) liegen. 6 FürR 4 < R < geltenε r = 1, κ = 0, = 0 und E 0.

Transkript

1 Felder und Wellen 1/0 Klausur F16 Aufgabe 1 16 Punkte Gegeben ist folgender Zylinder mit Länge L und Gesamtladung Q ges. Es gelte überall im Raumε = ε r ε 0, Randeffekte können vernachlässigt werden. 1 0 R < R 1 : ε r = κ = 0 =??? E = 0 ε 0 R e R R 1 R < R : ε r = 3 κ = 0 = 0 E =??? 3 R R < R 3 : ε r = 1 κ = =??? E =??? 4 R 3 R R 4 : ε r = 1 κ = 0 = 0 E =??? 5 R 4 < R < : ε r = 1 κ = 0 = 0 E = 0 a Berechnen Sie die unbekannten Größen in den Bereichen 1, und 3. b Berechnen Sie das elektrische PotentialΦin den Bereichen, 3 und 4. Hinweis: Es gelte Φ = 0. Die Anordnung aus a wird nun aus großer Entfernung betrachtet. Der Zylinder ist in der xy-ebene so ausgerichtet, dass seine Enden beip 1 x 1,y 1 = L, 3 und P 6 x,y = + L, 3 liegen. 6 FürR 4 < R < geltenε r = 1, κ = 0, = 0 und E 0. c Es gelte weiterhin Φ = 0. Berechnen Sie das elektrische Potential Φ im Koordinatenursprung unter Verwendung des Coulombintegrals in kartesischen Koordinaten. Hinweis: Betrachten Sie den Zylinder als Linienleiter mit LängeLund Gesamtladung Q ges. Die Anordnung aus c wird nun innerhalb der xy-ebene so verschoben, dass die Enden des Linienleiters durch P 3 x 3,y 3 = L,0 undp 4x 4,y 4 = + L,0 gegeben sind. d Ein Elektron startet bei P 5 x 5,y 5 = 0, 3L aus der Ruhelage und bewegt sich entlang der y-achse. Berechnen Sie den Betrag seiner Geschwindigkeit bei P 6 x 6,y 6 = 0, L. Hinweis: Die Aufgabenteile c & d können unabhängig von a & b gelöst werden.

2 Felder und Wellen /0 Klausur F16 Lösung 1 16 Punkte a Raumladungsdichte und E-Feld: 0 R < R 1 : Materialgleichung: D = ε E = εr ε 0 E D R = ε 0 E R Satz von Gauss differentielle Form: = divd = 1 R R D R R = 1 R R 0R R R = 6 0R R 1 R < R : Zylindersymmetrie: E = E R R e R d f = e R Rdϕdz dv = R drdϕdz Satz von Gauss integrale Form: Dd f = dv L π 0 0 R R R 3 : D R Rdϕdz = L π R R R dr dϕdz + [ ] R 3 R1 [ R πlr D R = πl D R = 0 R3 1 R + 1 R 1 R1 R E R = 1 ε D R = 1 3ε 0 0 idealer Leiter κ = : E = 0 = divε E = 0 L π R 0 0 ] R R 1 4R 3 1 R1 + 1 R R 0 R dr dϕdz R 1

3 Felder und Wellen 3/0 Klausur F16 b Elektrisches Potential: r Skalarpotential Elektrostatik: Φ el r Φ el r 1 = Ed s r 1 Zylindersymmetrie: E = ER R e R d s = e R dr Es gilt Φ = 0, d.h. die Rechnung erfolgt von Außen nach Innen. Benötigt wird also zunächst das Potential in Bereich 5. R 4 R < : ΦR Φ = }{{} =0 ΦR = 0 R 0 dr R 3 R < R 4 : Das E-Feld in Bereich 4 wird mit dem Satz von Gauß berechnet. Die Gesamtladung des Zylinders beträgt Q ges, daraus folgt: R R < R 3 : ΦR ΦR 4 }{{} =0 πlr D R = Q ges E R = 1 Q ges ε 0 πlr = R R 4 Qges πε 0 L 1 R = Q ges [lnr ] R πε 0 L ΦR = Q ges R πε 0 L ln R ΦR ΦR 3 = 0 dr R 3 R 4 ΦR = ΦR 3 = Q ges πε 0 L ln R 1 R < R : R 0 4R 3 ΦR ΦR = 1 R ε 0 R R R ΦR = ΦR 0 3ε 0 [ ΦR = 0 R ε 0 R 1 dr R 4 dr R3 R 4 [ R1 3 1 R 1 lnr + 1 ] R 4 R R ln R + 1 R R 4 R ] Q ges πε 0 L ln R3 R 4

4 Felder und Wellen 4/0 Klausur F16 c Elektrisches Potential: Die Ladungsverteilung hat die Form eines unendlich dünnen Zylinders mit der konstanten Ladungsdichte λ = Q ges /L, das Volumenintegral wird zum Linienintegral: Φ r = λ 4πε 1 r r d s Das elektrische Potential wird im Ursprung berechnet, d.h. r = 0. Der Leiter verläuft im Abstand d = y 1 = y parallel zurx-achse, d.h. r = x e x 3 e 6 y. r r = x d s = e x dx Daraus ergibt sich für das zu lösende Integral: Hinweis: da a +b = lna+ a +b, siehe z.b. Bronstein Φ0 = = Φ0 = λ 4πε 0 λ 4πε 0 L/ L/ [ ln dx x x + x ] L/ L/ λ + 1 ln L L 4πε 0 1 L + 1 1L 1 d Energieerhaltungssatz: Für kinetische Energie W kin und elektrische Energie W el gilt allgemein: 0 = W kin +W el = 1 mv +q Φ Elektrische Energie: Zur Bestimmung des Potentials können die Überlegungen aus c verwendet werden. Für einen allgemeinen Punkt auf dery-achse, d.h. y 3, gilt demnach 6 Φy = λ + 1 ln L +y + 1 L 4πε 0 1 L +y 1L

5 Felder und Wellen 5/0 Klausur F16 Daraus ergibt sich an den Punkten P 5 und P 6 λ + 1 Φy 5 = ln L + 3L + 1 L 4πε 0 1 L + 3L 1L λ + 1 Φy 6 = ln L + L + 1 L 4πε 0 1 L + L 1L Für die elektrische Energie folgt W el = q Φ = e Φy 6 Φy 5 λ = e ln ln 43 4πε 0 W el = e λ 3 ln < 0 4πε 0 wobeiq = e der Ladung des Elektrons entspricht. Geschwindigkeitsbetrag: Die Geschwindigkeit ergibt sich gemäß Energieerhaltungssatz zu v = = Wel m e λ πε 0 m ln 3

6 Felder und Wellen 6/0 Klausur F16 Aufgabe 16 Punkte Gegeben sei ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Kantenlänge a und dem Plattenabstanddd a. Die Spannung U ist angelegt. Zunächst sei der Kondensator mit zwei nichtleitenden Dielektrika vollständig gefüllt. Diese werden so fixiert, dass die Grenze der beiden Bereiche bei z = h liegt. U z h 0 r = U = 0 r 1 0 d x a Berechnen Sie das elektrische Feld E innerhalb des Kondensators in Abhängigkeit von der SpannungU und bestimmen Sie die Flächenladungsdichte auf der linken Platte x = 0. b Berechnen Sie die KapazitätC in Abhängigkeit von h. c Wie muss h gewählt werden, damit beide Bereiche dieselbe Energie aufweisen? d Bestimmen sie den Betrag der Kraft in z-richtung, die durch die unterschiedlichen ǫ ri hervorgerufen wird.

7 Felder und Wellen 7/0 Klausur F16 Die folgenden Teilaufgaben sind unabhängig von a bis d. Nun sei der Kondensator mit einer gleichverteilter Raumladungsdichte ρ und ǫ r = 1 gefüllt. U z Φ = U Φ = 0 ρ 0 ε = 1 r 0 d x e Bestimmen Sie das Potential mittels Poissongleichung. Bestimmen Sie dabei nach Möglichkeit alle freien Parameter des Lösungsansatzes der Differentialgleichung anhand der gegebenen Randbedingungen. f Bestimmen Sie das elektrische Feld E und die Flächenladungsdichten auf beiden Platten.

8 Felder und Wellen 8/0 Klausur F16 Lösung 16 Punkte a Aufgrund von d a lässt sich es auf ein eindimensionales Problem zurückführen. 0 Φx = 0 Φx = d = U = Innerhalb des Kondensators gilt also: d E x dx = E x d E = U d e x Die Flächenladungsdichteσ lässt sich ausd n D n1 = σ berechnen. Auf der linken Platte gilt D n1 = 0. { U ε 0 ε r1 0 z h d σx = U ε 0 ε r h < z a d b Die Kapazität lässt sich über finden. Ch = Q U = Dd f U = ε 0 d ε r 1 a h+ε r a a h c Die Energie im Kondensator ist in diesem Fall durch W = 1 CU bzw. W = 1 gegeben. MitW 1 h = W h folgt, dass die Teilkapazitäten C 1 h undc h gleich sein müssen: ε 0 d ε r 1 a h = ε 0 d ε r a a h h = ε r a ε r1 +ε r. d Die Gesamtenergie ist mit ε E dv Wh = 1 ChU = 1 ε 0 d ε r 1 a h+ε r a a hu gegeben. Aus F = δw folgt δh F = ε 0 au d ε r 1 ε r. e Es handelt sich weiterhin um eindimensionales Problem, sodass Φ = δ Φx δx gilt.

9 Felder und Wellen 9/0 Klausur F16 δ Φx δx = ρ ε 0 δφx = ρ x+c 1 δx ε 0 Φx = ρ x +c 1 x+c ε 0 Aus der ersten Randbedingungen Φx = 0 = U folgt unmittelbar c = U. Mit der zweiten Randbedingung Φx = d = ρ ε 0 d +c 1 d+u = 0 lässt sichc 1 zu ermitteln. c 1 = ρ ε 0 d U d Φx = ρ ε 0 x + ρ ε 0 d U d x+u f E = gradφ = e x δφx δx ρ = e x x ρ d+ U ε 0 ε 0 d Die Flächenladungsdichte σ lässt sich aus D n D n1 = σ berechnen. Linke Platte: σ 1 = D n x = 0 = ε 0 ρ ε 0 d+ U d Rechte Platte: σ = D n x = d = ε 0 ρ d U ε 0 d

10 Felder und Wellen 10/0 Klausur F16 Aufgabe 3 16 Punkte Gegeben sei eine Toroidspule mit N Windungen und rechteckigem Querschnitt, innerem Radius a, äußerem Radius b und der Höhe h. Die Spule ist an eine Stromquelle angeschlossen, die den sinusförmigen WechselstromI a liefert. Ein Querschnitt der Spule ist in Abbildung 1 dargestellt. Beachten Sie, dass in Abbildung 1 nur eine Hälfte der ringförmigen Spule dargestellt ist. In allen Aufgabenteilen gilt die Annahme, dass inhomogene Felder außerhalb von Spulen zu vernachlässigen sind. I a z y x h a b Abbildung 1: Toroidspule mit rechteckigem Querschnitt a Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B a innerhalb der Spule, d.h. für alle r a,b. Skizzieren Sie B a in Abbildung 1. b Berechnen Sie den selbstinduzierten magnetischen FlussΦ aa der Spule. Berechnen Sie den Selbstinduktionskoeffizienten L aa.

11 Felder und Wellen 11/0 Klausur F16 Nun befinde sich die Spule aus Abbildung 1 in einer größeren Toroidspule mit M Windungen und einem ebenfalls rechteckigen Querschnitt. Die äußere Spule besitzt den inneren Radius c, den äußeren Radius d und die Höhe h. Die gesamte Anordnug ist in Abbildung dargestellt. I b I a h z y x c d Abbildung : Toroidspule in größerer Toroidspule c Ändert sich der Selbstinduktionskoeffizient L aa durch das Einbringen in eine äußere Spule? Begründen Sie! Berechnen Sie die Induktionskoeffizienten L ab,l ba und L bb. d Nun werden die Kontakte der inneren Spule kurzgeschlossen U a = 0. Der ohmsche Widerstand der inneren Spule R a ist zu vernachlässigen Hinweis: Dies ist analog zu einer supraleitenden Spule. Der Widerstand der äußeren Spule betrage R b 0. Welche Spannung U b muss an der äußeren Spule angelegt werden, damit dort der Strom I b = I 0 cosω 0 t fließt?

12 Felder und Wellen 1/0 Klausur F16 Lösung 3 16 Punkte a Mit dem Durchflutungsgesetz Hd s = Jd f ergibt sich H a πr = NI a e ϕ Somit ergibt sich für die magnetische Flussdichte fürr a,b B a = µ 0 NI a πr e ϕ I a z y x h a b 3 b Durch Integration über den rechteckigen Querschnitt der Spule infinitessimales Flächenelement df a = hdr kann der magnetische Fluss berechnet werden. Φ aa = Ba d f a Der Selbstinduktionskoeffizient L aa ist somit = F a b a µ 0 NI a πr hdr = µ 0 NI a h π ln b a L aa = N I a Φ aa = µ 0 N h π ln b a c Der SelbstinduktionskoeffizientL aa beschreibt, wie Änderungen des StromsI a in der Spule mit einem genau dadurch verursachten magnetischen Fluss Φ aa durch den Querschnitt der Spule gekoppelt sind. Dies ist also eine Eigenschaft der Spule selbst. Externe magnetische Felder beeinflussen bzw. stören diesen Zusammenhang nicht. Sie werden nach dem Superpositionsprinzip einfach überlagert. Deshalb ist L aa unabhängig vom Magnetfeld, das durch die äußere Spule erzeugt wird, und ändert sich beim Einbringen in eine äußere Spule nicht.

13 Felder und Wellen 13/0 Klausur F16 Die Selbstinduktivität der äußeren Spule wird analog zur inneren Spule berechnet: L bb = M I b Φ bb = µ 0 M h π ln d c Bei der Berechnung der Gegeninduktivitäten muss der Querschnitt der inneren Spule berücksichtigt werden. Es ergibt sich für den magnetischen Fluss und Φ ab = b a µ 0 NI a πr hdr = µ 0 NI a h π ln b a Φ ba = b a µ 0 MI b πr hdr = µ 0 MI b h π ln b a Somit sind die Indiktionskoeffizienten gegeben durch L ab = L ba = µ 0 NMh π ln b a d Die magnetischen Flüsse in den Spulen überlagern sich Superpositionsprinzip: Φ a = Φ aa +Φ ba = L aa N I a + L ba N I b Φ b = Φ ab +Φ bb = L ab M I a + L bb M I b Die Spannungen U a und U b setzen sich aus den induzierten Spannungen U ind,ik = N k dφ m,ik dt und der über den ohmschen Widerstand der Spule abfallenden Spannung zusammen: U a = U ind,aa +U ind,ba = L aaia L abib U b = U ind,ab +U ind,bb +R b I b = L abia L bbib +R b I b

14 Felder und Wellen 14/0 Klausur F16 Wie in der Aufgabenstellung gegeben istu a = 0. Somit kann die erste Gleichung aufgelöst I a = L ab L aa Ib und in die zweite Gleichung eingesetzt werden. Es ergibt sich U b = L ab L bb L aa = µ 0hM π I b +R b I b ln b a ln d c ω 0 I 0 sinω 0 t+r b I 0 cosω 0 t

15 Felder und Wellen 15/0 Klausur F16 Aufgabe 4 16 Punkte Gegeben sei ein Hohlleiter mit rechteckigem Querschnitt aus unendlich gut leitendem Material. Die Kantenlängen des Querschnitts seienaund a. x a z a y Im Inneren des Hohlleiters breite sich eine Welle mit den angegebenen Feldkomponenten in positiver z-richtung aus. π π E x = E 0 sin a x sin a y e jωt kzz E y = 0 E z = 0 a Berechnen Sie alle Komponenten des H-Felds der Welle mit Hilfe der Maxwellgleichungen. b Bestimmen Sie die Wellenzahlk z dieser Welle mit Hilfe der Wellengleichung. c Berechnen Sie die Gruppengeschwindigkeit dω dk der Welle. d Um welchen ModeTM mn oderte mn handelt es sich? Geben Sie die Modenzahlenmbezüglich x-richtung und n bezüglichy-richtung an. e Bestimmen Sie die niedrigste, ausbreitungsfähige Frequenz im Hohlleiter.

16 Felder und Wellen 16/0 Klausur F16 Lösung 4 16 Punkte a Bestimmung des H-Felds Das H-Feld der Welle wird über die Maxwell-Gleichung rot E = B bestimmt. Für harmonische Vorgänge und lineare, isotrope Medien gilt: rote = jωµ H H = j ωµ rot E H = j ωµ Ez y E y z e x + j ωµ Einsetzen dese-felds aus der Aufgabenstellung ergibt: H = j ωµ = j ωµ + j ωµ Ex e y + j z jk z E 0 sin Ex z E z e y + j x ωµ 1 Ey x E x e z y E x e z 3 ωµ y π π a x sin a y e e jωt kzz y 4 π π π a E 0 sin a x cos a y e e jωt kzz z 5 H x = 0 H y = k z π ωµ E 0 sin a x π H z = j ωµa E 0 sin π sin a y e jωt kzz π π a x cos a y e jωt kzz 6 b Bestimmung von k z Die Wellengleichung für E x ist E x µε E x t = 0. 7 Einsetzen von E x aus der Aufgabenstellung ergibt: π π Ex Ex kz E x +ω µεe x = 0 8 a a π k z +ω µε = 0 9 a π k z = ω µε 10 a

17 Felder und Wellen 17/0 Klausur F16 c Gruppengeschwindigkeit bestimmen v g = ω k z = 1 k z ω. 11 Ausgehend von k z aus Aufgabenteil b kann die Ableitung im Nenner bestimmt werden. k z ω = 1 ω µε ωµǫ π a 1 = ω c 0k z 13 Durch Bildung des Kehrwerts kannv g angegeben werden. v g = c 0k z ω 14 d Bestimmung des Wellenmode Es handelt sich um eine TE-Welle, weil E z = 0. k x = π a m = π a 15 m = 1 16 k y = π a n = π a 17 n = 18 Der Wellenmode lautette 1. e Bestimmung der Cut-Off Frequenz Es gilt: k z = ω µǫ kx ky 19 π π = ω µǫ a m a n 0 ω µǫ = π a m + π a n 1 f = 1 1 π π π µǫ a m + a n Kleinste Frequenz für m=0 und n=1. f = 1 1 π π µǫ a = 1 4a µǫ 3

18 Felder und Wellen 18/0 Klausur F16 Aufgabe 5 16 Punkte Leiter0 < κ <,ε = ε 1 Vakuum κ = 0,ε = ε 0 x y z z = 0 Eine zirkular-polarisierte, elektromagenetische Welle breitet sich innerhalb eines Leiters in positive z-richtung aus und trifft an der Stellez = 0 auf Vakuum. Ein Teil der Welle wird an der Grenzfläche reflektiert, der übrige Teil wird in das Vakuum transmittiert. Für die Leitfähigkeit κ des Leiter gilt 0 < κ <. Darüberhinaus sind ε = ε 1 und k im Leiter komplex. Im gesamten Raum gilt µ = µ 0. Das H-Feld im Leiter wird durch folgenden Ansatz beschrieben: H = H 0 e jωt kz e x +je jωt kz e y. a Berechnen Sie das zur Grenzfläche hinlaufende E-Feld mittels der allgemeinen MAXWELL- Gleichung und stellen Sie mittels des Wellenwiderstandes Γ 1 = µ die Beziehung zwischen ε deme-feld und H-Feld her. Hinweis: Es gilt J = 0 undε 1 = ε 0 j κ. ω b Bestimmen Sie k im Leiter mit Hilfe der Wellengleichung für harmonische Vorgänge. c Stellen Sie die Grenzbedingungen an der Grenzfläche beiz = 0 für alle Felder auf und berechnen Sie alle im Leiter und Vakuum exisiertenden E-Felder. d Zusätzlich zur zirkular-polarisierten, elektromagenetischen Welle breitet sich im Leiter eine zweite elektromagnetische Welle aus. Durch Überlagerung beider Wellen soll das resultierende E-Feld in x-richtung linear polarisiert sein. Berechnen Sie das zur Superposition benötigte E-Feld der zweiten elektromagnetischen Welle.

19 Felder und Wellen 19/0 Klausur F16 Lösung 5 16 Punkte a roth = D 1 e x H y Hx + e y = jωεe z z jk [ e x jh0 e jωt kz + e y H0 e jωt kz] = jωε E 3 k ωε H 0e jωt kz j e x + e y = E 4 ω µε ωε H 0e jωt kz j e x + e y = E 5 µ ε H 0e jωt kz j e x + e y = E 6 µ0 ε 0 j κ H 0 e jωt kz j e x + e y = E 7 ω }{{} =Γ 1 b Aus der Formelsammlung bekannt ist die Wellengleichung für harmonische Vorgänge im Leiter: E jωκµ E +ω εµ E = 0 8 Zu berechnen ist E. E ist unabhängig von x undy. E = E z = z jk E = k }{{} E 9 = E z Einsetzen in die Wellengleichung ergibt: k E jωκµ E +ω εµ E = 0 10 k = jωκµ+ω εµ 11 k = jωκµ+ω εµ 1 k = ω εµ1 j κ εω 13 c Die Tagentialkomponenten der Summe aller E- und H-Felder an der Grenzflächez = 0 müssen identisch sein: E e +E r = E t H e +H r = H t 14 15

20 Felder und Wellen 0/0 Klausur F16 c E e +E r = E t E e Γ 1 + E r Γ 1 = E t Γ Elimination von E t : E e 1 Γ 0 +E r 1+ Γ 0 = 0 Γ 1 Γ 1 Γ 1 18 E e Γ 1 Γ 0 +E r Γ 1 +Γ 0 = 0 19 Aufgelöst nache r : E r = Γ 0 Γ 1 Γ 0 +Γ 1 E e E r = Γ 0 Γ 1 Γ 0 +Γ 1 Γ 1 H 0 e jωt kz j e x + e y und daraus Bestimmung von E t : E t = Γ 0 Γ 0 +Γ 1 E e E t = Γ 0 Γ 0 +Γ 1 Γ 1 H 0 e jωt kz j e x + e y d E ges = E + E sup 5 E ges! = µ0 E µ0 ges = ε 0 j κ ω E sup = µ0 ε 0 j κ H 0 e jωt kz j e x 6 ω H 0 e jωt π kz e x 7 ε 0 j κ H 0 e jωt kz e y 8 ω