James M. Feagin Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica

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1 James M. Feagin Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica

2 James M. Feagin Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica Übersetzt von Felix Pahl Mit einem Geleitwort von S. Brandt und H.D. Dahmen Mit 80 Abbildungen, zahlreichen Übungen und einer 3'//'-Diskette für IBM -kompatible Systeme sowie für Macintosh und UNIX Springer

3 Professor James M. Feagin Department of Physics California State University Fullerton, CA USA Obersetzer Felix Pahl Schopenhauer Straße 63 D Berlin Umschlagbild: Wahrscheinlichkeitsverteilung zu einer Lösung des Wasserstoffproblems in parabolischen Koordinaten (s. Abb. 21.3). Titel der amerikanischen Originalausgabe: Feagin: Quantum Methods with Mathematica TELOS/Springer-Verlag NewYork 1994 Alle Rechte vorbehalten ISBN ISBN (ebook) DOI / Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Methoden der Quantenmechanik mit Mathematica@/Iames M. Feagin. übers. von Felix Pahl. Geleitw. von S. Brandt u. H.D. Dahmen. - Berlin; Heidelberg: Springer. Engl. Ausg. u. d. T.: Quantum methods with Mathematica@. - Medienkombination NE: Feagin. James M. Buch Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte. insbesondere die der übersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung. der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine VervielflUtigung dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995 Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Softcover reprint ofthe hardcover Ist edition 1995 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme. daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Zur Beachtung: Vor der Verwendung der in diesem Buch enthaltenen Programme ziehen Sie bitte die technischen Anleitungen und Handbücher der jeweiligen Computerhersteller zu Rate. Der Autor und der Verlag übernehmen keine gesetzliche Haftung für Schäden durch 1. unsachgemäßeausführung der in diesem Buch enthaltenen Anweisungen und Programme. 2. Fehler. die trotz sorgfältiger und umfassender Prüfung in den Programmen verblieben sein sollten. Die Programme auf der beigefügten Diskette sind urheberrechtlich geschützt und dürfen ohne schriftliche Genehmigung des Springer-Verlags nicht vervielfältigt werden. Eine Sicherungskopie der Programme ist gestattet. Die Kopie ist mit dem Urheberrechtsvermerk des Springer-Verlags zu versehen. Alle weiteren Kopien verletzen das Urheberrecht. Redaktion: Jacqueline Lenz Herstellung: Claus-Dieter Bachern Einbandgestaltung: Konzept + Design. D livesheim Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom übersetzer mit Springer LAT)lX-Makros SPIN / Gedruckt auf säurefreiem Papier

4 Hi David, Jenna, Michael, Birgit!

5 Geleitwort zur deutschen Ausgabe Wie andere instrumentelle Hilfsmittel, ja vielleicht mehr als viele andere Instrumente, haben Computer Forschung und Lehre in der Physik verändert. Insbesondere können komplizierte numerische Rechnungen rasch und billig ausgeführt, die Ergebnisse für ganze Parameterscharen graphisch dargestellt und so auf einen Blick erfaßt werden. In der Lehre oder beim Selbststudium der Quantenmechanik sind Computer deswegen so nützlich, weil praktisch alle nichttrivialen Aufgaben nur numerisch bearbeitet werden können. Allerdings muß die Aufgabe computergerecht, also in einer Programmiersprache formuliert werden. Bei ihrer ersten Begegnung mit der Quantenmechanik möchten sich viele Studenten noch nicht um diese Formulierung kümmern. Sie können auf fertige Programme zurückgreifen, die eine Reihe wichtiger Aufgaben bearbeiten, und sie können zum Beispiel Parameter verändern und die Auswirkung dieser Veränderung auf das physikalische System untersuchen. Solche Programme stellen mit ihrem Begleittext gewissermaßen ein Praktikum zur Quantenmechanik dar, das aus einer Reihe von Computerexperimenten besteht, von denen jedes vom Praktikanten innerhalb eines weiten Rahmens verändert werden kann. Fortgeschrittene Studenten aber wollen und sollen ihre quantenmechanischen Probleme selbst für den Computer formulieren. Nur so können sie beliebige, sie insbesondere interessierende Aufgaben lösen. Genau dazu verhilft ihnen dieses Buch. James Feagin führt den Leser durch viele interessante Teilgebiete der Quantenmechanik aus dem Bereich der Grundlagen und der modernen Anwendungen. Statt in der herkömmlichen mathematischen Notation sind die Formeln und Prozeduren direkt in Mathematica geschrieben, einer in den Naturwissenschaften inzwischen weit verbreiteten Programmiersprache, die nicht nur logische und numerische, sondern auch algebraische und graphische Operationen ausführt. Durch die Mächtigkeit von Mathematica wird die Formulierung der Programme kompakt und ähnlich der mathematischen Notation. Eine dem Buch beigegebene Diskette enthält alle Programme aus dem Text. Sie laufen auf jedem Rechner, auf dem Mathematica installiert ist. Das Buch von James Feagin ist gewissermaßen ein Werkzeugkasten zur Quantenmechanik, mit dessen vielfältigen Werkzeugen sowohl einfache und

6 VIII Geleitwort zur deutschen Ausgabe grundlegende, aber auch komplizierte angewandte Aufgaben erfolgreich bearbeitet werden können. Wer sich die Mühe macht, James Feagins Buch durchzuarbeiten, der wird auf doppelte Weise belohnt und lernt, quantenmechanische Probleme selbständig mit dem Computer zu bearbeiten; erst dadurch gewinnt er die Fähigkeit, in viele Teilbereiche der modernen Quantenmechanik vorzudringen, von denen James Feagins Buch ein erstaunlich breites Spektrum bietet. Siegen, Januar 1995 Siegmund Brandt Hans Dieter Dahmen

7 Geleitwort zur amerikanischen Ausgabe Lehre und Studium der nichtrelativistischen Quantenmechanik wurden in den letzten Jahren von zwei weitreichenden Entwicklungen beeinflußt. Erstens wurde aus vielen quantenmechanischen Phänomenen und Gedankenexperimenten, die zuvor lediglich als Prüfsteine hypothetischer Schlußfolgerungen dienten, durch Fortschritte in den experimentellen Methoden, insbesondere in der Quantenoptik, der Elektronik und der Neutroneninterferometrie, experimentelle Realität. Der andere wesentliche Fortschritt war, nach vielen verfrühten Ankündigungen, der Aufstieg der Computer zu Handwerkszeugen der Physik, die in den Werkzeugkasten eines jeden Studenten gehören und auch passen. Quantenmechanik mit Mathematica paßt in unsere Zeit, da es das große Potential von Mathematica als pädagogische Umgebung nutzt. Ich gebe zu, daß ich das Manuskript des Buches mit einiger Besorgnis in die Hand nahm; da ich zuvor noch keinen Kontakt mit Mathematica hatte und weit über das Alter hinaus bin, in dem man behende über Zäune klettert, fürchtete ich, schnell frustriert zu werden. Da ich dies schreibe, habe ich den Kurs überstanden und sowohl die Wunder (und einige der Schwächen) von Mathematica kennengelernt als auch einige neue Einsichten über die Quantenmechanik gewonnen. Und unter James Feagins geschickter Führung hat diese Erfahrung mir Spaß gemacht. "Praktikum der Quantenmechanik" hätte der Titel dieses Buches sein können, das das Potential von Mathematica zu symbolischer Umformung, numerischer Berechnung und graphischer Darstellung voll ausnutzt. Die Diskussion der Begriffe wird auf das Minimum beschränkt, das zum Durcharbeiten der Übungen und Aufgaben auf dem Rechner notwendig ist. Diese Strategie wird diejenigen von uns ansprechen, die es vorziehen, den Anfängern in der Quantenmechanik ihr eigenes Verständnis der Ideen und der Bedeutung der Theorie zu vermitteln. Der Lohn ist die Freiheit von langwierigen und ablenkenden Herleitungen des mathematischen Apparats sowie die Möglichkeit, Situationen zu behandeln, die realistischer und interessanter sind als die üblichen schematischen Lehrbuchbeispiele. Akribische Fehlersuche in den Programmen, die wir schreiben, ist der Preis, den wir dafür zahlen. James Feagin hat der Versuchung eines Rundumschlags widerstanden; er hat seine Themen auf eine Auswahl beschränkt, die eine eingehende Behand-

8 X Geleitwort zur amerikanischen Ausgabe lung erlaubt und einen roten Faden erkennen läßt. Das Buch erreicht seinen Höhepunkt in einer bemerkenswert frischen Analyse des Wasserstoffatoms, die einiges aus der eigenen Forschung des Autors über die Quantenmechanik einfacher Atome und Moleküle mit oder ohne äußere Felder enthält. Mit zunehmender Integration des Computers in das Physikstudium wird dieses Buch zweifelsohne als Modell für künftige Neuerungen in der Lehre dienen. Wer James Feagins Führung folgt, läßt sich von seinem ansteckenden Enthusiasmus ebenso wie von seiner wichtigen Botschaft leiten. Chapel Hill, North Carolina Juli 1993 Eugen Merzbacher

9 Vorwort zur amerikanischen Ausgabe Dieses Buch beruht auf den zunehmenden Möglichkeiten der Computeralgebra und auf unserer sich ständig erweiternden Vorstellung davon, was Physik auf dem Rechner bedeuten kann. Das Buch soll Ihnen zeigen, daß Quantenphysik auf dem Computer nicht darauf beschränkt ist, numerische Lösungen der Schrödinger-Gleichung zu finden. Auf dem Computer kann man Größen, z.b. Matrixelemente, sowohl symbolisch auswerten als auch auf einem Gitter numerisch berechnen. Dieses Buch ist sowohl für Studenten gedacht, die sich die Quantenmechanik neu aneignen, als auch für erfahrene Quantenmechaniker, die Abläufe auf modernen Maschinen automatisieren wollen. Um beim Übergang zum Computer zu helfen, stelle ich einige Standardthemen auf konventionelle Art dar, z.b. die Lösung der Schrödinger-Gleichung für den harmonischen Oszillator durch einen Reihenansatz. Ich betrachte jedoch auch Probleme, deren Lösung von Hand so langwierig ist, daß man sich ohne Computer ungern mit ihnen beschäftigt; dazu gehört die Zeitentwicklung von Wellenpaketen für freie Teilchen und für den harmonischen Oszillator. Der Computer wird dabei als Werkzeug betrachtet. Aus einer Reihe möglicher Alternativen habe ich Mathematica aufgrund seiner Flexibilität und Eleganz ausgewählt. Dies ist daher auch ein Buch über Mathematica. Die Physik in diesem Buch ist geeignet für Vorlesungen über nichtrelativistische Quantenmechanik nach dem Vordiplom. Ich wollte nicht noch ein Lehrbuch über Quantenmechanik schreiben; dieses Buch sollte daher in Verbindung mit einem Vorlesungsskript oder mit einem Lehrbuch Ihrer Wahl benutzt werden. Ich versuche auch nicht, mit konventionellen Büchern über Computer in der Physik zu wetteifern, die eine rein numerische Herangehensweise wählen. Nichtsdestoweniger habe ich versucht, das Buch in sich abzuschließen und Anwendungen miteinander zu verknüpfen. Das Buch besteht aus zwei Teilen: Eindimensionale Systeme und Quantendynamik. Teil I betont Themen aus Einführungsvorlesungen zur Quantenmechanik, während Teil 11 auf fortgeschrittenere Themen eingeht. Teil 11 ist jedoch keineswegs nur für Spezialisten geeignet. Ganz im Gegenteil gehören Kommutatoren, Drehimpuls und das Wasserstoffatom zu den grundlegenden Elementen einer Ausbildung in Quantenmechanik. Um die Anwendungen durchweg auch für Anfänger verständlich zu halten, habe ich mich auf spezifische Beispiele konzentriert und Verallgemeinerungen vermieden. Zum

10 XII Vorwort zur amerikanischen Ausgabe Beispiel diskutiere ich die Matrixdarstellung des Drehimpulses explizit anhand eines Spin-I-Teilchens. Ich habe das meiste aus Teil I und ausgewählte Themen aus Teil H in einer einsemestrigen Vorlesung über Quantenmechanik gelehrt. Dabei haben wir etwa die Hälfte der Zeit mit interaktiver Arbeit am Computer verbracht. Die ersten Abschnitte des Buches betonen die Notation und Syntax von Mathematica, um Anfängern einen direkten Einstieg in die Physik zu ermöglichen. Bei längeren oder wiederholten Anwendungen von Mathematica wird auf die Anhänge verwiesen; diese sind zum Nachschlagen gedacht, bieten aber auch allen, die gerade erst anfangen, sich mit M athematica oder gar mit Computern zu beschäftigen, eine systematische Herangehensweise. Anhang E bietet eine Einführung in die Vektoranalysis in krummlinigen Koordinaten und legt das Fundament für den in Teil H, insbesondere in Kap. 18 und späteren Kapiteln eingeführten Operatorformalismus. Es sind viele Aufgaben und Übungen in das Buch eingearbeitet. Die Übungen beziehen sich auf Themen aus dem Text und haben eher kurze Lösungen, während die Aufgaben zu weiterem Studium anregen sollen und im allgemeinen etwas mehr Aufwand erfordern. In beiden Fällen gebe ich Hinweise, insbesondere wenn es um Mathematica geht. Ich schlage manchmal vor, Papier und Bleistift zu verwenden, wenn die Aufgaben sich nicht für den Computer eignen (meist weil sie sich durch einfache formale Umformungen lösen lassen); dennoch tragen diese Aufgaben zur Vollständigkeit des Buches bei. Ich halte die Notebook-Schnittstelle für unverzichtbar zur Minimierung des Aufwandes, den man bei der Aufstellung und Bearbeitung von Problemen auf dem Computer betreiben muß. Neue Benutzer geben dieser Schnittstelle fast immer gegenüber anderen Schnittstellen den Vorzug, selbst wenn diese auf besseren Rechnern laufen; ich habe daher diese Schnittstelle für das Format dieses Buches verwendet. Sogar Mathematica-Notebooks der Version 2.2 unterstützen jedoch nicht die Verwendung von Symbolen und griechischen Buchstaben in Ein- und Ausgabe. Integration und Summation wird z.b. durch expliziten Aufruf der eingebauten Funktionen Integrate bzw. Sum ausgeführt, und eine Wellenfunktion wie 'IjJ(x) muß ausgeschrieben werden, z.b. psi [xl. Um beim Wechsel zwischen der Diskussion im Buch und der Ein- und Ausgabe in Mathematica zu helfen, habe ich daher durchweg Mathematica-Syntax verwendet und weitestgehend auf Symbole und herkömmlich gesetzte Formeln verzichtet. Trotz des (zweifellos temporären) Mangels an griechischen Buchstaben ist die Eingabe von Worten für mathematische Operationen im allgemeinen immer noch effizienter als die Textverarbeitung konventioneller Formeln. Obwohl Studenten damit keine Schwierigkeiten zu haben scheinen, stelle ich oft fest, daß Physiker, die Papier und Bleistift gewohnt sind, diesen Mangel an herkömmlichen Formeln als Einschränkung ansehen. Man sollte jedoch bedenken, daß Mathematica sich recht gut den individuellen Bedürfnissen anpassen läßt, wenn man die Möglichkeiten der Mustererkennung voll ausnutzt.

11 Vorwort zur amerikanischen Ausgabe XIII Viele Operationen mit Mathematica in diesem Buch beinhalten daher Mustervergleiche und Anwendungen von eingebauten Funktionen wie Expand und Factor, die in der konventionellen Mathematik keine symbolische Darstellung haben. Funktionen wie Integrate und Sum, die solche Darstellungen besitzen, werden selten gebraucht. Des weiteren entfaltet Mathematica seine Eleganz gerade bei der Verschachtelung von Operationen, die bei Verwendung konventioneller Symbole für Integrale und Summen schnell unhandlich wird. Obwohl Algebra mit Mustervergleich der Gewöhnung bedarf, kann das Ergebnis kompakt und effektiv sein. Sie sollten sich dadurch ermutigt fühlen, daß alle Herleitungen in diesem Buch sämtliche Schritte enthalten, da dies auf dem Computer unumgänglich ist. Im Gegensatz zu konventionellen Lehrbüchern können Sie daher jede Herleitung in Schritte zerlegen und jeden Schritt einzeln betrachten - natürlich nur auf dem Computer. Dieses Buch verdankt vieles dem aufmerksamen Lesen und der Kritik einiger Kollegen, die mit den Schwierigkeiten vertraut sind, welche auftreten, wenn man Physik auf dem Computer lehrt. Besonderen Dank schulde ich David Cook, Paul Abbott, Alec Schramm, Eugen Merzbacher und Markus van Almsick für ihre eingehenden Kommentare und Vorschläge. Ich schätze auch die Beiträge und die langfristige Unterstützung von Volker Engel, Ladislav Kocbach und Richard Stevens. Mehrere Studenten haben frühe Versionen des Manuskripts durchgearbeitet und zahlreiche Verbesserungen vorgeschlagen; ich möchte insbesondere Karen Poelstra, Alex Tosheff und Richard Belansky danken. Alex Tosheff half mir auch mit den Abbildungen. Mit besonderer Freude danke ich Joe Kaiping für die Übersetzung der Mathematica Notebooks in Iffi.TEX und für seinen kompetenten Beitrag zur Formatierung des Buches. Ich möchte außerdem Paul Visinger für zahlreiche Vorschläge zur Organisation des Buches und für die Zusammenstellung der Diskette danken. Ich schätze das Interesse von Eugen Merzbacher, John Briggs, Willis Lamb, David Park, Wolfgang Christian, Patrick Tarn und Bill Thompson an diesem Projekt sehr. Die Ermutigung und Unterstützung meiner Kollegen hier zu Hause, insbesondere von Heidi Fearn, hat mir sehr geholfen. Fullerton, Herbst 1993 Jim Feagin

12 Vorwort des Übersetzers Nicht minder voller. Wunder wie die himmlischen Vorgänge selbst erscheinen mir die Umstände, unter denen' die Menschen zu ihrer Erkenntnis gelangten. Johannes Kepler James Feagin zeigt in diesem Buch, wie man auf dem Computer mit Hilfe von M athematica in Sekundenschnelle quantenmechanische Rechnungen durchführen kann, die von Hand langwierig oder schlichtweg unmöglich wären. Besonders beeindruckend ist die Behandlung des Wasserstoffatoms. Der Autor zeigt neben der in herkömmlichen Lehrbüchern behandelten Lösung in Kugelkoordinaten weitere Lösungsmöglichkeiten auf und demonstriert, wie man auf dem Rechner leicht zwischen den verschiedenen Lösungen hin- und hertransformieren und sich diese veranschaulichen kann. Dabei wird deutlich, daß verschiedene, zunächst äquivalente Sichtweisen eines Problems sich bei Erweiterung des betrachteten Systems (in diesem Fall um äußere Felder oder um weitere Teilchen) als verschieden günstig erweisen können - eine Einsicht, die sich schon oft als essentiell bei der Suche nach neuen, allgemeineren Theorien erwiesen hat. Kepler hätte sich wohl in seiner oben zitierten Ansicht bestätigt gefühlt, wenn er gewußt hätte, unter welchen Umständen die Menschen vier Jahrhunderte später zu Erkenntnissen über das Wasserstoffatom, die mikroskopische Version des nach ihm benannten Kepler-Problems, gelangen würden. Diese Übersetzung folgt dem soeben erschienenen ersten Nachdruck der amerikanischen Ausgabe. Die in Mathematica eingebauten Bezeichnungen mußte ich in englischer Sprache belassen, da keine deutsche Version von Mathematica allgemein erhältlich ist. Um in den Mathematica-Eingaben kein Sprachgemisch zu erzeugen und die absichtlichen Ähnlichkeiten zwischen eingebauten und selbstdefinierten Bezeichnungen nicht zu zerstören, habe ich auch die letzteren nicht übersetzt. Herzlich danken möchte ich an dieser Stelle Christopher Jung, auf dessen Computer diese Übersetzung entstanden ist, Mike Duda, der mich in dieser Zeit mit Suppen und Nudeln am Leben gehalten hat, und auch allen anderen, die Verständnis dafür hatten, daß für andere Dinge nicht viel Zeit blieb. Und natürlich Dir, Daniel. Berlin-Lichterfelde, Herbst 1994 Felix Pahl

13 Wie man dieses Buch interaktiv benutzt Die mit diesem Buch mit gelieferte Diskette enthält sämtliche Mathematica Eingaben aus dem Text und die verwendeten Pakete und erleichtert es dadurch, das Buch auf dem Computer durchzuarbeiten. Die Diskette ist für DOS formatiert; wenn Ihr Rechner ein anderes Betriebssystem verwendet, müssen Sie sie möglicherweise zuerst in das entsprechende Format konvertieren. Sowohl Mathematica-Notebooks als auch ASCII-Text stehen für jedes Kapitel zur Verfügung. Da das Buch mit der Mathematica-Version 2.0 entwickelt wurde, bietet die Diskette auch eine leicht abgewandelte Fassung der Eingaben für Version 2.2. Öffnen Sie am besten die Dateien auf der Diskette von Mathematica aus, und lesen Sie die Datei Info. Die in Anhang D dieses Buches abgedruckten Pakete befinden sich auf der Diskette in dem Verzeichnis bzw. dem Ordner Quantum. Damit die Aufrufe dieser Pakete (die Befehle Get und Needs) richtig funktionieren, muß dieses Verzeichnis in das Verzeichnis bzw. den Ordner für Mathematica-Pakete kopiert werden. Macintosh-Benutzer müssen außerdem die Dateinamen in Quantum entsprechend den Anweisungen in der Datei Info ändern. Die Diskette wurde auf Macintoshs, IBM-PCs und UNIX-Rechnern getestet; dabei wurden keine Unterschiede in der Ausgabe von Mathematica festgestellt. Um Ihnen einen Eindruck zu vermitteln, wie lange die Ausführung der Schritte in diesem Buch dauert, werden für Eingaben, deren Auswertung auf einem Macintosh mit Prozessor, 16 MHz und 8 MB länger als zwei Minuten dauert, geschätzte Zeiten angegeben. Wie im Text angegeben, beziehen sich jedoch die Zeitangaben in Kap. 12 und auch einige der Zeiten in den Bildunterschriften auf einen NeXT-Rechner mit Prozessor, 33 MHz und 16 MB.

14 Inhaltsverzeichnis Teil I. Eindimensionale Systeme 1. Grundlegende Wellenmechanik Bewegungsgleichungen Stationäre Zustände Ein korrekt gestelltes Problem Zeitentwicklungsoperator Höhere Dimensionen Ein Teilchen in einem Kasten Analytische Eigenfunktionen Numerische Eigenfunktionen Zwei grundlegende Eigenschaften Rechteckwelle Quantenrassel Messungen Unschärfeprinzip Wellenpaket für ein freies Teilchen Stationäres Wellenpaket Ausbreitung des Wellenpakets Parität Harmonischer Oszillator Skalierte Schrädinger-Gleichung Lösungsmethode Energiespektrum Hermite-Polynome Hypergeometrische Funktionen Normierte HO-Wellenfunktionen Auf- und Absteigeoperatoren

15 XX Inhaltsverzeichnis 7. Variationsmethode und Störungstheorie Grundzustand des HO durch Variation Angeregter Zustand des HO durch Variation Modellpotential Störungstheoretische Energie erster Ordnung Gestauchte Zustände Entwicklung nach Eigenfunktionen... " Zeitentwicklung Newtonsche Gesetze Quasiklassische Zustände Grundlegende Matrixmechanik Orts- und Impulsmatrixelemente des HO Orts- und Impulsmatrizen des HO Matrix des HO-Hamilton-Operators Exakte Teildiagonalisierung Matrix des Modell-Hamilton-Operators Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix Gestörte Eigenfunktionen Lokale Energie Pseudozustände und Resonanzen Diagonalisierung Impulsdarstellung Werkzeuge Impulswellenfunktionen Konventionen HO-Impulswellenfunktionen Diracsche Deltafunktion Impulsoperator Lokale Energie Ortsoperator Hamilton-Operator im Impulsraum Exponentialoperatoren Noch mehr gestauchte Zustände Gitterdarstellung Ortsgitter Impulsgitter Diskrete Fourier-Transformation Lokale Energie FFT Ausbreitung eines Wellenpakets Quantenmechanische Diffusion

16 Inhaltsverzeichnis XXI 13. Morsescher Oszillator Die Kummersche Differentialgleichung Eigenenergien Eigenfunktionen Normierung Hypergeometrische Integrale Streuung an einem Potential Numerische Lösung Streuamplituden Aufspüren der Resonanzen Radialwellenfunktionen Parametrisierung der Resonanzen Aufprall eines Wellenpakets Teil 11. Quantendynamik 15. Quantenmechanische Operatoren Kommutatoralgebra Relativkoordinaten für das Zweikörperproblem Bra-Ket-Formalismus Spektrum des harmonischen Oszillators Drehimpuls Drehimpulsspektrum Matrixdarstellung Neue Quantisierungsachse Quantenmechanische Drehmatrix Drehimpulskopplung Spin-Bahn-Kopplung Spektrum des Gesamtdrehimpulses Clebsch-Gordanologie Wigner-3j-Symbole Mehrfache Drehimpulskopplung Orts- und Impulsdarstellung Orts- und Impulsoperator Vertauschungsrelationen Drehimpuls in kartesischen Koordinaten Rotationssymmetrie Dynamische Symmetrie

17 XXII Inhaltsverzeichnis 18.6 Runge-Lenz-Vektor Wasserstoffspektrum Drehimpuls in Kugelkoordinaten Kugelfunktionen Neue Quantisierungsachse Quantenmechanische Drehmatrix Schrödinger-Gleichung des Wasserstoffatoms Separation in Kugelkoordinaten Wellenfunktionen der gebundenen Zustände Parität Kontinuumswellenfunktionen Separation in parabolischen Koordinaten Wellenfunktionen zur Runge-Lenz-Algebra Auf- und Absteigeoperatoren Die oberste Stufe Abwärts auf der Leiter Zusammenhang mit der parabolischen Separation Linearer Stark-Effekt Zusammenhang mit der sphärischen Separation A. MATHEMATICA-Kurzübersicht B. Notebooks und grundlegende Werkzeuge B.l Geschoßbewegung ohne Luftwiderstand B.2 Geschoßbewegung mit Luftwiderstand C. MATHEMATICA im Selbststudium C.l Funktionen C.2 Algebra C.3 Berechnungen D. MATHEMATICA-Pakete D.l Quantum' Clebsch' D.2 Quantum' integexp' D.3 Quantum' integgauss' D.4 Quantum'NonCommutativeMultiply' D.5 Quantum' PowerTools' D.6 Quantum' QuantumRotations ' D.7 Quantum' QuickReIm ' D.8 Quantum' Trigonometry'

18 Inhaltsverzeichnis XXIII E. Vektoranalysis E.l Vektorprodukte E.2 Kartesische Koordinaten E.3 Krummlinige Koordinaten E.4 Kugelkoordinaten Literaturverzeichnis Sachverzeichnis