Signale und Systeme 1 (Erste Großgruppenübung)

Transkript

1 Signale und Systeme 1 (Erste Großgruppenübung) Dominik Schulz dominik.schulz@tu-ilmenau.de Raum: H 3502 Telefon:

2 Komplexe Zahlen 2

3 Nullstellen im Komplexen 3

4 Nullstellen im Komplexen 4

5 Fourierreihe 5

6 Fourierreihe (reell) 6

7 Fourierreihe (komplex) 7

8 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N = 0 8

9 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N = 1 9

10 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N = 3 10

11 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N = 10 11

12 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N =

13 Fourier-Reihenentwicklung des Rechteckimpulses N =

14 MATLAB / Octave 14

15 General Stuff About MATLAB MATLAB ist......von The MathWorks...matrix-vektor-basiert...gut für lineare Algebra...fähig mit großen Datensätzen umzugehen...sehr verbreitet in der Forschung...sehr mächtig und hat riesige Toolboxes...für verschiedene Betriebssysteme erhältlich (Windows, Linux, Mac OS X)...fähig in C geschriebene Funktionen (MEX Files) einzubinden...schwach typisiert...rudimentär objektorientiert MATLAB ist nicht... geeignet als General Purpose -Programmiersprache...Open Source und frei...vollständig kompatibel zwischen Hauptversionen...dazu gedacht eigenständig lauffähige Programme zu schreiben 15

16 GUI 16

17 GUI Kommandofenster (Konsole) 17

18 GUI Workspace (Variablenliste) 18

19 GUI Matrix-Editor 19

20 GUI Editor 20

21 GUI Plot-Fenster 21

22 Grundlagen Multiplikation Vektor-Vektor: Zeilenvektor der Länge 3 Spaltenvektor der Länge 3 Ergebnis: a = [1 2 3] b = [8; 7; 5] c = a*b; % Ergebnis: c = 37 22

23 Multiplikation Vektor-Matrix: Grundlagen (1) Zeilenvektor der Länge 3 3x4-Matrix Ergebnis: Zeilenvektor der Länge 4 a = [1 2 3] B = [ ; ; ] c = a*b; % Ergebnis: c = [ ] 23

24 Multiplikation Matrix-Vektor: Grundlagen (2) Spaltenvektor der Länge 4 3x4-Matrix Ergebnis: Spaltenvektor der Länge 4 a = [1; 2; 3; 4] B = [ ; ; ] c = B*a; % Ergebnis: c = [63; 39; 51] 24

25 Multiplikation Matrix-Matrix: Grundlagen (3) 2x3-Matrix 3x4-Matrix Ergebnis: 2x4-Matrix A = [1 2 3; 4 5 6] B = [ ; ; ] C = A*B; % Ergebnis: c = [ ; ] 25

26 Syntax - Skalare foo1 = 123; foo2 = 321; mysum = foo1 + foo2 % Skalar definieren %...und noch ein Skalar % Berechne die Summe und gib das % Ergebnis auf der Konsole aus (da % am Ende kein Semikolon steht) myprod = foo1 * foo2; % Was das wohl macht? ;-) myfrac = foo2 / foo1; %... cmplx1 = 5 + 3i; cmplx2 = 2*exp(i*pi/4) cmplx3 = sqrt(2)*(1 + 1i); % Komplexen Skalar definieren % Komplexe Exponentialdarstellung % Die gleiche Zahl wie cmplx2 mycmplxsum = cmplx1 - cmplx2; mycmplxprod = cmplx1 * complx2; mycmplxfrac = cmplx1 / cmplx2; abs_value = abs(cmplx2) % Ergebnis: 2 26

27 Syntax - Vektoren foo = 123; foo2 = 5 + 3i; % Vektor definieren % Komplexer Skalar a1 = [ ]; % (Reeller) Zeilenvektor a2 = 1:5; % Das gleiche - nur schneller x = length(a1); % Ergebnis: 5 b1 = [ ] b2 = 1:3:10; % Und noch ein Zeilenvektor % Das gleiche nur anders fibno = [ ].'; % Spaltenvektor d = [a1 b1]; % Vektoren zusammenbauen negno = 0:-0.1:-1e5; % Negative Schrittweite anegno = negno(11); % Ergebnis: -1 somenegno = negno(20:100) % Ergebnis: [ ] morenegno = negno(end-9:end) % Erg.: letzte 10 Werte von negno 27

28 Syntax Matrizen (1) mymatrix = [1 2 3; 4 5 6]; mymatrixtranspose = mymatrix.' % Matrix: %.- -. % % % `- -' % Ergebnis: %.- -. % 1 4 % 2 5 % 3 6 % `- -' [r, c] = size(mymatrix); % Ergebnis: [2 3] 28

29 Syntax Matrizen (2) mymatrix = [9 7; 4 5] + i*[2 3; 7 10]; % Komplexe Matrix %.- -. % 9+2i 7+3i % 4+7i 5+10i % `- -' mytranspose1 = conj(mymatrix).'; mytranspose2 = mymatrix'; % konjugiert-transponiert % (Hermitesch transponiert) % %.- -. % 9-2i 4-7i % 7-3i 5-10i % `- -' % Das Gleiche nur kürzer identity = eye(3); z = zeros(100, 50); z = ones(20, 77); % 3x3 Einheitsmatrix % 100x50 Null-Matrix % 20x77 Einser-Matrix 29

30 Syntax Matrix-Vektor- Operationen A = [5 3 3; 6 7 8; 9 2 2; 7 6 7]; M = [1 3 4; ; ]; N = [3 0 2; 2 3 0; 0 2 3]; a = [10-5 3]'; b = 1:3'; B = A * A'; C = A' * A; P = N.^2; Q = N^2; x = M + N; y = M N; ep = a.* b; ip = a' * b; op = a * b'; c = A * a; % 4x3-Matrix % Ergebnis: 4x4-Matrix % Ergebnis: 3x3-Matrix % elementeweises Quadrat % analog: Q = N*N; % Matrix-Addition % Matrix-Subtraction % elementeweises Produkt % inneres Produkt ( Skalar) % äußeres Produkt ( Matrix) % Neuen Vektor berechnen % Nicht möglich: c = a*a 30

31 Syntax Schleifen % Version 1 a = 0; for idx = 1:0.5:10; a = a + idx; end % Version 2 a = 0; b = 1; while b <= 10 a = a + b; b = b + 0.5; end Wenn Sie irgendwann vorhaben eine Schleife zu schreiben, denken Sie noch einmal darüber nach. Die meisten Schleifen können durch Matrix-Vektor- Operationen ersetzt werden, die viel schneller sind % Das hier ist viel schneller, da keine Schleife gebraucht wird: a = sum(1:0.5:10); 31

32 Eine Plot-Befehle (Syntax): Diagramme Erstellen (1) % Einfaches Linien-Diagramm plot(<x-value vector>, <y-value vector>[, <fomat>, [...]]) % Diagramm mit logarithmischer Y-Achse semilogy(<x-value vector>, <y-value vector>[, <fomat>, [...]]) % Diagramm mit logarithmischer X-Achse semilogx(<x-value vector>, <y-value vector>[, <fomat>, [...]]) % Doppelt-logarithmischer Plot loglog(<x-value vector>, <y-value vector>[, <fomat>, [...]]) % Beschriftung für X-Achse und Y-Achse setzen xlabel(<string>) ylabel(<string>) % Diagramm-Titel setzen title(<string>) Um eine vollständige Hilfe für einen Befehl zu erhalten, tippen Sie 'doc <Befehl>' oder für Kurzhilfe 'help <Befehl>' im Befehlsfenster. 32

33 Einfaches Plot-Beispiel: Diagramme Erstellen (2) x = 0:0.1:2*pi; y = sin(x); plot(x, y); % Sinus für alle Werte aus x berechnen % Ergebnis als Diagramm ausgeben xlabel('angle [rad]'); ylabel('sin(x)'); title('sine function'); % X-Achse beschriften % Y-Achse beschriften % Titel des Diagramms setzen Zwei halblogarithmische Plots im selben Diagramm: clf; n = -1:0.09:1; semilogy(n, n.^2, '-'); hold on; semilogy(n, n.^4, 'ro'); % 'Clear Figure' (löscht alle vorherigen Diagramminhalte) % Linienplot mit logarithm. Y-Achse % Das nächste Plot-Kommando soll % in dasselbe Fenster zeichnen. % Zweiter Plot mit roten Kreisen legend('f(x)=x^2', 'f(x)=x^4'); xlabel('x'); ylabel('log(f(x))'); % Legende für beide Plots % Achsen-Beschriftungen 33

34 Funktionen Schreiben (1) Funktionen werden in MATLAB in einer separaten Datei gespeichert, die den Namen der Funktion und die Endung '.m' trägt. Die Funktion wird mit dem Schlüsselwort function eingeleitet. Die Funktion endet, wenn die Datei endet. Eine Funktion, die Fibonacci-Zahlen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ) nach berechnet, könnte z.b. so aussehen: function y = fib(n) if n==0 n==1 y = 1; else y = fib(n-1) + fib(n-2); end 34

35 Funktionen Schreiben (2) Normalerweise prüft man am Anfang einer Funktion, ob die Anzahl der übergebenen Parameter (nargin) stimmt und ob die Parameter vom richtigen Typ sind. Im vorliegenden Falle würde man prüfen, ob genau ein Argument übergeben wurde und ob dieses eine natürliche Zahl ist (Skalar): function y = fib(n) if nargin~=1 error('es wird genau ein Parameter benötigt.'); end if ~isnumeric(n) ~isscalar(n) n ~= ceil(n) n < 0 error('es wird eine natürliche Zahl erwartet.'); end if n==0 n==1 y = 1; else y = fib(n-1) + fib(n-2); end 35

36 Funktionen Schreiben (3) In MATLAB schreibt man gern Funktionen, die mit ganzen Matrizen oder Vektoren umgehen können. Daher hier eine mögliche Erweiterung, um für alle Elemente eines Vektors oder einer Matrix die Fibonacci-Zahl zu berechnen: function y = fib(n) if nargin~=1 error('es wird genau ein Parameter benötigt.'); end if ~isnumeric(n) error('der Parameter war keine Zahl.'); end if any(n(:) ~= ceil(n(:))) any(n(:) < 0) error('es werden natürliche Zahlen erwartet.'); end % Logische Indizierung: idx = n >= 2; y = ones(size(n)); if numel(idx) > 0 y(idx) = fib(n(idx)-1) + fib(n(idx)-2); end 36

37 GNU Octave Vorteile: GPL-lizensiert Läuft auf jedem System, für das es die GNU Compiler Collection (GCC) gibt Führt so gut wie jedes Matlab-Skript aus (abhängig von genutzten Toolboxes und GUI-Programmierung) Open-Source-Pakete erhältlich, die einige kommerzielle MATLAB-Toolboxes ersetzen Etwas zusätzlicher syntaktischer Zucker Nachteile: Keine GUI vorhanden (Abhilfe z.b. mittels QtOctave von ) Diagramme (mittels Gnuplot) sind nicht ganz so komfortabel wie in MATLAB zu erstellen In Octave können (derzeit) keine grafischen Oberflächen geschrieben werden Kein Simulink-Ersatz verfügbar 37

38 Octave-spezifische Syntax (1) mymatrix = [9 7; 4 5; 2 1]; r = rows(mymatrix); c = columns(mymatrix); % --> Anzahl an Zeilen % --> Anzahl an Spalten mystring1 = Hallo Welt ; mystring2 = 'Hallo Welt'; % Octave unterscheidet nicht % zwischen einfachen und dop- % pelten Anführungsstrichen. a = b = ones(3); % Kurzschreibweisen wie in C: a++; % ++a, a--, --a,... a./= 3; % *=,.*=, +=, -=,... for idx = 1:0.5:10; a = a + idx; endfor if 4==3 fprintf('hier ist was faul!'); endif % Octave kennt endfor, % endwhile, endif, endswitch. % Diese können jeweils an % Stelle von end verwendet % werden. 38

39 Octave-spezifische Syntax (2) In Octave ist es erlaubt mitten in einem Skript eine Funktion zu deklarieren. Dazu stellt Octave das Schlüsselwort endfunction bereit, mit welche eine Funktion explizit geschlossen werden kann. Dies könnte also in einer Datei fragfibonacci.m stehen: fprintf('\n-== Berechnung von Fibonacci-Zahlen ==-\n'); function y = fib(n) if n==0 n==1 y = 1; else y = fib(n-1) + fib(n-2); end endfunction n = input('geben Sie eine Zahl ein: '); y = fib(n); fprintf('die %d-te Fibonacci-Zahl lautet %d.\n', n, y); Das Skript startet man auf der Kommandozeile mittels folgendem Kommando: $> octave --silent fragfibonacci.m 39

40 Tschüs! 40