Bachelorarbeit. Numerische Methoden zur Abstandsberechnung eines kubischen Splines und eines Punktes in 2D

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1 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Numerik (LS III) Bachelorarbeit Bachelor fachwissenschaftliches Profil Numerische Methoden zur Abstandsberechnung eines kubischen Splines und eines Punktes in 2D Ausarbeitung vorgelegt von Patrick Kraft zur Vorlage bei Herrn Prof. Dr. S. Turek Abgabedatum Februar 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Allgemeine Begrifflichkeiten Kubischer Spline Beschreibung der Matlab Umgebung roots Mathematische Formulierung des Problems und dessen Herleitung Darstellung der Ausgangslage und des Problems Ansätze zur Lösung des Problemes Abtastmethode Lösungansatz über eine Extremwertaufgabe Kapitel Der erste numerische Test Numerischer Test mit der Abtastmethode Numerischer Test der Extremwertmethode Der zweite numerische Test Numerischer Test mit Hilfe der Abtastmethode Numerischer Test der Extremwertaufgabe Numerische Tests, die auf einem Gitter basieren Erster Gittertest mit Kontrollanalyse Zweiter Gittertest und Vergleich der Methoden Niveaulinie und 3D Plot zur Abtastmethode Niveaulinie und 3D Plot zur Extremwertmethode Vergleich der Methoden Anhang 38 2

3 Abbildungsverzeichnis 1 Kubischer Spline Minimierungsproblem Ausgangslage Erster Schritt der Abtastmethode Ergebnis der Abtastmethode Ergebnis der Minimierungsaufgabe Ergebnis der Abtastmethode Ausganssituation für Kapitel Niveaulinien für die Abtastmethode mit den Gitterpunkten Niveaulinien für die Extremwertmethode mit den Gitterpunkten D Plot der minimalen Abstände bzw. der Niveaulinien für die Abtastmethode D Plot der minimalen Abstände bzw. der Niveaulinien für die Extremwertmethode D Plot, der Ergebnisse der Gradientenrechnung für die Abtastmethode Plot, der Ergebnisse der Gradientenrechnung für die Extremwertmethode Ausganssituation für Kapitel Niveaulinie zur Abtastmethode D Plot zur Abtastmethode Niveaulinien zur Extremwertmethode D Plot zur Abtastmethode

4 1 Einleitung Die Problemstellung, die in dieser Arbeit analysiert wird, ist, den minimalen Abstand eines Punktes zu einem kubischen Spline zu berechnen. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Erarbeitung zweier Lösungsmethoden, die den minimalen Abstand zwischen einem Punkt und dem kubischen Spline berechnen werden. Die Analyse wird mit der Abtastmethode und der Extremwertmethode durchgeführt. In Kapitel zwei werden allgemeine Begrifflichkeiten wiederholt und die MATLAB - Umgebung roots erklärt. Die beiden Lösungsmethoden werden im dritten Kapitel allgemein verifiziert. Diese Methoden werden in Kapitel vier an einem einzelnen externen Punkt getestet. Im abschließenden fünften Kapitel werden zwei numerische Tests, die auf einem Punktgitter basieren, durchgeführt. Zum einen wird eine Kontrollanalyse durchgeführt und zum anderen die zwei Methoden miteinander verglichen. 2 Allgemeine Begrifflichkeiten In diesem zweiten Kapitel sollen die grundlegenden Begrifflichkeiten, die für die Herleitung und Lösung des Problemes verwendet werden, dargestellt werden. Relevante Verfahren sind kubische Splines und die Matlab - Umgebung roots. 2.1 Kubischer Spline Die Ausführungen in diesem Kapitel basieren auf [1]. Sei I = [a, b] R ein zu analysierendes Intervall mit einer Zerlegung a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Definition 2.1 Eine Funktion s n : I R mit I = [a, b] heißt kubischer Spline zu einer Zerlegung X, wenn gilt: 1. s n C 2 [a, b], 2. s [xi 1,x i ] P 3, für i = 1,...,n. Falls zusätzlich 3. s n(a) = s n(b) = 0 gilt, wird von einem natürlichen Spline gesprochen. Im Weiteren der Arbeit wird mit natürlichen kubischen Splines gearbeitet. Zur Existenz des interpolierenden kubischen Splines zu vorgebenen Knotenpunkten s n (x i ) = y i für i = 1,..., n sei auf den folgenden Satz verwiesen: Satz 2.2 Die Existenz des natürlichen kubischen Splines ist gesichert und er ist durch die Vorgaben s n(a) und s n(b) eindeutig. 4

5 Kubischer Spline Beweis: Für alle kubischen Splines gilt, dass sie die folgende Form s(x) [xi 1,x i ] = p i (x) für i = 1,... n und p i P 3 bezüglich einer Zerlegung X besitzen. Die 4 Koeffizienten die jedes p i besitzt ergeben insgesamt 4n zu bestimmende Parameter. Es stehen die folgenden Vorschriften zur Verfügung, mit denen die Koeffizienten wie unten beschrieben berechnet werden können. s(x i ) = y i i = 1,..., n : 2n Gleichungen s C(I) : n 1 Gleichungen s C(I) : n 1 Gleichungen Zusatzbedingungen (s (a), s (b)) : 2 Gleichungen : 4n Gleichungen Sei im Folgenden die Funktionenmenge N gegeben: N = {ω C 2 (I) ω(x i ) = 0, i = 0,..., n}. Seinen s (1) n, s (2) n zwei interpolierende natürliche Splines. Es gilt für die Differenz bei beliebigen ω N mit partieller Integration: b a n 1 s (x)ω (x)dx = i=0 i=0 n 1 xi+1 x i s (x)ω (x)dx n 1 ( = s (x)w (x) x i+1 x i ) s (x)w(x) x i+1 = i=0 s (x)w (x) x i+1 x i = s (b)w (b) s (a)w (a) = 0. x i + xi+1 x i ) s (iv) (x)ω(x)dx Spezialfall: Sei ω s N. Dann gilt b a s (x) 2 dx = 0. Das bedeutet, dass s linear ist. Nachdem gezeigt worden ist, dass natürliche kubische Splines existieren und diese eindeutig sind, soll im Weiteren eine Herleitung zu deren Berechnung aufgezeigt werden. Die Bestandteile s [xi 1,x i ] = p i P 3 des Splines lassen sich explizit berechnen. Die p i haben die folgende Form p i (x) = a 0 + a (i) 1 (x x i) + a (i) 2 (x x i) 2 + a (i) 3 (x x i) 3, für i = 1,..., n. 5

6 Zu bestimmen sind die 4n Koeffizienten a (i) 0,..., a(i) 3. Dies wird für interpolierende natürliche kubische Splines aufgezeigt. Die Interpolationsbedingungen sind: p i (x i ) = y i für i = 1,..., n, p i (x i 1 ) = y i 1 für i = 1,..., n. Mit dieser Bedingung können die ersten n Koeffizient gefolgert werden: Durch 1. h i = x i x i 1, a (i) 0 = y i, i = 1,..., n. (1) 2. Randbedingung: p i (x 0) = p n(x n ) = 0, 3. Stetigkeit der ersten Ableitung: p i (x i) = p i+1 (x i), 4. Stetigkeit der zweiten Ableitung: p i (x i) = p i+1 (x i) erhält man die weiteren Koeffizienten: a (i) 3 = a(i) 2 a(i 1) 2 i = 1,..., n, (2) 3h i a (i) 1 = y i y i 1 + h i h i 3 (2a(i) 2 + a(i 1) 2 ) i = 1,..., n. (3) Durch die Gleichung h i a (i 1) 2 + 2(h i + h i+1 )a (i) 2 + h i+1a (i+1) 2 = 3( y i+1 y i + y i y i 1 ) h i+1 h i wird ein (n 1) x (n 1) Gleichungssystem für den (n 1) - Vektor (a (1) 2,..., a(n 1) 2 ) T generiert. Die entstandene Koeffizientenmatrix ist sowohl symmetrisch als auch strikt diagonaldominat. Daraus folgt, dass die Matrix positiv definit und somit regulär ist. Aus der Regularität der Matrix folgt, dass die Lösung des Gleichungssystems eindeutig ist und man erhält die Koeffizienten a (1) 2,..., a(n 1) 2, a (n) 2 = 0. Das Einsetzten dieser Werte in die Gleichungen (2) und (3) generiert die fehlenden Koeffizienten a (1) 1,..., a(n) 1 und a (1) 3,..., a(n) 3. Durch die Bestimmung der 4n Koeffizienten wird ein kubischer Spline zu einer gegebenen Datenmenge generiert. 6

7 Beschreibung der Matlab Umgebung roots 2.2 Beschreibung der Matlab Umgebung roots In diesem Kapitel wird die Funktionsweise der MATLAB Umgebung roots beschrieben, die die Nullstellen des folgenden Polynoms berechnet: a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0. Das bedeutet, dass der Befehl roots das folgende Problem lösen muss: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 x n + a n 1 a n x n a 1 a n x + a 0 a n = 0 Dieses Problem kann in eine Frobenius - Matrix überführt werden. Es sei a n 1 a n = ã n 1. Nach [3] hat die Frobenius Matrix folgende Gestalt: A = 0 1 ã 0... ã n 2 ã n 1 Für den Algorithmus den MATLAB verwendet, um die Nullstellen zu berechnen, muss die Matrix A umgeformt werden. ã 0 ã 1... ã n 2 ã n 1 ã n 1 ã n 2... ã 1 ã A = 0 1 A = Diese Matrix hat die richtige Form, die im Algorithmus [2] verwendet wird. Das charakteristische Polynom dieser Matrix ist a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Die Eigenwerte der Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, respektive die Eigenwerte müssen berechnet werden. Zur Eigenwertberechnung wird in dem Algorithmus der Befehl eig verwendet. Der Algorithmus, der von der roots Umgebung verwendet wird, ist:[3] 1 [m,n] = size(a); %a sei hier der Koeffizientenvektor 2 n = n-1; 3 A = diag(ones(n-1,1),-1); 4 A(1,:) = -a(2:n+1)./a(1); 5 eig(a) Für diesen Algorithmus benötigt der Anwender nur die Koeffizienten des Polynoms. 7

8 3 Mathematische Formulierung des Problems und dessen Herleitung In diesem Kapitel soll die Ausgangslage des Problems geschildert werden und im Anschluss eine Herleitung zur Lösung des Problems aufgezeigt werden. In der Herleitung werden grundlegende Techniken verwendet, die in Kapitel 2 wiederholt worden sind. 3.1 Darstellung der Ausgangslage und des Problems Der erste Ausgangspunkt sei eine Zerlegung des Intervalls I = [a, b] mit a = x 1 < x 2 <... < x n+1 = b und den dazugehörigen y i für i = 1,..., n+1 gegeben. Die Zerlegung ist I i = [x i, x i+1 ]. Diese (n + 1) - Punkte sollen durch einen Spline interpoliert werden, im Folgenden wird hierfür ein natürlicher kubischer Spline verwendet. In den Knoten des Splines ist eine geeignete Differenzierbarkeitseigenschaft gefordert, hier sei die interpolierende Funktion s C 2 [a, b]. Der zweite Ausgangspunkt ist, dass ein beliebiger aber fester Punkt gegeben ist, der außerhalb des Splines liegt. Die beiden Ausgangslagen werden mit dieser Graphik illustriert: kubischer Spline externer Punkt Stützstellen Spline x_1 x_{n+1} Abbildung 1: Kubischer Spline 8

9 Darstellung der Ausgangslage und des Problems Im weiteren Verlauf sollen noch einige Vorüberlegungen gemacht werden. Mit der expliziten Berechnung des interpolierenden Splines s n kann dieser mit seinen Bestandteilen s [xi,x i+1 ] = p i P 3 in der Form p i (x) = a 0 + a (i) 1 (x x i) + a (i) 2 (x x i) 2 + a (i) 3 (x x i) 3, für i = 1,..., n beschrieben werden. Diese Polynome werden im weiteren Verlauf und vor allem in der Implementierung in einer anderen Darstellung, die hier angegeben werden soll, benötigt: p i (x) = a (i) 3 x3 3 a (i) 3 x2 x i + 3 a (i) 3 x x2 i a (i) 3 x3 i + a (i) 2 x2 2 a (i) 2 x i x + a (i) 2 x2 i + a (i) 1 x a(i) 1 x i + a (i) 0 für i = 1,..., n. Nachdem die Ausgangslage geschildert worden ist, kann das Problem formuliert und dargestellt werden. Die Problemstellung ist, den minimalen Abstand des externen Punktes, der im Weiteren mit (P x, P y ) bezeichnet wird, zum Spline zu bestimmen. 3.2 Ansätze zur Lösung des Problemes In diesem Kapitel soll eine Lösung des oben formulierten Problemes erarbeitet werden. In dem Kapitel soll eine Lösungsmethode erarbeitet werden, die einzelne Punkte des Splines abtastet und von diesen Punkten aus den Abstand zu dem externen Punkt berechnet. Dies erfolgt über eine Vorschrift, die das Intervall, in dem sich die Lösung befindet, in jedem Schritt weiter eingegrenzt. In dem Kapitel wird eine Lösung vorgestellt, die den euklidischen Abstand minimiert. In diesem Kapitel wird die Lösung sehr genau approximiert Abtastmethode Im Folgenden Kapitel soll der erste Lösungsansatz des oben beschriebenen Problems erarbeitet werden. Der minimalen Abstand zwischen dem Punkt auf dem Spline an der zubestimmenden kritischen Stelle und dem Punkt (P x, P y ) hängt von der kritischen Stelle ab, weil sowohl der natürliche kubische Spline als auch der vorgegebene externe Punkt eindeutig bestimmt sind. Der erste Schritt wird für ein festes Intervall I i mit den Intervallenden [x i, x i+1 ] durchgeführt. Von den Randpunkten wird zuerst der Abstand zu dem externen Punkt berechnet. Hierbei sei A i,1 der Abstand des Punktes am Intervallanfang zu dem externen Punkt und B i,1 der Abstand des Punktes am Intervallende zu dem externen Punkt. Zuerst sei 9

10 a i,1 = x i und b i,1 = x i+1. Im zweiten Schritt werden diese beiden Abstände berechnet: A i,1 = (a i,1 P x ) 2 + (p i (a i,1 ) P y ) 2, B i,1 = (b i,1 P x ) 2 + (p i (b i,1 ) P y ) 2. In der letzten Vorbereitung um die rekursive Vorschrift zu definieren, ist ein geeignetes h zu definieren: y 1 1 h = ( y 1 + y 1 + y 2 ) x 1+1 x 1 1 falls i = 1 1 ( y i 1 + y i + y i+1 ) 1 x i+1 x i 1 x i x i 1 1 Es wird das größtmögliche h gewählt, damit die Wahl des h von den Splinewerten abhängt. Der dritte Schritt ist die a i,j+1 und b i,k+1 zu berechnen: a i,j+1 = a i,j + 1 h (b i,k a i,j ) für A i,j > B i,k, b i,k+1 = b i,k 1 h (b i,k a i,j ) für A i,j < B i,k. Im vierten Schritt werden die Abstände berechnet und verglichen: A i,j = (a i,j P x ) 2 + (p i (a i,j ) P y ) 2, B i,k = (b i,k P x ) 2 + (p i (b i,k ) P y ) 2. Falls für ɛ > 0 die Differenz A i,j B i,k > ɛ ist, führe Schritt drei wiederum durch. Dies muss solange wiederholt werden, bis die Differenz der Abbruchbedingung ɛ genügt. Die Abstände, die dieser Abbruchbedingung im Intervall I i genügen, werden in den Vektoren Abstand_a_opt und Abstand_b_opt gespeichert. Dieser Algorithmus wird für alle i durchgeführt. Abschließend wird der minimale Eintrag der Vektoren und die dazugehörige Stelle bestimmt. Dieser Abstand ist der minimale Abstand zwischen dem Spline und dem externen Punkt mit der kritischen Stelle z kritisch. Bemerkung 3.1 Die Konvergenz dieser Methode wird nicht bewiesen, stattdessen wird in Kapitel 5 die Korrektheit der minimalen Abstände an zwei großen Tests mit den verschiedenen Methoden überprüft. 10

11 Lösungansatz über eine Extremwertaufgabe Lösungansatz über eine Extremwertaufgabe In diesem Kapitel wird der euklidische Abstand zwischen dem externen Punkt und dem Spline mit einer Extremwertaufgabe gelöst. Im ersten Schritt wird das Äußere des Intervalls I i nach Extremalstellen analysiert, dazu werden die Abstände der Randpunkte zu dem externen Punkt berechnet: A i,1 = (x i P x ) 2 + (p i (x i ) P y ) 2, B i,1 = (x i+1 P x ) 2 + (p i (x i+1 ) P y ) 2. Diese beiden Abstände werden in dem Vektor Abstand gespeichert. Im zweiten Schritt wird das Innere des Intervalls I i analysiert. Seien im Weiteren a, b, c R + die Längen der Strecken wie in Abbildung 2, dann ergibt sich als erste Gleichung: c 2 = a 2 + b 2. (4) kubischer Spline externer Punkt Stützstellen c a b Spline x_1 x_{n+1} Abbildung 2: Minimierungsproblem 11

12 In der Gleichung (4) können die Variablen a, b wie folgt ersetzt werden: a = P x z i, b = P y p i (z i ) mit x i z i x i+1. Bemerkung 3.2 Die Variable z i ist in der Extremwertaufgabe der gesuchte Wert für das Intervall I i. Durch das Ersetzen von a, b generiert man die folgende Gleichung: c 2 = (P x z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2. Durch weiteres Umformen werden die beiden folgenden Formen erhalten: c = (P x z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2 = Px 2 2 P x z i + zi 2 + P y 2 2 P y p i (z i ) + p i (z i ) 2 Das c beschreibt den Abstand zu einem beliebigen Punkt auf dem Spline s und dem vorgebenden externen Punkt (P x, P y ). Desweiteren sind die Variablen P x, P y bekannt und zudem sind durch die Datenvektoren die p i eindeutig bestimmt. Das bedeutet c hängt somit nur von der Variablen z i ab. Diese Tatsachen haben zu Folge, dass das c minimiert werden muss. Da ein natürlicher kubischer Spline aus C 2 (I) ist, ist das Differenzial von c wohldefiniert und lässt sich wie folgt schreiben: d c = ( 2 P x + 2 z 1 2 P y p i (z i) + 2 p i (z i ) p i (z i)) dz i 2 (P x z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2 = 2 ( P x + z i P y p i (z i) + p i (z i ) p i (z i)) 2 (P x z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2 = p i (z i) ( P y + p i (z i )) + (z 1 P x ) (Px z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2. Bemerkung 3.3 Der Term p i (z i) ( P y+p i (z i ))+(z i P x) (Px zi ) 2 +(P y p i (z i )) 2 ist wohldefiniert, denn (P x, P y ) soll außerhalb des natürlichen kubischen Splines liegen. Das bedeutet (P x z i ) 2 0 und (P y p i (z i )) 2 > 0 oder (P x z i ) 2 > 0 und (P y p i (z i )) 2 0. Falls der Punkt (P x, P y ) T auf dem Spline liegt, wird der minimale Abstand von Null zurück gegeben. Um c mit der kritischen Stelle z i zu minimieren, muss das Differenzial gleich Null gesetzt werden. p i (z i) ( P y + p i (z i )) + (z i P x ) (Px z i ) 2 + (P y p i (z i )) 2 = 0 p i(z i ) ( P y + p i (z i )) + (z i P x ) = 0 12

13 Lösungansatz über eine Extremwertaufgabe Somit wird die Gleichung (5) generiert: p i (z i ) p i(z i ) p }{{} i(z i ) P y +z i P x = 0 (5) }{{} P 5 P 2 Die Gleichung (5) ist vom maximalen Polynom Grad 5, dass heißt, es müssen i nichtlineare Gleichungen fünften Grades gelöst werden. Diese nichtlinearen Gleichungen werden mit der MATLAB - Umgebung roots gelöst. Dabei werden alle Extremalstellen berechnet. Für die Bestimmung der kritischen Stelle, zu der der Abstand zum externen Punkt minimal ist, wird nicht über die zweite Ableitung bestimmt. Falls die roots Umgebung mehrere Nullstellen berechnet wird zu jeder Stelle der Abstand zum externen Punkt bestimmt und der minimale Abstand des Intervalls I i in Abstand an der i - ten Stelle gespeichert. Im dritten Schritt wird der minimale Abstand zum externen Punkt für das Intervall berechnet, indem der minimale Eintrag des Vektors Abstand bestimmt wird. Dieser minimale Abstand für das Intervall I i wird in dem Vektor ABSTAND an der Stelle i-ten Stelle gespeichert. Diese Berechnung wird für alle Intervalle I i durchgeführt. Im letzten Schritt wird der minimale Eintrag des Vektors ABSTAND und dazugehörige Stelle bestimmt und schließt somit die Analyse ab. Zur Konvergenzdiskussion sei hier auf Bemerkung 3.1 aus Kapitel verwiesen. 13

14 4 Kapitel 4 In diesem viertel Kapitel sollen verschiedene Tests mit den zwei Lösungswegen, die in Kapitel drei erarbeitet worden sind, durchgeführt werden. 4.1 Der erste numerische Test Die Ausgangssituation ist in diesem Kapitel die folgende: Es sind die beiden Datenvektoren x = ( 0, 1, 2, 3, 4 ) T und y = ( 1, 10, 1, 0, 2 ) T gegeben. Hierbei sind x die Stützstellen mit dem Intervall [0, 4] und y die dazugehörigen Funktionswerte. Im Folgenden sei i {1, 2, 3, 4}. Außerdem sei der externe Punkt geben mit (P x, P y ) T = (2, 5) T. Durch die beiden Datenvektoren x und y ist ein natürlicher kubischer Spline eindeutig bestimmt. Durch das im Anhang befindliche Matlab - Programm wird die folgende Darstellung, welche in Kapitel 2 allgemein angeben ist, im konkreten Fall verifiziert. Es sind fünf Stützstellen geben, das heißt es werden vier Polynome in diesem konkreten Fall generiert: p 1 (x) = (x 0) (x 0) (x 0) 3, p 2 (x) = (x 1) (x 1) (x 1) 3, p 3 (x) = (x 2) (x 2) (x 2) 3, p 4 (x) = (x 3) (x 3) (x 3) 3. Eine Umformulierung der Polynome ergibt: p 1 (x) = x x , p 2 (x) = x x x , p 3 (x) = x x x , p 4 (x) = x x x Diese Darstellung wird bei den folgenden Lösungmethoden benötigt, um die Nullstellen mit dem Maltlab Befehl roots zu berechnen. Die erste Lösungsmethode ist die Abtastmethode, die im Weiteren getestet und untersucht werden soll. 14

15 Numerischer Test mit der Abtastmethode kubischer Spline externer Punkt Stützstellen Spline Abbildung 3: Ausgangslage Numerischer Test mit der Abtastmethode Die Abtastmethode tastet nach der oben beschriebenen Vorschrift einzelne Punkte auf dem Spline ab und berechnet von diesen den Abstand zu dem vorgegebenen externen Punkt (P x, P y ) T. Zuerst soll das Teilinterval I 1 = [0, 1] untersucht und die Ergebnisse zusammengetragen werden. Sei a = a 1,1 = 0 und b = b 1,1 = 1. Im ersten Schritt soll nun der Abstand von den beiden Randpunkten des Splines berechnet werden. A 1,1 ist der Abstand des Punktes (0, 1) T zu dem externen Punkt und B 1,1 ist der Abstand des Punktes (1, 10) T zu dem externen Punkt. Die Berechnung ergibt, dass A 1,1 = und B 1,1 = beträgt. Bemerkung 4.1 Sei (a i,k ) k N eine Folge, die die möglichen kritischen Stellen ausgehend von der Stelle x i speichert und sei (b i,l ) l N eine Folge, die die möglichen kritischen Stellen Student Version of MATLAB ausgehend von der Stelle x i+1 speichert. In der Folge (A i,k ) k N sind die Abstände von den Punkten der möglichen kritischen Stellen a i,k gespeichert und in der Folge (B i,l ) l N sind die Abstände von den Punkten der möglichen kritischen Stellen b i,l gespeichert. Die i geben die Intervalle an und die k,l die Stellen in dem Intervall i. Die Situation soll durch die Abbildung 4 veranschaulicht werden: Im zweiten Schritt müssen die beiden Abstände miteinander verglichen werden: = A 1,1 < B 1,1 =

16 Funktionswerte kubischer Spline (Px,Py) A1 B Stützstellen Abbildung 4: Erster Schritt der Abtastmethode Das heißt, somit folgt im nächsten Schritt, dass a 1,1 = 0 ist. Für die Berechnung von z 1 muss ein geeignetes 1 h gefunden werden. In diesem Schritt wird das h folgendermaßen gewählt: h = { y 1 = 14 1 falls y 1 > ( y y 2 1 ) x 1+1 x 1 1, 1 ( y y 2 1 ) x 1+1 x 1 1 = 11 sonst. Im diesem konkreten Fall heißt dies, dass h = 14 ist. Mit der Vorschrift aus Kapitel kann nun eine neue mögliche kritische Stelle berechnet werden. Diese Stelle wird zunächst in der Folge (b 1,l ) l N gespeichert, denn A 1,1 < B 1,1. Demnach wird die Stelle festgehalten deren Anfangsabstand geringer ist. Diese Berechnung lässt sich wie folgt durchführen: b 1,2 = (1 0) = für B 1,1 > A 1,1 Student Version of MATLAB Das heißt, dass eine neue mögliche kritische Stelle in dem Intervall I 1 bestimmt worden ist. Zu dieser neuen Stelle muss der Splinewert berechnet werden. Das Polynom p 1 muss an der Stelle b 1,2 = ausgewertet werden, weil die Stelle b 1,2 [0, 1] liegt. p 1 (0.9286) = = wie in Kapitel

17 Numerischer Test mit der Abtastmethode Im nächsten Schritt wird der euklidische Abstand des externen Punktes zu dem neuen Punkt (0.9286, ) T berechnet: B 1,2 = ( ) 2 + ( ) 2 = Im letzten Schritt des ersten Durchlaufes des Algorithmus für das Interval I 1 wird eine Abbruchbedingung geprüft. Diese ist A i,k B i,l 1 ɛ. In diesem Beispiel sei ɛ = 10 10, das heißt: A 1,1 B 1,2 1 = > Dies ist das Ergebnis des ersten Durchlaufes durch den Algorithmus. Die Abbruchbedingung ist nicht erfüllt, folglich wird der Algorithmus solange durchlaufen, bis die Abbruchbedinung erfüllt ist. Nun sollen die Endergebnisse für das Intervall I 1 kompakt dargestellt werden. Bei dieser Genauigkeit müssen 132 Durchläufe durch den Algorithmus durchgeführt werden, bis die Abstände A 1,62 und B 1,71 sich um höchstens unterschieden. Es werden die Punkte, die Kandidaten für die kritische Stelle sind, und die Abstände angegeben: P a1,62 = ( , ) T, P b1,71 = ( , ) T. Die beiden Abstände zu diesen beiden Punkten zu dem externen Punkt sind: A 1,62 = , B 1,71 = Für den Abstand A 1,62 = < = B 1,71 gilt, dass die Stelle a 1,62 als mögliche kritische Stelle in Stelle opt an der ersten Stelle gespeichert wird. Der zugehörige Abstand A 1,62 wird in Abstand opt an der ersten Stelle gespeichert. Im Folgenden werden die Ergebnisse für die Intervalle I 2 = [1, 2], I 3 = [2, 3] und I 4 = [3, 4] kompakt präsentiert. Stelle ak k Stelle bl l I I I Abstand Ai,k Abstand Bi,l minimaler Abstand Kandidat: z kritisch I I I Der minimale Abstand ist Abstand A2,70 Stelle z kritisch = = folglich ist die kritische 17

18 12 10 kubischer Spline (Px,Py) Abstand 8 Funktionswerte Stützstellen Abbildung 5: Ergebnis der Abtastmethode Numerischer Test der Extremwertmethode Die zweite Methode, die kritische Stelle z kritisch zu berechnen, wird durch eine Extremwertaufgabe realisiert. Hierzu sei wieder die Ausgangssituation und die Polynome p i (x) wie oben gegeben. Zuerst müssen die ersten Ableitungen der Polynome p i (x) bestimmt werden, um diese in die Gleichung (5) aus Kapitel einsetzen zu können: p 1(x) = x , p 2(x) = x x , p 3(x) = x x , p 4(x) = x x Student Version of MATLAB Im MATLAB - Programm müssen einige Vorbereitungen getroffen werden, um das Polynom aus Gleichung (5) aus Kapitel zu bestimmen. Hier soll für den konkreten Fall das Ergebnis des Polynoms angegeben werden. Das Polynom, dass den minimalen Abstand berechnet, wird durch das Polynom p i generiert, hier wird dieses als Abstandsp i bezeichnet. Abstandsp 1 (x) = x x x x Abstandsp 2 (x) = x x x x x Abstandsp 3 (x) = 35.63x x x x x Abstandsp 4 (x) = 0.023x x x x x Von diesen Polynomen müssen die Nullstellen auf dem jeweiligen Intervall I i bestimmt werden, um den minimalen Abstand vom Punkt der kritischen Stelle zum externen Punkt 18

19 Numerischer Test mit der Extremwertmethode zu berechnen. Das bedeutet, dass von den Polynomen Abstandsp i die Nullstellen auf dem Intervall I [xi,x i+1 ] berechnet werden müssen, weil außerhalb des Intervalls die Polynome p i nicht den kubischen Spline beschreiben. Die Nullstellen werden in x i,j [x i, x i+1 ] gespeichert. Hier gibt i den Laufindex der Intervalle (i {1,..., 4}) und j gibt Anzahl der Nullstellen in dem entsprechenden Intervall an. Die Nullstellenberechnung wird mit der in MATLAB vorimplementierten roots - Umgebung realisiert. Es sollen im Folgenden die Ergebnisse für Abstandsp 1 (x) zusammengetragen werden. Der erste Schritt ist, dass die Randwerte des Intervalls I 1 = [0, 1] untersucht werden. Der erste Randwerte ist x 1,1 = 1 mit dem Punkt (0, 1) T und dem Abstand A 1,1 = (0 2) 2 + (1 5) 2 = zu dem externen Punkt. Der zweite Randwert ist x 1,2 = 1 mit dem Punkt (1, 10) T und dem Abstand zum externen Punkt A 1,2 = (1 2) 2 + (10 5) 2 = Die Randwerte müssen untersucht werden, weil durch die Bestimmung der Nullstellen die extremen Stellen berechnet werden, aber durch die Einschränkung des Intervalls der minimale Abstand am Rand des Intervalls angenommen werden kann. Die Nullstellen außerhalb des Intervalls werden vernachlässigt, denn die Punkt zu diesen Stellen werden nicht durch den Spline s beschrieben. Im zweiten Schritt werden die Nullstellen des Abstandsp 1 (x) im Intervall I 1 berechnet. Die Nullstellen im Intervall I 1 sind x 1,3 = und x 1,4 = Im nächsten Schritt muss zu diesen beiden Stellen der Abstand berechnet werden und der minimale Abstand ermittelt werden. Die Abstände sind A 1,3 = und A 1,4 = Der minimale Abstand, der im Intervall I 1 ermittelt wurde, ist A 1,4 = Dieser wird an der ersten Stelle des Vektors ABSTAND gespeichert. Dies muss für alle Intervalle wiederholt werden, die Ergebnisse für diese Intervalle werden kompakt dargestellt: Randwerte / Nullstellen minimaler Abstand ABSTAND I I I

20 12 10 kubischer Spline (Px,Py) Abstand 8 Funktionswerte Stützstellen Abbildung 6: Ergebnis der Minimierungsaufgabe Im letzten Schritt muss der minimale Abstand bestimmt werden, also der minimalen Eintrag des Vektors ABSTAND. Der minimale Abstand ist A 2,3 = mit der kritischen Stelle z kritisch = Der zweite numerische Test Nachdem der erste Test abgeschlossen ist, wird ein spezieller Fall diskutiert. Zuerst sei die Ausgangssituation beschrieben und dann wird auf die Frage eingegangen, was an diesem Test der spezielle Unterschied zu dem Test aus Kapitel 4.1 ist. Seien im Folgenden die beiden Datenvektoren x = und y = Student Version of MATLAB gegeben. Hierbei sind x die Stützstellen auf dem Intervall I = [ 2, 2] und y der Vektor mit den dazugehörigen Funktionswerten und sei i {1,..., 6}. Außerdem sei der externe Punkt (P x, P y ) T = (0, 5) T gegeben. Durch die vorgegebenen Vektoren lässt sich ein natürlicher 20

21 Der zweite numerische Test kubischer Spline eindeutig angeben. Es sind sieben Stützstellen geben, dass heißt, dass in diesem Fall sechs Polynome generiert werden. p 1 (x) = (x ( 2)) (x ( 2)) (x ( 2)) 3, p 2 (x) = (x ( 1)) (x ( 1)) (x ( 1)) 3, p 3 (x) = (x ( 0.7)) (x ( 0.7)) (x ( 0.7)) 3, p 4 (x) = (x ( 0)) (x ( 0)) (x ( 0)) 3, p 5 (x) = (x 0.7) (x 0.7) (x 0.7) 3, p 6 (x) = (x 1) (x 1) (x 1) 3. Eine Umformulierung der Polynome ergibt: p 1 (x) = x x x , p 2 (x) = x x x , p 3 (x) = x x x + 2, p 4 (x) = x x x + 2, p 5 (x) = x x x , p 6 (x) = x x x Das spezielle an diesem Fall ist, dass die Punkte symmetrisch zu y-achse liegen. Daran ist besonders, dass der externe Punkt genau auf der Symmetrieachse liegt. Hervorzuheben ist dies, weil zwei Stellen existieren, die einen minimalen Abstand zum Spline besitzen Numerischer Test mit Hilfe der Abtastmethode Die Abtastmethode wird zuerst das Intervall I 1 = [ 2, 1] untersuchen. Die Untersuchung der Randwerte ergibt die Abstände zu den Randpunkten: A 1,1 = ( 2 0) 2 + (14 5) 2 = zu x 1,1 = 2, A 1,2 = ( 1 0) 2 + ( 2 5) 2 = zu x 1,2 = 1. Im Folgenden soll der erste Durchlauf des Algorithmus genau untersucht werden und abschließend soll das Ergebnis für das Intervall I 1 präsentiert werden. Zuerst müssen die Abstände A 1,1 und B 1,1 miteinander verglichen werden: A 1,1 = > = A 1,2. 21

22 Zur Berechnung der nächsten möglichen Stellen muss ein h gefunden werden. In diesem Schritt wird das h folgendermaßen gewählt: h = { y 1 = falls y 1 > ( y y 2 1 ) x 1+1 x 1 1, 1 ( y y 2 1 ) x 1+1 x 1 1 = 14 sonst. In diesem konkreten Fall heißt das, dass h = ist. Somit gilt a 1,2 = 2 + Der dazugehörige Funktionswert ist: = p 1 (a 1,2 ) = (a 1,2 ) (a 1,2 ) (a 1,2 ) = Der nächste Schritt ist die Berechnung von A 1,2 = ( ) 2 + ( ) 2 = , dieser schließt die erste Iteration ab. Nachdem die erste Iteration ausführlich erarbeitet worden ist, sollen im Weiteren die Ergebnisse für das erste Intervall I 1 präsentiert werden: Stelle a1,k k Stelle b1,l l I Abstand a1,k Abstand b1,l minimaler Abstand Kandidat: z 1,315 I Abschließend werden die Ergebnisse für die restlichen Intervalle I i präsentiert: I i Stelle a1,k k Stelle b1,l l Abstand ai,k I I I I I I i Abstand bi,l minimaler Abstand Kandidat: z i,k oder z i,l I I I I I

23 Numerischer Test mit Hilfe der Abtastmethode Das abschließende Ergebnis ist, dass der minimale Abstand mit den Stellen A 1, und A 6, a 1, und a 6, ist kubischer Spline (Px,Py) Abstand 10 Funktionswerte Stützstellen Abbildung 7: Ergebnis der Abtastmethode Numerischer Test der Extremwertaufgabe Wie in Kapitel wird in diesem Kapitel eine Extremwertaufgabe gelöst. Hier sei die Ausgangslage die p i (x). Für die Minimierung des Abstandes müssen zuerst die ersten Ableitungen der p i (x) berechnet werden. Die ersten Ableitungen der Polynome p i (x) Student Version of MATLAB 23

24 sind: p 1(x) = x x , p 2(x) = x x , p 3(x) = x x, p 4(x) = x x, p 5(x) = x x , p 6(x) = x x Im nächsten Schritt muss das Abstandspolynom berechnet werden, was durch die Vorschrift aus Gleichung (5) aus Kapitel realisiert wird: Abp 1 (x) = x x x x x , Abp 2 (x) = x x x x x , Abp 3 (x) = x x x x x, Abp 4 (x) = x x x x x, Abp 5 (x) = x x x x x , Abp 6 (x) = x x x x x Von diesen Polynomen müssen die Nullstellen auf dem jeweiligen Intervall I i bestimmt werden, um den minimalen Abstand vom Punkt der kritischen Stelle zum externen Punkt zu berechnen. Das heißt, dass von den Polynomen Abp i die Nullstellen auf dem Intervall I [xi,x i+1 ] berechnet werden müssen, weil außerhalb des Intervalls die Polynome p i nicht den kubischen Spline beschreiben. Die Nullstellen x i,j / [x i, x i+1 ] werden in der weiteren Rechnung des Intervalls I i nicht berücksichtigt. Hier gibt i den Laufindex der Intervalle an (i {1,..., 6}) und j gibt Anzahl der Nullstellen in dem entsprechenden Intervall an. Zuerst wird das Intervall I 1 = [ 2, 1] untersucht. Die ersten beiden kritischen Stellen des Intervalls sind die beiden Randwerte. Diese müssen auf lokale Minimalität des Abstandes untersucht werden, das heißt, dass x 1,1 = 2 ist und x 1,2 = 1 ist. Die beiden Funktionswerte sind p(x 1,1 ) = 14 und p(x 1,2 ) = 2 und die beiden Abstände sind Abstand 1,1 = ( 2 0) 2 + (14 5) 2 = , Abstand 1,2 = ( 1 0) 2 + ( 2 5) 2 = Mit der in MATALB vorimplementierten Umgebung roots werden die Nullstellen der Abstandspolynome Abp i berechnet. x 1,3 = und x 1,4 =

25 Numerischer Test der Extremwertaufgabe Im nächsten Schritt wird zu diesen Stellen der Funktionswert berechnet: p 1 (x 1,3 ) = und p 1 (x 1,4 ) = Der Abstand der beiden Punkte zum exteren Punkt ist jeweils: Abstand 1,3 = ( ) 2 + ( ) 2 = , Abstand 1,4 = ( ) 2 + ( ) 2 = Abschließend muss der minimale Abstand bestimmt werden. Dies ist Abstand 1,3 = und somit ergibt sich die kritische Stelle mit dem minimalen Abstand für das erste Intervall I 1. Diese kritische Stelle ist x 1,3 = und wird mit z 1 = x 1,3 in der Folge (z i ) i {1,...,6} gespeichert. Dies schließt die Analyse des ersten Intervalls ab. Die Ergebnisse der übrigen Intervalle sollen im Weiteren kompakt dargestellt werden. Randwerte / Nullstellen minimaler Abstand ABSTAND I I I I I Im letzten Schritt muss der minimale Abstand bestimmt werden, also der minimalen Eintrag des Vektors ABSTAND. Der minimale Abstand ist A 1,3 = A 6,3 = mit der kritischen Stelle z kritisch und z kritisch

26 5 Numerische Tests, die auf einem Gitter basieren In diesem Kapitel sollen zwei numerische Test untersucht werden. Bei dem ersten Test wird ein einfacher Spline gewählt und verschiedene Kontrollen diskutiert. Der zweite numerische Test basiert auf einem größeren Gitter mit mehr Gitterpunkten und einem komplizieren Spline. 5.1 Erster Gittertest mit Kontrollanalyse Die Ausgangsdaten für den ersten Test sind: x = ( 0, 0.3, 1 ) T und y = ( 0.5, 0.3, 0.6 ) T Den kubischen Spline illustriert Abbildung 8: 0.65 Kubischer Spline Funktionswerte Stützstellen Abbildung 8: Ausganssituation für Kapitel 5.1 Desweiteren wird ein Gitter über das Gebiet [0, 1] 2 und diesen Spline mit der Schrittweite h = 0.06 gelegt. Nachdem die Ausgangslage geschildert worden ist, soll kurz das Ziel dieses Kapitel festgehalten werden. Das Ziel ist es zu untersuchen, ob die Berechnung der minimalen Abstände hinreichend korrekt ist. Seien die minimalen Abstände zu den Gitterpunkten mit beiden Methoden berechnet. Im Folgenden werden drei Ergebnisse präsentiert. Die Motivation Student Version of mehrere MATLAB Ergebnisse zu untersuchen, ist es sicherzustellen, dass der minimale Abstand berechnet worden ist. Das erste Ergebnis, das präsentiert werden soll, sind die Niveaulinien. Dazu sei noch ein Satz 26

27 Erster Gittertest mit Kontrollanalyse zur Ausgangslage erwähnt. Es soll der minimale Abstand zwischen dem Spline und dem Gitterpunkten bestimmt werden. Das bedeutet die Abstände können durch Niveaulinien zu diesem Spline interpretiert werden. Deshalb werden durch die minimalen Abstände die Niveaulinien zu dem Spline generiert. Falls diese Niveaulinien Sprungstellen besitzen, wird für den Punkt, der die Sprungstelle verursacht, nicht der minimale Abstand zum Spline berechnet. Eine Sprungstelle in den Niveaulinien heißt, dass der Algorithmus in diesem Punkt nicht den minimalen Abstand berechnet und somit inkorrekt arbeitet. Das Ergebnis dieser Motivation sind die beiden folgenden Abbildungen: Niveaulinien für die Abtastmethode Funktionswerte Spline Stützstellen Abbildung 9: Niveaulinien für die Abtastmethode mit den Gitterpunkten Niveaulinien für die Extremwertmethode Student Version of MATLAB Funktionswerte Spline Stützstellen Abbildung 10: Niveaulinien für die Extremwertmethode mit den Gitterpunkten Der Vergleich dieser beiden Abbildungen zeigt, dass sowohl die Abtastmehtode, die eine Approximation ist, als auch die Extremwertmethode, welche exakt ist, nicht zu unter- 27 Student Version of MATLAB

28 scheiden sind und keine der beiden Sprungstellen in den Niveaulinien aufweisen. Das zweite Ergebnis das präsentiert werden soll ist ein 3D Plot. Die Motivation einen 3D Plot zu generieren, ist es zu verifizieren, ob dieser Sprungstellen aufweist. Sprungstellen in diesem 3D Plot bedeuten wie bei den Niveaulinien, dass zu einem Gitterpunkt nicht der minimale Abstand berechnet worden ist und somit das Verfahren einen inkorrekten Wert als minimalen Abstand berechnet hat. 3D Plot fuer die Abtastmethode z Funktionswerte Stützstellen Abbildung 11: 3D Plot der minimalen Abstände bzw. der Niveaulinien für die Abtastmethode 3D Plot für die Extremwertmethode 0.7 Student Version of MATLAB z Funktionswerte Stützstellen Abbildung 12: 3D Plot der minimalen Abstände bzw. der Niveaulinien für die Extremwertmethode Der Vergleich der Abbildungen 11 und 12 lässt keinen Unterschied zwischen den Ergebnissen der beiden Methoden erkennen und es sind auch keine Sprungstellen vorhanden. Diese 3D Plots motivieren ein letztes Ergebnis, um zu prüfen, ob die minimalen Abstände Student Version of MATLAB 28

29 Erster Gittertest mit Kontrollanalyse berechnet worden sind. Die Abbildungen 11 und 12 motivieren den folgenden Satz und die folgende Bemerkung aus der Analysis. Vgl. [4] insbesondere Kapitel 6. Satz 5.1 Sei Ω R n offen und φ : Ω R eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für jedes x Ω und jeden Vektor υ R n mit υ = 1 D υ = v, φ(υ) Bemerkung 5.2 Ist φ(x) 0, so ist der Winkel α zwischen den Vektoren υ und φ(x) wohldefiniert und es gilt: D υ = υ, φ(x) = φ(x) cos(α) Daraus folgt: Die Richtungsableitung D υ φ(x) ist maximal, falls υ und φ(x) die gleiche Richtung haben. Der Vektor φ(x) gibt also die Richtung des stärksten Anstieges von φ an. Der minimale Abstand wird durch die Niveaulinien charakterisiert, das heißt um den minimalen Abstand zwischen den Niveaulinien zu erhalten muss die Richtiung des stärksten Anstieges gewählt werden. Das bedeutet, dass υ und φ(x) die gleiche Richtung besitzen. Daraus folgt das α = 0 ist. Für α = 0 heißt dies, dass υ, φ(x) = φ(x) 1. Dieses Resultat hat folgende Gleichung zufolge die anhand der vorhanden Daten überprüft werden soll: φ(x i, y j ) = 1 mit i = 1,..., 17 und j = 1,..., 17. Zur Berechnung der Ergebnisse wird die folgende Bemerkung festgehalten: Bemerkung Falls der berechnete minimale Abstand kleiner als die Gitterweite h = 0.06 ist, wird der Eintrag in der Matrix gleich Null gesetzt. 2. Für z 1,j, z 17,j, z i,1 und z 17,i für i, j = 1,..., 17 werden die Matrizen Einträge gleich Null gesetzt. 3. Falls für den minimale Abstand folgendes gilt: h minimaler Abstand 2h wird der einseitige Differenzenquotient verwendet, um φ(x i, y j ) zu berechnen. 4. Falls für den minimale Abstand folgendes gilt: minimaleabstand > 2h wird der zentrale Differenzenquotient verwendet um φ(x i, y j ) zu berechnen. 29

30 Mit dem Satz und den Bemerkungen kann das Ergebnis wie folgt präsentiert werden. In den folgenden Matrizen werden die Ergebnisse der Rechnung φ(x i, y j ) 1 = 0, die zu jedem minimalen Abstand berechnet wird, gespeichert. In der Matrix GradabstandA werden die Ergebnisse zu den Abständen gespeichert, die mit der Abtastmethode generiert worden sind. In der Matrix GradabstandE werden die Abständen gespeichert, die mit der Extremwertmethode berechnet worden sind. GradabstandA = GradabstandE =

31 Erster Gittertest mit Kontrollanalyse Bei der Analyse der Matrizen ist zu erkennen, dass viele Einträge sehr klein sind, das heißt die Gleichung φ(x i, y j ) 1 0 erfüllen. Jedoch bildet eine Spalte in beiden Matrizen eine Ausnahme. Dies ist die Spalte die in den Matrizen blau eingefärbt ist. Diese Spalte gehört zu den Gitterpunkten (x 8, y j ) für j = 1,..., 17. In den Abbildungen neun und zehn in, denen die Niveaulinien präsentiert worden sind, ist zu erkennen, dass die Niveaulinien in den Stellen (x 8, y j ) für j = 1,..., 17 nicht stetig differenzierbar sind. Der zweite Erklärungspunkt für diese Abweichler ist, dass im den 3D Plots bei den Punkten (x 8, y j ) für j = 1,..., 17 in der z Koordinate jeweils die Maxima angenommen werden und somit ein Gebirgskamm entsteht. Den Abschluss dieses Kapitel bildet die Zusammenführung der Ergebnisse, die in den obigen Matrizen gespeichert und den Gitterpunkten sind. Die Ergebnisse der obigen Matrizen sollen in den folgenden zwei Abbildung 13 und 14 verdeutlicht werden. Es 3D Plot für die Abtastmethode für die Gradientenrechnung Funktionswerte Stützstellen Abbildung 13: 3D Plot, der Ergebnisse der Gradientenrechnung für die Abtastmethode 3D Plot fuer die Extremwertmethode für die Gradientenrechnung Student Version of MATLAB Funktionswerte Stützstellen Abbildung 14: Plot, der Ergebnisse der Gradientenrechnung für die Extremwertmethode 31 Student Version of MATLAB

32 wird erwartet, dass der Plot an vielen Stellen Null ist und nur an den bereits diskutierten Stellen von der Null abweicht. Mit diesem Test wurde gezeigt, dass die Methoden für diesen Test korrekt arbeiten. Im nächsten Kapitel soll ein komplizierter Test mit einer größeren Anzahl von Gitterpunkten diskutiert werden. 5.2 Zweiter Gittertest und Vergleich der Methoden Zum Abschluss wird ein letztes Beispiel diskutiert, das ein Gitter von Punkten zu einem kubischen Spline analysiert. Seien die beiden Datenvektoren gegeben: x = ( 0, 1, 2, 3, 4, 4.5, 6, 6.5, 7, 7.25, 8, 8.5, 10 ) T y = ( 0, 5, 3, 6, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 3, 5, 1 ) T Zu diesen Datenvektoren kann der kubische Spline bestimmt werden: Funktionswerte 3 2 Spline Stützstellen Abbildung 15: Ausganssituation für Kapitel 5.2 Von dieser Graphik ausgehend können die Ränder des zu untersuchenden Gitters festgelegt werden. Die minimalen und maximalen x - Werte sind: x min = 1, und x max = 11. Mit dem Befehl input können die minimalen und maximalen y - Werte eingegeben werden. In diesem Beispiel: y min = 3 und y max = 11. Student Version of MATLAB Die Schrittweite ist hier h = 0.3. Mit diesen Daten wird ein 47 x 41 Gitter generiert, das über den kubischen Spline gelegt wird. 32

33 Niveaulinie und 3D Plot zur Abtastmethode Niveaulinie und 3D Plot zur Abtastmethode Zuerst wird die Abtastmethode analysiert, folglich werden die Niveaulinien, die den Abstand zu den Gitterpunkten darstellen, generiert und es wird die CPU - Zeit berechnet. Die Niveaulininen der Abtastmethode sollen in der Graphik dargestellt werden: 12 Niveaulinien fuer die Abtastmethode Funktionswerte 4 Spline Stuetzstellen Abbildung 16: Niveaulinie zur Abtastmethode Die CPU - Zeit, die benötigt wird, um die Niveaulinien zu den 1927 Gitterpunkten zu berechnen, ist: Sek. Student Version of MATLAB Abschließend werden die Abstände, die durch die Abtastmethode berechnet worden sind, zu dem Spline in einem 3D - Plot illustriert: 33