MATHE MIT GEOGEBRA. Differential- und Integralrechnung Sekundarstufe II. Arbeitsheft. Johannes van Lück 1. Auflage, 2014 ISBN:

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1 Johannes van Lück 1. Auflage, 2014 ISBN: MATHE MIT GEOGEBRA Differential- und Integralrechnung Sekundarstufe II Arbeitsheft GY-MA-GEGE4

2 Impressum ISBN: Bestellcode: Autor: Druck: GY-MA-GEGE4 Dipl.-Phys, OStR Johannes van Lück, Fachberater für Mathematik an Berufskollegs Produziert im HERDT-Digitaldruck 1. Auflage, 2014 HERDT-Verlag für Bildungsmedien GmbH Am Kümmerling Bodenheim Internet: für Bildungsmedien GmbH, Bodenheim Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderen Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlags reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Dieses Buch wurde mit großer Sorgfalt erstellt und geprüft. Trotzdem können Fehler nicht vollkommen ausgeschlossen werden. Verlag, Herausgeber und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Wenn nicht explizit an anderer Stelle des Werkes aufgeführt, liegen die Copyrights an allen Screenshots beim HERDT-Verlag. Sollte es trotz intensiver Recherche nicht gelungen sein, alle weiteren Rechteinhaber der verwendeten Quellen und Abbildungen zu finden, bitten wir um kurze Nachricht an die Redaktion. Die in diesem Buch und in den abgebildeten bzw. zum Download angebotenen Dateien genannten Personen und Organisationen, Adress- und Telekommunikationsangaben, Bankverbindungen etc. sind frei erfunden. Eventuelle Übereinstimmungen oder Ähnlichkeiten sind unbeabsichtigt und rein zufällig. Die Bildungsmedien des HERDT-Verlags enthalten Verweise auf Webseiten Dritter. Diese Webseiten unterliegen der Haftung der jeweiligen Betreiber, wir haben keinerlei Einfluss auf die Gestaltung und die Inhalte dieser Webseiten. Bei der Bucherstellung haben wir die fremden Inhalte daraufhin überprüft, ob etwaige Rechtsverstöße bestehen. Zu diesem Zeitpunkt waren keine Rechtsverstöße ersichtlich. Wir werden bei Kenntnis von Rechtsverstößen jedoch umgehend die entsprechenden Internetadressen aus dem Buch entfernen. Die in den Bildungsmedien des HERDT-Verlags vorhandenen Internetadressen waren zum Zeitpunkt der Erstellung der jeweiligen Produkte gültig. Sollten Sie die Inhalte nicht mehr unter den angegebenen Adressen finden, sind diese eventuell inzwischen komplett aus dem Internet genommen worden oder unter einer neuen Adresse zu finden. 2

3 1.2 Funktionen ersetzen Messwerte Worum geht es hier? Im vorhergehenden Modul wurden ausgehend von Messwerten Durchschnittswerte berechnet. Die Durchschnittswerte entsprachen den Steigungen von Geraden, die sich mithilfe des Differenzenquotienten berechnen ließen. Häufig werden Zusammenhänge mit Funktionen modelliert. An die Stelle der Messwerte treten in diesem und allen folgenden Modulen funktionale Zusammenhänge. Auch hier ergeben sich die Durchschnittswerte wieder aus einem Differenzenquotienten. Anschaulich ist der Differenzenquotient wieder gleich der Steigung einer Geraden, der sogenannte Sekanten. In diesem Modul werden weiterhin Durchschnittswerte berechnet und durch Sekanten grafisch dargestellt. Weitergehende Untersuchungen zu Momentanwerten erfolgen im nächsten Modul. Geschwindigkeit - Formel 1 Bei Testfahrten mit neuen Formel 1-Autos werden zahlreiche Messungen vorgenommen. Aufgrund der Messungen wird der Zusammenhang zwischen Weg und Zeit für die 9 Sekunden dauernde Fahrt durch eine Funktion 3. Grades modelliert. Dabei ist die Zeit in Sekunden, und die Strecke in Metern. Die Fahrt durch eine lang gezogene Kurve soll im Hinblick auf die Geschwindigkeit genauer analysiert werden: Abbildung 5: Rennwagen in einer scharfen Kurve 1 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion und interpretieren Sie ihn! 2 Bestimmen Sie rechnerisch die Durchschnittsgeschwindigkeiten in : a) während der ganzen 9 Sekunden dauernden Kurvenfahrt, b) in der ersten Sekunde, c) in der letzten Sekunde, 10

4 Einstieg in die Differentialrechnung 1 d) in der Sekunde, in der die geringste Geschwindigkeit gefahren wurde. 3 Bestimmen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit allgemein zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten und und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse aus der vorherigen Aufgabe. Gehen Sie dazu wie folgt vor: > Legen Sie in der Grafik-Ansicht zwei Punkte und auf der -Achse (Zeitachse) fest. Die -Koordinaten der Punkte sind die Zeiten und. Sie können in der Eingabezeile mit und bestimmt werden. > Geben Sie in der Eingabezeile den Differenzenquotienten für die Durch schnittsgeschwin dig keit ein. Das Ergebnis kann in der Algebra-Ansicht abgelesen werden. > Verschieben Sie die Punkte und auf der Achse. 4 Zeichnen Sie die sogenannte Sekante ein, das ist die Gerade durch die beiden Punkte und, die an den Stellen und auf dem Graphen liegen (siehe Abbildung). Bestätigen Sie die Korrektheit der Geraden, indem Sie auch die Steigung grafisch darstellen. 5 Wie könnte man möglichst genau die sogenannte Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt bestimmen, die aktuell auf dem Tachometer angezeigt wird? Steigung - Skipiste Auf dem Intervall modelliert: wird der Höhenverlauf einer neuen Teilpiste durch die Funktion Dabei entsprechen einer Einheit von und jeweils 100 m. Für die neue Piste muss noch ein Schwierigkeitsgrad vergeben werden. 11

5 2.3 Kurvendiskussion 2.3 S_L_Kurvendiskussion Kriterien - mehrfache Nullstellen in der Ableitung. gbb Notwendiges und hinreichendes Kriterium für Extremstellen > > Laden Sie die Datei 2.3 S_L_Kurvendiskussion Kriterien - mehrfache Nullstellen in der Ableitung.gbb In der Grafik-Ansicht lassen sich die Stellen auf der -Achse verschieben. Notwendiges Kriterium für Extremstellen Die Funktion sei für alle differenzierbar. Dann gilt für alle : Hat an der Stelle eine Extremstelle, dann ist. 1 Belegen Sie die Aussage des notwendigen Kriteriums mithilfe der in GeoGebra dargestellten Graphen. Begründen Sie die Aussage mithilfe der Tangentensteigung. 2 Zeigen Sie mithilfe eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung des notwendigen Kriteriums: Ist, dann hat an der Stelle eine Extremstelle. falsch ist! Hinreichendes Kriterium für Extremstellen Die Funktion sei für alle differenzierbar. Dann gilt für alle : Wenn und, dann hat an der Stelle ein lokales Minimum. Wenn und, dann hat an der Stelle ein lokales Maximum 3 Belegen Sie die Aussage des hinreichenden Kriteriums mithilfe der in GeoGebra dargestellten Graphen. Begründen Sie die Aussage mithilfe der Tangentensteigungen von und. 26

6 Aufgaben zur Differentialrechnung 2 4 Im hinreichenden Kriterium für Extremstellen wird der Fall und nicht behandelt. Untersuchen Sie diesen Fall, indem Sie zwei, drei Nullstellen von übereinanderschieben. 5 Erzeugen Sie mit der GeoGebra-Datei ein Gegenbeispiel, mit dem Sie nachweisen, dass die folgende Umkehrung des hinreichenden Kriteriums nicht gilt: Hat an der Stelle eine lokale Tiefstelle, dann ist und. Kurvendiskussion ohne Hilfsmittel Untersuchen Sie die Funktionen auf Symmetrie und das Verhalten im Unendlichen. Berechnen Sie die Nullstellen, die Extrempunkte und die Wendepunkte. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anschließend mit GeoGebra. 27

7 5.4 Aufgaben zu Flächeninhalten Falls auf der x- und y-achse jeweils Längeneinheiten abgetragen sind, kann mit Integralen auch der Flächeninhalt zwischen Graph und -Achse berechnet werden. Voraussetzung dafür ist, dass der Graph auf dem Integrationsintervall vollständig oberhalb der -Achse liegt. Falls für alle, so ist der auf zwischen Graph und -Achse eingeschlossene Flächeninhalt. Falls für alle, so ist der auf zwischen Graph und -Achse eingeschlossene Flächeninhalt. Brille Die Firma Heroe-Equipment fertigt eine neue Brille. 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt der beiden Augengläser! Die Graphen der Funktionen mit Abbildung 10: Heldenbrille und umschließen das teure Spezialglas. Alle Angaben in cm. Kirchenfenster Ein Glaser soll ein Kirchenfenster anfertigen. Das Glas wird durch die Achse und die beiden Funktionen und begrenzt (markierte Fläche in der Abbildung). Alle Angaben in Meter. 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Kirchenfensters. Abbildung 11: Kirchenfenster 76

8 Aufgaben zur Integralrechnung 5 Normalverteilung Gegeben ist die Gaußʼsche Verteilungsfunktion mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung. Alle Angaben in Längeneinheiten LE. 1 Zeigen Sie, dass sich im Intervall ca. 68 % des gesamten mit der -Achse eingeschlossenen Flächeninhalts befindet. 2 Bestimmen Sie den Faktor auf zwei Stellen nach dem Komma so, dass 90 % der Gesamtfläche im Intervall liegen. Fahrspurtrennung Mehrere Betonklötze, wie in der Abbildung zu sehen, werden z. T. im Straßenbau auf Bau stellen verwendet, um auf der Autobahn die beiden Fahrtrichtungen voneinander abzu trennen. Aufgrund der hohen Dichte von werden die Betonklötze sehr schwer. Eine Masse von 500 kg soll aber aus praktischen Gründen nicht überschritten werden. Die Form des Betonklotzes ist aber auf jeden Fall durch die Funktionenschar mit dem Funktionsterm festgelegt. Alle Angaben in dm. 1 Bestimmen Sie die Breite (am Boden) und Höhe der Betonteile in Abhängigkeit von! 2 Welche Standbreite müssten die 2 m langen Betonteile haben, wenn sie nur 500 kg wiegen dürfen? Welche Höhe hätten Sie dann? 3 Damit ein sicherer Stand gewährleistet ist, sollen die 2 m langen Betonteile am Boden 40 cm breit sein. Gehen Sie im Folgenden also von 4 dm Standbreite aus! Welche Masse haben die Steine und wie hoch sind sie dann? 4 Damit die Masse nicht über 500 kg pro Stein liegt, könnte die obere Kuppe weggelassen werden. Überprüfen Sie, ob ein Abschnitt in einer Höhe von 6 dm reicht! 5 Bestimmen Sie geometrisch in der Grafik-Ansicht die Abschnittshöhe h, sodass der Sockel (etwa) die gewünschte Masse von 500 kg besitzt. 77

9 6 Kompetenzcheck zur Integralrechnung A. Innermathematische Verfahren und Argumentationen bezogen auf die Differentialrechnung: Ich kann jetzt Sicher Ziemlich sicher Ich kann die Bedeutung der Begriffe bestimmtes Integral, Integralfunktion sowie Stammfunktion erläutern. Ich kann bestimmte Integrale durch Anwendung verschiedener Verfahren (Unter- und Obersummen, Trapeze, Dreiecke) annähern (auch von Hand bei wenigen Unterteilungen). Ich erkenne, dass durch die Unterteilung in immer mehr Abschnitte sich die Verfahren immer besser dem tatsächlichen Wert annähern. Ich kann für gegebene (sprungfreie) Funktionsgraphen eine Stammfunktion skizzieren ( grafisch aufleiten ). Ich kann bestimmte Integrale sowie Stammfunktionen zu ganzrationalen Funktionen und erweiterten Exponentialfunktionen vom Typ berechnen (von Hand). Mir gelingt es argumentativ, Aussagen zur Integralfunktion, Stammfunktion und bestimmte Integrale zu begründen oder zu widerlegen, sofern dies mit den bekannten Eigenschaften und behandelten Regeln möglich ist. Noch nicht sicher Noch gar nicht B. Fertigkeiten im Umgang mit GeoGebra Ich kann jetzt Sicher Ziemlich sicher Ich bin in der Lage, Punkte und Streckenzüge mithilfe von GeoGebra im Grafikfenster zu visualisieren. Ich kann Unter- und Obersummen mit GeoGebra im Grafikfenster darstellen. Ich kann mithilfe der Summenfunktion (CAS) von GeoGebra z. B. Produkt summen berechnen und damit das bestimmte Integral genähert berechnen. Noch nicht sicher Noch gar nicht 84