Einführung in MATLAB und SIMULINK 1 MATLAB. Institut für Prozess- und Verfahrenstechnik Fachgebiet Mess- und Regelungstechnik

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1 Institut für Prozess- und Verfahrenstechnik Fachgebiet Mess- und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. R. King Seite 1 Einführung in MATLAB und SIMULINK (7. Dezember 2007) MATLAB und der graphische Aufsatz SIMULINK sind skriptbasierende Rechenprogramme. D.h. der Anwender kommuniziert mit dem MATLAB-Interpreter über Textbefehle, die Basic- oder C-Befehlen ähnlich sind. Besonders mächtig ist MATLAB dann, wenn die umfangreiche Bibliothek an vordefinierten Funktionen benutzt wird. Diese Einführung soll helfen, einen schnellen Zugang zu MATLAB und SIMULINK zu finden und zu lernen, wie und wo man Hilfe findet. 1 MATLAB Nach dem Start von MATLAB wird ein Kommandofenster geöffnet. Es erscheint die Eingabeaufforderung (prompt) >>, an der man beliebige gültige mathematische Ausdrücke oder die Namen von vordefinierten und selbsterstellten Funktionen eingeben kann. Bsp.: Eingabe zweier Skalare und Addition >> a=2 a = 2 >> b=3; >> a+b 5 Im obigen Beispiel werden zwei skalare Variablen a und b erzeugt und bekommen jeweils einen Wert zugewiesen. Anschließend können mathematische Operationen wie Addition, Multiplikation usw. ausgeführt werden. Durch Eingabe eines Semikolons am Ende eine Zeile, kann die Ausgabe auf dem Bildschirm unterdrückt werden. MATLAB kann sehr schnell arbeiten, wenn man wiederkehrende Berechnungen nicht in Schleifen (for, while), sondern durch Vektoren bzw. Matrizen ausführen lässt. Vektoren und Matrizen lassen sich genauso einfach erzeugen wie Skalare, indem die einzelnen Elemente, durch Komma oder Semikolon getrennt, zwischen eckige Klammern geschrieben werden. Bsp.: Eingabe von Vektoren und Matrizen >> c=[1, 2, 3] c = >> d=[1.1; 2.2; 3.3] d = >> e=[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9] e =

2 Einführung in MATLAB und SIMULINK Seite 2 Durch Trennung der Elemente mit Kommata erhält man Zeilenvektoren, bei Verwendung von Semikolons Spaltenvektoren. Einzelne Elemente eines Vektors oder einer Matrix lassen sich durch Verwendung von Indizes anzeigen. Bsp.: Referenz auf Elemente >> c(2) 2 >> c(2:3) 2 3 >> c([1 3]) 1 3 >> e(2,3) 6 Ein linearer Vektor, z.b. ein Zeitvektor, lässt sich mit folgender Anweisung, dem Kolon-Zeichen, sehr einfach in MATLAB definieren: Bsp.: Verwendung des Kolon-Zeichens >> t=0:2:10 t = Im obigen Beispiel wird ein Vektor t erzeugt. Das erste Element hat den Wert 0 (erste Angabe, vor dem Doppelpunkt), alle folgenden Elemente werden jeweils um die Schrittweite 2 (zweite Angabe) erhöht, bis der Endwert 10 (dritte Angabe) erreicht wird. In dieser Anweisung dürfen nur reelle Zahlen verwendet werden. Eine wichtige MATLAB-Funktion ist der Befehl plot, mit sich graphische Darstellungen erzeugen lassen. Bsp.: Verwendung der Befehle plot und sin >> t=0:0.1:10; >> y=sin(t); >> plot(t,y) Es wird in diesem Beispiel ein Vektor t mit Werten von 0 bis 10 und einer Schrittweite von 0.1 erzeugt. Die Bildschirmausgabe wird durch das Semikolon am Zeilenende unterdrückt. Die Anweisung y=sin(t) ruft die MATLAB-Funktion zur Berechnung der Sinusfunktion auf, die automatisch für alle Elemente des Vektors t ausgeführt wird. Das Ergebnis wird im Vektor y gespeichert. Der MATLAB- Befehl plot(t,y) bewirkt schließlich, dass ein Fenster geöffnet wird, in dem die berechnete Sinuskurve erscheint. Bei der Verwendung von plot müssen beide Vektoren die gleiche Anzahl an Elementen haben!

3 Einführung in MATLAB und SIMULINK Seite 3 Übung Versuchen Sie die aufgeführten MATLAB-Befehle zu verstehen, anzuwenden und zu sich merken. Benutzen Sie hierzu die Befehle help Funktionsname und helpdesk. size load und save clf, subplot, grid, axis und hold title, xlabel, ylabel, gtext und legend sprintf Häufig wiederkehrende Befehle können als Skript oder Funktion in einer Datei mit der Endung.m abgelegt werden. Es genügt dann, den Dateinamen ohne Endung bei der Eingabeaufforderung einzugeben, um die Befehle auszuführen. Zur Erstellung dieser Skripte kann mit dem Befehl edit ein Editor geöffnet werden. Erstellen Sie zur Übung ein Skript (kurve.m), das die folgenden Aktionen durchführt: Die Funktion y(t) = 10 t sin(2π t) soll für t = in ausreichender Auflösung dargestellt werden. Achtung: Bei der elementeweisen Division oder Multiplikation von Vektoren muss der Punkt-Operator (.) vor das mathematische Operatorzeichen geschrieben werden! Die Zahl π ist in MATLAB über die Konstante pi verfügbar. Der Plot soll aus einer roten, gepunkteten Linie bestehen. Skalierung, ein Gitternetz, Achsenbezeichnungen, Titel und Legende sind zuzufügen. 2 SIMULINK Der graphische Aufsatz SIMULINK ist eine Erweiterung von MATLAB, um dynamische Systeme zu simulieren. Die Struktur des zu simulierenden Systems wird graphisch in Form von Blockschaltbildern nachgebildet. Für jeden Block können Parameter eingeben werden, dann wir die Simulation gestartet. Die Ergebnisse der Simulation können direkt graphisch verfolgt oder in Variablen gespeichert werden. Über die Variablen können die Ergebnisse dann in MATLAB weiter verarbeitet werden. Gestartet wird SIMULINK durch die Anweisung simulink. Es erscheinen zwei Fenster, nämlich eine Bibliothek mit Standardblöcken und ein (leeres) Arbeitsfenster. In dem Arbeitsfenster wird das Blockschaltbild erstellt, indem Standardblöcke aus dem Bibliotheksfenster mit drag&drop auf das Arbeitsfenster gezogen werden. Die einzelnen Blöcke können mit Hilfe der Maus verbunden werden. Leider unterscheiden sich die SIMULINK-Versionen hinsichtlich der Bezeichnung, Anordnung und Funktionsweise der Standardblöcke. Die für das Praktikum relevanten Blöcke der Version 4 oder höher werden hier vorgestellt. Für ältere Versionen wird nur auf die Unterschiede verwiesen. 2.1 Version 4+ Im Rahmen des Praktikums interessieren uns nur die folgenden Bibliotheken: Continuous, Math, Signals & Systems, Sinks und Sources Continuous Mit den Blöcken dieser Bibliothek lassen sich zeitkontinuierliche Übertragungsfunktionen wie ptnn- Glieder mit dem Block Transfer Fcn simulieren. Die Parametrierung erfolgt über einen rechten Mausklick und Auswahl des Menüeintrags Block paramaters.... Hier lassen sich das Zähler- und

4 Einführung in MATLAB und SIMULINK Seite 4 Nennerpolynom, etwas kryptisch allerdings, getrennt als Numerator (Zähler) und Denominator (Nenner) eintragen. Die Eingabe der Polynome erfolgt in eckigen Klammern, wobei die Elemente von rechts nach links die Koeffizienten a 0 bis a N des Polynoms angeben. Der Grad des Zählerpolynoms muss immer kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms sein. Über den Block Zero-Pole kann eine Übertragungsfunktion direkt über Angabe der Zähler- und Nennernullstellen und einen Verstärkungsfaktor angegeben werden. Für D- und I-Glieder stehen die Blöcke Derivative und Integrator bereit. Deren Verwendung, ebenso wie die Verwendung der Blöcke für zusammengesetzte Regler wie PI- bzw. PID-Glied, ist nicht empfehlenswert! All diese Glieder reagieren sehr empfindlich auf die gewählte Schrittweite der numerischen Integration. Stattdessen sollten sie eine Darstellung mit dem Block Transfer Fcn vorziehen. Für ein I-Glied geben Sie als Denominator [1 0] ein. Ein reines D-Glied können Sie so nicht erzeugen, in der Regel werden Sie jedoch mit realisierbaren Gliedern arbeiten (z.b. DT 1 mit Numerator [1 0] und Denominator [1 1]) Math Diese Bibliothek enthält nützliche Blöcke zum Addieren/Subtrahieren von Signalen ( Sum ) und zum Erstellen von P-Gliedern ( Gain, Slider Gain ). Außerdem können trigonometrische und andere mathematische Funktionen angewählt werden Signals & Systems Aus dieser Bibliothek ist nur der Block Mux von Interesse. Er dient zum Zusammenfassen von Signalen. Dies ist erforderlich beim gleichzeitigen Plotten bzw. Speichern von mehreren Ausgangssignalen, da die Blöcke zur Anzeige/Speicherung nur einen Dateneingang haben (siehe Sinks) Sinks Zur Anzeige und Speicherung der Signale können Blöcke aus dieser Bibliothek gewählt werden. Scope und XY Graph erzeugen online-anzeigen der Signale. Der Block simout / To Workspace leitet ein Signal in eine MATLAB-Struktur um. Durch einen Doppelklick auf den Block können die Parameter eingestellt werden. Von großer Wichtigkeit ist der Variablenname (default: simout), unter dem die Daten in MATLAB zu finden sind, und das Speicherformat. Hier empfiehlt sich die Einstellung StructureWithTime. Dann sind die Signaldaten in MATLAB über simout.signals.values und der Zeitvektor der Simulation über simout.time verfügbar. Mehrere Ausgangssignale können mit dem Mux -Block zusammengefasst und an einen Anzeige- bzw. Speicherungsblock angeknüpft werden Sources Diese Bibliothek hält eine Reihe von Blöcken für Eingangssignale bereit. Von Interesse sind vor allem die Blöcke Constant und Step, über die konstante Werte bzw. Eingangssprünge erzeugt werden können. Die Parameter lassen sich durch einen Doppelklick einfügen. Beim Block Step sind die ersten drei Parameter zu beachten, sie geben nämlich Zeitpunkt des Sprunges, Ausgangswert und Endwert an. Standardmäßig ist ein Einheitssprung von 0 auf 1 zum Zeitpunkt 1s eingestellt. Weitere wichtige Blöcke sind Sine Wave, Ramp, Clock und simin / From Workspace.

5 Einführung in MATLAB und SIMULINK Seite Ältere Versionen Linear In dieser Bibliothek finden sich der Sum -Block und die lineraren Regelkreisglieder Gain, Derivative, Transfer Fcn und Zero-Pole Connections In dieser Bibliothek ist der Mux -Block zu finden Sinks Zum Plotten steht nur der Block Scope zur Verfügung. Zum Speichern in MATLAB stehen nur Arrays zur Verfügung. Deshalb müssen vor einen To Workspace -Block der Ausgang eines Clock - Blockes und die Ausgangssignale des Systems mit dem Mux -Block kombiniert werden. Im Array entspricht dann die erste Spalte dem Zeitvektor, alle nachfolgenden Spalten repräsentieren dann die einzelnen Datenreihen Sources keine Änderungen 2.3 Weiteres Wenn ein Blockschaltbild fertig erstellt wurde, sollte es gespeichert werden. Dann kann eine Simulation durch Klicken des Startsymbols oder durch Auswahl des Menüpunktes Simulation Start gestartet werden. Die Simulationsparameter können über den Menüpunkt Simulation Simulation parameters verändert werden. Wichtige Parameter sind die Simulationsdauer und die Zeitschrittweite. Die Dauer kann durch Änderung des Standardwertes von Stop time (10s) eingestellt werden. Die Zeitschrittweite bei einem ODE45-Solver passt sich von selber an. Mitunter ist die maximale Schrittweite jedoch zu groß. In solchen Fällen kann man die Max step size von auto auf einen Zahlenwert (z.b. 0.05) umstellen. Um die Genauigkeit der numerischen Integration zu verbessern, kann auch die Fehlertoleranz Relative tolerance reduziert werden, z.b. auf 1e 6. Bei Verwendung des Blockes Derivative oder bei PID-Blöcken ist manchmal die Verwendung eines ODE-4-Solvers mit fester Schrittweite günstiger. Sie können diese Einstellungen bei Solver options: Type vornehmen. Bei der Verwendung von Scope treten manchmal merkwürdige Fehler auf (z.b. werden die Daten nicht aktualisiert, man sieht ja nischt,...). Manchmal hilft es, die Achsenparameter zu verändern. Eine (letzte) Möglichkeit ist manchmal, den Block zu löschen und neu zu erstellen. Während in einen Eingang immer nur ein Signal gehen kann, können aus einem Ausgang beliebig viele Signale an unterschiedliche Blöcke abzweigen. Tip: In vielen Übungsaufgaben können Blockschaltbilder durch Modifikation der Blockschaltbilder aus vorangegangenen Aufgaben schnell erstellt werden. In einem solchen Fall speichert ein bestehendes Blockschaltbild einfach unter einem neuen Namen. Als Dateinamen für die Blockschaltbilder empfehlen sich Angaben zur Aufgabennummer (z.b. ue04aiii.mdl für Übungsaufgabe 4, Aufgabenteil a, Fall III).

6 Einführung in MATLAB und SIMULINK Seite 6 Übung Betrachten Sie die einzelnen erwähnten Blöcke und probieren Sie, die Blöcke zu Schaltbildern zu verknüpfen. Beachten Sie die Einstellmöglichkeiten. Führen Sie anschließend folgende Übungsaufgabe durch: Erstellen Sie das Blockschaltbild in Abb. 1, zur Simulation eines Sprungversuches. Simulieren Sie das System von t = und plotten Sie die Ergebnisse auch von MATLAB aus. Was passiert, wenn die Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion vergrößert bzw. verkleinert werden? Experimentieren Sie mit der Übertragungsfunktion, indem Sie sie grenz- oder instabil und schwingungsfähig machen. Schließen Sie den Regelkreis durch Einführung eines P-Reglers gemäß Abb. 2 und testen Sie die Grenzen des Verstärkungsfaktors K aus, bei denen das System instabil wird. Schwingt das System bei bestimmten Verstärkungen? Wie verhält sich die Regelabweichung? Machen Sie sich die Unterschiede zwischen offenem und geschlossenem Regelkreis klar. Welche Bedeutung hat der Standardblock Step beim Sprungversuch, welche beim Regelkreis? Welche Entsprechung gibt es? Abbildung 1: Sprungversuch in SIMULINK Abbildung 2: Regelkreis in SIMULINK