B+-Baum mit Z-Ordnung. B+-Baum mit Z-Ordnung. Anforderungen. 7.3 Räumliche Zugriffsstrukturen

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1 B+-Baum mit Z-Ordnung Window Query: 1. Ansatz Benutze den gewöhnlichen Algorithmus für Bereichsanfragen im B + -Baum: Suche mit dem kleinsten Z-Wert des Suchrechtecks (entspricht dem linken unteren Eckpunkt) das zugehörige Blatt im B + -Baum Durchlaufe sequentiell die Blätter bis ein Z-Wert größer als der größte Z- Wert im Suchrechteck gefunden wurde B+-Baum mit Z-Ordnung Window Query: 2. Ansatz Jeder Knoten des B-Baums repräsentiert einen Bereich des Datenraums In jedem Knoten wird durch die Separatoren der zugehörige Bereich des Knotens in eilbereiche zerlegt Idee: Verwende zur Beantwortung der Anfrage in einem eilbaum nur den eil des Suchrechtecks, der den Bereich des eilbaums schneidet 42 Suchrechteck (1,2) (1,4) (4,) (2,6) (4,1) (7,) (6,2) (4,4) (6,5) Suchbereich ineffizient, da der Suchbereich verglichen mit dem Suchrechteck sehr groß ist (1,2) (1,4) (4,) (2,6) (4,1) (7,) (6,2) (4,4) (6,5) Zerlegung des Datenraums durch den Separator in der Wurzel Mehraufwand für das Durchlaufen der Indexseiten im B + -Baum eilbereiche sind nicht notwendigerweise echtecke + Zugriff nur auf die tatsächlich relevanten Daten- und Directoryseiten Index- und Speicherstrukturen 113 Index- und Speicherstrukturen äumliche Zugriffsstrukturen Beobachtungen traditionelle Zugriffsstrukturen sind für die Verwaltung von geometrischen Daten nicht (ohne weiteres) geeignet räumliche Zugriffsstrukturen (ZS), die geometrische Selektionen und Kombinationen unterstützen Geo-Objekte sind komplex Organisation von vereinfachten Geo-Objekten (Approximationen), z.b. minimal umgebende echtecke (MU) Verweis auf die exakte Beschreibung (EB) des Geo-Objektes Anforderungen Unterstützung von geometrischen Anfragen Gegeben ein Anfragepunkt P bzw. ein Anfragerechteck Finde die Geo-Objekte Obj mit P... (MU,,...) (MU,,...)... Zugriffsstruktur P Obj.MU Point Query Obj.MU Window Query (EB) Index- und Speicherstrukturen 115 Index- und Speicherstrukturen 116

2 äumlicher Verbund Unterstützung von geometrischen Anfagen (Forts.) Gegeben zwei Mengen von minimal umgebender echtecke M 1 = {MU 1,1, MU 1,2,, MU 1,m } und M 2 = {MU 2,1, MU 2,2,, MU 2,n } Berechne die Menge { (MU 1, MU 2 ) MU 1 M 1, MU 2 M 2 und MU 1 MU 2 } B2 B1 MU-Join B3 Lösungsmenge: (, B1) (, B1) (, B2) (, B2) (, B3) Index- und Speicherstrukturen 117 Clipping Prinzipielle echniken: Clipping vollständige Zerlegung des Datenraums in disjunkte Zellen Speicherung aller Objekte, die eine Zelle schneiden, in einer der Zelle exklusiv zugeordneten Seite (bzw. statt dessen Speicherung von Objektverweisen oder geclippten eilobjekten) edundanz schlechtes Leistungsverhalten für Einfügen, Löschen, große Window Queries Index- und Speicherstrukturen Zellen (Seiten): Prinzipielle echniken: Über. egionen Überlappende Seitenregionen Aufteilung der echtecke in Gruppen, wobei jede Gruppe exklusiv in einer Seite abgespeichert wird Prinzipielle echniken: ransformation ransformation in höherdimensionalen aum (Punkttransformation) Abbildung von n-dimensionalen echtecken in 2n-dimensionale Punkte Speicherung durch 2n-dimensionale Punktzugriffsstruktur (z.b. Gridfile) 3 Gruppen (Seiten): I int si II int si III int si IV int si = 1-dim. Intervalle I j : Ausd als 2-dim. Punkte P j : Ausd,5,5 I 3. II P 1 si.ext I 2 I III III 1 P. 2. P 3 IV I IV 1 1 Miitte si.cent 1 Mitte Mittelpunkt- Ausdehnungs- Darstellung Anfrageräume zur Suche von Intervallen int bzgl. eines Intervalls si = (si.cent,si.ext) Überlappung (Point Query muß ggf. mehrere Seiten durchsuchen) Verlust von räumlicher Nähe möglich: I 1 I 2, I 2 I 3 = d (P 1,P 2 ) > d (P 2,P 3 ) Index- und Speicherstrukturen 119 Index- und Speicherstrukturen 12

3 Prinzipielle echniken: 1-dim. ransf. Einbettung in eindimensionalen aum vollständige Zerlegung des Datenraums in gleichförmige disjunkte Zellen Definition einer linearen Ordung auf diesen Zellen Organisation der Zellen über eine herkömmliche (eindimensionale) Zugriffsstruktur (z.b. B-Baum) zum eil Verlust von räumlicher Nähe Baum Zugriffsstruktur für die effiziente Verwaltung von echtecken basiert auf der Idee überlappender Seitenregionen verallgemeinert die Idee des B + -Baums Definition Ein -Baum mit ganzzahligen Parameter m und M, 1 m M/2, organisiert eine Menge von echtecken in einem Baum mit folgenden Eigenschaften: Der Baum besteht aus Daten- und Directoryseiten. In einer Datenseite werden echtecke (plus weitere Informationen) und in einer Directoryseite Indexeinträge der Form (, ef) gehalten. Hier bezeichnet ein echteck und ef eine eferenz auf einen eilbaum. Jedes echteck eines Indexeintrags überdeckt die Datenrechtecke des zugehörigen eilbaums minimal. Alle Datenseiten sind Blätter des Baums. Der Baum ist vollständig balanciert, d.h. alle Pfadlängen von der Wurzel zu einem Blatt sind gleich. Jede Seite besitzt maximal M Einträge und, mit Ausnahme der Wurzel, mindestens m Einträge. Index- und Speicherstrukturen 121 Index- und Speicherstrukturen 122 Beispiel Anfragenbearbeitung im -Baum Beispiel M = 3, m = 1 S Wurzel Directoryseite S Datenseiten Suchanfragen S S Point Query Window Query S S Index- und Speicherstrukturen 123 Index- und Speicherstrukturen 124

4 Dynamischer Aufbau (I) Dynamischer Aufbau (II) Optimierungsziele Aufbau geringe Überlappung der Seitenregionen Seitenregionen mit geringem Flächeninhalt (geringe Überdeckung von totem aum) Seitenregionen mit geringem Umfang S Split in 2 Seiten S M = 3, m = 1 Start: leere Datenseite (= Wurzel) Einfügen von:,,,,,, * (Überlauf) S Frage: Wie wird aufgeteilt? (Splitstrategie) S? Frage: Wo wird eingefügt? (Einfügestrategie) Index- und Speicherstrukturen 125 Index- und Speicherstrukturen 126 Einfügestrategie des -Baums Das echteck ist in einen -Baum einzufügen Fälle Fall 1: fällt vollständig in genau ein Directory-echteck D Einfügen in eilbaum von D Fall 2: fällt vollständig in mehrere Directory-echtecke D 1,..., D n Einfügen in eilbaum von D i, das die geringste Fläche aufweist Fall 3: fällt vollständig in kein Directory-echteck Einfügen in eilbaum von D, das den geringsten Flächenzuwachs erfährt (in Zweifelsfällen:..., das die geringste Fläche hat) D muß entsprechend vergrößert werden Variationsmöglichkeiten Einbeziehen der entstehenden Überlappung, des Umfangs, des toten aums Index- und Speicherstrukturen 127 Splitstrategien für -Bäume (I) Der Knoten K läuft mit K = M+1 über: Aufteilung auf zwei Knoten K 1 und K 2, s.d. K 1 m und K 2 m Erschöpfender Algorithmus Suche unter den O(2 M ) Möglichkeiten die beste aus sehr aufwendig (M 2) Linearer Algorithmus Suche für jede Dimension die Extrem -echtecke Wähle das Paar von echtecken mit den größten (normalisierten) Abstand bezüglich einer Dimension; diese beiden echtecke bilden K 1 und K 2 Durchlaufe alle verbliebenen echtecke i und weise sie dem Knoten K j zu, der dadurch den geringsten Flächenzuwachs erfährt Falls die Anzahl der verbliebenen echtecke = m - K j, dann weise sie K j zu Quadratischer Algorithmus (Änderungen) Wähle das Paar von echtecken 1 und 2 mit dem größten Wert von d als Ausgangsmenge für K 1 bzw. K 2 ; d := Fläche( 1 2 ) - Fläche( 1 ) - Fläche( 2 ) Durchlaufe alle verbliebenen echtecke i in einer eihenfolge, so daß immer das echteck i als nächstes zugeordnet wird, wo die Differenz zwischen Fläche(K 1 i )-Fläche (K 1 ) und Fläche(K 2 i )-Fläche (K 2 ) am größten ist Index- und Speicherstrukturen 128

5 *-Baum-Split Splitstrategien für -Bäume (II) Bestimmung der Splitdimension Sortiere für jede Dimension die echtecke gemäß ihrer Extremwerte Für jede Dimension: Für jede der beiden Sortierungen werden M-2m+2 Aufteilungen der M+1 echtecke bestimmt, so daß die 1. Gruppe der j-ten Aufteilung m-1+j echtecke und die 2. Gruppe die übrigen echtecke enthält UG sei die Summe aus dem Umfang der beiden MUs 1 und 2 um die echtecke der beiden Gruppen US sei die Summe der UG aller berechneten Aufteilungen Es wird die Dimesion mit dem geringsten US als Splitdimension gewählt Bestimmung der Aufteilung Es wird die Aufteilung der gewählten Splitdimension genommen, bei der 1 und 2 die geringste Überlappung haben In Zweifelsfällen wird die Aufteilung genommen, bei der 1 und 2 die geringste Überdeckung von totem aum besitzen Vermeidung von Splits (*-Baum) Bevor eine Seite einem Split unterzogen wird, werden die am weitesten vom Zentrum des gemeinsamen minimalen echtecks entfernt liegenden Einträge (Einträge von Datensätzen oder von eilbäumen) gelöscht und noch einmal in den *-Baum eingefügt (Forced einsert) Ziele: Vermeiden von Splits bessere Speicherplatzausnutzung Anpassung des *-Baums an die aktuelle Datenverteilung (bessere Unabhängigkeit von sortierten Einfügungen) (Die besten esultate hat bei Experimenten m =,4*M ergeben) Index- und Speicherstrukturen 129 (Anteil der gelöschten und wieder eingefügten echtecke beim *-Baum: 3%) Index- und Speicherstrukturen 13 Leistungsvergleich Zusammenfassung (Beckmann, Kriegel, Schneider, Seeger 199) Zusammenfassung Aufbau PQ WQ (kl.) WQ (gr.) Join linearer Algorithmus quadratischer Algorithmus *-Baum Messung der Anzahl der Seitenzugriffe *-Baum (*-Baum-Split & Forced einsert) auf 1 normalisiert Prinzip der überlappenden Seitenregionen echtecke im Directory können sich überlappen Point Query nicht auf einem Pfad beschränkt echtecke, die Objekte approximieren, werden genau einmal in der Struktur gespeichert elativ einfach zu implementieren Einfüge- und Splitstrategien basieren auf heuristischen Überlegungen Optimierungsgesichtspunkte: geringe Überlappung der Seitenregionen Seitenregionen mit geringem Flächeninhalt / geringe Überdeckung von totem aum Seitenregionen mit geringem Umfang Speicherplatzausnutzung Index- und Speicherstrukturen 131 Index- und Speicherstrukturen 132