4. Die elementaren Zählfunktionen. Definition 165 (Binomialkoeffizienten) 4.1 Untermengen. align

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1 4. Die elementaren Zählfuntionen 4.1 Untermengen Definition 165 (Binomialoeffizienten) align ( ) n := 1 n N 0 0 ( ) n := 0 n <, n N 0, N ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 := + sonst 1 ( n, N ) Disrete Struturen 4.1 Untermengen 260/571

2 Satz 166 Sei N eine Menge mit N = n Elementen. Die Menge aller -elementigen Untermengen von N wird bezeichnet mit ( ) N. Es gilt: ( ) ( ) N N = = ( ) n. Disrete Struturen 4.1 Untermengen 261/571

3 Beweis: Seien n, 0, a N. 1 ( ) n und > n sind lar. 0 2 Definiere { ( ) } N S a := A ; a A, { ( ) } N S a := A ; a / A. Disrete Struturen 4.1 Untermengen 262/571

4 Beweis (Forts.): 3 Damit gilt Daraus folgt ( ) S a S N a =, S a S a =. ( ) ( ) S a = N \ {a} n 1 = 1 1 (per Indution) ( ) ( ) S a = N \ {a} n 1 = (per Indution) ( ) n = ( ) n ( ) n 1. Disrete Struturen 4.1 Untermengen 263/571

5 Zwischenbemerung zur Nomenlatur: (a + b) n = n =0 ( ) n a b n = (a + b) (a + b) (a + b) Disrete Struturen 4.1 Untermengen 264/571

6 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen Ungeordnete Partitionen 1. Mengenpartitionen Sei N eine Menge der Kardinalität n und sei N 0. Eine Zerlegung von N in nichtleere, paarweise disjunte Teilmengen heißt eine -Partition von N. Die einzelnen Teilmengen heißen auch Klassen. Ihre Anzahl wird mit S n, bezeichnet (die sog. Stirling-Zahlen der 2. Art). Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 265/571

7 Beispiel 167 N = {1, 2, 3, 4, 5}, = 2 S 5,2 = 15. {1} {2, 3, 4, 5} {1, 2} {3, 4, 5} {2} {1, 3, 4, 5} {1, 3} {2, 4, 5} {3} {1, 2, 4, 5} {1, 4} {2, 3, 5} {4} {1, 2, 3, 5} {1, 5} {2, 3, 4} {5} {1, 2, 3, 4} {2, 3} {1, 4, 5} Weiter gilt: S n,1 = 1, S n,2 = Übung, S n,n = 1. {2, 4} {1, 3, 5} {2, 5} {1, 3, 4} {3, 4} {1, 2, 5} {3, 5} {1, 2, 4} {4, 5} {1, 2, 3} Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 266/571

8 2. Zahlpartitionen Sei N 0 n = n 1 + n n mit n 1,..., n N und n 1 n 2... n. Eine solche Zerlegung heißt -Partition der Zahl n. Die Anzahl aller -Partitionen von n N wird mit bezeichnet. P n, Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 267/571

9 Beispiel 168 n = 8, = 4. 8 = = = = = P 8,4 = 5 Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 268/571

10 4.2.2 Geordnete Partitionen 1. Mengenpartitionen Seien N, n, wie vorher. Eine (beliebig) geordnete -Menge N heißt -Permutation aus N. Ihre Anzahl ist n (n 1) (n + 1) = n ( n hoch fallend, fallende Faultät ). Analog: n := n (n + 1) (n + 1) Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 269/571

11 Überlegung: Jede -Menge aus N ergibt! -Permutationen. Also ( ) n! = n oder: Eine -Mengenpartition ergibt ( ) ( ) n = n! = n! n! (n )! = n! S n, geordnete -Mengenpartitionen (Die Klassen sind (beliebig) untereinander geordnet, aber nicht in sich!). Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 270/571

12 2. Zahlpartitionen Eine geordnete Zahlpartition ist gegeben durch N n = n 1 + n n ; n 1,..., n N Betrachte folgende graphische Darstellung: }{{} n Wähle aus den n 1 Trennstellen 1 aus. Jede der ( n 1 1) Wahlmöglicheiten ergibt eine eindeutig bestimmte geordnete -Zahlpartition und umgeehrt. Ihre Anzahl ist also ( ) n 1. 1 Disrete Struturen 4.2 Partitionen von Mengen und Zahlen 271/571

13 4.3 Multimengen Beispiel 169 M := {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5} M = 7 Satz 170 Die Anzahl der -Multimengen (also Multimengen der Kardinalität ) aus N ( N = n) ist ( n + 1 ) = n! (n + 1) =.! Disrete Struturen 4.3 Multimengen 272/571

14 Beweis: Sei o.b.d.a. N = {1,..., n}. Betrachte eine Multimenge {a 1, a 2,..., a } der Kardinalität. Sei o.b.d.a. a 1 a 2 a. Definiere die Ersetzung f: f : a 1 a 1 1 a 2 a a 3 a a a + 1 n + 1 Das Ergebnis unter f ist eine Menge [n + 1]. Die Anzahl der Möglicheiten auf der rechten Seite beträgt ( ) n+ 1, und die durch f gegebene Zuordnung ist offensichtlich bijetiv. Disrete Struturen 4.3 Multimengen 273/571

15 Andere Beweisvariante: Beweis: n 1 0 n Von n + Kugeln werden schwarz gefärbt; die erste darf nicht schwarz gefärbt werden. Also bleiben n weiße Kugeln übrig, darunter die erste. Jede dieser weißen Kugeln zählt nun als sooft ausgewählt, wie unmittelbar rechts davon schwarze Kugeln stehen. Es werden also aus n weißen Kugeln ausgewählt (mit Wiederholung). Disrete Struturen 4.3 Multimengen 274/571

16 Beispiel 171 Darstellung zu obigem Beispiel: Zugehörige Multimenge: {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5} Disrete Struturen 4.3 Multimengen 275/571

17 4.4 Anzahl von Abbildungen Betrachte Funtionen von N (Urbildraum) nach R (Bildraum), N = n, R = r mit n, r N 0. Die Anzahl beliebiger Abbildungen N R ist r n. Die Anzahl der injetiven Abbildungen N R ist r n. Die Anzahl der surjetiven Abbildungen N R ( geordnete r-mengenpartitionen von N ) ist r! S n,r. Disrete Struturen 4.4 Anzahl von Abbildungen 276/571