«a n k b k. (4) (a + b) n = Der allgemeine binomische Lehrsatz

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1 2.2.3 Der allgemeine binomische Lehrsatz Mit Hilfe dieser neuen Begriffe und Symbole önnen wir eine allgemeingültige Formel für den Ausdruc (a + b) n angeben. Es gilt: Lemma 2. [Binomischer Lehrsatz] Sind a, b IR beliebig, so ist für alle n IN 0 (a + b) n = a n b. (4) D. Horstmann: Otober

2 2.3 Das Prinzip der vollständigen Indution Das Prinzip der vollständigen Indution (lausurrelevant) ist ein sehr wichtiges Beweisprinzip bzw. Hilfsmittel in der Mathemati, um Behauptungen, die von einer festen natürlichen Zahl an oder sogar von Null an für alle natürlichen Zahlen gelten sollen, nachzuweisen. Beispiel 2. Es gilt die folgende Behauptung: Für alle x 1und jede natürliche Zahl n IN 0 ist x = n+1. (5) Die hier angebenene Summe nennt man auch Partialsumme der geometrischen Reihe. D. Horstmann: Otober

3 1. Indutionsanfang Wir müssen also überprüfen, ob die Behauptung für eine n IN 0 gilt. Wir wählen also n 0 =0und rechnen die Behauptung nach.es gilt: Andererseits ist auch n 0 X x = 0X = x 0 = 1. x n 0 +1 = = 1. D. Horstmann: Otober

4 2. Indutionsvoraussetzung Unsere Indutionsvoraussetzung lautet in diesem Fall: 3. Indutionsbehauptung Unsere Indutionsbehauptung wird somit zu: 4. Indutionsschritt Wir bemeren das Nachfolgende: x = n+1. x = n+2. x = x n+1 + x. D. Horstmann: Otober

5 Wegen unserer Indutionsvoraussetzung wissen wir, dass die Gleichheit x = x n+1 + x = x n+1 + n+1 seine Gültigeit besitzt.nun ist aber x n+1 + n+1 = xn+1 () + n+1 = xn+1 () +(1 x n+1 ) = xn+ n+2 +1 x n+1 = n+2. D. Horstmann: Otober

6 Somit ergibt sich also: x = n+2, was auch unsere Behauptung gewesen ist. Somit haben wir die Aussage für alle n IN 0 nachgewiesen. Die Voraussetzung x 1ist nötig, da sonst der Nenner auf der rechten Seite Null wäre und somit die rechte Seite nicht definiert ist. D. Horstmann: Otober

7 Kommen wir nun zum Beweis des binomischen Lehrsatzes: 1. Indutionsanfang (Erlimmen der ersten Sprosse) Der sogenannte Indutionsbeweis beginnt mit dem Indutionsanfang bzw. der Indutionsveranerung. Da die Behauptung für alle natürlichen Zahlen inlusive der Null gelten soll, nehmen wir die leinste der Zahlen, für die die Aussage gelten soll und rechnen die Aussage für diese Zahl nach. In unserem Fall also für n 0 =0.Für n = n 0 lautet die Aussage: (a + b) n 0 =(a + b) 0 = n 0 X n0 a n 0 b = 0X 0 a 0 b. Nun ist (a + b) 0 nach den bereits wiederholten Potenzgesetzen gleich 1. Die Summe auf der rechten Seite der Gleichung geht von =0bis =0, d.h. sie besteht nur aus dem Summanden 0 a 0 0 b 0 =1 1 1=1. 0 Also gilt die Aussage zumindest schon einmal für n =0. D. Horstmann: Otober

8 2. Indutionsvoraussetzung (Stehen auf der n-ten Sprosse) Jetzt nehmen wir einfach an, dass die von uns nachzuweisende Behauptung für die Zahlen 0 bis einschließlich n gilt. Die Indutionsvoraussetzung ist also die Aussage: (a + b) n = 3. Indutionsbehauptung (Die (n +1)-Sprosse erspähen) a n b. Wir behaupten nun, dass die Aussage auch für n +1gilt. Somit lautet die Indutionsbehauptung: (a + b) n+1 n +1 = a n+1 b. 4. Indutionsschritt (Den Schritt von der n-ten Sprosse auf die (n +1)-Sprosse vornehmen) Wir wollen also die Indutionsbehauptung unter Verwendung der Inutionsvoraussetzung beweisen. Hierzu dürfen wir natürlich auch auf alle uns beannten Rechenregeln zurücgreifen. D. Horstmann: Otober

9 2. Indutionsvoraussetzung (Stehen auf der n-ten Sprosse) Jetzt nehmen wir einfach an, dass die von uns nachzuweisende Behauptung für die Zahlen 0 bis einschließlich n gilt. Die Indutionsvoraussetzung ist also die Aussage: (a + b) n = 3. Indutionsbehauptung (Die (n +1)-Sprosse erspähen) a n b. Wir behaupten nun, dass die Aussage auch für n +1gilt. Somit lautet die Indutionsbehauptung: (a + b) n+1 n +1 = a n+1 b. 4. Indutionsschritt (Den Schritt von der n-ten Sprosse auf die (n +1)-Sprosse vornehmen) Wir wollen also die Indutionsbehauptung unter Verwendung der Inutionsvoraussetzung beweisen. Hierzu dürfen wir natürlich auch auf alle uns beannten Rechenregeln zurücgreifen.wir wissen, dass nach den Potenzgesetzen (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) ist. D. Horstmann: Otober

10 Für den Ausdruc (a + b) n haben wir jetzt aufgrund der Indutionsvoraussetzung eine Darstellung griffbereit.somit erhalten wir also: (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) =! n a n b (a + b) Nun multiplizieren wir die rechte Seite der Gleichung aus. Dies gibt uns die Gleichung: (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b)! n = a a n b + b! n = a n+1 b + a n b! a n b +1! D. Horstmann: Otober

11 Da Binomialoeffizienten gleich Null sind, wenn >nist, und somit n +1 =0 gilt, önnen wir die erste Summe wie folgt umschreiben. a n+1 b = a n+1 b. Wir haben also eine sogenannte nahrhafte Null zu der Summe dazu addiert. D. Horstmann: Otober

12 Auch bei der zweiten Summe machen wir von einem leinen mathematischen Tric Gebrauch. Statt die Summe von =0laufen zu lassen, lassen wir sie erst von =1laufen. Damit die Summe sich aber nicht ändert, müssen wir auch bei den Summanden etwas verändern.dies führt auf: a n b +1 = = =1 =1 1 1 a n ( 1) b a n+1 b. D. Horstmann: Otober