Teil 1. Mathematische Grundlagen

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1 Teil 1 Mathematische Grundlagen 5

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3 1.1 Aussagenlogi Aussage und Axiom Aussage: sprachlicher Ausdruc mit eindeutigem Wahrheitswert w ( wahr ) bzw. f ( falsch ) A : Beschreibung Axiom: grundlegende nicht aus anderen Aussagen ableitbare Aussage Logische Operationen Negation A nicht A Konjuntion A B A und B Disjuntion A B A oder B Impliation A B aus A folgt B Äquivalenz A B A ist äquivalent zu B Umformungsregeln für logische Operationen Assoziativgesetze (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Kommutativgesetze De Morgansche Regeln A B = B A, (A B) = ( A) ( B), A B = B A (A B) = ( A) ( B) Distributivgesetze (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C) äquivalente Darstellung der Impliation: A B Quantoren Existenzquantor und Allquantor : es gibt..., : für alle... Negation Vertauschung der Quantoren ( p P : A(p) ) = p P : A(p) ( p P : A(p) ) = p P : A(p) Direter Beweis Herleitung einer Behauptung B aus beannten wahren Aussagen A A = B gegebenenfalls Berücsichtigung von Voraussetzungen 7

4 Indireter Beweis Herleitung einer Aussage B aus Voraussetzungen V durch Folgern eines Widerspruchs aus der Annahme, dass die Aussage B bei Gültigeit der Voraussetzungen V falsch ist: V ( B) = F mit einer falschen Aussage F, insbesondere F = V oder F = B Vollständige Indution Beweis von parameterabhängigen Aussagen A(n), n N Indutionsanfang: zeige A(1) Indutionsschluss: zeige A(n) = A(n + 1) 8

5 1.2 Mengen Menge Menge mit Elementen a bzw. a A = {a 1, a 2,...}, A = {a : a besitzt die Eigenschaft E} a A a / A A B ( ) A a ist Element von A a ist nicht Element von A A ist (echte) Teilmenge von B Anzahl der Elemente in A leere Menge natürliche, ganze, rationale, relle und omplexe Zahlen N, Z, Q, R, C Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt Differenz, Komplementärmenge A B A B A \ B Regeln für Mengenoperationen Assoziativgesetze (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Kommutativgesetze De Morgansche Regeln A B = B A, A B = B A C\(A B) = (C\A) (C\B), C\(A B) = (C\A) (C\B) Distributivgesetze (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C) Kartesisches Produt geordnete Paare von Elementen zweier Mengen A B = {(a, b) : a A b B} n-tupel: (a 1,..., a n ) A 1 A n 9

6 Relation Beziehung zwischen Elementen zweier Mengen a R b (a, b) R A B Eigenschaften von Relationen reflexiv symmetrisch antisymmetrisch transitiv total (a, a) R (a, b) R (b, a) R (a, b) R (b, a) R a = b (a, b) R (b, c) R (a, c) R (a, b) R (b, a) R Äquivalenzrelation (a b): reflexiv, symmetrisch und transitiv Partition der Grundmenge in disjunte Äquivalenzlassen Halbordnung (a b): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Ordnung: zusätzlich total 10

7 1.3 Abbildungen Abbildung eindeutige Zuordnung Bild: f(u), Urbild: f 1 (V ) f : A B, a b = f(a) Eigenschaften von Abbildungen injetiv surjetiv bijetiv: injetiv und surjetiv a a A : f(a) f(a ) b B a A : f(a) = b Vernüpfung von Abbildungen Hintereinanderschaltung von f : A B und g : B C a (g f)(a) = g(f(a)) assoziativ aber i.a. nicht ommutativ Inverse Abbildung Umehrung f 1 einer bijetiven Abbildung f : A B b = f(a) a = f 1 (b) 11

8 1.4 Kombinatori Faultät Anzahl der Permutationen von n Elementen n! = 1 2 n Stirlingsche Formel n! = ( n ) n ( ) 2πn 1 + O(1/n) e Binomialoeffizient Anzahl der -elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen = n! (n )!! = n(n 1)(n 2) (n + 1) 1 ( 2)( 1) Pascalsches Dreiec Reursion für Binomialoeffizienten + 1 = + 1 Dreiecsschema ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) Binomischer Satz ( n (a + b) n = a n + 1 n ( n = =0 ) a n 1 b + + ) a n b ab n 1 + b n n 1 Identitäten für Binomialoeffizienten 12

9 2 n = 0 = = = n =0 n ( 1), n 1 =0 ( ) n 1 + i, < n i i=0 n ( ) 1 + i, > 0 1 i=0 Auswahl von Teilmengen Anzahl der Möglicheiten, aus einer Menge mit n verschiedenen Elementen Elemente auszuwählen nicht sortiert sortiert ohne Wiederholungen n(n 1) (n + 1) ( ) n + 1 mit Wiederholungen n 13

10 1.5 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen imaginäre Einheit: i 2 = 1 C = {z = x + iy, x, y R} Real- und Imaginärteil x = Re z, y = Im z Komplexe Konjugation onjugiert omplexe Zahl z = x iy verträglich mit den arithmetischen Operationen z 1 z 2 = z 1 z 2, = +,,, / Betrag omplexer Zahlen z = x 2 + y 2 = z z Positivität Multipliativität Dreiecsungleichung z 0, z = 0 z = 0 z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 / z 2, z 2 0 z1 z 2 z1 + z 2 z 1 + z 2 Formel von Euler-Moivre cos t + i sin t = exp(it), t R Sinus und Kosinus: Real- und Imaginärteil omplexer Zahlen mit Betrag 1 cos t = Re e it = 1 ( e it + e it) 2 sin t = Im e it = 1 ( e it e it) 2i 14

11 Gaußsche Zahlenebene Im(z) x z = x + iy Im(z) z = re iϕ r y z ϕ Re(z) ϕ Re(z) z = x iy z = re iϕ Darstellung in Polaroordinaten z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ) mit r = z = x 2 + y 2, ϕ = arg(z) = arctan y/x + σπ σ = 0 für x 0, σ = ±π für x < 0 Standardbereich ϕ ( π, π] z 1 1 ±i 1 ± i 3 ± i 1 ± 3i r ϕ 0 π ±π/2 ±π/4 ±π/6 ±π/3 Multipliation omplexer Zahlen z = x + iy = r exp(iϕ ) z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i = r 1 r 2 exp(i(ϕ 1 + ϕ 2 )) Division omplexer Zahlen z = x + iy = r exp(iϕ ) z 1 = x 1x 2 + y 1 y 2 + x 2y 1 x 1 y 2 i = r 1 exp(i(ϕ z 2 x y2 2 x y2 2 1 ϕ 2 )) r 2 Kehrwert 1 z = 1 r 2 z = 1 r exp( iϕ) = x r 2 y r 2 i 15

12 Komplexe Einheitswurzeln z n = 1 z = wn, w n = exp(2πi/n), = 0,..., n 1 Im z w 1 n wn 0 = 1 Re z w n 1 n Potenzen einer omplexen Zahl ganzzahlige Exponenten m Z rationale Exponenten p/q Q z m = r m e imϕ, z = re iϕ mit w q = exp (2πi/q) den q-ten Einheitswurzeln Kreis in der Gaußschen Zahlenebene z p/q = r p/q exp (ipϕ/q) w p q, = 0,..., q 1 z a = s z b, s 1 Mittelpunt Radius Parameterform des Kreises w = 1 1 s 2 a s2 1 s 2 b r = s b a 1 s 2 w + re it, t [0, 2π) 16