Einstieg in die Informatik mit Java

Transkript

1 1 / 31 Einstieg in die Informatik mit Java Effizienz Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik

2 Gliederung 2 / 31 1 Überlegungen zur Effizienz 2 Landau-Symbole 3 Eier im Korb 4 Zyklische Ziffern

3 Gliederung 3 / 31 1 Überlegungen zur Effizienz 2 Landau-Symbole 3 Eier im Korb 4 Zyklische Ziffern

4 4 / 31 Überlegungen zur Effizienz Benötigte Rechenzeit Ausnutzung der Performance des Computers Beispiel Parallelrechner mit p Prozessoren: Effizienz(p) = Zeit(1) pzeit(p) Benötigter Speicher Aufwand des Programmierers... 2 Beispiele

5 Gliederung 5 / 31 1 Überlegungen zur Effizienz 2 Landau-Symbole 3 Eier im Korb 4 Zyklische Ziffern

6 6 / 31 Asymptotischer Aufwand eines Algorithmus Landau-Symbole Schreibweise O(g(n)) Landau-Symbole (Edmund Landau, Göttingen, ) Die Funktion f (n) ist O(g(n)), für n, genau wenn es Konstanten n 0 und M gibt mit f (n) < M g(n) für alle n > n 0 Dabei ist g(n) meist eine einfache Funktion, z.b. O(n), O(n 2 ), O(log n),...

7 7 / 31 Landau-Symbole Anwendung Angaben zum Rechenaufwand eines Algorithmus (asymptotische Komplexität) Angaben zum Speicherbedarf eines Algorithmus Beispiel n n-matrix (n Zeilen, n Spalten) Speicherbedarf O(n 2 ) Rechenaufwand für Addition O(n 2 ) Rechenaufwand für Multiplikation O(n 3 ) n O(n 2 ) O(n 3 )

8 8 / 31 Landau-Symbole Rechenregeln O(c g(n)) = O(g(n)) für eine Konstante c O(g(n) + h(n)) = max(o(g(n), O(h(n)) z.b. O(2n 3 + 3n n + 799) = O(n 3 )

9 Landau-Symbole Einsatz zum Vergleich von Algorithmen 9 / 31 Beispiel: sortiere n Zahlen x 0, x 1,..., x n 1 Algorithmus 1 (Bubblesort) Algorithmus 2 (Quicksort) n O(n 2 ) O(n log n) Algorithmus ist für n = 10 6 etwa mal schneller Tag / 1 Sekunde

10 10 / 31 Landau-Symbole Vorsicht Aber Vorsicht! Alle Aussagen gelten nur asymptotisch für n, also ab einem (unbekannten) n 0 und mit einem (unbekannten) Faktor M. Für ein kleines n könnte Algorithmus 1 durchaus schneller sein als Algorithmus 2.

11 Gliederung 11 / 31 1 Überlegungen zur Effizienz 2 Landau-Symbole 3 Eier im Korb 4 Zyklische Ziffern

12 Eier im Korb - Aus einem alten Rechenbuch 12 / 31 Ein Mann stößt den Korb voller Eier einer Marktfrau um. Die Eier gehen zu Bruch. Der Mann will den Schaden ersetzen und fragt wieviele Eier im Korb waren. Die Marktfrau antwortet: Die genaue Zahl weiß ich nicht. Aber wenn ich immer 2 Eier aus dem Korb genommen habe, dann blieb eines übrig. Genauso, wenn ich immer 3, immer 4, immer 5 oder immer 6 Eier heraus genommen habe. Aber wenn ich immer 7 Eier heraus genommen habe, dann blieb keines übrig. Wieviele Eier waren (mindestens) im Korb?

13 13 / 31 Eier im Korb - Erster Algorithmus Teste alle Zahlen n = 1, 2, 3,... Beginne mit n = 1 Prüfe, ob die Zahl n bei Division durch 2, 3, 4, 5, 6 den Rest 1 ergibt und ob n durch 7 ohne Rest teilbar ist. Ist dies der Fall, dann brich ab und gib das Ergebnis aus. Andernfalls erhöhe n um 1 und prüfe nochmal.

14 Eier im Korb - Erstes Java-Programm 14 / 31 public class Eier { } public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ){ i n t i =0; do i ++; while ( i %2!=1 i %3!=1 i %4!=1 i %5!=1 i %6!=1 i %7!=0); System. out. p r i n t l n ( Es waren + i + Eier im Korb. ) ; }

15 15 / 31 Eier im Korb - Zweiter Algorithmus Es kommen nur Zahlen in Frage, die bei Division durch 2, 3, 4, 5, 6 den Rest 1 ergeben. Mit etwas Mathematik stellt man fest: Es kommen nur Zahlen in Frage, die bei Division durch kgv(2, 3, 4, 5, 6) = 60 den Rest 1 ergeben. Also: Teste alle Zahlen n = 1, 61, Beginne mit n = 1 Prüfe, ob n durch 7 ohne Rest teilbar ist. Ist dies der Fall, dann brich ab und gib das Ergebnis aus. Andernfalls erhöhe n um 60 und prüfe nochmal.

16 Eier im Korb - Zweites Java-Programm 16 / 31 public class Eier2 { } public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ){ i n t i =1; do i += 60; while ( i%7!= 0 ) ; System. out. p r i n t l n ( Es waren + i + Eier im Korb. ) ; }

17 17 / 31 Vergleich der Effizienz Programm 2 braucht nur 1/60 der Rechenzeit von Programm 1 Beide Programm brauchen nur Bruchteile einer Sekunde Rechenzeit spielt hier keine Rolle Fazit: Die Arbeitszeit des Programmierers für die mathematischen Überlegungen ist verschwendet Übrigens... es waren 301 Eier im Korb!

18 Gliederung 18 / 31 1 Überlegungen zur Effizienz 2 Landau-Symbole 3 Eier im Korb 4 Zyklische Ziffern

19 19 / 31 Zyklische Ziffern - Das Problem Finde eine Zahl mit Endziffer 5 Multipliziere sie mit 5 Ist das Produkt gleich der ursprünglichen Zahl, wenn man die 5 am Ende streicht und dafür vorne anfügt? Beispiel: 5 * abcd5 = 5abcd (mit 4 Ziffern a, b, c, d) Verallgemeinerung: ersetze 5 durch Faktor 2 bis 9 Quelle: Jacques Arsac, Computerdenkspiele selbst programmiert, Problem 3

20 20 / 31 Zyklische Ziffern - Erster Algorithmus Teste alle Zahlen n = 1, 2, 3,... Beginne mit n = 1 Prüfe, ob die Zahl n die Bedingung Zyklische Ziffern erfüllt Ist dies der Fall, dann brich ab und gib das Ergebnis aus. Andernfalls erhöhe n um 1 und prüfe nochmal.

21 Zyklische Ziffern - Erstes Java-Programm 21 / 31 public class Z y k Z i f f 1 { } public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ){ i n t i =0; do i ++; while ( i 5!= i / ); / / bei 4 Z i f f e r n abcd System. out. p r i n t l n ( Zyklische Z i f f e r n : + i ) ; }

22 22 / 31 Zyklische Ziffern - Probleme mit diesem Programm Unbekannt, ob 4 Stellen abcd nötig sind oder mehr oder weniger Ggf. müssen alle Stellenzahlen durchprobiert werden Reicht der Zahlbereich von int (9 Stellen) aus? Reicht long (19 Stellen)? Rechenzeit???

23 23 / 31 Zyklische Ziffern - Mathematische Idee Führe Ziffernvergleich bei 5 abcd5 = 5abcd durch, beginnend bei der niederwertigsten Ziffer. 5 abcd5 = 5abcd führt wegen 5 5 = 25 zu d = 5 Es entsteht ein Übertrag von 2, der im nächsten Schritt zu berücksichtigen ist 5 abc55 = 5abc5 führt wegen = 27 zu c = 7 Es entsteht ein Übertrag von 2 5 ab755 = 5ab75 führt wegen = 37 zu b = 7 Es entsteht ein Übertrag von 3 usw. (egal wie viele Stellen abcd vorliegen) Der Algorithmus ist zu Ende, wenn die berechnete Ziffer = 5 ist, und der Übertrag = 0 ist

24 24 / 31 Zyklische Ziffern - Zweiter Algorithmus Verallgemeinerung: ersetze 5 durch beliebigen Faktor 2 bis 9 Starte mit Ziffer = Faktor und Übertrag = 0 Berechne das 2-stellige Produkt = Ziffer * Faktor + Übertrag Zerlege Produkt in die niederwertige Ziffer und den höherwertigen Übertrag Wiederhole solange die berechnete Ziffer nicht gleich dem Faktor ist, oder der Übertrag nicht 0 ist

25 Zyklische Ziffern - Zweites Programm 25 / 31 import java. u t i l. ; public class Z y k z i f f 5 { public s t a t i c void main ( String [ ] args ) { Locale. s e t D e f a u l t ( Locale.US ) ; Scanner sc = new Scanner ( System. in ) ; i n t Faktor, Ziffer, Uebertrag =0, Produkt, Stellen =0; System. out. p r i n t ( Mit welchem Faktor s o l l m u l t i p l i z i e r t werden? ) ; Faktor = sc. nextint ( ) ; / / Faktor einlesen Z i f f e r = Faktor ; / / n i e d e r w e r t i g s t e Z i f f e r = Faktor System. out. p r i n t l n ( Das Ergebnis l a u t e t ( rueckwaerts gelesen! ) : ) ; do { System. out. p r i n t ( Z i f f e r ) ; / / a k t u e l l e Z i f f e r ausdrucken S t e l l e n ++; / / S t e l l e n z a h l bei j e d e r Ausgabe erhoehen Produkt = Z i f f e r Faktor + Uebertrag ; / / neues Produkt, z w e i s t e l l i g Z i f f e r = Produkt % 10; / / neue Z i f f e r = n i e d e r s t e S t e l l e des Produkts Uebertrag = Produkt / 10; / / neuer Uebertrag = hoechste S t e l l e des Produk } / / wiederholen, wenn eine der beiden... while ( Z i f f e r!= Faktor Uebertrag!= 0 ) ; / /... Abbruch Bedingungen v e r l e t z t i s t System. out. p r i n t l n ( ) ; System. out. p r i n t l n ( Es hat + S t e l l e n + S t e l l e n ) ; } }

26 Zyklische Ziffern - Ergebnisse 26 / 31 c:\b\java>java Zykziff5 Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? 5 Das Ergebnis lautet (rueckwaerts gelesen!): Es hat 42 Stellen

27 Zyklische Ziffern - Ergebnisse 27 / 31 Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 18 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 28 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 6 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 58 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 22 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 13 Stellen Mit welchem Faktor soll multipliziert werden? Es hat 44 Stellen

28 28 / 31 Zyklische Ziffern - Laufzeit des zweiten Algorithmus 42 Schleifendurchläufe etwa 10 Operationen pro Schleife theoretisch etwa 10 7 Sekunden auf einem handelsüblichen PC mit Java-Overhead (Interpretation, Startup) deutlich unter 1 Sekunde

29 29 / 31 Zyklische Ziffern - Laufzeit des ersten Algorithmus Er benötigt Schleifendurchläufe = etwa Operationen Schnellster Rechner zzt. (2007, Quelle: knapp Flops Dieser braucht etwa Sekunden zur Lösung Sekunden = etwa Jahre (1 Jahr = Sekunden = etwa Sekunden)... aber das Universum existiert erst etwa Jahre seit dem Urknall!

30 30 / 31 Zyklische Ziffern - Laufzeitvergleich der beiden Algorithmen Der erste Algorithmus braucht Jahre auf dem schnellsten Rechner der Erde Der zweite Algorithmus braucht einen Bruchteil einer Sekunde auf einem handelsüblichen PC Fazit: Nachdenken über mathematische Hintergründe hat sich gelohnt

31 Zyklische Ziffern - Wann sind Computer schnell genug für den ersten Algorithmus? Der erste Algorithmus braucht Jahre auf dem heute schnellsten Rechner der Erde Supercomputer wurden im letzten Jahrzehnt fast um den Faktor 1000 schneller (Quelle: In 70 Jahren wäre das (theoretisch!!!) ein Faktor Im Jahre 2080 bräuchte der schnellste Computer der Erde noch 1 Monat (sehr theoretisch!!!) 31 / 31