Mathematik I. Vorlesung 5

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1 Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc WS 2009/2010 Mathemati I Vorlesung 5 Für zwei natürliche Zahlen n, m gilt n m genau dann, wenn man n = m+ mit einem N schreiben ann (siehe Aufgabe 4.12). In diesem Fall ist das aufgrund der Abziehregel eindeutig bestimmt und heißt die Differenz von n und m, geschrieben = n m. Bei n < m gibt es innerhalb von N eine Lösung für die Gleichung n = m + x. Innerhalb der ganzen Zahlen gibt es die negative Lösung x = n m. Die ganzen Zahlen Wir wollen die ganzen Zahlen ausgehend von den natürlichen Zahlen onstruieren. Für viele Konstrutionen in der Mathemati ist der Begriff der Äquivalenzrelation entscheidend. Die Strategie ist dabei, zuerst eine ziemlich große Menge zu onstruieren, die alle Elemente der beabsichtigten Menge (in aller Regel mehrfach) repräsentiert, und dann Elemente zu identifizieren, damit jedes Zielobjet einen eindeutigen Repräsentanten beommt. Definition 5.1. Es seien (M 1, 1 ) und (M 2, 2 ) zwei Mengen, auf denen jeweils eine Vernüpfung festgelegt ist. Dann heißt die auf der Produtmenge durch M 1 M 2 (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) := (x 1 1 y 1, x 2 2 y 2 ) definierte Vernüpfung die Produtvernüpfung (oder omponentenweise Vernüpfung). Dies ist ein einfacher Begriff, bspw. wird auf dem R n die Vetorraumaddition omponentenweise erlärt. Eigenschaften der Einzelvernüpfungen übertragen sich diret auf die Produtvernüpfung. Wenn bspw. beide Vernüpfungen assoziativ sind, so gilt das auch für die Produtvernüpfung. Wir verwenden den Begriff in der folgenden Konstrution. 1

2 2 Beispiel 5.2. Es sei N die Menge der natürlichen Zahlen und M = N N die Produtmenge mit der omponentenweisen Addition. 1 Wir erlären auf M eine Relation durch 2 (a, b) (c, d), falls a + d = b + c. Dies ist bei a c genau dann der Fall, wenn es ein e N (nämlich e = c a) gibt mit (c, d) = (a, b) + (e, e). D.h. die beiden Paare unterscheiden sich um ein Diagonalelement, also um ein Paar, wo beide Komponenten übereinstimmen. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation auf M, siehe Aufgabe 5.1. Wenn man N N als ein quadratisches Gitter anordnet (das ist ein disretes Koordinatensystem ), so sind die Äquivalenzlassen gegeben durch die Punte auf einer zur Diagonalen parallelen disreten Geraden. Die Punte (a, b) mit a b sind äquivalent zu (a b, 0), sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die zweite Komponente 0 ist. Die Punte (a, b) mit a b sind äquivalent zu (0, b a), sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die erste Komponente 0 ist. Die Punte (a, a) sind zu (0, 0) äquivalent. Den Repräsentanten einer Äquivalenzlasse, bei dem mindestens eine Komponente null ist, nennen wir den Standardvertreter dieser Äquivalenzlasse. Die Standardvertreter sind die disreten Punte des begrenzenden Viertelreuzes; zu einem Punt ergibt sich der Standardvertreter, wenn man parallel zur Diagonalen in Richtung der Halbachsen wandert bis man auf einer der Halbachsen landet. Zwei Punte sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Standardvertreter besitzen. Wir bezeichnen nun die Quotientenmenge, also die Menge der Äquivalenzlassen unter dieser Äquivalenzrelation, als Menge der ganzen Zahlen und bezeichnen sie mit Z. Jede ganze Zahl hat dann genau einen Standardvertreter der Form n := (n, 0) mit n N +, der Form 0 := (0, 0) oder der Form n := (0, n) mit n N +. Eine natürliche Zahl n fassen wir von nun an als die ganze Zahl (n, 0) auf. 1 Passende Interpretationen für die Paare in diesem Kontext sind bspw.: Das Paar (a, b) repräsentiert das Ergebnis eines Fußballspieles, wobei a die Toranzahl der Heimmannschaft und b die Toranzahl der Gastmannschaft repräsentiert, oder: Das Paar (a, b) repräsentiert das Alter eines menschlichen Paares, wobei a für das Alter der Frau und b für das Alter des Mannes steht. Der Übergang zu den Äquivalenzlassen bedeutet dann, sich nur noch für die Tordifferenz bzw. den Altersunterschied zu interessieren, nicht mehr für das genaue Ergebnis bzw. das Alter der einzelnen Personen. Man ann auch das Paar als eine Schrittfolge aus a Schritten nach rechts und b Schritten nach lins ansehen. 2 Das Paar (a, b) wird später die Differenz a b repräsentieren.

3 Wir wollen nun zwei ganze Zahlen, also zwei solche Äquivalenzlassen [(a, b)] und [(c, d)] miteinander addieren, also eine Vernüpfung auf Z einzuführen. Der naheliegende Ansatz ist, diese Vernüpfung mittels der omponentenweisen Addition als [(a, b)] [(c, d)] := [(a + c, b + d)] zu definieren. Hier tritt das Problem der Wohldefiniertheit auf, denn die Vernüpfung wird erlärt unter Bezug auf Repräsentanten, und es ist nicht von vornherein lar, dass unterschiedliche Repräsentanten zum gleichen Ergebnis führen. Wenn also (a, b) (a, b ) und (c, d) (c, d ) sind, so muss man überprüfen, dass (a + c, b + d) (a + c, b + d ) und damit [(a + c, b + d)] = [(a + c, b + d )] ist. Dies ist der Fall, siehe Aufgabe 5.2. Man ann weiterhin zeigen, dass die so definierte Vernüpfung auf Z assoziativ und ommutativ ist, dass [(0, 0)] das neutrale Element der Vernüpfung ist und dass es zu jedem Element [(a, b)] ein inverses Element gibt, nämlich [(b, a)]. Wir definieren nun eine Multipliation auf Z durch [(a, b)] [(c, d)] := [(ac + bd, ad + bc)]. Dies ist wieder wohldefiniert und man ann zeigen, dass die Multipliation assoziativ und ommutativ ist mit 1 = [(1, 0)] als neutralem Element und dass das Distributivgesetz gilt. Um die Eigenschaften der Vernüpfungen, die wir auf den ganzen Zahlen haben, prägnant beschreiben zu önnen, dient der Begriff des ommutativen Ringes. Definition 5.3. Ein ommutativer Ring R ist eine Menge mit zwei Vernüpfungen + und (genannt Addition und Multipliation) und mit zwei ausgezeichneten Elementen 0 und 1 derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) (R, +, 0) ist eine ommutative Gruppe. (2) Die Multipliation ist eine assoziative und ommutative Vernüpfung und 1 ist das neutrale Element der Multipliation. (3) Es gilt das Distributivgesetz, also für alle a, b, c R. a (b + c) = (a b) + (a c) Lemma 5.4. Die Menge der ganzen Zahlen Z bilden einen ommutativen Ring. 3 Beweis. Siehe Aufgabe 5.14.

4 4 Von nun an stellen wir uns Z als eine beidseitige disrete Zahlengerade vor. Körper Wir werden von nun an den axiomatischen Aufbau der reellen Zahlen besprechen. Diese Axiome gliedern sich in algebraische Axiome, Anordnungsaxiome und das Vollständigeitsaxiom. Die algebraischen Axiome werden im Begriff des Körpers zusammengefasst. Ein Körper ist ein ommutativer Ring mit 0 1, bei dem zusätzlich jedes Element x 0 ein Inverses bzgl. der Multipliation bestizt. In der folgenden Definition werden alle Eigenschaften eines Körpers aufgeführt. Definition 5.5. Eine Menge K heißt ein Körper, wenn es zwei Vernüpfungen (genannt Addition und Multipliation) + : K K K und K K K und zwei verschiedene Elemente 0, 1 K gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen. (1) Axiome der Addition (a) Assoziativgesetz: Für alle a, b, c K gilt: (a+b)+c = a+(b+c). (b) Kommutativgesetz: Für alle a, b K gilt a + b = b + a. (c) 0 ist das neutrale Element, d.h. für alle a K ist a + 0 = a. (d) Existenz des Negativen: Zu jedem a K gibt es ein Element b K mit a + b = 0. (2) Axiome der Multipliation (a) Assoziativgesetz: Für alle a, b, c K gilt: (a b) c = a (b c). (b) Kommutativgesetz: Für alle a, b K gilt a b = b a. (c) 1 ist das neutrale Element der Multipliation, d.h. für alle a K ist a 1 = a. (d) Existenz des Inversen: Zu jedem a K mit a 0 gibt es ein Element c K mit a c = 1. (3) Distributivgesetz: Für alle a, b, c K gilt a (b+c) = (a b)+(a c). In einem Körper gilt die Klammeronvention, dass die Multipliation stärer bindet als die Addition. Man ann daher a b + c d statt (a b) + (c d) schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produtzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente 0 und 1 in einem Körper werden als Nullelement und als Einselement bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. Die additiven Körperaxiome ann man so lesen, dass die Menge K zusammen mit dem ausgezeichneten Element 0 und der Addition + als Vernüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich ommutativ ist. Ebenso bildet die Menge

5 K \{0} (also ganz K ohne die 0) mit dem neutralen Element 1 (das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von 0 verschieden ist und daher zu K \ {0} gehört) und der Multipliation eine (ebenfalls ommutative) Gruppe. Wenn ein Körper K vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass K auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits K mit der Addition und andererseits K\{0} (und eben nicht K) eine Gruppe mit der Multipliation bildet. Lemma 5.6. In einem Körper K ist zu einem Element x K das Element y mit x + y = 0 eindeutig bestimmt. Bei x 0 ist auch das Element z mit xz = 1 eindeutig bestimmt. Beweis. Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. Zu einem Element a K nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element b mit a + b = 0 das Negative von a und bezeichnet es mit a. Statt b + ( a) schreibt man abürzend b a und spricht von der Differenz. Die Differenz ist also eine grundlegende Vernüpfung, sondern wird auf die Addition mit Negativen zurücgeführt. Das zu a K, a 0, nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element c mit ac = 1 nennt man das Inverse von a und bezeichnet es mit a 1. Für a, b K, b 0, schreibt man auch abürzend a/b := a b := ab 1. Die beiden linen Ausdrüce sind also eine Abürzung für den rechten Ausdruc. In jedem Körper findet man die natürlichen Zahlen und auch die ganzen Zahlen wieder, und zwar wird die natürliche Zahl n als die n-fache Summe von 1 K mit sich selbst in K interpretiert. Entsprechend wird die negative Zahl n als die n-fache Summe von 1 K interpretiert, siehe die Aufgaben. Zu einem Körperelement a K und n N wird a n als das n-fache Produt von a mit sich selbst definiert, und bei a 0 wird a n als (a 1 ) n interpretiert. Beispiel 5.7. Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen Z, die einen ommutativen Ring bildet, die Menge der rationalen Zahlen onstruieren. Wir gehen dabei wieder ähnlich wie bei der Konstrution der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer zu großen Menge eine Äquivalenzrelation einführen, so dass die Quotientenmenge ein Modell für die rationalen Zahlen sind. Wir starten mit der Produtmenge P = Z N + = {(a, b) : a Z und b N + }. 5

6 6 Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar (a, b) später den Bruch a/b repräsentieren soll. 3 Auf P wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie den gleichen Bruch repräsentieren (den es noch nicht gibt). Wir definieren (a, b) (c, d), falls ad = bc ist. Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in Z erlärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man diret nachrechnen ann, siehe Aufgabe 5.7. Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir Q. Für die Elemente in Q schreiben wir vorläufig noch [(a, b)]. Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die disrete obere Halbebene 4 Z N + Z N betrachtet. Ein Paar (a, b) ist dann ein Gitterpunt, wobei wir uns die ganzen Zahlen Z als die Punte (n, 1), n Z, vorstellen. Die zugehörige durchgezogene Zahlengerade (wo also die zweite Komponente onstant 1 ist) bezeichnen wir mit G. Ein jeder Punt (a, b) Z N + definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punt und durch den Nullpunt (0, 0) verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punte (a, b) und (c, d) genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Zwei Punte liegen ja auf der gleichen Geraden genau dann, wenn sie, wenn man durch Strecung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punt mit d strect (multipliziert) und den zweiten Punt mit b, so erhält man die beiden Punte (da, db) und (bc, bd), und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation ann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunt der durch einen Punt (a, b) definierten Geraden H mit der Zahlengeraden G ist ein Punt, der dem Bruch a/b entspricht. Wir wollen nun auf Q eine Addition und eine Multipliation definieren. Wir setzen 5 [(a, b)] + [(c, d)] := [(ad + bc, bd)] und [(a, b)] [(c, d)] = [(ac, bd)]. Man muss jetzt zeigen, dass diese Vernüpfungen wohldefiniert sind, also unabhängig von der Wahl des Repräsentanten, siehe Aufgabe Sodann 3 Man ann sich vorstellen, dass in (a, b) die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl von Personen bedeutet. 4 Man önnte auch Z (Z \ {0}) nehmen. 5 Die Definition der Addition ann man als Addition der Steigung sehen.

7 ann man mit einigem Aufwand nachweisen, dass Q mit diesen Vernüpfungen und mit den ausgezeichneten Elementen 0 := [(0, 1)] und 1 := [(1, 1)] einen Körper bilden, siehe Aufgabe Das Negative eines Elementes [(a, b)] ist [( a, b)] und das Inverse eines von null verschiedenen Elementes [(a, b)] ist [(b, a)] (bzw. [( b, a)], falls a negativ ist). Aufgrund von dieser Konstrution önnen wir uns die rationalen Zahlen als Punte auf einer Zahlgeraden vorstellen (in der Konstrution die Geraden mit y = 1) Beispiel 5.8. Wir suchen nach einer Körperstrutur auf der Menge {0, 1}. Wenn 0 das neutrale Element einer Addition und 1 das neutrale Element der Multipliation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da = 0 sein muss, da 1 ein inverses Element bzgl. der Addition besitzen muss, und da in jedem Körper 0 0 = 0 gelten muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus. und Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen Körper handelt. Lemma 5.9. Es sei K ein Körper und seien a, b, c, a i, b Elemente aus K. Dann gelten folgende Aussagen Beweis. (1) a0 = 0 ( Annullationsregel), (2) a( b) = ab = ( a)b (3) ( a)( b) = ab ( Vorzeichenregel), (4) a(b c) = ab ac, (5) ( r i=1 a i )( s =1 b ) = 1 i r, 1 s a i b (allgemeines Distributivgesetz). (6) Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. (2) (1) Es ist a0 = a(0 + 0) = a0 + a0. Durch beidseitiges Abziehen von a0 ergibt sich die Behauptung. ( a)b + ab = ( a + a)b = 0b= 0 nach Teil (1). Daher ist ( a)b das (eindeutig bestimmte) Negative von ab. 7

8 8 (3) Nach (2) ist ( a)( b) = ( ( a))b und wegen ( a) = a (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung. (4) Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen. (5) Dies folgt aus einer Doppelindution, siehe Aufgabe (6) Wenn a und b von null verschieden sind, so gibt es dazu inverse Elemente a 1 und b 1. Wenn ab = 0 wäre, so ergibt sich daraus durch Multipliation mit b 1 a 1 die Gleichung 1 = 0 (wegen Teil (1)), was aber in einem Körper nicht sein ann. Die Binomialoeffizienten Definition Es seien und n natürliche Zahlen mit n. 6 Dann nennt man n n! =!(n )! den Binomialoeffizienten n über. Von dieser Definition her ist es nicht sofort lar, dass es sich dabei um natürliche Zahlen handelt. Dies folgt aus der folgenden Beziehung. Lemma Die Binomialoeffizienten erfüllen die reursive Bedingung n + 1 n n = +. 1 Beweis. Siehe Aufgabe 5.9. Die folgende Formel bringt die Addition und die Multipliation miteinander in Beziehung. 6 Bei > n setzen wir die Binomialoeffizienten gleich 0.

9 Satz (Binomi) Es seien a, b Elemente in einem Körper. Ferner sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt (a + b) n = n =0 n a b n. Beweis. Wir führen Indution nach n. Für n = 0 steht einerseits (a+b) 0 = 1 und andererseits a 0 b 0 = 1. Bei n = 1 hat man einerseits (a + b) 1 = a + b und andererseits a 1 b 0 + a 0 b 1 = a + b. Sei die Aussage bereits für n bewiesen. Dann ist (a + b) n+1 = (a + b)(a + ( b) ) n n n = (a + b) a b n =0 n n n n = a( a b n ) + b( a b n ) =0 =0 n n n n = a +1 b n + a b n +1 =0 =0 n+1 n n+1 = a b n +1 n + a b n +1 1 =0 =0 n+1 n n = ( + )a b n+1 =0 1 n+1 n + 1 = a b n+1. =0 9

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11 Abbildungsverzeichnis Quelle = Pascal triangle.svg, Autor = Benutzer Kazuioumura auf Commons, Lizenz = CC-by-sa Quelle = Yanghui triangle.gif, Autor = Benutzer Noe auf Commons, Lizenz = PD 8 Quelle = TrianguloPascal.jpg, Autor = Pascal (= Benutzer Drini auf Commons), Lizenz = PD 8 Quelle = A plus b au carre.svg, Autor = Benutzer Alarex auf Commons, Lizenz = CC-by-sa Quelle = Binomio al cubo.svg, Autor = Drini, Lizenz = PD 9 11