Schulinterner Lehrplan Mathematik

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1 Schulinternes Curriculum zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe Schulinterner Lehrplan Mathematik bearbeitet von der Fachkonferenz Mathematik (Prozessstand: Sommer 2015)

2 1. Die Fachgruppe Mathematik am Gymnasium Am Löhrtor Das Gymnasium Am Löhrtor (GAL)ist eines von fünf Gymnasien der Stadt. Es liegt im Innenstadtbereich und hat eine entsprechend heterogene Schülerschaft, was den sozialen und ethnischen Hintergrund betrifft. Das GAL ist in der Sekundarstufe I zwei- bis vierzügig und wird als Halbtagsgymnasium geführt, an dem der Unterricht für die Sek. I um Uhr endet. Die Schülerinnen und Schüler der Sek. II haben nach 15 Uhr nur Sportunterricht. 2 In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren regelmäßig etwa 30 Schülerinnen und Schüler neu aufgenommen, zu einem erheblichen Teil von Realschulen aus Rheinland-Pfalz. Alle Schülerinnen und Schüler der Jgst. EF werden in M, D, E und SP in gleichbleibenden Gruppen unterrichtet, die Seiteneinsteiger mit den hauseigenen Schülern zusammen, die ebenfalls Förderbedarf haben. Diesem Förderbedarf wird dadurch Rechnung getragen, dass im zweiten Halbjahr für Schülerinnen und Schüler unserer Klassen 9 und für Auswärtige der Klassen 10 ein Wiederholungstutorium / Angleichungsangebot an Nachmittagen durchgeführt wird, dessen Module flexibel besucht werden können. Zudem wird versucht (je nach Lehrerkapazitäten) Vertiefungsstunden in den Plan der Jgst. EF zu integrieren. In der Regel werden in der Einführungsphase vier parallele Grundkurse eingerichtet, aus denen sich für die Q-Phase zwei Leistungs- und zwei Grundkurse entwickeln. Der Unterricht findet im 60-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht grundsätzlich für Grundkurse wöchentlich zwei, alle vier Wochen eine weitere Stunde vor. Die Leistungskurse werden z.t. in Kooperation mit dem Peter-Paul-Rubens-Gymnasium (Ganztagsgymnasium der Stadt Siegen) durchgeführt. Solche KOOP-Kurse finden als 90-Minuten-Stunden (zweimal wöchentlich täglich in einer weiteren), die anderen Leistungskurse in drei Einzelstunden, ergänzt durch eine 14- tägliche 90-Minuten-Stunden. Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teilnahme zu den vielfältigen Wettbewerben im Fach Mathematik eingeladen und, wenn möglich, begleitet. Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Für die Sekundarstufe I gibt es dazu verbindliche Absprachen mit anderen Fachgruppen, wie z. B. Geographie, Politik und Biologie. Besonders eng ist die Zusammenarbeit mit der Fachgruppe Physik, was deshalb leicht fällt, da sie eine echte Teilmenge der Fachgruppe Mathematik darstellt. In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Verwendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist. In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 6 (2. Hj.) verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule zwei PC- Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt.

3 2. Entscheidungen zum Unterricht 3 Der schulinterne Lehrplan beschreibt halbjahresweise die gemäß Fachkonferenzbeschluss verbindliche Verteilung von Unterrichtsvorhaben. Darauf bezogen sind die bei den Schülerinnen und Schülern zu entwickelnden Kompetenzen aufgeführt, unterschieden werden zwei Ebenen: inhaltsbezogene und prozessbezogene Kompetenzen. Die vorhabenbezogenen Absprachen und Empfehlungen beziehen sich auf die im verwendeten Schulbuch (vgl. unten) zu bearbeitenden Kapitel sowie auf eine grobe Zeiteinteilung, um beispielsweise Absprachen bezüglich Klausuren aufrecht erhalten zu können. 2.1 Raster Auf den folgenden Seiten finden sich zur EF sowie zur Q-Phase Übersichten zu Inhalten, Kompetenzen und weiteren Hinweisen, die als Orientierung zur Planung der Unterrichtsabläufe dienen.

4 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben zu entwickelnde Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen 1. Halbjahr Unterrichtsvorhaben I: Beschreibung der Eigenschaften von Funktionen und deren Nutzung im Kontext Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponentialund Sinusfunktionen Zeitbedarf: 15 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (quadratische Funktionen, Sinusfunktion, Potenzfunktionen) und die zugehörigen Parameter an und deuten diese. (Kapitel 1.2, 1.7) beschreiben Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie von quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen. (Kapitel 1.3, 1.4) verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen innermathematischer Probleme. (Kapitel 1.5) lösen, ohne Hilfsmittel, Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern und Substituieren auf lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen lassen. (Kapitel 1.6) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein. überprüfen die Plausibilität von Ergebnissen. Argumentieren stellen Vermutungen auf und unterstützen diese beispielgebunden. erklären vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise. Kommunizieren beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren. erläutern mathematische Fachbegriffe in theoretischen. Zusammenhängen. formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege. nehmen begründet Stellung zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen. beurteilen ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität. führen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen Entscheidungen herbei. nutzen Tabellenkalkulation, Funktionenplotter und grafikfähige Taschenrechner. verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle. zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen. Buch: Lambacher Schweizer, Kapitel 1 erste Wochen nach den Sommerfreien

5 Unterrichtsvorhaben II: Potenzen in Termen und Funktionen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponentialund Sinusfunktionen Zeitbedarf: 12 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Exponentialfunktionen an und deuten die zugehörigen Parameter. (Kapitel 6.1-2) beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen. (Kapitel 6.3-4) Verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen. (Kapitel 6.3-4) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung. treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor. übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle. erarbeiten mit Hilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells. ordnen einem mathematischen Modell verschiedene, passende Sachsituationen zu. beziehen die erarbeiteten Lösungen wieder auf die Sachsituation. reflektieren die Angemessenheit aufgestellter Modelle für die Fragestellung. verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung. Problemlösen setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein. wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen. überprüfen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung und auf Plausibilität. vergleichen verschiedene Lösungswege Kommunizieren nehmen begründet Stellung zu mathematikhaltigen, auf fehlerbehafteten Aussagen. Argumentieren stellen Vermutungen auf und präzisieren diese mit Hilfe von Fachbegriffen. erklären vorgegebene Argumentationen und Beweise. siehe Unterrichtsvorhaben I Buch, Lambacher Schweizer Kapitel 6 bis November 5

6 Unterrichtsvorhaben III Von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Grundverständnis des Ableitungsbegriffs und grundlegende Ableitungsregeln Zeitbedarf: 12 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext. (Kapitel 2.1-2) erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate. (Kapitel 2.2) deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten. (Kapitel 2.2) deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung. (Kapitel 2.3) beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion). (Kapitel 2.4) leiten Funktionen graphisch ab. (Kapitel 2.4) nutzen die Ableitungsregeln für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten und wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an. (Kapitel 2.5-6) nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion. (Kapitel 2.7) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien. (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus. (Lösen) Argumentieren stellen Vermutungen auf. überprüfen Ergebnisse, Begriffe und Regeln auf Verallgemeinerbarkeit. Kommunizieren beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren. verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang. wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen. nehmen begründet Stellung zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Darstellungen und Aussagen. Modellieren übersetzen Sachsituationen in mathematische Modelle. erarbeiten mit Hilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells. überprüfen die Plausibilität von Ergebnisse und beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation. reflektieren die Angemessenheit aufgestellter Modelle für die Fragestellung. siehe Unterrichtsvorhaben I messen Steigungen graphisch berechnen die Ableitung einer Funktion an einer Stelle. Buch, Lambacher Schweizer Kapitel 2 6 bis Weihnachtsferien

7 2. Halbjahr Unterrichtsvorhaben IV: Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen / Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Inhaltsfeld: Stochastik (S) Mehrstufige Zufallsexperimente und Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zeitbedarf: 18 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente. (Kapitel 5.1) simulieren Zufallsexperimente. (Kapitel 5.1) stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch. (Kapitel 5.1) verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen. (Kapitel 5.3) beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln. (Kapitel 5.2-3) modellieren Sachverhalte mithilfe von Baumdiagramm und Vier- oder Mehrfeldertafeln. (Kapitel 5.3) bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten und bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. (Kapitel 5.3) prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit. (Kapitel 5.4) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor. (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle. (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells. (Mathematisieren) Problemlösungen finden Fragen zu einer gegebenen Problemsituation und analysieren und strukturieren die Situation. setzen ausgewählte Routineverfahren, auch hilfsmittelfrei, zur Lösung ein. überprüfen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung und auf Plausibilität. Argumentieren stellen Vermutungen auf und präzisieren diese mithilfe von Fachbegriffen. nutzen mathematische Regeln und Sätze für Begründungen. Kommunizieren siehe Unterrichtsvorhaben 3 verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 7 Buch Lambacher Schweizer Kapitel 5 im Januar/Februar

8 Unterrichtsvorhaben V: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (E-A4) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen Zeitbedarf: 12 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Eigenschaften eines Funktionsgraphen. (Kapitel 3.1) begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen. (Kapitel 3.2) begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen. (Kapitel 3.3) unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich. (Kapitel 3.3) wenden das notwendige Kriterium und das hinreichende Kriterium (VZW, 2. Ableitung) zur Bestimmung von Extrempunkten an. (Kapitel 3.3) verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen. (Kapitel 3.4) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Problemlösen erkennen Muster und Beziehungen. (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes). (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus. (Lösen) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur. (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen. (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen [ ]). (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie. (Beurteilen) Modellieren siehe vorherige Unterrichtsvorhaben Kommunizieren beschreiben Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren. erläutern mathematische Begriffe in Sachzusammenhängen. verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenen Umfang und dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar. Werkzeuge siehe Unterrichtsvorhaben 1 Buch, Lambacher Schweizer Kapitel 3 8 ab März bis zur Zentralen Klausur

9 Unterrichtsvorhaben VI: Unterwegs in 3D -Vektoren bringen Bewegung in den Raum Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Koordinatisierung des Raumes, Vektoren und Vektoroperationen Zeitbedarf: 10 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum. (Kapitel 4.1) stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar. (Kapitel 4.1) deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren. (Kapitel 4.2) addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität. (Kapitel 4.3) berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. (Kapitel 4.4) stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar. (Kapitel 4.4) weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach. (Kapitel 4.5) Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Die Schülerinnen und Schüler Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung. (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells. (Mathematisieren) Kommunizieren (Produzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus. wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen. Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege. (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein. (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus. (Lösen) Argumentieren stellen Vermutungen auf, unterstützen diese mit Beispielen und präzisieren sie mithilfe von Fachbegriffen. stellen Zusammenhänge zwischen Unter- und Oberbegriffen her. nutzen mathematische Regeln und Sätze für Begründungen und verknüpfen Argumente zu Argumentationsketten. nutzen verschiedene Argumentationsstrategien erkennen lückenhafte und fehlerhafte Argumentationsketten und ergänzen diese. Werkzeuge nutzen digitale Werkzeuge zum Darstellen von Objekten im Raum. stellen Ortsvektoren und Vektorsummen graphisch dar. führen Operationen mit Vektoren durch. Buch, Lambacher Schweizer Kapitel 4 nach der Zentralen Klausur 9

10 10 Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum Unterrichtsvorhaben I: Eigenschaften von Funktionen (Höhere Ableitungen, Besondere Punkte von Funktionsgraphen, Funktionen bestimmen, Parameter) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Fortführung der Differentialrechnung Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: GK 29 Std. LK: 30 Std Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung beschreiben notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten verwenden Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurückführen und diese lösen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben, bestimmen ( Steckbriefaufgaben ) Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren NUR LK: und ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen untersuchen Kapitel I Eigenschaften von Funktionen 1 Wiederholung: Ableitung 2 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 3 Kriterien für Extremstellen 4 Kriterien für Wendestellen 5 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 6 Ganzrationale Funktionen bestimmen 7 Funktionen mit Parametern 8 Funktionenscharen untersuchen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen. Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Begründen Digitale zum Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen einfache und komplexe mathematische Probleme, analysieren und strukturieren die Problemsituation erkennen und formulieren, Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen nutzen, vermehrt logische Strukturen berücksichtigen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen), Q1 I

11 Wiederholen Vertiefen Vernetzen Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Funktionen (grafisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle 11

12 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum 12 Unterrichtsvorhaben II: Das Integral, ein Schlüsselkonzept (Von der Änderungsrate zum Bestand, Integral- und Flächeninhalt, Integralfunktion) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 21 Std. LK: 31 Std. Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren, die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext deuten, zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion skizzieren an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern und vollziehen geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern NUR LK: den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs begründen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen, die Intervalladditivität und Linearität von Integralen nutzen den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate (LK oder der Randfunktion) ermitteln, Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten (LK: und uneigentlichen) Integralen ermitteln Integrale mithilfe von gegebenen (LK: oder Nachschlagewerken entnommenen) Stammfunktionen und numerisch(gk: auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge) bestimmen Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral 1 Rekonstruieren einer Größe 2 Das Integral 3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 4 Bestimmung von Stammfunktionen 5 Integral und Flächeninhalt Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Digitale zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, Q1 - I

13 13 (Fortsetzung) Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern NUR LK: Flächeninhalte mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen bestimmen. Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral (Fortsetzung) NUR LK: 6 Integralfunktion NUR LK: 7 Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale Argumentieren Vermuten Begründen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären NUR LK: Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen bestimmen Wahlthema Mittelwerte von Funktionen NUR LK: 8 Integral und Rauminhalt Wiederholen Vertiefen Vernetzen Exkursion Stetigkeit und Differenzierbarkeit Kommunizieren Rezipieren Produzieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Digitale zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen,

14 Unterrichtsvorhaben III: Exponentialfunktion (natürlicher Logarithmus, Ableitungen) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: GK: 15 Std. LK: 26 Std Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum 14 Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Eigenschaften von Exponentialfunktionen beschreiben die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bilden die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion beschreiben NUR LK: und begründen NUR LK: die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen und deren Ableitung bilden Wachstums- und Zerfallsvorgänge mit Hilfe funktionaler Ansätze untersuchen NUR LK: Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsvorgängen verwenden und die Qualität der Modellierung exemplarisch mit begrenztem Wachstum vergleichen NUR LK: die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion nutzen NUR LK: die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion bilden Kapitel III Exponentialfunktion 1 Wiederholung 2 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung 3 Natürlicher Logarithmus Ableitung von Exponentialfunktionen 4 Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum NUR LK: 5 Beschränktes Wachstum NUR LK: 6 Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren Validieren Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen An-nahmen reflektieren Muster und Beziehungen erkennen, Informationen recherchieren ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen einschränkende Bedingungen berücksichtigen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können, Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen Digitale zum Erkunden Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), grafischen Messen von Steigungen, Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen Q1 I (ggf. Verschiebung in die Q2 II)

15 15 Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum Unterrichtsvorhaben IV: Untersuchung zusammengesetzter Funktionen (Produktregel, Kettenregel) Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 16 Std. LK: 33 Std. Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen bilden (Summe, Produkt, Verkettung) die Produktregel auf Verknüpfungen von ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen anwenden NUR LK: die Produktregel zum Ableiten von Funktionen anwenden die Kettenregel auf Verknüpfungen der natürlichen Exponentialfunktion mit linearen Funktionen anwenden, die Ableitungen von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten bilden NUR LK: die Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten bilden, NUR LK:die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen anwenden verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten NUR LK: Den Einfluss von Parametern auf Eigenschaften von Funktionenscharen untersuchen Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurückführen Kapitel IV Zusammengesetzte Funktionen 1 Neue Funktionen aus alten Funktionen: Summe, Produkt, Verkettung 2 Produktregel 3 Kettenregel 4 Zusammengesetzte Funktionen untersuchen 5 Zusammengesetzte Funktionen im Sachzusammenhang NUR LK: 6 Untersuchung von zusammengesetzten Exponentialfunktionen Problemlösen Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Kommunizieren Produzieren verwenden, heuristische Strategien und Prinzipien nutzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen Vermutungen aufstellen, beispielgebunden unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren, math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen sowie Argumente zu Argumentationsketten verknüpfen, verschiedene Argumentationsstrategien nutzen lückenhafte Argumentationsketten erkennen und vervollständigen, fehlerhafte Argumentationsketten erkennen und korrigieren eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, Fachsprache und fachspezifische Notation Digitale zum zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Q1 I (ggf. Verschiebung in die Q2 II)

16 Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe, Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurückführen NUR LK: die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion f(x) = 1/x nutzen NUR LK: 7 Untersuchung von zusammengesetzten Logarithmusfunktionen Wahlthema Integrationsverfahren Werkzeuge reflektieren und begründen. 16 Wiederholen Vertiefen Vernetzen

17 Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitrahmen 17 Unterrichtsvorhaben V: Geraden und Skalarprodukt (Bewegungen und Schattenwurf) Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Skalarprodukt Zeitbedarf: GK = LK: 20 Std. Analytische Geometrie und lineare Algebra Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Skalarprodukt Geraden in Parameterform darstellen den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext interpretieren Strecken in Parameterform darstellen die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen interpretieren Lagebeziehungen zwischen Geraden untersuchen Schnittpunkte von Geraden berechnen und sie im Sachkontext deuten das Skalarprodukt geometrisch deuten und es berechnen Kapitel V Geraden 1 Wiederholung: Punkte im Raum, Vektoren, Rechnen mit Vektoren 2 Geraden 3 Gegenseitige Lage von Geraden 4 Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern Geodreiecke, geometrische Modelle und dynamische Geometrie- Software nutzen; Digitale zum grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden, Darstellen von Objekten im Raum Q1 - II mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum untersuchen (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) 5 Winkel zwischen Vektoren - Skalarprodukt Wiederholen Vertiefen Vernetzen

18 Unterrichtsvorhaben VI: Ebenen als Lösungsmengen linearer Gleichungen (Untersuchung geometrischer Objekte) Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: GK: 18 Std. LK: 19 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitrahmen 18 Analytische Geometrie und lineare Algebra lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor- Schreibweise darstellen den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme beschreiben den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind, anwenden die Lösungsmenge von linearen Gleichungssystemen interpretieren Ebenen in Parameterform darstellen Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen untersuchen Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen berechnen und sie im Sachkontext deuten Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen berechnen und sie im Sachkontext deuten NUR LK: geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform darstellen Kapitel VI Ebenen 1 Das Gauß-Verfahren 2 Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 3 Ebenen im Raum - Parameterform 4 Lagebeziehungen 5 Geometrische Objekte und Situationen im Raum Wiederholen Vertiefen Vernetzen Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Kommunizieren Produzieren Diskutieren wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...]Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ])nutzen, einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen, verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten vergleichen, Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz beurteilen und optimieren, Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren. die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität vergleichen und beurteilen. Digitale zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Objekten im Raum Q1 II

19 NUR LK: Unterrichtsvorhaben VII Abstände und Winkel Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Lagebeziehungen und Abstände Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 25 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitrahmen 19 Analytische Geometrie und lineare Algebra Kapitel VII Abstände und Winkel Problemlösen lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen und Abstände Ebenen in Koordinatenform darstellen Ebenen in Normalenform darstellen und diese zur Orientierung im Raum nutzen Ebenen in Normalenform darstellen und diese zur Orientierung im Raum nutzen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum untersuchen (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) 1 Normalengleichung und Koordinatengleichung 2 Lagebeziehungen 3 Abstand zu einer Ebene 4 Abstand eines Punktes von einer Geraden 5 Abstand windschiefer Geraden 6 Schnittwinkel Wahlthema Vektorprodukt Erkunden Lösen Reflektieren Kommunizieren Produzieren Diskutieren wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. [...]Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Invarianten finden, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, [ ])nutzen, einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen, verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten vergleichen, Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit und Effizienz beurteilen und optimieren, Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren. die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität vergleichen und beurteilen. Digitale zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Objekten im Raum Q1 II Wiederholen Vertiefen Vernetzen

20 Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitrahmen 20 Unterrichtsvorhaben VIII: Wahrscheinlichkeit Statistik: Ein Schlüsselkonzept Inhaltsfeld: Stochastik (S) Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsvert eilungen Binomialverteilung Zeitbedarf: GK: 22 Std. LK: 24 Std. Stochastik Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Testen von Hypothesen untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben, den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen erläutern den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen bestimmen und damit prognostische Aussagen treffen Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente verwenden die Binomialverteilung erklären und damit Wahrscheinlichkeiten berechnen NUR LK: die kombinatorische Bedeutung der Binomialkoeffizienten erklären den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung beschreiben NUR LK: die sigma-regeln für prognostische Aussagen nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen nutzen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit schließen Kapitel VIII Wahrscheinlichkeit Statistik 1 Daten darstellen und durch Kenngrößen beschreiben 2 Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen 3 Bernoulli-Experimente, Binomialverteilung 4 Praxis der Binomialverteilung 5 Problemlösen mit der Binomialverteilung Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter [ ] Modelle für die Fragestellung beurteilen, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen reflektieren. Problemlösen Erkunden Reflektieren Kommunizieren Diskutieren Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen, die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen, Ergebnisse vor dem Hintergrund der Fragestellung interpretieren Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung nehmen, Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbeiführen Digitale zum Generieren von Zufallszahlen, Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten, Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q2 I

21 anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einem Stichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit schließen Wahlthema Von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen. 21

22 Fortsetzung NUR LK Unterrichtsvorhaben VIIIb: Signifikant und relevant? Testen von Hypothesen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Testen von Hypothesen Zeitbedarf: LK: 16 Std. Stochastik Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Testen von Hypothesen NUR LK: Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse interpretieren NUR LK: Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse interpretieren NUR LK: Fehler 1. und 2. Art beschreiben und beurteilen Kapitel VIII Wahrscheinlichkeit Statistik (Fortsetzung) NUR LK: 6 Zweiseitiger Signifikanztest NUR LK: 7 Einseitiger Signifikanztest NUR LK: 8 Fehler beim Testen von Hypothesen NUR LK: 9 Signifikanz und Relevanz NUR LK: Exkursion Schriftbildanalyse Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten. Problemlösen Erkunden Reflektieren Argumentieren Beurteilen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen, die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen, Ergebnisse vor dem Hintergrund der Fragestellung interpretieren verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten vergleichen Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lösung variieren lückenhafte Argumentationsketten erkennen und vervollständigen, fehlerhafte Argumentationsketten erkennen und korrigieren, überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können, Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen 22 Kommunizieren Diskutieren zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung nehmen, Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbeiführen

23 NUR LK: Unterrichtsvorhaben IX Ist die Glocke normal? Inhaltsfeld: Stochastik (S) Normalverteilung Zeitbedarf: 15 Std. Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitrahmen 23 Stochastik Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Normalverteilung Testen von Hypothesen NUR LK: Kapitel IX Stetige Zufallsgrößen Normalverteilung diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden und 1 Stetige Zufallsgrößen: Integrale die Verteilungsfunktion als Integralfunktion besuchen die Stochastik deuten den Einfluss der Parameter μ und σ auf die Normalverteilung beschreiben und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß sche Glockenkurve) 2 Die Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion stochastische Situationen untersuchen, die zu 3 Normalverteilung, Satz von de annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen Moivre-Laplace Wahlthema Testen bei der Normalverteilung Wiederholen Vertiefen Vernetzen Modellieren Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten. Problemlösen Erkunden Reflektieren Kommunizieren Diskutieren Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen, Ergebnisse vor dem Hintergrund der Fragestellung interpretieren Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet und konstruktiv Stellung nehmen, Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen herbeiführen Q2 I Exkursion Doping mit Energy-Drinks Digitale zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen.

24 Inhaltsbezogene Kompetenzen Lehrbuchbezug prozessbezogene Kompetenzen Zeitraum 24 Unterrichtsvorhaben X: Von Übergängen und Prozessen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Stochastische Prozesse Stochastik Stochastische Prozesse stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen beschreiben Kapitel X Stochastische Prozesse 1 Stochastische Prozesse 2 Stochastische Matrizen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen Problemlösen Erkunden eine gegebene Problemsituation analysieren und strukturieren, heuristische Hilfsmittel auswählen, um die Situation zu erfassen, Muster und Beziehungen erkennen Q2 I Zeitbedarf: GK: 12 Std. LK: 14 Std. die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse verwenden (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände). 3 Matrizen multiplizieren 4 Potenzen von Matrizen - Grenzverhalten Digitale zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen. LK-Wahlthema Mittelwertsregeln Wiederholen Vertiefen Vernetzen

25 2.2 Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit Überfachliche Grundsätze: 1) Geeignete Problemstellungen zeichnen die Ziele des Unterrichts vor und bestimmen die Struktur der Lernprozesse. 2) Inhalt und Anforderungsniveau des Unterrichts entsprechen dem Leistungsvermögen der Schüler/innen. 3) Die Unterrichtsgestaltung ist auf die Ziele und Inhalte abgestimmt. 4) Medien und Arbeitsmittel sind schülernah gewählt. 5) Die Schüler/innen erreichen einen Lernzuwachs. 6) Der Unterricht fördert eine aktive Teilnahme der Schüler/innen. 7) Der Unterricht fördert die Zusammenarbeit zwischen den Schülern/innen und bietet ihnen Möglichkeiten zu eigenen Lösungen. 8) Der Unterricht berücksichtigt die individuellen Lernwege der einzelnen Schüler/innen. 9) Die Schüler/innen erhalten Gelegenheit zu selbstständiger Arbeit und werden dabei unterstützt. 10) Der Unterricht fördert strukturierte und funktionale Partner- bzw. Gruppenarbeit. 11) Der Unterricht fördert strukturierte und funktionale Arbeit im Plenum. 12) Die Lernumgebung ist vorbereitet; der Ordnungsrahmen wird eingehalten. 13) Die Lehr- und Lernzeit wird intensiv für Unterrichtszwecke genutzt. 14) Es herrscht ein positives pädagogisches Klima im Unterricht. 15) Wertschätzende Rückmeldungen prägen die Bewertungskultur und den Umgang mit Schülerinnen und Schülern. Fachliche Grundsätze: 16) Im Unterricht werden fehlerhafte Schülerbeiträge produktiv im Sinne einer Förderung des Lernfortschritts der gesamten Lerngruppe aufgenommen. 17) Der Unterricht ermutigt die Lernenden dazu, auch fachlich unvollständige Gedanken zu äußern und zur Diskussion zu stellen. 18) Die Bereitschaft zu problemlösenden Arbeiten wird durch Ermutigungen und Tipps gefördert und unterstützt. 19) Die Einstiege in neue Themen erfolgen grundsätzlich mithilfe sinnstiftender Kontexte, die an das Vorwissen der Lernenden anknüpfen und deren Bearbeitung sie in die dahinter stehende Mathematik führt. 20) Es wird genügend Zeit eingeplant, in der sich die Lernenden neues Wissen aktiv konstruieren und in der sie angemessene Grundvorstellungen zu neuen Begriffen entwickeln können. 21) Durch regelmäßiges wiederholendes Üben werden grundlegende Fertigkeiten wachgehalten. 22) Im Unterricht werden an geeigneter Stelle differenzierende Aufgaben (z. B. Blütenaufgaben ) eingesetzt. 23) Die Lernenden werden zu regelmäßiger, sorgfältiger und vollständiger Dokumentation der von ihnen bearbeiteten Aufgaben angehalten. 24) Parallel zum Haus- bzw. Übungsheft wird in allen Kursen ein Portfolio als Wissensspeicher geführt, in dem fachliche Inhalte und Erkenntnisse bezüglich der Prozesse in systematischer Form gesichert werden. 25) Im Unterricht wird auf einen angemessenen Umgang mit fachsprachlichen Elementen geachtet. 26) Digitale Medien werden regelmäßig dort eingesetzt, wo sie dem Lernfortschritt dienen.

26 2.3 Grundsätze der Leistungsbewertung Neben den grundsätzlichen Ausführungen zum Leistungsbewertungskonzept am Gymnasium Am Löhrtor (einsehbar auf der Homepage) gelten für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe an unserer Schule die folgenden Bedingungen. Die von den Schülerinnen und Schülern erbrachten Leistungen in den Bereichen Schriftliche Arbeiten und Sonstige Mitarbeit besitzen den gleichen Stellenwert, d.h. konkret, dass beide Bereiche etwa zu 50 % die Zeugnisnote bestimmen. Hinsichtlich der einzelnen Beurteilungsbereiche gelten die folgenden Regelungen: In der Jahrgangsstufe Q1 besteht für einzelne Schüler die Möglichkeit, die erste Klausur im zweiten Halbjahr durch eine Facharbeit zu ersetzen. Die formalen Anforderungen werden den Betroffenen in gesonderten Veranstaltungen mitgeteilt. Die Klausuren in der Oberstufe werden nach einem Punktsystem bewertet. Die Vergabe der Noten in den Klausuren orientiert sich an dem im Zentralabitur verwendeten Bewertungssystem. Demnach ergeben sich folgende Richtwerte: Sehr gut plus 15 95% Sehr gut 14 90% Sehr gut minus 13 85% Gut plus 12 80% Gut 11 75% Gut minus 10 70% Befriedigend plus 9 65% Befriedigend 8 60% Befriedigend minus 7 55% Ausreichend plus 6 50% Ausreichend 5 45% Ausreichend minus 4 40% Mangelhaft plus 3 35% Mangelhaft 2 30% Mangelhaft minus 1 25% Ungenügend 0 Die Bewertungsbereiche in der Sonstigen Mitarbeit erfassen die Qualität und Kontinuität der Beiträge, die die Schülerinnen und Schüler im Unterricht einbringen. Diese Beiträge sollen unterschiedliche mündliche und schriftliche Formen in enger Bindung an die Aufgabenstellung und das Anspruchsniveau der jeweiligen Unterrichtseinheit umfassen. Gemeinsam ist diesen Formen, dass sie in der Regel einen längeren, abgegrenzten, zusammenhängenden Unterrichtsbeitrag einer einzelnen Schülerin, eines einzelnen Schülers bzw. einer Gruppe von Schülerinnen und Schülern darstellen. Zu diesen Leistungen zählen beispielsweise - Beiträge zum Unterrichtsgespräch in Form von Lösungsvorschlägen, das Aufzeigen von Zusammenhängen und Widersprüchen, Plausibilitätsbetrachtungen oder das Bewerten von Ergebnissen, - kooperative Leistungen im Rahmen von Gruppenarbeit (Anstrengungsbereitschaft, Teamfähigkeit, Zuverlässigkeit), - im Unterricht eingeforderte Leistungsnachweise, z. B. vorgetragene Hausaufgaben oder Protokolle einer Einzel- oder Gruppenarbeitsphase, 26