3.2. Die horizontal liegenden Flächen spiegeln die Hohlraumstrahlung vollständig. Bei der schwarzen Wand wird die Strahlung emitiert und absorbiert. Die Absorption setzt sich aus der von emitierten und reflektierten Stahlung zusammen. Bei ist die Emission und die Absorption. Durch Gleichgewichtsbildung erhalten wir an beiden Wänden das Kirchhoffsche Gesetz. bei bei Die experimentelle Überprüfung des Gesetzes geschieht im sogenannten Würfel von Leslie Energiedichte Die elektromagnetische Strahlung im Hohlraum wird durch die sogenannte spektrale Energiedichte (3.2) beschrieben, wobei d die Energie pro Volumeneinheit im Frequenzintervall... d ist. Durch Integration erhält man die totale Energiedichte (in ). d (3.3)

29 3.1. Hohlraumstrahlung 29 Wandung mit Temperatur T Hohlraum A Frequenz ν0 Filter für die Hohlraum B Wandung mit Temperatur T Abbildung 3.3: Zur Herleitung der Universalität der spektralen Energiedichte. Über die Öffnungen tauschen die Hohlräume Strahlung der Frequenz aus. Die spektrale Energiedichte ist eine universelle Funktion, d.h. unabhängig von Material und Form des Hohlraumes! Die Herleitung dieser Behauptung führen wir anhand des in Abbildung 3.3 dargestellten Aufbaues. O.B.d.A. sei. Durch den df ϑ r dv df =df cosϑ Ausgleich über den Filter nimmt im Hohlraum B die Energie zu, im Hohlraum A die Energie ab. Damit verbunden ist eine Temperaturzunahme in B und eine Temperaturabnahme in A: '. Da die Temperaturdifferenz 2 ohne Arbeitsleistung entsteht, handelt es sich bei der Anordnung um ein perpetuum mobile zweiter Art. Widerspruch zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Mit ist auch eine universelle Funktion. Wir suchen die Form dieser Funktion und betrachten dazu den mit isotroper Strahlung ausge- Abbildung 3.4: Zur Berechnung des Energieanteils, der aus füllten Hohlraum. d nach d abgestrahlt wird. d beschreibt die gesamte Energie im Volumenelement d. d sei der Energieanteil, der aus dem Volumenelement d nach d abgestrahlt wird. Siehe Abbildung 3.4. Wegen der Isotropie der Strahlung entspricht das Verhältnis von d zur zugehörigen Kugeloberfläche dem Verhältnis von d zur Gesamtenergie. d d d '& d d Definition des Raumwinkels Sei eine beliebige, aber berandete Fläche und ein (nicht in ihr liegender) Punkt gegeben. Der Raumwinkel dieser Fläche bezüglich des Punktes ist durch den Kegel gegeben, dessen Spitze mit zusammenfällt und dessen Mantel durch die Berandung von aufgespannt wird. Das Mass des Raumwinkels ist die Fläche, die der Raumwinkel auf der Oberfläche der Einheitskugel mit der Spitze als Mittelpunkt herausschneidet. Damit ist der zum Flächenelement d der Kugel mit Radius gehörige Raumwinkel d durch d d '& d d (3.5) gegeben. Siehe Abbildung 3.5. Den totale Raumwinkel erhält man durch Integration; er ist (3.4)

30 30 3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik z r sinθ df = dφ r2 sinθ dθ gesamte Schnittfläche: 2 Π r2 sinθ dθ θ O r y x dφ Abbildung 3.5: Zur Definition des Raumwinkels d F F r = c t df θ r dv = dq dr df Abbildung 3.6: Kegel zum Winkel Fläche und der Abbildung 3.7: Abstrahlung von dem Oberflächenelement eines schwarzen Körpers gerade die Oberfläche der Einheitskugel. - - d d '& (3.6) Der Energieanteil, der im Raumwinkelkegel d enthalten ist, berechnet sich durch Integration über die Volumenelemente des Kegels, die Energie nach d abstrahlen. Siehe Abbildung 3.6 für die Notation. d '& '& '& d d d d d( d d (3.7)

31 ' 3.1. Hohlraumstrahlung 31 c j Impuls / Volumen df θ df Abbildung 3.8: Die Impulsdichte durchsetzt in der Zeit d das Flächenelement d. Abbildung 3.9: Auffall des Impulses einer ebenen Welle unter dem Winkel auf das Flächenelement d. Im letzten Schritt wurde ausgenützt, dass die Integration über d( gerade die Fläche d ergibt: d( d (3.8) Die Strahlungsintensität und ihre spektrale Zerlegung sind folgendermassen definiert. '& '& (3.9) (3.10) Die pro Sekunde und Flächeneinheit aus dem Raumwinkelkegel d abgestrahlte Energie d ergibt sich aus Gleichungen (3.7) und (3.9) zu d d d d (3.11) Bei angenommener Isotropie der Hohlraumstrahlung ist die Gesamtenergie durch Integration über den oberen Halbraum gegeben, und umgekehrt wird die Energie d d d d (3.12) (3.13) von der Oberfläche eines schwarzen Körpers in den Halbraum abgestrahlt. Siehe Abbildung 3.7. Für den Energiefluss (Energie pro Fläche und Zeit) und die Impulsdichte gilt das Gesetz 0 (3.14) 0 in Richtung von. Denn von den Teilchen, die dem betrachteten Strah- mit dem Einheitsvektor lungspacket angehören, trägt jedes Teilchen den relativistischen Impuls, und die relativistische Energie. In beiden Fällen bezeichnet die relativistische Masse (2.61). Für den Energiefluss und die Impulsdichte gilt dann, (3.15), (3.16)

32 32 3. Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik Druck isotherme Expansion bzw. Kompression um das Volumen dv bei der Temperatur T+dT bzw. T p+dp p F adiabatische Expansion bzw. Kompression V V+dV Volumen Abbildung 3.10: Carnot scher Kreisprozess mit Hohlraumstrahlung als Arbeitssubstanz und damit offensichtlich das Gesetz (3.14). Aus der Elektrodynamik übernehmen wir den Energiefluss einer ebenen Welle (3.17) mit der Energiedichte. Der Impuls d d einer ebenen Welle durchsetzt in dem Zeitelement d die Flächeneinheit (Abb. 3.8). Mit Gesetz (3.14) und unter Berücksichtigung des Auffallwinkels der Strahlung (Abb. 3.9) folgt für den gesamten zeitlichen Impulsübertrag bei Reflexion d d (3.18) Gesetzt den Fall, die aus dem Raumwinkel d auffallende Energie sei durch Gleichung (3.11) gegeben ( d ), so beträgt der Impulsübertrag aus dem Raumwinkelkegel bzw. dem gesamten oberen Halbraum gerade d d d (3.19) d d d d d (3.20) wobei den Strahlungsdruck (totale Impulsänderung pro Fläche und Zeit) bezeichnet Stefan-Boltzmann-Gesetz Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass die Energiedichte vollständig durch den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik bestimmt ist. Bei dem in Abbildung 3.10 dargestellten Carnotschen Kreisprozess ist der Wirkungsgrad von gewonnener Arbeit d zu hineingesteckter Wärmeenergie einerseits durch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gegeben. d (3.21)

33 $ $ $ # $ 3.1. Hohlraumstrahlung 33 n= n= 4 3 n= 2 n= 1 0 L δk k Abbildung 3.11: Modes zu der totalen Länge dk zweier Moden im Wellen- Abbildung 3.12: Abstand zahlintervall Andererseits folgt mit dem ersten Hauptsatz d (3.22) und der schon hergeleiteten Formel (3.20) für den Strahlungsdruck ein zweiter Ausdruck für den Wirkungsgrad. d ' (3.23) Gleichsetzten der beiden Ausdrücke für den Wirkungsgrad und Integration führt zu dem Gesetz mit der Integrationskonstante. Die Gesamtstrahlung des schwarzen Strahlers aus Gleichung (3.13) nimmt also proportional zu zu mit der Proportionalitätskonstante. *(& (3.24) Wm K $ (3.25) Diese Gesetzmässigkeit der Schwarzkörperstrahlung wurde 1879 von Stefan empirisch entdeckt und 1884 von Boltzmann theoretisch begründet. (3.24) wird deshalb Stefan-Boltzmann-Gesetz genannt Gesetz von Wien Durch die Betrachtung geeigneter adiabatischer Kompressionen im Carnotschen Kreisprozess mit der Hohlraumstrahlung lässt sich in analoger Weise das Gesetz von Wien d + d (3.26) herleiten. ist wie eine universelle Funktion und nimmt im Grenzfall hoher Frequenzen die Form + an. Durch Übergang zur Wellenlänge, d / d, folgt mit d d für die spektrale Energiedichte der Ausdruck /. Für das Maximum der spektralen Energiedichte gilt damit das Wiensche Verschiebungsgesetz (Beweis in den Übungen). mk (3.27) Gesetz von Raleigh-Jeans!&* * Im folgenden betrachten wir die Eigenschwingungen ( Modes ) der Holraumstrahlung im Frequenzin-,. tervall. Für eindimensionale stehende Wellen der totalen Länge gilt:

34 ! Kapitel. Experimentelle Grundlagen der Quantenphysik Lx z L z L y x y Abbildung 3.13: Dreidimensionaler Kasten, in welchem sich stehende Wellen ausbreiten. Die zugehörige Wellenzahl des -ten Modes ist (3.28) Über den Abstand zweier benachbarter Wellenzahlen (Abbildung 3.12) zweier Moden ergibt sich die Anzahl der Moden im Intervall. (3.29) (3.30) Der Faktor ist Konvention und tritt auf, weil die positiven und negativen Moden separat gezählt werden. Die Anzahl Moden einer stehenden Welle im dreidimensionalen Kasten der Abbildung 3.13 und im Intervall ist nur vom Betrag von abhängig. # # # (3.31) Der Faktor 2 berücksichtigt, dass die elektromagnetische Wellen in zwei senkrecht zueinander stehende Polarisationszuständen vorkommen. Die Modes im Frequenzintervall und pro Volumeneinheit ergibt sich damit zu! # (3.32) Der Gleichverteilungssatz (Äquipartitionstheorem oder Äquipotentialprinzip) der Thermodynamik fordert, dass jeder Freiheitsgrad eines physikalischen Systems mit der mittleren Energie belegt ist, wobei # (3.33) die Boltzmann-Konstante ist. Unter der Annahme des Gleichverteilungssatzes folgt das Gesetz von Raleigh- Jeans für die spektrale Energiedichte. Jeder Mode besitzt durch das elektrische und magnetische Feld zwei Freiheitsgrade; die Anzahl Modes müssen wir also mit der mittleren Energie pro Eigenschwingung multiplizieren, um die spektrale Energiedichte zu erhalten.! # (3.34)

35 # ' # # # 3.1. Hohlraumstrahlung 35 Das Raleigh-Jeans-Gesetz erfüllt die Forderung des Wienschen Gesetzes (3.26): #. Die Integration der spektralen Energiedichte über die Frequenz sollte zum Stefan-Boltzmann-Gesetz führen. Dazu im Widerspruch steht aber die sogenannte Ultraviolettkatastrophe. (3.35) Das Raleigh-Jeans-Gesetz beschreibt die Hohlraumstrahlung also nicht korrekt und führt zum Schluss, dass der Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik in diesem Fall nicht anwendbar ist. Da nach dem Kirchhofschen Gesetz die Beschaffenheit des Hohlraumes und der Kontakt zum Wärmebad keine Rolle spielen, ist es möglich, die Hohlraumstrahlung in Kontakt mit harmonischen Oszillatoren (Hertzsche Dipole) zu denken. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, dass ein harmonischer Oszillator pro Zeiteinheit aus der Hohlraumstrahlung im Mittel die Energie lere Energie emittiert,! ( '&21 ( '&21 absorbiert sowie die mittf q f m Abbildung 3.14: Harmonischer Oszillator (3.36) (3.37) wobei die mittlere Energie des harmonischen Oszillators ist. Im Gleichgewichtszustand folgt sofort! (3.38) Wird entsprechend der Forderung des Gleichverteilungssatzes der klassischen Thermodynamik jedem harmonische Oszillator (2 Freiheitsgrade) die Energie zugeordnet, so folgt wiederum das Gesetz von Raleigh-Jeans (3.34), das im Widerspruch zur gemessenen Hohlraumstrahlung steht Planck sches Strahlungsgesetz Planck steht am Beginn der Quantenphysik. Er wurde durch die Interpretation der Daten auf phänomenologischem Wege zu der Formel (3.39) geleitet, die die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators angibt, der im Kontakt mit der Hohlraumstrahlung steht. ist eine neue Konstante, die von Planck zur Beschreibung der Hohlraumstrahlung eingeführt wurde. Wir haben die Planck sche Konstante schon im 1. Kapitel eingeführt. Siehe Gleichung (1.2). Die Oszillatorenergie hängt von der Frequenz ab und nähert sich im Bereich hoher Temperaturen, d.h. für, dem klassischen Ausdruck. Siehe Abbildung Die spektrale Energiedichte ergibt sich nun sofort durch Einsetzen von (3.39) in (3.38). Wir geben die resultierende Planck sche Strahlungsformel einmal in den Grössen und und einmal in den natürlichen Grössen und an.! (3.40) Die spektrale Energieabstrahlung eines schwarzen Strahlers ergibt sich dann zu (3.41)