1. Die reellen Zahlen

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1 3 1. Die reellen Zahlen 1.1. Undefinierte Begriffe. Wir verwenden eine Reihe von Begriffen ohne mathematisch genaue Definition: Eine Aussage nennen wir etwas, von dem wir sagen önnen, ob es wahr ist oder falsch. Auszwei Aussagen A und B önnen wir neue Aussagen bilden, z.b. (1) Die Verneinung (Negation) von A ist die Aussage, die wahr ist, wenn A falsch ist, und falsch, wenn A wahr ist. (2) A B ( A und B ) ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist, sonst falsch. (3) A B ( A oder B ) ist falsch, wenn sowohl A als auch B falsch ist, sonst wahr. (4) A B ( aus A folgt B ) ist falsch, wenn die Aussage A wahr ist und die Aussage B falsch. Ansonsten ist diese Aussage wahr. (5) A B ( A ist äquivalent (gleichwertig) zu B ) ist wahr, wenn die Aussagen A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind. Ansonsten ist diese Aussage falsch. Oder (gleichwertig): Sie ist wahr, wenn sowohl die Aussage A B als auch die Aussage B A gilt, und ansonsten falsch. Aufgabe: MachenSiesichlar,dassdieAussageA B gleichwertig ist zu der Aussage, dass aus der Verneinung von B die Verneinung von A folgt. Eine Menge besteht aus Elementen; wir sagen,die Elemente seien in der Menge enthalten. Ist x in der Menge M enthalten, so schreiben wir x M, ansonstenx/ M. AlleElementeeiner Menge sind verschieden. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Für mehr Details siehe z. B. P. Halmos: Naive Mengenlehre oder Lévy: Basic Set Theory Beannte Mengen. N = {1, 2, 3,...} N 0 = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...} Q = { p q : p Z,q N } Dabei sieht man die Brüche p q und r s Beispiel: 2 3 = 4 6 = leere Menge natürliche Zahlen ohne Null natürliche Zahlen einschließlich Null ganze Zahlen rationale Zahlen. in Q als gleich an, falls ps = rq. Oft beschreibt man Mengen auch in der Form: {x : Aussage über x } und meint damit die Menge aller Elemente, für die die Aussage gilt. Beispiel: N = {x : x N 0 und x 0}. Wirschreibenauchurz:N = {x N 0 : x 0} Definition. Es seien M,N Mengen. (a) Schreibe M N, fallsaus x M stets x N folgt M ist Teilmenge von N M N = {x : x M oder x N} Vereinigung von M und N (c) M N = {x : x M und x N} Durchschnitt von M und N (d) M \ N = {x : x M und x/ N} Differenzmenge (e) M N = {(x, y) :x M und y N} artesisches Produt (f) P(M) ={N : N M} Potenzmenge

2 4 Man nennt M und N disjunt, falls M N =. Man ann auch Durchschnitte und Vereinigungen über mehrere (möglicherweise unendlich viele) Mengen bilden. Es sei I eine Menge, und für jedes i I sei M i eine Menge. Wir setzen M i = {x : x M i für jedes i I} i I M i = {x : x M i für mindestens ein i I}. i I Beispiel: I = N und M i = {q Q : q>i}. WasistM 2 bzw. i M i bzw. i M i Reelle Zahlen. Die reellen Zahlen sind eine Menge R, diedurchbestimmteeigenschaften charaterisiert ist. (a) Auf R sind zwei Vernüpfungen 1 definiert, nämlich +, die Addition, und, die Multipliation, die zwei Elementen x, y die Summe x + y R bzw. das Produt x y = xy R zuordnen (Malpunt wird meist nicht geschrieben). Dabei gelten folgende Regeln ( Axiome ): (A1) (x + y)+z = x +(y + z) für alle x, y, z R Assoziativgesetz der Addition (A2) Es gibt ein Element 0 R mit x +0=x für alle x Neutralelement der Addition (A3) Zu jedem x R existiert ein Element ( x) R mit Inverses Element der Addition x +( x) =0 (A4) x + y = y + x für alle x, y R Kommutativgesetz der Addition (M1) (x y) z = x (y z) für alle x, y, z R Assoziativgesetz der Multipliation (M2) Es gibt ein von 0 verschiedenes Element 1 R mit x 1=x für alle x R Neutralelement der Multipliation (M3) Zu jedem x 0 existiert ein Element x 1 mit Inverses Element der Multipliation xx 1 =1 (M4) x y = y x für alle x, y R Kommutativgesetz der Multipliation (D) x (y + z) =x y + x z für alle x, y, z R Distributivgesetz. Die Menge R ist ferner angeordnet, d. h. es gibt eine Beziehung > 0 ( größernull )mitfolgenden Eigenschaften: (O1) Für jedes x R gilt genau eine der folgenden Aussagen x>0, x =0, oder x>0. Insbesondere ann also für x 0nie x = x gelten! (O2) x>0 und y>0= x + y>0. (O3) x>0 und y>0= xy > 0. (c) Schließlich erfüllt R noch das sogenannte Supremumsaxiom (S) Jede nichtleere, nach oben beschränte Teilmenge von R hat eine leinste obere Schrane. Mehr dazu gleich! 1.5. Bemerung. Es stellt sich die Frage, ob eine solche Menge R überhaupt existiert. Das ist tatsächlich so; allerdings önnen wir das im Moment noch nicht beweisen Körper. Eine Menge mit mindestens zwei Elementen, in der die Axiome (A1)-(A4), (M1)- (M4) und (D) gelten, heißt Körper. Ein Körper mit >, in dem (O1)-(O3) gelten, heißt angeordneter Körper. Beispiele: 1 nicht ganz sauber definiert, geht besser

3 5 (a) Q ist ein Körper, Z nicht (2 hat z.b. ein multipliatives Inverses). Die Menge Z 2 = {0, 1} ist ein Körper mit den Operationen 0+0=0, 0+1=1, 1+1= 0, 0 0=0, 0 1=0, 1 1=1. (c) Q ist angeordnet, Z 2 hingegen nicht (1+1=0!) Bezeichnungen. (a) Statt x +( y) schreiben wir auch x y, stattx y 1 auch x y. Wir schreiben: x >y, falls x y>0 x <y, falls y x>0 x y, falls (x >yoder x = y) x y, falls (x <yoder x = y) x y z, falls (x y und y z) 1.8. Beschräntheit. Supremum. Maximum/Minimum. (a) (c) (d) M R,M heißt nach oben beschränt, falls ein C R existiert mit x C für alle x M. DieZahlC heißt dann obere Schrane. M heißt nach unten beschränt, falls ein D R existiert mit D x für alle x M (untere Schrane). M heißt beschränt, falls es nach oben und nach unten beschränt ist. Es sei M R,M. EineZahlC R heißt Supremum oder leinste obere Schrane von M, wenngilt (1) x C für alle x M (d.h. C ist obere Schrane) (2) Zu jedem ε>0existiert ein x M mit x>c ε (d.h. C ε ist eine obere Schrane). Bemerung: DasSupremumisteindeutig.WärenC 1 und C 2 beide Suprema für M und C 1 <C 2,solieferte(2)einx M mit C 1 <x C 2.DamitwäreC 1 eine obere Schrane. Das Supremum C einer (nichtleeren) Menge M R muss nicht in M liegen. Ist dies jedoch der Fall, so heißt C Maximum von M. Es sei M R. EineZahlC R heißt Infimum für M, fallsc größte untere Schrane ist, d. h., falls (1) x C für alle x M und (2) zu jedem ε>0ein x M existiert mit x<c+ ε. IstC Infimum von M und C M, soheißtc Minimum Satz. (a) x 0=0für beliebiges x R. ( x)y = (xy) für beliebige x, y R. (c) Es seien a, b, c R und a 0.Danngibtesgenaueinx R, dasdiegleichungax + b = c erfüllt, nämlich x =(c b)/a. Insbesondere ist das additive Inverse von a (als Lösung von 1 x + a =0)eindeutig, und es gilt ( a) =a, weilsowohla als auch ( a) additive Inverse zu a sind. Analog ist für a 0das multipliative Inverse a 1 (als Lösung von ax =1)eindeutig bestimmt und (a 1 ) 1 = a. (d) Genau dann ist xy =0,wennx =0oder y =0gilt. Beweis. (a) x 0 A2 = x (0 + 0) D = x 0+x 0. Additionvon (x 0) liefert 0=x 0.

4 6 (c) 0 (a) =0 y A3 =(x +( x))y. Addition von (xy) liefert (xy) =( x)y. Die Gleichung wird durch x =(c b)/a gelöst: a((c b)/a)+b Def = a((c +( b))(a 1 )) + b A4 = a((a 1 (c +( b)))) + b A1 =(a(a 1 ))(c +( b)) + b M3 =1 (c +( b)) + b M2,A1 = c +(( b)) + b) A3 = c +0 A2 = c. Sei andererseits x Lösung. Dann liefert die Addition von b ax + b +( b) =c +( b), also ax = b c bzw. nach Multipliation mit a 1 : a 1 (ax) =a 1 (c b) bzw. x = a 1 (c b) M4 =(c b)/a. (d) Ist x =0oder y =0,soistxy =0nach (a). Ist andererseits xy =0und x 0,soliefert die Multipliation mit x 1 y M3,M4 = (x 1 x)y M1 = x 1 (xy) Ann = x 1 0 (a) =0 Analog liefert y 0,dassx =0ist. Also ist x =0oder y = Satz. Für a, b, c, d R gilt (a) Ist a 0,soistaa > 0, insbesondere:1=1 1 > 0 und daher ( 1) < 0. Ist a<bund c<0, soistac > bc. Ista<bund c>0, soistac < bc. (c) Ist a>0, soista 1 > 0 (d) Ist 0 <a<b,soist 1 a > 1 b und b a > 1 (e) Gilt a < b, b > 0 und 0 <c<d,soistac < bd (f) a, b > 0. Dannista<b a 2 <b 2 (g) Aus a b und b a folgt a = b. Beweis. (a) Fall 1: a>0. Dannfolgtaus(O3):aa > 0 Fall 2: a >0.Dannistwegen(O3):( a)( a) > 0.Nunist( a)( a) 1.9 = (a( a)) (M4),1.9 = ( aa) 1.9(c) = aa, alsoaa > 0. b a>0, c >0 (O3) (b a)( c) > 0 1.9b bc + ac > 0 ac > bc. ZweiteAussage analog. (c) Wäre a 1 =0,sowäre1=aa 1 = a 0 1.9a = 0 im Widerspruch zu (M2): 1 0. Wäre a 1 > 0, sowäre 1 =a( a 1 ) O3 > 0 im Widerspruch zu (a). Bleibt nur a 1 > 0! (d) Nach (c) ist a 1 > 0,b 1 > 0. Ausb a>0folgt (b a)a 1 > 0 (wegen (O3)) bzw. b a 1 > 0. WeitereAnwendungvon(O3)liefert ( ) b a 1 b 1 > 0 1 a 1 b > 0. (e) } b a>0 = (O3) bc ac > 0 (O2) = bd ac > 0 b>0 = bd bc > 0

5 (f) (1) Ist a<b,soistnach(e)a 2 <b 2. (2) Ist a = b, soista 2 = b 2. (3) Ist a>b,soista 2 >b 2 nach (e). Es folgt die Behauptung. (g) a<bbzw. b<aführen zum Widerspruch Beispiel zum Supremum. Die Menge { x 1+x : x R,x>0} hat das Supremum 1, weil (1) x 1+x 1 für alle x>0; (2) für jedes ε>0 gilt x ε > 1 ε falls x>1 1+x ε (nachrechnen!), also z.b. falls x = 1 ε x ε + 1(nach 1.10(c) und (O2)). Beachte: 1 ist ein Maximum, weil 1+x < 1 für alle x> Definition. Für a R definiert man a ( Betrag von a, a Betrag ) { a, wenn a 0 a = a, wenn a< Satz. Seien a, b, ε R,ε>0. Danngilt (a) a 0. a =0 a =0. (c) a <ε ε<aund a<ε.schreibe: ε <a<ε. (d) a + b a + b. (e) ab = a b. Beweis. (a) Für a 0 lar. Für a<0 ist a = a >0. Für a>0 ist a = a>0. Füra<0 ist a = a >0. (c) Ist a 0, sofolgtaus a <ε,dass0 a<ε Ist a<0, sofolgtaus a <ε,dass0 < a <ε,also ε <a<0. Also: a <ε ε<a<ε. (d) Gilt a, b 0, soista + b 0 und somit a + b = a + b = a + b. Füra, b 0 ist a + b 0 und a + b = (a + b) =( a)+( b) = a + b. Ista<0 <b,soistentweder a + b = a + b, oder a + b = a b. ImerstenFallist a + b = a + b<b= b < a + b, im zweiten a + b = b a< a = a < a + b. Ebenso für b<0 <a. (e) Folgt, weil a = a mit Fallunterscheidung Indutive Mengen und die natürlichen Zahlen. Man nennt eine Teilmenge von R indutiv, falls sie (i) (ii) 1 enthält mit jedem Element x auch x +1enthält. Klar: Der Durchschnitt beliebig vieler indutiver Mengen ist indutiv. Wir definieren N als den Durchschnitt aller indutiven Mengen in R. Damit ist N in jeder indutiven Menge enthalten. 7

6 8 Einige Konsequenzen: (a) Ist M eine beliebige indutive Teilmenge von N, soistn M N, alsom = N. {1} {x R : x 2} (mit 2=1+1)istindutiv,also N. Damitgibteseinm N mit 1 <m<2. EbensoistdieMengeK = {n N : n 1 N {0}} indutiv, also = N. [Klar: 1 K. Istn K, soauchn +1,denn(n +1) 1=n K N.] (c) {n N : Es gibt ein m N mit n<m<n+1} ist indutiv, also = N [Nach dem ersten Teil von ist 1 enthalten. Sei n enthalten. Gäbe es ein m N mit n +1<m<n+2, so wäre n<m 1 <n+1.nachdemzweitenteilvonliegtm 1 in N {0}. Daraus ergibt sich sofort ein Widerspruch!]). (d) (Wohlordnungssatz) Jede nichtleere Teilmenge M von N hat ein Minimum: Angenommen, es gebe M N ohne Minimum. Dann ist 1 ein Element von M nach. Folglich gehört 1 zu der Menge L = { N : <mfür alle m M}. DieMengeL ist indutiv, denn mit ist auch +1Element von L: WärediesnichtderFall,sogäbeeseinm 0 M mit <m 0 +1.Aus(c)folgtdanneinerseitsm 0 = +1,andererseitsauchm 0 m für alle m M. Somitwärem 0 ein Minimum von M im Widerspruch zur Annahme. (e) (Unbeschräntheit) N ist unbeschränt. Anderenfalls sei C R das Supremum. Dann existiert zu ε =1/2 ein n mit n>c 1/2. Damitistn +1>C.Widerspruch! N 0, Z, Q als Teilmengen von R. Wir finden die onret beannte Menge N 0 nun auch wieder als N {0}; ebensoz als N 0 { n : n N} und Q = {p/q : p Z,q N} Das Prinzip der vollständigen Indution. Für jedes n N sei A(n) eine Aussage. Dann gilt: Satz. Um die Aussagen A(n) für alle n N zu beweisen, genügt es, folgendes zu zeigen: (1) A(1) ist richtig (Indutionsanfang). (2) Für jedes n 1 gilt: Ist A(n) richtig, so ist auch A(n + 1) richtig (Indutionsschritt). Beweis. Die Menge aller n, für die A(n) richtig ist, ist eine indutive Teilmenge von N, also = N. Viele Beispiele folgen noch Quantoren. Wir benutzen folgende Abürzungen für alle es existiert mindestens ein...! es existiert genau ein Schreibweise für Summen, Produte, Faultäten. Es seien m, n Z,m n. Für jedes Z mit m n sei a eine reelle Zahl. Setze a := a m + a m a n ; =m n a := a m a m+1... a n. =m (:= heißt: Wir definieren die Seite mit dem Doppelpunt durch die andere.) Für m>nsetze n =m a =0, n =m a =1(leere Summe, leeres Produt). Faultät: Für n N 0 setze n! = n =1 = n, insbesondereist0! = 1

7 Binomialoeffizient: Für, n N 0,n sei := n!!(n )!. Nützliche Identität ( Pascalsches Dreiec ): Für 1 n: ( ) ( ) ( ) n n n +1 (1) + = Definition. Es sei n N,a R. Wirsetzena n = n =1 a;speziella0 =1.Füra 0 setze ferner a n = n =1 a Satz. Es seien a, b R. Danngilt: (a) a m a n = a m+n für alle m, n N 0. a m a n = a m+n für alle m, n Z, fallsa 0. (c) a m b m =(ab) m für m N 0.Diesgiltauchfürm Z, fallsa, b 0. Beweis. AllesmitHilfedervollständigenIndution. (a) Wir sehen zunächst: a m a = ( m =1 a) a = m+1 =1 a = am+1 für m N 0.DieseAussageist dann der Indutionsanfang für den Beweis der Aussage, dass, bei festem m, gilt:a m a n = a m+n. Indutionsannahme: Es sei a m a = a m+ für ein festes. Indutionsschritt: a m a +1 = a m (a a) (nach obigem) = (a m a )a (nach Assoziativgesetz) = a m+ a (nach Indutionsannahme) = a m++1.denfall,dassm =0oder n =0gilt, haben wir bisher weggelassen: Es ist a m a 0 = a m = a m+0 ;ebensoa 0 a n =1a n = a n = a 0+n. Ähnlich [Für m, n 0 ist die Aussage bereits bewiesen. Für m, n < 0 folgt sie sofort durch Anwendung von (a) auf 1/a. WegendesKommutativgesetzesgenügtesalso,denFallzubetrachten, dass m 0 und n<0ist. Zuerst zeigen wir a m /a = a m 1 mit vollständiger Indution nach m (selbst machen). Dies benutzen wir dann als Indutionsanfang für die Aussage, dass bei festem m gilt: am a = a m+n.] n (c) Analog Satz. Für n N ist = =1 n(n +1). 2 Beweis. MitvollständigerIndution:Fürn =1ist die Aussage, dass 1 =1 = bzw., dass 1=1,alsorichtig.Stimmtsiefüreinn, soschließenwirfolgendermaßen,dasssieauchfürn +1 gilt: n+1 n(n +1) = +(n +1)= +(n +1) 2 =1 =1 = n2 + n +2n +2 2 = (n +1)(n +2) Satz. Binomischer Lehrsatz : Für a, b R und n N ist (a + b) n = a b n Insbesondere: n ( n ) =(1+1) n =2 n und n ( 1)( n ) =( 1+1) n =0. 9

8 10 Beweis. Für n =1ist die Aussage, dass a + b = 1 ( n ) a b n bzw. a + b = ( 1) 0 a 0 b 1 + ( 1 1) a 1 b 0, somit richtig. Gilt sie für ein n N, soschließenwirfolgendermaßenaufdiegültigeitfürn +1: ( ( ) n (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) = )a b n (a + b) = a +1 b n + a b n +1 = (indem wir den Laufindex der ersten Summe in l = +1ändern) n+1 a l b n +1 + a b n +1 l 1 l=1 = Zurücbenennen, Terme für =0und n +1extra. Zusammenfassen (( ) ( )) n n a n+1 b a b n+1 + a 0 b n+1 1 =1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n +1 n +1 n n n +1 = weil = =1und + = n n+1 +1 a b n Satz. Für a R, a 1ist a = 1 an+1 1 a endliche geometrische Reihe. Beweis. Es ist (1 a) ( n a ) = = a a ( n a ) a a +1 = n+1 a a =1 a n+1. =1 Für a 1folgt bei Division durch 1 a die Behauptung Satz. Bernoullische Ungleichung. Für a R, a 1 und n N 0 ist (1 + a) n 1+na. Beweis Mit vollständiger Indution. Indutionsanfang: Für n =0ist die Behauptung 1 1 richtig. Indutionschritt: Es gelte (1 + a) n 1+na. Multipliationmit(1 + a) ( Null) liefert (1 + a) n+1 (1 + na)(1 + a) =1+(n +1)a + na 2 1+(n +1)a, da na 2 0.

9 Intervalle. Seien a, b R. Wirsetzen: [a, b] = {x R : a x b} ]a, b] = {x R : a<x b} [a, b[ = {x R : a x<b} ]a, b[ = {x R : a<x<b} [a, [ = {x R : x a} ]a, [ = {x R : x>a} ],a] = {x R : x a} ],a[ = {x R : x<a} Maximum und Minimum. Seien a, b R. Setze { a, wenn a b max{a, b} = b, wenn a<b, { b, wenn a b min{a, b} = a, wenn a<b Satz. Es gibt eine rationale Zahl mit Quadrat 2. Beweis. Seip/q Q mit p 2 /q 2 =2.Dannistp 2 =2q 2.Dannistp 2 gerade, also p gerade, denn Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade. Es folgt: p 2 ist durch 4 teilbar, somit q 2 = p 2 /2 durch 2 teilbar. Daher ist q gerade, d.h. p =2p 1 und q =2q 1 mit p 1 Z und q 1 N. Wirönnenmit p 1 /q 1 = p/q den Schluss wiederholen und sehen p 1 =2p 2, q 1 =2q 2.DannbildendieElemente q>q 1 >q 2... eine Teilmenge von N ohne Minimum. Widerspruch Satz. Seien a, b R. Giltfürjedesε>0, dassa<b+ ε ist, so ist a b. Beweis. Wärea>b,soergäbesichfürε = a b>0 ein Widerspruch: a<b+ ε = b +(a b) =a Satz. Existenz der n-ten Wurzel. Es sei a R + =]0, [, n N. Dannexistiertein x R + mit x n = a. Schreibex = n a oder x = a 1/n (speziell für n =2: a). Die n-te Wurzel ist eindeutig, denn aus x 1 <x 2 folgt x n 1 <xn 2. Beweis. DieMengeM = {r ]0, [ :r n a} ist nichtleer: Ist a<1, soist0 <a n a, also a M; ista 1, soist1 n =1 a, also1 M. Sieistfernerbeschränt,dennfürC>1+a ist C n > (1 + a) n 1+na > a. Sie hat also ein Supremum, x. Wirzeigen,dassx n = a ist. 1. Schritt: Zeige,dassx n <a+ ε für jedes ε>0. Seiε>0vorgelegt. Zu jedem 0 <δ 1 existiert nach der Definition des Supremums ein r M mit r>x δ. Dannist ( ) ( ( ) (1) (r + δ) n Binom n n = r n + δ r n r n + δ )δ 1 r n. =1 Wir schätzen ab: Wegen δ 1 ist δ 1 1. Istr 1, soistr n 1; istr 1, soist r n r n a. Alsoistr n max{1,a} und (r + δ) n <a+ δ ( ) n 1 max{1,a} a + δ 2 n max{1,a}. Für δ =min{1,ε/(2 n max{1,a})} haben wir x n < (r + δ) n <a+ ε. =1

10 12 2. Schritt:Zeige,dassx n a.angenommen:x n <a.setzeε = a x n.wieinschritt1(gleichung (1) jetzt mit x in der Rolle von r) siehtman,dass (x + δ) n <x n + ε = a, falls δ hinreichend lein ist. Also ist x + δ M, undx ist nicht das Supremum. Widerspruch Folgerungen. (a) R ist (bedeutend) größer als Q. InQ gilt das Supremumsaxiom nicht (sonst wäre 2 Q). Für rationales r = p q mit p Z,q N und a R + önnen wir a r =(a p ) 1/q definieren. Es gilt: a r = (a 1/q ) p und a r a s = a r+s, r,s Q a r b r = (ab) r, a, b > 0,r Q. Beweis. DurchvollständigeIndution.