Elementarmathematik. Im Buch Virus Dynamics von M. Nowak und R. May findet man das Zitat:

Transkript

1 Elementarmathemati 1 Einleitung Im Buch Virus Dynamics von M. Nowa und R. May findet man das Zitat:... mathematics is no more, but no less, than a way of thining clearly [3]. (... die Mathemati ist nichts mehr, aber nichts weniger, als eine Art, lar zu denen.) Wenn wir diese Art zu denen gut beherrschen, dann haben wir etwas, was uns in vielen Lebenslagen helfen ann. Außerdem ist die Mathemati an und für sich schön. Diese Vorlesung soll den Hörern wichtige Aspete der Mathemati nahebringen, die pratisch eingesetzt werden önnen und hoffentlich auch etwas von der Schönheit des Fachs vermitteln. Zahlen Wer an Mathemati dent, dent sofort an Zahlen. Zahlen spielen in der Tat eine zentrale Rolle in der Mathemati und in dieser Vorlesung sind sie unser erstes Thema. Es gibt verschiedene Arten von Zahlen und diese möchten wir Revue passieren lassen. Es gibt natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und omplexe Zahlen. Jetzt wird beschrieben, was diese unterschiedlichen Arten von Zahlen sind und was man damit machen ann. Die einfachsten Zahlen sind die natürlichen Zahlen {1,, 3, 4,...}, (1) die Zahlen, die wir in der Kindheit ennenlernen. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann sind die Summe a + b und das Produt ab auch natürliche Zahlen. Im Rahmen der natürlichen Zahlen önnen wir aber nicht immer subtrahieren. Z.B. gibt es 3 als natürliche Zahl nicht. Anders gesagt, gibt es eine natürliche Zahl a mit der Eigenschaft, dass 3 + a =. Die Lösung dieses Problems ist schon lange beannt. Wir önnen die Null einführen (wie es schon die alten Inder getan haben) und die negativen Zahlen. Dann önnen wir 3 = 1 schreiben. Wenn die natürlichen Zahlen durch die Null und die negativen Zahlen { 1,, 3, 4,...}, () 1

2 erweitert werden, dann beommen wir die ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Subtration ohne Einschränung möglich. Wenn a und b ganze Zahlen sind, dann ist a b immer sinnvoll. Durch eine Erweiterung des Zahlensystems haben wir uns mehr Möglicheiten geschaffen. Addition und Multipliation sind immer noch möglich, so dass durch die Erweiterung nichts verlorengegangen ist. Einige Autoren rechnen die Null zu den natürlichen Zahlen. Diese Alternative übernehmen wir hier nicht. Wir bezeichnen die Menge der natürlichen Zahlen mit der Null dazu als N 0, d.h. N 0 = N {0}. Im Rahmen der ganzen Zahlen ist die Division nur begrenzt möglich. Z.B. gibt es 3 als ganze Zahl nicht. Es gibt eine ganze Zahl a mit der Eigenschaft dass 3a =. Diese Einschränung ann aufgehoben werden in dem wir die ganzen Zahlen durch die Brüche erweitern. Die Brüche, einschließlich der ganzen Zahlen heißen rationale Zahlen. Das Wort rational hier soll nicht als vernünftig interpretiert werden sondern ommt vom lateinischen ratio (Verhältnis). Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. (Q steht für Quotienten.) Die beannten Regeln der Bruchrechnung erlauben es im Rahmen der rationalen Zahlen die vier Grundrechenarten ohne Einschränung auszuführen bis auf die Tatsache, dass die Division durch Null nicht definiert ist. Zusammenfassend, haben wir jetzt drei Zahlenarten N, Z, Q eingeführt mit N Z Q. Es gibt noch eine weitere Klasse von Zahlen, die sehr wichtig sind, die reellen Zahlen, die mit R bezeichnet werden. Außer den rationalen Zahlen enthalten sie z. B. und die Kreiszahl π. Diese Zahlen sind notwendig für die Anwendungen der Mathemati in den Naturwissenschaften und, innerhalb der Mathemati, auf die Geometrie. Sie werden gebraucht, um die diagonale des Quadrats mit Seitenlänge Eins oder den Umfang des Kreises mit Radius Eins auszudrücen. Diese Zahlen sind eine rationalen Zahlen (was nicht offensichtlich ist). Auf diese Dinge gehen wir später genauer ein. Die reellen Zahlen, die eine rationalen Zahlen sind, heißen irrationale Zahlen. Selbst innerhalb der reellen Zahlen hat die Gleichung z = 1 eine Lösung. Um dieses Problem zu umgehen führt man eine Größe i ein, die imaginäre Einheit, mit der Eigenschaft i = 1. Es gilt auch ( i) = 1. Dann hat unsere Gleichung zwei Lösungen. Man ann eine Klasse von Zahlen definieren, die omplexen Zahlen, die auch i enthält. Sie wird mit C bezeichnet. Die Zahlen der Form ai mit a reell heißen imaginär und die Bezeichnung reelle Zahlen entstand als Gegensatz zum Begriff imaginäre Zahlen..1 Die reellen Zahlen Wir haben jetzt von den reellen Zahlen gesprochen, nicht aber genau gesagt, was sie sind. Ein anschauliches Bild der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade gegeben. Betrachten wir eine Gerade auf der ein Punt (der Ursprung) ausgezeichnet wird. Eine Richtung auf der Gerade wird als positiv delariert. Z. B. wird oft eine waagerechte Gerade genommen und die positive Richtung als nach rechts gewählt. Der Ursprung wird mit der Zahl Null identifiziert.

3 Eine positive Zahl a wird mit dem Punt identifiziert, der in positiver Richtung im Abstand a zum Ursprung liegt. Eine negative Zahl a wird mit dem Punt identifiziert, der in negativer Richtung im Abstand a zum Ursprung liegt. Auf diese Weise beommt insbesondere jede rationale Zahl eine Darstellung auf der Zahlengerade. Wie schon angedeutet entsprechen aber nicht alle Punte auf der Gerade rationalen Zahlen. Es ist relativ ompliziert, eine präzise und vollständige Definition der reellen Zahlen zu geben und eine solche Definition ann im Rahmen dieser Vorlesung nicht gebracht werden. Ein wesentlicher Umstand ist dass die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen dicht liegen. Das heißt, dass wenn a eine reelle Zahl ist und ɛ > 0 es eine rationale Zahl b gibt, so dass der Abstand zwischen a und b leiner als ɛ ist. Man ann eine reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren. Pratische Messungen in der realen Welt haben nur eine endliche Genauigeit. Wenn wir die Länge eines Stabs messen wird das Ergebnis immer nur mit endlich vielen Dezimalstellen angegeben. Das heißt, das Ergebnis ist eine rationale Zahl. Die reellen Zahlen sind trotzdem für die Anwendungen der Mathemati von großer Bedeutung. Die Vorteile dieses Begriffs hängen damit zusammen, dass wir ein intuitives Bild der Gerade in uns tragen. Eine Definition der reellen Zahlen wurde erst 187 von Richard Dedeind aufgestellt, der damals Professor der Mathemati in seinem Geburtsort Braunschweig war. Seine Konstrution, der Dedeindsche Schnitt wird bis heute verwendet. Jetzt soll gezeigt werden, warum die rationalen Zahlen für die Geometrie nicht ausreichen. Die alten Griechen wussten, dass die Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge Eins die Länge hat, und dass diese Zahl irrational ist. Der Beweis ist ein sogenannter indireter Beweis oder Beweis durch Widerspruch. Man nimmt an, dass eine bestimmte Aussage wahr sei und leitet aus dieser Aussage durch logische Schritte einen Widerspruch. Daraus schließt man, dass die Annahme falsch gewesen sein muss. Im Beispiel, das uns interessiert führt die Annahme, sei rational zu einem Widerspruch und damit ist bewiesen, dass irrational ist. Bevor wir den Beweis durchführen machen wir auf folgende Umstände aufmersam. (i) Wenn a eine positive rationale Zahl ist, dann ann sie in der Form p/q geschrieben werden mit p und q aus Z. Dabei darf angenommen werden, dass p und q positiv sind. Weil wenn p negative wäre, wäre q auch negativ und man önnte p und q durch p und q ersetzen. Wenn p und q positiv sind önnen wir weiterhin anehmen, dass p die leinste Zahl ist für die es ein solches Paar (p, q) gibt. In dem Fall sind p und q nicht beide gerade. Weil sonst önnten wir sie durch (p/, q/) ersetzen. (ii) Wenn eine ganze Zahl a gerade ist, dann ist definitionsgemäss a = b für eine ganze Zahl b. Dann ist a = 4b = (b ) auch gerade. Wenn dagegen a ungerade ist, dann ist a = b + 1 für eine ganze Zahl b und a = (b + 1) = (b + b) + 1 auch ungerade. Zusammenfassend, eine ganze Zahl a ist gerade genau dann wenn a gerade ist. Satz Die Zahl ist irrational. Beweis Wenn wir annehmen, dass rational ist, dann gibt es ganze Zahlen p und q mit = p q. Wir önnen nach (i) annehmen, dass p und q positiv sind 3

4 und nicht beide gerade. Quadrieren und mit q multiplizieren gibt p = q. Deshalb ist p gerade. Es folgt aus der obigen Disussion, dass p gerade ist, also p = r für eine ganze Zahl r. Deshalb ist 4r = q und q = r. Daraus folgt, dass q und deshalb auch q gerade ist. Die Zahlen p und q sind also beide gerade, was unserer Annahme widerspricht. Damit ist der Beweis geführt. Es ist viel schwieriger zu beweisen, dass π irrational ist. Der erste Beweis stammt vom schweizer Mathematier Johann Heinrich Lambert im Jahr Der Goldene Schnitt Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis von Längen, das in der Kunst als besonders schön gilt. Sie ommt auch an vielen Stellen in der Natur vor, z.b. bei der Blattstellung von Pflanzen (Phyllotaxis). 3.1 Definition des Goldenen Schnitts Der Goldene Schnitt wird durch eine Art definiert, eine Strece zu schneiden, liefert aber am Ende eine reine Zahl. Definition Eine Strece der Länge s > 0 wird im Goldenen Schnitt s = a + b geteilt, wenn sich die ganze Länge s zum größeren Abschnitt a wie dieser zum leineren Abschnitt b verhält. Das heißt, es ist Aus dieser Beziehung folgt, dass s a = a s a, s a = a b. (3) ( a s ) + a s 1 = 0 (4) Die Formel für die Lösung einer quadratischen Gleichung liefert a s = 1 ± 1 5. (5) Eine dieser Lösungen ist negativ und deshalb für das ursprüngliche Problem nicht relevant. Die andere ist a s = 1 ( 5 1) = 0, (6) Die Zahl Φ = a b = s = 1, a (7) ist das Goldene Verhältnis. Es wird manchmal behauptet, dass bei bestimmten schönen Gebäuden das Verhältnis der Dimensionen das Goldene Verhältnis ergibt (z. B. das Parthenon in Athen, der Dom von Florenz, Notre Dame in Paris). Es gibt aber anscheinend eine Doumente die belegen würden dass beim Bau an so etwas 4

5 bewusst gedacht wurde. Vielleicht war es der unbewusste Sinn des Architeten nach Schönheit. In der Natur findet man das Goldene Schnitt bei der Anordnung der Blätter bestimmter Pflanzen. Der Goldene Winel ist, in Grad ausgedrüct, 360 Φ. Bei bestimmten Pflanzen wo die Blätter um einen Stiel herum angeordnet sind ist der Winel zwischen aufeinanderfolgen Blättern 360 ( 1 Φ) 1. Nach einer Theorie erreicht die Pflanze dadurch, dass die Blätter sich möglichst wenig überdecen und sich dadurch bei der Photosynthese möglichst wenig gegenseitig behindern. 3. Harmonische Rechtece Ein Rechtec heißt harmonisch wenn die Längen der Seiten a, b mit a > b so sind, dass b a = a a+b. In diesem Fall gilt a b = Φ. Wenn man ein Rechtec in ein Quadrat und einen Rest zerlegt und das Verhältnis der Seiten beim Rest so ist wie beim ursprünglichen Rechtec, dann ist das ursprüngliche Rechtec harmonisch. 3.3 Vergleich mit der DIN-Norm für Papierformate Wie werden die üblichen Papierformate (A0, A1, A, A3, A4,...) definiert? Sie haben die Eigenschaft, dass wenn man ein Blatt in einem dieser Formate halbiert, das Ergebnis ein Blatt im nächsten Format der Reihe ist. Alle Formate der Reihe haben das gleiche Verhältnis der Breite zur Länge. Dieses Verhältnis ann man folgendermassen berechnen. Wenn Länge und Breite des ersten Blattes a und b sind, dann ist die Bedingung die erfüllt werden muss a b = b a. Daraus folgt, dass a b =. Um zu wissen, wie groß die einzelnen Blätter sind muss man noch wissen, wie groß eins der Formate ist. Es wird festgelegt, dass das A0-Blatt die Fläche ein Quadratmeter haben soll. Die Länge des A0-Blatts ist dann die vierte Wurzel aus zwei. Sie ist nicht rational und insbesondere eine ganze Zahl von Millimetern. In der Praxis arbeitet man mit einer gewissen Toleranz. Der Richtwert ergibt eine Fläche von Quadratmillimetern. 4 Die Fibonacci-Zahlen 4.1 Definition der Fibonacci-Zahlen Leonardo da Pisa, Fibonacci genannt, war einer der ersten, der die indo-arabischen Ziffern in Europa beannt gemacht hat. In seinem Buch Liber Abbaci (um 100 erschienen) hat er folgendes Beispiel beschrieben: Ein bestimmter Mann hat ein Kaninchenpaar an einem Ort gehalten der auf allen Seiten von einer Mauer umgeben war. Wie viele Kaninchenpaare önnen in einem Jahr aus diesem Paar produziert werden wenn angenommen wird, dass jedes Paar in jedem Monat ein weiteres Paar hervorbringt, welches ab dem zweiten Monat fruchtbar wird? 5

6 Dieses Beispiel hat natürlich wenig mit Biologie und viel mit Mathemati zu tun. Die Fibonacci-Folge (die schon vor mehr als 000 Jahren von anderen betrachtet wurde) wird folgendermassen definiert Definition Die Fibonacci-Folge {F n } wird reursiv durch definiert. Die ersten Elemente der Folge sind F 1 = F = 1, (8) F n = F n 1 + F n, n = 3, 4,... (9) 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55,... (10) 4. Goldener Schnitt und Fibonacci-Zahlen Betrachten wir die Zahlen φ = 1 5 = 0, , Φ = = 1, (11) Die Zahl Φ ist nichts anderes als das Goldene Verhältnis. Die Zahlen φ und Φ sind beide Lösungen der Gleichung x x 1 = 0. Von diesem Ausgangspunt önnen wir verschiedene Gleichungen für φ herleiten: 1 + φ = φ 1 + φ = φ 3, 1 + φ = 1 + φ + φ = φ + φ = φ(1 + φ) = φ 3 + 3φ = φ 4, + 3φ = 1 + φ φ = φ + φ 3 = φ (1 + φ) = φ φ = φ 5, 3 + 5φ = 1 + φ + + 3φ = φ 3 + φ 4 = φ 3 (1 + φ) = φ φ = φ 6, 5 + 8φ = + 3φ φ = φ 4 + φ 5 = φ 4 (1 + φ) = φ 6 Diese Rechnung önnten wir beliebig lange weiterführen. Die gleichen Identitäten gelten für Φ, da Φ die gleiche Ausgangsleichung erfüllt wie φ. Hier baut sich ein Muster auf, wo die Fibonacci-Zahlen zum Vorschein ommen. Wenn wir die Gleichungen dieser Folge für φ von den entsprechenden Gleichungen für Φ subtrahieren dann ergeben sich die Gleichungen Φ φ Φ φ = 1, Φ3 φ 3 Φ φ =, Φ4 φ 4 Φ φ = 3, Φ5 φ 5 = 5, usw. (1) Φ φ In diesen Formeln önnen wir den Nenner durch 5 ersetzen. Durch diese Überlegungen ommt man auf folgende Aussage, die von de Moivre und Binet bewiesen wurde. (Die soeben gemachten Rechnungen beweisen den Satz nicht.) Satz Zwischen den Fibonacci-Zahlen F n und den Goldenen Zahlen φ und Φ besteht der Zusammenhang F n = 1 5 (Φ n φ n ), n = 1,, 3,... (13) Da φ < 1 folgt aus diesem Satz, dass für n groß F n ungefähr gleich 1 5 Φ n ist. 6

7 4.3 Binomischer Lehrsatz und Pascalsches Dreiec Die Faultät wird durch n! = n definiert. Die Binomialoeffizienten werden durch ( ) ( ) ( ) n n! n n =!(n )!, = 1, = 1 (14) 0 n definiert. In diesem Zusammenhang ist es auch günstig 0! = 1 zu definieren. Satz (Binomischer Lehrsatz) Wenn a, b R und n N dann gilt (a + b) n = a n b. (15) Dieser Satz wird normalerweise durch vollständige Indution bewiesen. Dieser Beweismethode wenden wir uns im nächsten Abschnitt zu. Im Fall n = 1 reduziert sich der Satz auf die uninteressante Gleichung a + b = a + b. Dagegen sind die Fälle n = und n = 3 schon für algebraische Rechnungen sehr nützlich. Sie lauten (a + b) = a + ab + b, (16) (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3. (17) Wenn wir (a + b) n für größere Werte von n auf diese Weise ermitteln wollten, dann önnten die Rechnungen langwierig werden. Sie lassen sich einfacher suzessiv durch die Verwendung der Identität + 1 = ( n 1 ) + (18) berechnen. Diese Identität beommt eine geometrische Interpretation durch das Pascalsche Dreiec. [In der Vorlesung wird das Dreiec angeschrieben.] 4.4 Restlassen nach Division Definition Für zwei ganze Zahlen a, b Z und eine positive natürliche Zahl m N schreiben wir a b mod m bzw. a b 0 mod m (19) genau dann, wenn a und b nach Division durch m den gleichen ganzzahligen Rest lassen. Es sind also z. B. 1 5 mod und 5 14 mod 3. Die Division durch zwei teilt die natürlichen Zahlen N offenbar in zwei disjunte Restlassen ein. Es sind die Restlasse aller ungeraden Zahlen (die Division durch zwei lässt den Rest 1) und die Restlasse aller geraden Zahlen (die Division durch zwei lässt den Rest 0). Wir schreiben 0 = {...,, 4, 6, 8, 10...}, 1 = {..., 1, 3, 5, 7, 9...}. 7

8 Analog zerlegt die Division durch 5 die Menge N in fünf einander disjunte Restlassen, deren Elemente durch den gemeinsamen Rest 0, 1,, 3 oder 4 charaterisiert sind: 0 = {..., 5, 10, 15, 0, 5...}, 1 = {..., 1, 6, 11, 16, 1...}, = {...,, 7, 1, 17,...}, 3 = {..., 3, 8, 13, 18, 3,...}, 4 = {..., 4, 9, 14, 19, 4...}. (0) Wir wollen die Elemente einer solchen Restlasse als äquivalent ansehen, geennzeichnet durch das Symbol, schreiben also z. B. 5 10, 5 15, usw. (1) für die Restlasse 0 bei Division durch 5. Für dieses Beispiel schreibt man allgemeiner a b genau dann, wenn a b 0 mod 5. () Die hierdurch eingeführte Relation zwischen zwei Elementen a und b besitzt interessante Eigenschaften, die sie als sogenannte Äquivalenzrelation auszeichnen. Definition Eine Äquivalenzrelation ist durch folgende Eigenschaften charaterisiert. Sie ist reflexiv: es gilt stets x x symmetrisch: wenn x y dann gilt auch y x transitiv: wenn x y und y z dann gilt auch x z Der Begriff der Äquivalenzrelation hat in der Mathemati viele Anwendungen. Diese Definition ann im Rahmen der Mengenlehre präzisiert werden. Wir fangen mit einer Menge X an. Die Produtmenge X X ist die Menge aller Paare (a, b) mit a, b X. Eine Relation auf X wird durch eine Teilmenge R von X X definiert. Die Relation heißt Äquivalenzrelation wenn folgende drei Eigenschaften gelten, die den schon oben genannten Eigenschaften entsprechen. Für jedes Element a X ist (a, a) R. Wenn (a, b) R, dann auch (b, a). Wenn (a, b) R und (b, c) R dann ist (a, c) R. Die Beziehung zwischen den zwei Schreibweisen ist, dass (a, b) R der Aussage a b entspricht. Es werden jetzt verschiedene Rechenregeln für Restlassen ohne Beweis angegeben. Aus a b mod m und c Z folgt a + c b + c mod m Aus a b mod m und c d mod m folgt a + c b + d mod m Aus a b mod m und c Z folgt ac bc mod m Aus a b mod m und c d mod m folgt ac bd mod m Aus a b mod m und n N folgt a n b n mod m Denen wir an den Beweis zurüc, dass irrational ist. In diesem Beweis haben wir zwei Tatsachen verwendet. Die erste ist, dass wenn man eine rationale 8

9 Zahl in Form p/q schreibt mit ganzen Zahlen p und q man annehmen darf, dass p und q nicht beide gerade sind. Es ist allgemeiner so, dass man annehmen ann, dass p und q teilerfremd sind. Das heisst, es gibt eine natürliche Zahl r > 1, die p und q teilt. Die einzige andere Eigenschaft der Zahl die wir im Beweis, dass irrational ist verwendet haben ist, dass eine Zahl n gerade ist genau dann wenn n gerade ist. Dies ist die Aussage dass n 0 mod genau dann, wenn n 0 mod. In dem Fall, dass für eine andere Zahl gilt, dass n 0 mod genau dann wenn n 0 mod, dann ann man ähnlich argumentieren wie im Fall =. Dass die zweite Aussage aus der ersten folgt sieht man aus den obigen Rechenregeln. Die Umehrung ann man für einen gegebenen Wert von überprüfen, in dem man alle Fälle durchgeht. Z. B. im Fall = mod 5, 4 mod 5, 3 4 mod 5, 4 1 mod 5 Damit ist bewiesen dass 5 irrational ist und dass das goldene Verhältnis irrational ist. 4.5 Fermatsche Primzahlen In diesem Abschnitt werden die Rechenregeln für Restlassen verwendet, um ein lassisches Beispiel zu untersuchen. Der französische Mathematier Pierre de Fermat hat 1637 vermutet, dass alle Zahlen der Form F n = n + 1 (3) Primzahlen sind, also natürliche Zahlen, die größer als 1 und nur durch sich selbst teilbar sind. Diese Zahlen heißen aus diesem Grund Fermatsche Zahlen. Sie sind beispielsweise F 0 = 3, F 1 = 5, F = 17, F 3 = 57, F 4 = (4) Leonhard Euler bewies aber dass F 5 = eine Primzahl ist, sondern den Teiler 641 besitzt = mod 641. (5) Diese Aussage wird jetzt bewiesen. Zunächst ist 641 = = und mod 641. (6) In dem wir die vierte Potenz bilden beommen wir Andererseits ist mod 641. (7) = = 641 und mod 641. (8) Diese Gleichung wird jetzt mit 8 multipliziert, mit dem Ergebnis mod mod 641. (9) 9

10 5 Summenformeln 5.1 Was sind Summenformeln? Wir wollen in diesem Abschnitt explizite Darstellungen für die Summen S p (n) = n =1 p für Potenzen p mit p N ennenlernen. An solchen Beispielen lernt man in der Regel die Beweismethode der vollständigen Indution. Diese Vorgehensweise hat den Nachteil, dass man die richtige Antwort ennen muss, bevor man sie beweist. Wir wollen daher auch der Frage nachgehen, wie explizite Darstellungen für Summen von Potenzen auf diretem Wege hergeleitet werden önnen. Zweitens leiten wir eine explizite Darstellung für die geometrische Summe G q (n) = n q ab und disutieren an einem Beispiel ihre Anwendung im Bereich der Zinsrechnung. 5. Die Summe der ersten n Zahlen Wir beginnen mit dem Satz Es gilt S 1 (n) = = =1 n(n + 1). (30) Beweis Die Idee des nachfolgenden Beweises stammt vom neunjährigen C. F. Gauß: wir schreiben die Summe zweimal untereinander, einmal aufsteigend, einmal absteigend, auf und summieren die Elemente in den einzelnen Spalten (n 1) + n (31) n + (n 1) (3) Jede Spalte liefert einen Beitrag n+1 und es gibt n davon. Das Ergebnis ist das doppelte der Summe, die wir ausrechnen wollten. Damit ist der Satz bewiesen. 5.3 Die Summe der ersten n Quadratzahlen Wir wollen eine explizite Darstellung für S (n) herleiten. Dazu benötigen wir den Hilfssatz Für jedes n gilt (n 1) = n. (33) Erster Beweis Dieser Beweis benutzt das Ergebnis des letzten Satzes. Die Summe die uns hier interessiert ann als die Summe von drei Beiträgen geschrieben werden. Dazu wird die Identität 1 = ( 1) + ( 1) + 1 benutzt. Die Summe von ist das bereits beannte n(n+1) während die Summe von 1 ist n. Deshalb ist die Gesamtsumme n(n 1) + n(n 1) + n = n. (34) 10

11 Zweiter Beweis Dieser geometrische Beweis wird an der Tafel gezeigt. Satz S (n) = n(n+1)(n+1) 6. In der Vorlesung wird eine geometrische Darstellung dieser Identität im Fall n = 4 gegeben. Dabei werden sowohl der Hilfssatz als die Formel für die Summe der ersten n Zahlen verwendet. 5.4 Summe der ersten n Kubizahlen - vollständige Indution Eine explizite Darstellung von S 3 (n) ann man mittels vollständiger Indution beommen. Die Beweismethode der vollständigen Indution önnen wir wie folgt zusammenfassen. Satz Für jedes n N {0} sei eine Aussage A n der Art gegeben, so dass gelten (i) die Aussage A 0 is richtig, und (ii) aus der Richtigeit von A n für beliebig gewähltes n N 0 folgt die Richtigeit von A n+1. Dann gilt A n für alle n N 0. Der erste Punt wird als Indutionsvoraussetzung bezeichnet. Der Indutionsschritt is dann Inhalt des zweiten Puntes. Der Beweis dieses Satzes ist eng mit dem axiomatischen Aufbau der Zahlensysteme verwandt und wird hier nicht behandelt. Jetzt wird diese Beweismethode zur Bestimmung der Größe S 3 (n) verwendet. Satz Es gilt S 3 (n) = 3 = n (n + 1) (35) 4 =1 Beweis Es reicht zu beweisen, dass S 3 (n) = (S 1 (n)), was jetzt mit vollständiger Indution gemacht wird. Indutionsanfang: (S 1 (1)) = 1 = S 3 (1). Die Aussage gilt also für n = 1. Indutionsschritt: Es sei vorausgesetzt, dass (S 1 (n)) = S 3 (n) für einen bestimmten Wert von n. Dann berechnen wir [ ] [ (n + 1)(n + ) n(n + 1) (S 1 (n + 1)) = = + (n + 1)] (36) = (S 1 (n)) + n(n + 1) + (n + 1) (37) = S 3 (n) + (n + 1) 3 = S 3 (n + 1). (38) Damit ist die Behauptung bewiesen. Bei der Indution ann man genau so gut bei irgendeinem n = n 0 anfangen wie bei n = 0. Das Ergebnis ist dann, dass die Aussage A n für alle n n 0 gilt. 5.5 Die geometrische Reihe Die geometrische Reihe ist die unendliche Summe der Glieder der sogenannten geometrischen Folge, d.h. derjenigen Zahlenfolge {a } für welche das Verhältnis 11

12 benachbarter Folgenglieder stets onstant ist. Hier ist N 0. Sei q = a +1 a dieses Verhältnis. Dann ist a = a 0 q. Für die n-te Partialsumme S n der geometrischen Zahlenfolge ist daher Satz Sei q 1. Dann gilt S n = a = a 0 n Ist ferner q < 1, so haben wir im Grenzfall n q (39) q = 1 qn+1. (40) 1 q q = 1 1 q. (41) Beweis Wir schreiben die n-te Partialsumme wie folgt aus Es folgt, dass S n = q = 1 + q + q q n. (4) (1 q)s n = (1 + q + q +... q n ) (q + q + q q n+1 ) 1 q n+1. (43) Für q 1 beommen wir daraus die erste Behauptung. Um die Grenzformel zu beommen benutzt man die Tatsache dass q < 1 impliziert q n 0 for n. Die geometrische Reihe findet insbesondere Anwendung in der Zinseszinsrechnung bei Sparanlagen. Hier ist ein Beispiel. Zu Beginn eines jeden Jahres zahlt man 000 Euro bei einer Ban bei einem Zinssatz von 5% ein. Wieviel Geld hat man nach fünf Jahren angespart? Wir gehen wie folgt vor. Zunächst berechnen wir den Zinsfator 1,05. Um diesen Fator vermehrt sich das Geld in einem Jahr. Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre verzinst, mit dem Ergebnis 000 (1, 05) 5. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird vier Jahre verzinst, mit dem Ergebnis 000 (1, 05) 4. Das gesamte angesparte Kapital ergibt sich also aus folgender Rechnung: 000 (1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05) (1, 05) 1 = 000 1, 05 ((1, 05) 4 + (1, 05) 3 + (1, 05) + (1, 05) 1 + (1, 05) 0 ) 4 = 000 1, 05 (1, 05) 1 (1, 05)5 = 000 1, , 05 = 11.60, 86 1

13 nach Rundung. Durch Zinsen hat sich das eingezahlte Kapital um 1.60,83 Euro erhöht. Hätte man die Euro am Anfang eingezählt und zu 5% auf 5 Jahre verzinst so wäre der Endbetrag (1, 05) 5 = 1.76, 8 gewesen, also wesentlich mehr. 5.6 Beweis der binomischen Formel Die Methode der vollständigen Indution ann angewendet werden um die binomische Formel zu beweisen. Die Aussage A n, die es zu beweisen gilt ist die Formel für einen gegebenen Wert von n. Betrachten wir zuerst die Aussage A 0. (a + b) 0 = 1 während 0 ( 0 ) a b = ( 0 0) = 1. Als nächstes ommt der Indutionschritt. (a + b) n+1 = (a + b)(a + b) n = (a + b) a n b = a n +1 b + a n b +1 (44) Die zweite Summe auf der rechten Seite ann durch n+1 a n +1 b (45) 1 =1 ersetzt werden. Deshalb ist (a + b) n+1 = a n =1 ( n + 1 = a n =1 n+1 ( n + 1 = [( ) ( n n + 1 ) ) a n +1 b + ( n n )] a n +1 b + b n+1 b n+1 n ) a n +1 b. (46) Mit der letzten Aussage haben wir A n+1 bewiesen und auch den binomischen Lehrsatz. 6 Quellen Im Sommersemester 01 hat Steffen Fröhlich die Vorlesung Elementarmathemati an der Universität Mainz gehalten und ein Sript dazu geschrieben. Für die Vorlesung Elementarmathemati in späteren Semestern hat Alan Rendall dieses Sript nach seinem Geschmac abgeändert. Der vorliegende Text ist das Ergebnis. Die Abschnitte -7 basieren auf dem Text von Fröhlich. Die Hauptquelle für die Abschnitte 9 und 10 ist das Buch von Clar und Holton [1]. Die Hauptquelle für den Abschnitt 11 ist das Buch von Feller []. 13

14 References [1] Clar, J. und Holton, D. A. Graphentheorie. Spetrum Aademischer Verlag, Heidelberg. [] Feller, W An introduction to probability theory and its applications. Wiley, New Yor. [3] Nowa, M. A. und May, R. M. 000 Virus Dynamics. Oxford University Press, Oxford. [4] Singh, S. 000 Fermats letzter Satz - die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, München. 14