Die thermische Entwicklung des Universums

Transkript

1 Die thermische Entwicklung des Universums Kim Susan Petersen 14. Dezember Die Zukunft unseres Universums Wie wir bereits gelernt haben, wird die Ausdehung des Universums durch die Friedmann-Gleichungen beschrieben. In diesem Modell hängt seine Form lediglich davon ab, ob die Energiedichte größer, kleiner oder gleich einer kritischen Dichte (Größenordnung g/cm 3 ) ist. Dabei ist die Gesamtenergie gemeint, also Energie sowohl in Form von Strahlung oder Materie als auch die Vakuumsenergie. Wir können diese Bedingung auch über andere Parameter ausdrücken, z.b. den Dichteparameter Ω oder die Krümmung κ. Geschlossenes Universum: ρ > ρ crit Ω > 1 κ > 0 Kontraktion durch Eigengravitation führt zum Big Crunch. Offenes Universum: ρ < ρ crit Ω < 1 κ < 0 Das Universum dehnt sich immer weiter aus, die Sterne erkalten, die Galaxien lösen sich auf. Ganz am Ende verdampfen sogar die Schwarzen Löcher. Man spricht vom Kältetod (Erreichen des absoluten Temperaturnullpunkts). Flaches Universum: ρ = ρ crit Ω = 1 κ = 0 Die Ausdehnung kommt asymptotisch zum Stillstand, kehrt sich aber nicht um. Es kommt ebenfalls zum Kältetod. Alle Schlussfolgerungen gelten nur für den Fall Λ = 0. Ist jedoch Λ 0, so wird die Expansion beschleunigt verlaufen, auch wenn wir das geschlossene Universum betrachten! Messungen ergeben, dass die Energiedichte in etwa der kritischen Dichte entspricht. Wegen der Messungenauigkeit kann aber noch keine endgültige Aussage darüber getroffen werden, ob das Universum nun geschlossen, offen oder flach ist. 2 Energiedichten Offensichtlich spielen Energiedichten in der Betrachtung der Entwicklung des Universums eine große Rolle. Im Folgenden wollen wir betrachten, wie solche Energiedichten berechnet werden. Der Übersicht wegen sei = k B = c = 1. Allgemein gilt für irgendein Teilchen des Typs i: ρ i = E i dn i (1) 1

2 Wobei die Zustandsdichte gegeben ist durch: dn i = g i 2π 2 [exp((e i µ i )/T ) ± 1] 1 q 2 dq (2) g i bezeichnet die Anzahl der Freiheitsgrade des Teilchens, µ i ist das chemische Potential (falls vorhanden) und das ± bezieht sich auf die Fermi- bzw. Bose-Statistik. Für die Energiedichte ρ γ = E γ dn γ von Photonen wird der Ausdruck zu: dn γ = g γ 2π 2 [exp(e γ/t ) 1] 1 q 2 dq (3) Für Photonen ist g γ = 2. E γ = q ist die Photonenenergie. Integration des obigen Ausdrucks liefert: ρ γ = π2 15 T 4, (4) Unter Berücksichtigung aller Konstanten: ρ γ = a T 4 mit a = 4σ c (5) Et voilà, wir erhalten natürlich den altbekannten Ausdruck für den Schwarzkörperstrahler ( Stefan-Boltzmann-Gesetz)! Im Folgenden wollen wir die Entstehung des Universums in chronologischer Reihenfolge betrachten. Der Begriff der Zeit ist für uns dabei natürlich sehr anschaulich, aber eigentlich ein wenig unpassend. Sinnvoller ist es den Energie- bzw. Temperaturverlauf zu betrachten. Für die strahlungsdominierte Ära können wir folgenden Zusammenhang zwischen Alter des Universums und Temperatur benutzen: t T 2 Woran wir das Ende der strahlungsdominierten Ära festmachen, dazu später mehr (Kap. 3.3). 3 Die Entstehung des Universums 3.1 Vom Urknall bis zur Neutrinoentkopplung Fangen wir also ganz vorne an... Was in den ersten s nach dem Big Bang vor sich geht, darüber ist man sich bisher noch nicht einig geworden. Man geht davon aus, dass es eine Art urzeitliches Quantenvakuum mit beliebig vielen Dimensionen gibt, in dem spontane Symmetriebrechungen stattfinden können. Am Ende dieser sogenannten Planckzeit liegen die Gravitation und die Urkraft (von der sich später die schwache, die starke und die elektromagnetische Kraft abspalten) getrennt voneinander vor, das Universum hat eine Temperatur von K (was einer Energie von etwa GeV entspricht!), eine Ausdehnung von m und eine Dichte von g/cm 3. Einigen Theorien nach folgt nun eine Phase, in der sich das Universum sehr stark ausdehnt, die Inflationsphase. Grund dafür ist die Entstehung eines falschen Vakuums, d.h. der Druck wird negativ und wirkt gravitativ abstoßend. Innerhalb kürzester Zeit dehnt sich das Universum um einen Faktor von 2

3 mindestens aus (Vgl. Phasenübergang 1. Ordnung). Der Auslöser ist möglicherweise - aber nicht zwangsläufig - die Abspaltung der starken Kraft von der Urkraft, welche mit Symmetriebrechungen einhergeht und zur Zeit t = s stattgefunden haben soll. Die Inflation ist kein Teil des ursprünglichen Standardmodells der Entstehung des Universums, wäre jedoch eine Erklärung für einige Phänomene, die das Standardmodell nicht hinreichend beschreiben kann (Dichtefluktuationen, Nichtmessbarkeit der Raumkrümmung...). Anschließend wird die Ausdehnung des Universums gemäß der Friedmann-Gleichungen fortgesezt. Als erstes entstehen nuneinmal die Quarks und Leptonen. Eine mögliche Theorie besagt, dass dies beim Zerfall von X- und Y-Bosonen (sogenannten Leptoquarks) geschieht. Bei diesen Zerfällen ist die Erhaltung der Baryonenzahl verletzt! Da die verschiedenen Zerfälle mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten stattfinden, ensteht ein Ungleichgewicht zwischen Materie und Antimaterie. Alle Theorien, die solche oder ähnliche Prozesse beschreiben, werden unter dem Begriff Baryogenese zusammengefasst. In der sogenannten Quarkära zur Zeit t = s (T = K, E = GeV ) sind die X- und Y-Bosonen endgültig zerfallen und es existiert ein Quark-Gluonen-Plasma. Zur Zeit t = s (T = K, E = 1000GeV ) spaltet sich die elektroschwache Kraft auf in die elektromagnetische und die schwache Kraft. Die Hadronenära beginnt zur Zeit t = 10 6 s (T = K, E = 1GeV ). Das Quark-Gluonen-Plasma verschwindet, als sich die Quarks zu Hadronen zusammensetzen. Die schwereren Hadronen sterben bald wieder aus, nur die Neutronen und Protonen überleben. Es folgt die Leptonenära (t = 10 4 s, T = K, E = 100MeV ), die so heißt, da die Energie der Photonen nur noch zur Bildung von Leptonenpaaren reicht. Die Photonen überwiegen aber noch um einen Faktor gegenüber der Materie. Die Neutronen und Protonen wandeln sich derweil ständig ineinander um, wobei Neutrinos entstehen, welche bei einer Temperatur von ca K (E = 1MeV ) abkoppeln. Was das genau bedeutet, wollen wir im Folgenden etwas näher betrachten. Salopp gesagt, ist eine Teilchensorte im thermischen Gleichgewicht, solange irgendeine Wechselwirkungsrate Γ, die das Teilchen betrifft, größer ist als die Ausdehnungsrate des Universums: Γ > H Betrachten wir im Fall der Neutrinos Reaktionen wie e + + e ν + ν, so ist die Wechselwirkungsrate Γ = n σν. Dabei ist n T 3 die Leptonendichte und σν O(10 2 )T 2 /MW 4 der über alle Temperaturen gemittelte Wirkungsquerschnitt der schwachen Wechselwirkung. Die Wechselwirkungsrate ist also: Die Expansionsrate beträgt hingegen: Γ wk O(10 2 )T 5 /M 4 W (6) ( ) 1/2 ( ) 8πGρ 8π 3 1/2 H = = 3 90 N(T ) T 2 /M P 1,66N(T ) 1/2 T 2 /M P (7) 3

4 M P = GeV ist die Planck-Masse und N(T ) die Zahl der effektiven Freiheitsgrade. Setzen wir diese beiden Ausdrücke in die obige Bedingung ein und formen nach T um, erhalten wir: ( ) 500M 4 1/3 T > W K 1MeV (8) M P Die Temperatur, bei der gilt Γ(T ) = H(T ), nennt man Freeze-Out- oder auch Entkopplungstemperatur. Für T > T freeze-out haben die Neutrinos scheinbar noch immer eine thermische Verteilung, welche sich aber natürlich nicht mehr verändert, da die Neutrinos nicht mehr mit sich selbst oder der restlichen Materie wechselwirken. Lediglich durch die Ausdehnung des Universums verringert sich die Energie der Neutrinos (Redshift), sodass die Neutrinotemperatur heute nur noch etwa 1.9 Kelvin beträgt. Mit dieser Information können wir die heutige Neutrinoenergiedichte berechnen. Von der Photonenenergiedichte unterscheidet sich der Ausdruck bloß um den Faktor 7 8 (weil Netrinos Fermionen sind, keine Bosonen) und den Faktor 3 = gν 2 (wenn wir alle drei Neutrinosorten und die jeweiligen Antineutrinos betrachten, die alle jeweils nur einen Spinzustand besitzen): ρ ν = g ν 2 ( ) 7 a T 4 (9) 8 Setzen wir T = 1.9K ein, so erhalten wir für die Energiedichte heute: ρ ν J/m g/cm 3. Das ist etwa 68 Prozent der heutigen Photonenenergiedichte (also ρ γ mit T = 2.7K für die Hintergrundstrahlung). 3.2 Die Nukleosynthese und Elementhäufigkeiten Zur Zeit t = 10s (T = 10 9 K, E = 0.1MeV ) beginnt die primordiale Nukleosynthese. Als erstes bildet sich Deuteron: p + n D + γ, welches aber zunächst durch die energiereiche Strahlung gleich wieder zertstört wird, d.h. Protonen, Neutronen und Deuteron befinden sich eine Zeitlang im thermischen Gleichgewicht. Erst nach t=1min wird endlich stabiles Deuteron erzeugt. Die freien Neutronen zerfallen mit τ = 15min gemäß n p + e + ν e, was dazu führt, dass die Neutronenzahl bald nur noch 1 7 der Protonenzahl ist. Als nächstes werden die restlichen freien Neutronen in 4 He gebunden. Dieses reagiert (zu einem sehr kleinem Teil!) weiter zu Lithium und Beryllium: 4 He + 3 H 7 Li + γ bzw. 4 He + 3 He 7 Be + γ. Das Beryllium zerfällt allerdings durch Elektroneneinfang wieder zu Lithium: 7 Be + e 7 Li + γ. Für die Entstehung von Kohlenstoff (3 4 He 12 C + γ) kommt es nicht mehr, denn die Teilchendichte ist mittlerweile zu gering dafür. Dieser Prozess kann erst viel später im Inneren von Sternen ablaufen. Das Standardmodell sagt voraus, dass Wasserstoff- und Heliumkerne im Verhältnis 3:1 entstehen. Experimente bestätigen diese Voraussage sehr gut! Ein wichtiger Parameter in Bezug auf die Nukleosynthese ist das Verhältnis η von Baryonen zu Photonen. Abb. 1 zeigt die relativen Elementhäufigkeiten in Abhängigkeit von η, wobei der senkrechte Balken die tatsächlichen Werte markiert. 4

5 Abbildung 1: Die vom Standardmodell vorhergesagten urspünglichen Elementhäufigkeiten als Fuktion des Baryonen-Photonen-Verhältnisses η. Die Häufigkeiten sind im Verhältnis zur Wasserstoffhäufigkeit angegeben, außer 4 He, für das der Baryonenmassenanteil Y = ρ He /ρ B gegeben ist. Die Linien geben die Mittelwerte an, die umgebenden Bänder die 1σ-Unsicherheit. 5

6 Abbildung 2: Zeitlicher Verlauf der Energiedichten nach Gln. (12) und (13) 3.3 Die materiedominierte Ära beginnt Nach wenigen Minuten ist die Nukleosynthese abgeschlossen. Die Expansion schreitet weiter voran bis die strahlungsdominierte Ära irgendwann endet. Das liegt daran, dass die Energiedichte der Teilchen (die im Gegensatz zu Photonen eine Ruheenergie besitzen) langsamer abnimmt als die der Strahlung. Zur Erinnerung, es gilt: ρ Materie a 3 (10) ρ Strahlung a 4 (11) a ist der Skalenfaktor. Wir wollen nun grob abschätzen, wann das Universum von einem strahlungsdominierten in einen materiedominierten Zustand übergeht. Dazu rechnen wir rückwärts, von der Annahme ausgehend, dass heute die dunkle Materie etwa 70 Prozent der Energie im gesamten Universum ausmacht, die Materie etwa 30 und die Hintergrundstrahlung nur einen verschwindend geringen Anteil. Es ist also ρ Materie (t 0 ) 0.3 ρ crit g/cm 3. Für die Hintergrundstrahlung berechnen wir ρ Strahlung (t 0 ) g/cm 3 mit Gln. (5), wobei t 0 = Jahre. Da in der materiedominierten Phase gilt a t 2 3, können wir nun folgende Formeln angeben: ρ Materie (t) = ρ Materie (t 0 ) ρ Strahlung (t) = ρ Strahlung (t 0 ) ( ) 2 t0 (12) t ( ) 8 t0 3 t (13) In Abb. 2 kann man ablesen, dass zu einer Zeit von t Jahren die Dominanz von Materie und Strahlung in etwa gleich sind. Dies ist nur eine sehr grobe Abschätzung, das Ergebnis liegt aber auf jeden Fall in der richtigen Größenordnung. 6

7 Wie geht es nun weiter? Als das Universum ca Jahre alt ist und eine Temperatur von nur noch etwa 3000K hat (E = 0.3eV ), rekombinieren Elektronen und Nukleonen, sodass sich die Photonen, die zuvor ständig mit geladenen Teilchen (hauptsächlich den freien Elektronen) wechselwirkten, endlich weitgehend frei fortbewegen können. Das Universum wird durchsichtig! Diese Strahlung können wir heute als 3K-Hintergrundstrahlung messen. Damit ist der Weg frei für die Entstehung der ersten Sterne und Galaxien, doch das ist eine andere Geschichte... Quellen S. Carroll: Spacetime and Geometry: Introduction to General Relativity K.A. Olive: The violent Universe: the Big Bang B. Carroll, D. Ostlie: An Introduction to Modern Astrophysics diverse Wikipedia-Artikel, v.a. Baryogenese, Leptoquarks, Inflation 7