Komplexe Zahlen. - Konstruktion und einige Eigenschaften. Klaus-R. Lö er

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1 Komplexe Zahlen - Konstrution und einige Eigenschaften Klaus-R. Lö er Inhaltsverzeichnis Grundlagen. Der geometrische Ansatz zur Beschreibung Umrechnung der Darstellungen Real-/Imaginärteil und Betrag/Argument Die Definition von Addition und Multipliation in C Addition Multipliation Multipliation in der Realteil/Imaginärteil-Darstellung (C, +, ) ist ein ommutativer Körper Bemerungen und Bezeichnungen Beweis der Körpereigenschaften Subtration und Division in C Die reellen Zahlen als Elemente von C Die rein imaginären Zahlen in C Folgerungen und Weiterführungen 7 2. Die Formel von Moivre Potenzen und Wurzeln Quadratwurzeln omplexer Zahlen n-te Wurzeln (n 2) Grundlagen. Der geometrische Ansatz zur Beschreibung Ähnlich wie den reellen Zahlen die Punte der Zahlengeraden entsprechen, ordnet man umehrbar eindeutig jedem Punt der Ebene umehrbar eindeutig ein Objet zu, von dem im folgenden als einer omplexen Zahl gesprochen wird. Zur Verdeutlichung, dass dabei nicht der Punt als lediglich geometrisches Objet betrachtet wird, werden als Platzhalter für die einzelnen omplexen Zahlen bevorzugt Kleinbuchstaben wie z oder u, v, w verwendet. Bevor die Benutzung des Begri s der Zahl in diesem Zusammenhang gerechtfertigt wird, sollen zunächst die Möglicheiten der Beschreibung eines solchen Objets betrachtet werden: Da sich jeder Punt (nach Festlegung eines Koordinatensystems) wahlweise durch artesische Koordinaten oder durch Polaroordinaten beschreiben lässt, ann man jede omplexe Zahl auf zwei verschiedene Weise darstellen:

2 Grundlagen Einerseits ist jeder Punt z durch seine Koordinaten festgelegt, hat also eine Darstellung der Form z =(a b) mit reellen Zahlen a, b. Andererseits ann man den Punt z durch seinen Abstand r vom Ursprung und die Größe des Winels EOz beschreiben, wobei E der Einheitspunt, also der Punt mit dem Koordinatenpaar ( 0) ist. Zur besseren Unterscheidung werden die Polaroordinaten hier durch spitze Klammern geennzeichnet. O ensichtlich gelten dann z.b. die folgenden Gleichungen: (0 2) =< 90 2 >, ( 3 0) = < 80 3 >, ( ) = < 45 p 2 >. Die artesischen Koordinaten des zur omplexen Zahl z gehörenden Puntes werden als Realteil von z bzw. als Imaginärteil von z bezeichnet, abgeürzt <(z) und=(z); also ist z =(<(z) =(z)). Die Polaroordinaten des zur omplexen Zahl z gehörenden Puntes werden als Argument von z bzw. als Betrag von z bezeichnet, abgeürzt arg(z) und z, also ist z =< arg(z) z >. Die Menge aller omplexen Zahlen wird mit dem Buchstaben C bezeichnet... Umrechnung der Darstellungen Real-/Imaginärteil und Betrag/Argument Für diese Umrechnungen werden die trigonometrischen Funtionen Sinus und Kosinus verwendet. Zur Erinnerung: Für eine Winelgröße ist (cos( ) sin( )) das Koordinatenpaar des Puntes, den man als Ergebnis erhält, wenn man in einem artesischen Koordinatensystem den Einheitspunt E um den Ursprung durch den Winel dreht, also Real- und Imaginärteil der omplexen Zahl < >. Da <r > als < > <r 0 >, also durch Strecung mit dem Fator r erhalten wird, folgt <r >= (r cos( ) r sin( )). Es gilt also: <(z) = z cos(arg(z)), =(z) = z sin(arg(z)) z2c z = p (<(z)) 2 +(=(z)) 2, z2c arg(z) = arccos( <(z) ) z z2c Bei der Ermittlung des Arguments einer omplexen Zahl aus den Polaroordinaten ist zu beachten, in welchem Quadranten sich die Zahl befindet. Mit dem Einheitspunt ist hier der Punt mit den Koordinaten ( 0) gemeint. 2

3 Grundlagen.2 Die Definition von Addition und Multipliation in C.2. Addition Die Addition von zwei omplexen Zahlen wird mit Hilfe der Darstellung mit Real- und Imaginärteil erlärt: <(w + z) =<(w)+<(z); =(w + z) ==(w)+=(z); Also ist (a a 2 )+(b b 2 )=(a + b a 2 + b 2 ). Geometrisch entspricht die Durchführung der Addition der Bildung der Resultierenden in einem Kräfteparallelogramm: Man gelangt von z zu z + w, indem man z um den Pfeil Ow ~ verschiebt..2.2 Multipliation Die Multipliation von zwei omplexen Zahlen wird mit Hilfe der Darstellung mit Argument und Betrag erlärt: arg(w z) = arg(w) + arg(z); w z = w z also ist < r> < s>= < + r s>. Dabei wird die Addition modulo 360 durchgeführt; zwischen Winelgrößen, die sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 360 unterscheiden, wird also ein Unterschied gemacht. 3

4 Grundlagen Geometrisch entspricht die Durchführung der Multipliation einer Drehstrecung des zu z gehörenden Puntes um um den Ursprung mit dem Drehwinel arg(w); man erhält also w z als Bild von z 2 als Ece des Bilddreiecs bei Drehung des Dreiecs OEz um den Ursprung mit dem Drehwinel arg(w) und dem Strecfator w. Man onstruiert z w, indem man an Oz in O den Winel arg(w) anträgt und an Ow in w den Winel OEz anträgt. Man erhält dann z w als Schnittpunt der freien Schenel der beiden angetragenen Winel..2.3 Multipliation in der Realteil/Imaginärteil-Darstellung Es seien u =(u u 2 )=<r >, v =(v v 2 )=<s >, also u = r cos( ),u 2 = r sin( ),v = s cos( ),v 2 = s sin( ). Dann ist aufgrund der Addditionstheoreme von Sinus und Kosinus u v =< r > <s >=< r s + >= (r s cos( + ) r s sin( + )) =(r s (cos( ) cos( ) sin( ) sin( )) r s (sin( ) cos( ) + cos( ) sin( )) =(r cos( ) s cos( )) r sin( ) s sin( ) r sin( ) s cos( )+r cos( ) s sin( )) und daher (u u 2 ) (v v 2 )=(u v u 2 v 2 u 2 v + u v 2 )..3 (C, +, ) ist ein ommutativer Körper Die Bezeichnung der Elemente von C als Zahlen wird mit den nachfolgenden Eigenschaften gerechtfertigt. Zu zeigen ist, dass die folgenden Eigenschaften vorliegen.. (C, +) ist eine ommutative Gruppe, d.h: a) Das Assoziativgesetz ist erfüllt: V u,v,w2c (u + v)+w = u +(v + w) b) Das Kommutativgesetz ist erfüllt: V u,v2c u + v = v + u c) Es gibt ein neutrales Element: W V o2c u2c u + o = u d) Jedes Element hat ein additives Inverses: V W u2c v2c u + v = o 2. (C \{o}, ) ist eine ommutative Gruppe, d.h.: a) Das Assoziativgesetz ist erfüllt: V u,v,w2c\{o} (u v) w = u (v w) b) Das Kommutativgesetz ist erfüllt: V u,v2c\{o} V u v = v u c) Es gibt ein neutrales Element: W e2c\{o} u2c\{o} u e = u d) Jedes Element hat ein multipliatives Inverses: V u2c\{o} W v2c\{o} u v = e 3. In (C, +, ) gilt das Distributivgesetz: V u,v,w2c u (v + w) =u v + u w.3. Bemerungen und Bezeichnungen Die folgenden Eigenschaften gelten allgemein für ommutative Gruppen; (die urzen und einfachen Beweise werden hier nicht gegeben). In einer ommutativen Gruppe gibt es genau ein neutrales Element. Anstatt von einem neutralen Element ann also von dem neutralen Element der Gruppe gesprochen werden. 2 Aus Gründen der Kürze wird nachfolgend bzeichnungstechnisch jeweils eine omplexe Zahl mit dem sie repräsentierenden Punt identifiziert. 4

5 Grundlagen Ist allgemein n das neutrale Element bezüglich der Addition in einer Menge M, wird die Menge M \{n} ageürzt als M notiert. Im onret vorliegenden Fall liefert die Anwendung C = C\{o}. In einer ommutativen Gruppe gibt es zu jedem Element genau ein inverses Element. Anstatt von einem zu a inversem Element ann also von dem zu a inversen Element in der Gruppe gesprochen werden. Das zu einem Gruppenelement a inverse Element bezeichnet man als Gegenzahl von a (Notation: a), wenn die Vernüpfung eine Addition ist, Kehrzahl (oder Kehrwert) von a (Notation: a ), wenn die Vernüpfung eine Multipliation ist..3.2 Beweis der Körpereigenschaften Die Beweise ergeben sich ohne besondere zusätzliche Beweisideen unmittelbar aus der Definition von C, den Definitionen der Vernüpfungen und den entsprechenden Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen (R, +, ). Zu. Nachfolgend wird die Darstellung mit Real- und Imaginärteil verwendet; es sei jeweils sofern benötigt u =(u u 2 ),v =(v v 2 ),w =(w w 2 ); u i,v i,w i 2 R (i =, 2). Zu a) (u + v)+w =((u u 2 )+(v v 2 )) + (w w 2 )=(u + v u 2 + v 2 )+(w w 2 ) =(u + v + w u 2 + v 2 + w 2 )=u +(v + w) =(u u 2 )+(v + w v 2 + w 2 ) =(u u 2 )+((v v 2 )) + (w w 2 )) = u +(v + w) Zu b) u + v =(u u 2 )+(v v 2 )=(u + v u 2 + v 2 )=(v + u v 2 + u 2 )=v + u Zu c) Mit o := (0 0) gilt u + o =(u u 2 )+(0 0) = (u +0 u 2 + 0) = (u u 2 )=u Zu d) Mit u := ( u u 2 ) hat man: u+( u) =(u u 2 )+( u u 2 )=(u u u 2 u 2 ) =(u +( u ) u 2 +( u 2 )) = (0 0) = o Zu 2. Nachfolgend wird die Darstellung mit Betrag und Argument verwendet; es sei jeweils sofern benötigt u =< r >, v =< s >),w =< t >; r, s, t 2 R;,, Winelgrößen). Zu a) (u v) w =(<r > <s >) <t >=< r s + > <t > =< r s t + + >=< r > <s t + > =< r > (< s > <t >) =u (v w) Zu b) Der Beweis verläuft analog zu b) bzw. 2a). Zu c) Mit e :=< 0 ) gilt u e =< r > < 0 )=<r +0 >=< r >= u Zu d) Mit u :=< r > hat man: u u =<r > < r =< 0 )=e Ergänzung: In der Darstellung mit Real- und Imaginärteil erhält man (u u 2 ) u u 2 = u 2 + u2 2 u 2 +, u2 2 >=< r r +( ) > denn u (u u 2 ) u 2 + u2 2 u 2 u 2 u 2 + = + u 2 2 u2 2 u 2 + u2 2 u 2 u + u u u 2 u 2 + =( 0) = e u2 2 5

6 Grundlagen Zu 3. Geometrisch lässt sich das Assoziativgesetz so deuten, dass bei einer Drehstrecung eines Parallelogramms mit dem Ursprung als Dreh- und Streczentrum bei einer Drehung um einen Winel und Strecung mit einem Fator r das Ergebnis nur von und r abhängt, aber nicht von der Reihenfolge, in der die geometrischen Abbildungen ausgeführt werden. Für den nachfolgenden algebraischen Beweis sei u =(u u 2 ),v =(v v 2 ),w =(w w 2 ). u (v + w) = u ((v v 2 )+(w w 2 )) = (u u 2 ) (v + w v 2 + w 2 ).4 Subtration und Division in C = (u (v + w ) u 2 (v 2 + w 2 ) u 2 (v + w )+u (v 2 + w 2 )) = (u v + u w u 2 v 2 u 2 w 2 ) u 2 v + u 2 w + u v 2 + u w 2 ) = (u v u 2 v 2 u 2 v + u v 2 )+(u w u 2 w 2 u 2 w + u w 2 ) = (u u 2 ) (v v 2 )+(u u 2 ) (w w 2 )=u v + u w In jedem Körper - also auch in C - sind als Umehrvernüpfungen zu Subtration und Multipliation eine Subtration und eine Division erlärt: u v := u( v); u/v := u v. u,v2c u2c v2c Die Subtration ist wieder am einfachsten in der Darstellung mit Real- und Imaginärteil durchzuführen: (u u 2 ) (v v 2 )=(u u 2 )+( (v v 2 )) = (u u 2 )+( v v 2 )) = (u v u 2 v 2 ) Die Division erfolgt wahlweise in der Darstellung mit Betrag und Argument <r >/<s >=< r > <s > =<r > < s >=< r s > oder in der Notation mit Real- und Imaginärteil (u u 2 )/(v v 2 ) = (u u 2 ) (v v 2 ) v =(u u 2 ) v 2 + v2 2 u v + u 2 v 2 = v 2 + u 2 v u v 2 v2 2 v 2 +. v2 2.5 Die reellen Zahlen als Elemente von C v 2 v 2 + v2 2 Die reellen Zahlen wurden verwendet, um damit die omplexen Zahlen zu onstruieren, nämlich als Paare reeller Zahlen. Bei der geometrischen Darstellung entsprechen die Punte der Zahlengeraden als Repräsentanten reeller Zahlen gleichzeitig als Punt der Ebene omplexen Zahlen: Die reelle Zahl a wird durch den gleichen Punt repräsentiert wie die omplexe Zahl (r 0). Die natürliche Zuordnung : R! C mit (x) =(x 0) ist aber nicht nur eine injetive Abbildung, sie ist auch struturerhaltend bezüglich der in den beiden Mengen definierten Vernüpfungen, d.h.: (a + b) = (a)+ (b) (a b) = (a) (b) a,b2r a,b2r Denn (a + b) =(a + b 0) = (a 0) + (b 0) = (a)+ (b) und (a b) =(a b 0) = (a b 0 0 b 0+a 0) = (a 0) (b 0) = (a) (b). 6

7 2 Folgerungen und Weiterführungen Mithin önnen im Körper (C, +, ) Zahlen der Form (r 0) mit der entsprechenden reellen Zahl r identifiziert werden. Damit sind die reellen Zahlen in C eingebettet: R C. Die Notation vereinfacht sich, indem - das neutrale Element der Addition ((0 0) = o) als 0, - das neutrale Element der Multipliation (( 0) = e) als notiert werden ann..6 Die rein imaginären Zahlen in C Es ist eine wichtige und häufig verwendete Eigenschaft der reellen Zahlen, dass nur die nicht-negativen unter ihnen als Quadrate reeller Zahlen darstellbar sind. Dagegen önnen negative Zahlen sehr wohl als Quadrate omplexer Zahlen auftreten, z.b. (0 ) 2 =( ) =. Allgemein: (0 a) 2 =( a 2 0) = a 2 < 0. a2r Genau dann ergibt das Quadrat einer omplexen Zahl eine reelle Zahl, wenn die omplexe Zahl selber reell ist oder ihr Realteil 0 beträgt, denn sind a, b reelle Zahlen mit (a b) 2 2 R so muss wegen (a b) 2 =(a 2 b 2 2a b); 2 R, 2a b =0 gelten a = 0 oder b = 0. Die omplexen Zahlen, deren Quadrate nicht-positive reelle Zahlen sind, werden als imaginäre Zahlen bezeichnet. Ihre geometrischen Repräsentanten bilden die zweite Achse im artesischen Koordinatensystem, die im Unterschied zur reellen Achse auch als imaginäre Achse bezeichnet wird. Die dem Einheitspunt ( 0) auf der reellen Zahl entsprechende Zahl (0 ) auf der imaginären Achse wird als imaginäre Einheit bezeichnet und abürzend als ı notiert. Die omplexe Zahl (a b) hat daher auch - die häufig bevorzugte - Darstellung a + b ı; aufgrund der Rechenregeln im Körper der omplexen Zahlen gilt ja (a b) =(a 0) + (0 b) =a + b (0 ) = a + b ı 2 Folgerungen und Weiterführungen 2. Die Formel von Moivre Wegen < > n =< n > hat man (cos( ) sin( )) n = (cos(n ) sin(n )) also (cos( )+ı sin( )) n = cos(n )+ı sin(n ) Mit den Abürzungen c := cos( ), s := sin( ) ergibt sich damit unter Verwendung des binomischen Satzes 3 und bezüglich des Moduls 4 (c +ı s) n = c n (ı s) = c n (ı s) + c n (ı s) c n (ı s) + 3 c n (ı s) 3 Zum Beweis s. z.b. den Themenartiel Binomischer Satz 7

8 = Folgerungen und Weiterführungen c n s +ı c n s ı 3 c n Trennung nach Real- und Imaginärteil führt schließlich zu n cos(n ) = cos n ( ) sin ( ) sin(n ) = cos n ( ) sin ( ) s c n s. 2 3 So ergibt sich zum Beispiel für den Spezialfall n = 3: 3 3 cos(3 ) = cos 3 ( ) sin 0 ( ) cos ( ) sin 2 ( ) 0 2 und mit analoger Rechnung = cos 3 ( ) 3 cos( ) ( cos 2 ( )) = 4 cos 3 ( ) 3 cos( ) cos n ( ) sin ( ), cos n ( ) sin ( ). sin 3 ( ) =3sin( ) 4 sin 3 ( ) Diese Formeln finden zum Beispiel Anwendung bei der Lösung der ubischen Gleichung im Fall dreier reeller Lösungen, wenn die Verwendung omplexer Zahlen vermieden werden soll Potenzen und Wurzeln Da hier die Grundlagen des Rechnens mit Potenzen und Wurzeln in den reellen Zahlen vorausgesetzt werden önnen, werden im nachfolgenden Abschnitt wegen <r > = r < >, und somit <r > n = r n < n > speziell wieder die Potenzen von < > betrachtet, - wozu ja auch die obigen Überlegungen zur Formel von Moivre gehören. Da geometrisch die Multipliation mit < > die Drehung um den Ursprung mit Drehwinel bedeutet, bilden z.b. die Potenzen von < 360 /n >, also < n 360 >, < 2 n 360 >, < 3 n 360 >,,< n n 360 >, < 360 > die Ecen eines regelmäßigen n-ecs mit Umreisradius ; die Sizze zeigt den Fall n = 7. 4 Eine Darstellung dieser Lösung beim casus irreducibilis findet sich zum Beispiel im Thementext Die reellen Lösungen der ubischen Gleichung 8

9 2 Folgerungen und Weiterführungen 2.2. Quadratwurzeln omplexer Zahlen Für jede positive reelle Zahl r und jede Winelgröße (reduziert modulo 360 )lässt sich die omplexe Zahl <r > auf genau zwei Weisen als Quadrat einer omplexen Zahl darstellen: <r >=< p r 2 >2 <r >=< p r >2. Diese Zahlen werden beide als Wurzel von <r > bezeichnet. Im Gegensatz zum Wurzelbegri in den reellen Zahlen, wo man nur eine der Zahlen x mit x 2 = r als Wurzel von r bezeichnet, nämlich die nicht-negative, ist in den omplexen Zahlen eine der beiden Kandidaten als die Wurzel auszuzeichnen. Denn die Ordnungsrelation < ann bei der Ausdehnung der reellen Zahlen auf die omplexen Zahlen auf diese nicht ausgedehnt werden. Die Annahme, es gäbe in C eine solche Ordnung, die auch dem Monotoniegesetz bzw. Inversionsgesetz der Multipliation genügt, führt zum Widerspruch. 5 Bei der Ermittlung der Quadratwurzeln der omplexen Zahl (u u 2 )(=u) brauchen reelle Zahlen nicht betrachtet zu werden, da unmittelbar zu sehen ist: u > 0 ) ( p u 0) 2 =(u 0); u < 0 ) (0 p u ) 2 =(u 0) Zu bestimmen sind also nur noch die Wurzeln der omplexen Zahl (u u 2 )mitu 2 6= 0. Hier führt der Ansatz (x y) 2 =(u u 2 )zu x 2 y 2 = u 2xy = u 2, also x 2 u 2 2 4x 2 = u bzw. x 4 u x 2 u =0. 5 Sowohl die Annahme ı < 0wiedieAnnahmeı> 0führt bei Multipliation beider Seiten der Ungleichung zu > 0. Durch Multiplizieren mit - folgt daraus > 0, Addieren der letzten beiden Ungleichungen ergibt schließlich 0 < 0. 9

10 2 Folgerungen und Weiterführungen Als Lösung dieser biquadratischen Gleichung erhält man r q r x = 2 (u + u 2 + u2 2 )= 2 (u + u ); x 2 = x q Mit entsprechender Rechnung oder durch Einsetzen ergibt sich y = ± 2 ( u u ). Da bei negativem u 2 die Vorzeichen von Real- und Imaginärteil der Wurzel entgegengesetzt, bei positivem u 2 gleich sind, ergibt sich: r r! p Falls u 2 < 0: (u u 2 ) = ± 2 (u + u ) 2 ( u u ), r r! p falls u 2 > 0: (u u 2 ) = ± 2 (u + u ) 2 ( u u ) n-te Wurzeln (n 2) Für jede natürliche Zahl n (n 2) gibt es, wie schon für den Spezialfall n = 2 angegeben, für jede von 0 verschiedene omplexe Zahl u genau n paarweise verschiedene omplexe Zahlen w i,derenn-te Potenz u ergibt, nämlich für u =< r >: w i =< np r i 360 > (i =, 2, 3,...,n ) n Diese Zahlen werden als n-te Wurzeln von u, im Spezialfall u = als n-te Einheitswurzeln bezeichnet. Die n-ten Wurzeln einer von 0 verschiedenen omplexen Zahl u bilden die Ecen eines regelmäßigen n-ecs mit dem Umreisradius np u. Stand , Fortsetzung vorgesehen 0