Stefan Reitz Willi Schwarz Marcus R. W. Martin. Zinsderivate

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1 Stefan Reitz Willi Schwarz Marcus R. W. Martin Zinsderivate

2 Aus dem Programm. Mathematik Mathematik fur Wirtschaftsingenieure 1 von N. Henze und G. Last Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler 1 und 2 von F. Pfuff Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik von I. Tietze Ubungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik von J. Tietze Einfuhrung in die Finanzmathematik von J. Tietze Ubungsbuch zur Finanzmathematik von J. Tietze Finanzmathematik fur Einsteiger von M. Adelmeyer und E. Warmuth Derivate, Arbitrage und Portfolio-Selection von W. Hausmann, K. Diener und J. Kasler Moderne Methoden der Finanzmathematik von R. und E. Korn Zinsderivate von St. Reitz, W. Schwarz und M. R. W. Martin Finanzderivate mit MATLAB von M. Gunther und A. Iiingel Okonometrie von I.-v. Lobus vieweg '

3 Stefan Reitz Willi Schwarz Marcus R. W. Martin Zinsderivate Eine Einfiihrung in Produkte, Bewertung, Risiken II vleweg

4 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber < abrufbar. Dr. Stefan Reitz Deutsche Bundesbank Taunusanlage Frankfurt stefan.reitz@t-online.de Dr. Willi Schwarz Commerzbank AG, ZRC Frankfurt willi.schwarz@commerzbank.com Dr. Marcus R. W. Martin Deutsche Bundesbank Taunusanlage Frankfurt marcus.w.martin@t-online.de 1. Auflage Februar 2004 Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn VerlaglGWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. Jede Verwertung auberh",lb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzujassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. MS Excel ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma Microsoft. Mathematica ist ein eingetragenes Warenzeichen der Firma Wolfram Research. Die in dies em Werk geauberten Ansichten sind die personlichen der Autoren und konnen nicht als die Meinung der Deutschen Bundesbank oder der Commerzbank AG betrachtet werden. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN-13: DOl: / e-isbn-13:

5 v Vorwort "Des vielen Btichermachens ist keine Ende" (Kohelet 12, 12) Aber wenn schon wieder ein neues Buch, warum dann gerade tiber Zinsderivate? Dieses Buch basiert einerseits auf den in der taglichen praktischen Arbeit gewonnenen Erkenntnissen und Erfahrungen der Autoren und andererseits auf Vorlesungen und Seminarvortragen, die die Autoren an der Technischen Universitat zu Braunschweig und in Fortbildungsseminaren der Deutschen Bundesbank gehalten haben. Es ist als einflihrendes Lehrbuch in die finanzmathematische Theorie der Zinsderivate konzipiert und wendet sich daher an Studenten und Praktiker, die sich ein tiber quahtative Kenntnisse hinausgehendes grundlegendes mathematisches Verstandnis der Materie erarbeiten wollen. Das Buch ist auf Deutsch geschrieben: die Adressaten der erwahnten Vorlesungen und Seminare sind Horer aus dem deutschsprachigen Raum. Dennoch haben wir uns nicht ganz dem modernen Sprachentrend entziehen konnen. Die Terminologie im Investmentbanking ist nun einmal yom Englischen gepragt und damit zwangslaufig auch die der modernen Finanzmathematik. Von eigenen Ubersetzungsversuchen gelaufiger englischer Fachtermini haben wir daher abgesehen. Ein Wort zur Sprache der Mathematik, auf die es uns wesentlich ankommt: Sie ermoglicht einerseits, Ideen und Gedanken, die wir transportieren mochten, klar und prazise auszudrticken. Andererseits mochten wir die hier formulierten mathematischen Aussagen und Satze als "in die Sprache aufgenommene Instrumente" verstanden wissen, die uns lehren, "auf neue Weise mit den Begriffen zu operieren" (WITTGENSTEIN, in Bemerkungen tiber die Grundlagen der Mathematik, Teil III, Abs. 29 und Teil VII, Abs. 45). Die Intention dieses Buch ist es zum einen, einen flir den Einsteiger in das Gebiet insgesamt einfachen, leicht verstandlichen Zugang zu bieten. Zum anderen sollen Resultate und Techniken mit dem Denken des Fachgebiets vertraut machen. Die Auswahl des Stoffs ist daher auf wesentliche Themen beschrankt. Einen umfassenden Uberblick tiber das Gebiet der Zinsderivate kann und will dieses Buch nicht leisten. Dennoch hoff en wir, den Leser auf dieser Grundlage zu vertiefenden Studien - zu einem "Sprachspiel mit Fragen und Antworten" - anzuregen (WITTGENSTEIN, in Bemerkungen tiber die Grundlagen der Mathematik, Teil VII, Abs. 18). Dieses Vorgehen entspricht eigener Uberzeugung: FUr den Einstieg in ein neues Thema sollte

6 VI Vorwort der AnHinger immer zwei Bucher konsultieren. Eines, das in die Grundlagen sowie Ideen und Konzepte einfiihrt, und ein zweites, das zu weiterfiihrenden Themen hinfiihrt. Ein wesentlicher Hinweis zu unserem Vorgehen sei angebracht. Die hier prasentierten theoretischen Grundlagen der Zinsderivate basieren samtlich auf dem Paradigma des WIENER Prozesses und der GAussschen Normalverteilung, mit der dem Zufall Form und Struktur unterlegt wird. Die Modellierung von zufalligen Zinsprozessen und Bewertung von Zinsderivaten k6nnte ebenso auf Grundlage von Sprungprozessen erfolgen. Die Literatur hierzu ist umfanglich - aber in der Praxis haben sich diese Ansatze bisher nicht durchgesetzt. Neuere spieltheoretische Ansatze, die das Finanzmarktgeschehen als 6konomisches Spiel beschreiben und letztlich das genannte Paradigma abl6sen wollen, sind bisher zu wenig konkret, um praxisrelevante L6sungsansatze fur die Bewertung von Finanzderivaten zu liefern. Der gewahlte Zugang in die Theorie der Zinsderivate erfolgt in einem Dreiklang: Es werden Zinsprodukte ausgehend von den elementaren, grundlegenden bis hin zu komplexen und exotischen Zinsderivaten in ihrer praktischen Anwendung und Funktionsweise beschrieben. Die Bewertung einschliej3lich der hierzu erforderlichen Modellierung von Zinsdynamiken fiihrt sodann in das Zentrum der Theorie der Zinsderivate. Die qualitative Beschreibung wie auch die Quantifizierung ihrer Risiken bilden den Abschluss unserer Darstellung. Zahlreiche Beispiele sollen das prasentierte Material verdeutlichen. Wir empfehlen dem Leser, diese mit Hilfe eines PC-Spreadsheets zu programmieren oder sich mit ausreichend Papier und Bleistift zur eigenen Rechnung zu versorgen. Voraussetzung fiir das Buch sind element are Grundlagen in Linearer Algebra, Analysis und Stochastik, die Studenten nach Abschluss der einfiihrenden Vorlesungen zur Verfiigung stehen. Weiterfiihrendes (finanz)mathematisches Werkzeug wird in verschiedenen Anhangen bereitgestellt. Als exzellente Vertiefung und Weiterfiihrung unseres Materials m6chten wir das Buch von ZAGST [85] empfehlen. Zusatzlich m6chten wir auf weitere Werke verweisen: Neben dem "Klassiker" von HULL [36], der ein weites Panorama finanzmathematischer Themen behandelt, sind die Bucher von BRIGO und MERCURIO [12] sowie JAMES und WEBBER [43] zu nennen. Beide letztgenannten Bucher legen den Schwerpunkt auf die Modellierung von Zinsdynamiken. Es werden eine Vielzahl von Zinsstrukturmodellen, aber auch (numerische) Verfahren zur Bewertung von Zinsderivaten behandelt. Die Autoren danken ihren Kollegen bei der Deutschen Bundesbank und den Student en der Finanz- und Wirtschaftsmathematik der TU Braunschweig fiir viele nutzliche Hinweise. Ihr Interesse an dem Fachgebiet, Zuh6ren und kritisches Ruckfragen waren und sind uns immer wieder Ansporn.

7 VII Wir mochten nicht zuletzt ganz besonders Frau Schmickler-Hirzebruch und Frau RuBkamp vom Vieweg Verlag fur ihre Unterstutzung bei der Vorbereitung dieses Buchs danken. Fur meine Familie Stefan Reitz Fur Maria und N atasa Willi Schwarz Fur meine Familie Marcus Martin Lehnheim, Heidelberg und Obermollrich, im Dezember 2003

8 VIn Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis V VIn 1 Grundlegende Begriffe und Plain Vanilla Produkte Grundlagen der Finanzmathematik Inter bankenhandel und risikolose Zinssatze Daycount-Conventions und Zinsmethoden Das Barwertkonzept und Cashflows Die Grundbausteine des Zinsmarktes und deren element are Bewertung Bedingte und unbedingte Termingeschafte Bonds, Zerosatze und Renditen FRAs und Forward-Rates Forwards auf Bonds Futures Kapitalmarkt-Futures Repos und Implied Repo-Rate Geldmarkt-Futures FRNs und Zinsswaps Zinskurven und Bootstrap-Algorithmen 1.3 Zinsoptionen und exotische Produkte Bondoptionen Optionen auf Kapitalmarkt-Futures Caps und Floors Swaptions... 2 Modellierung des Zinsmarktes BLACK-SCHOLEs-Modell und BLAcK76-Bewertungsformeln Grundlegende Annahmen und die BLACK-SCHOLES- PDE Die BLACK76-Formel fur Bondoptionen Die BLACK76-Formel fiir Caps und Floors Die BLACK76-Formel fur Europaische Swaptions Theoretische Grundlagen Short-Rate Modelle

9 IX 2.4 Die HULL-WHITE-Modellgruppe 2.5 Monte-Carlo-Simulation Market-Models LIBOR-Market-Model (LMM) Swap-Market-Model (SMM) Bewertung von Zinsoptionen Bondoptionen Bewertung von Zerobondoptionen nach HULL-WHITE Optionen auf Anleihen nach HULL-WHITE Caps und Floors Flat- und Spot-Volatilitaten fur Caps Bewertung von Caps und Floors mit HULL-WHITE Bewertung eines Caps mit dem LIBOR-Market-Model In-Advance-Caps und -Swaps im LMM Europaische Swaptions Europaische Swaptions mit Hull-White Europaische Swaptions mit dem Swap-Market-Model Europaische Swaptions mit dem LIBOR-Market-Model Rebonato-Formel fur die Swaption Volatilitat Bermudan Swaptions im LIBOR-Market-Model..., ANDERSENS Methode fur Amerikanische Optionen Die Methode von ANDERSEN fur LMM Erganzende Bemerkungen A Risiken Risikoarten Aufgaben des Risiko-Controllings und -Managements RisikomaBe Formaler Rahmen SensitivitatsmaBe Portfoliotheorie und das CAPM Value-at-Risk WCE und TCE (Expected Shortfall) Lower Partial Moments Koharente RisikomaBe Weitere RisikomaBe Grundlagen aus der stochastischen Analysis 203 A.l Stochastische Differenzialgleichungen A.1.1 Stochastische Prozesse und Filtrationen 203

10 X Inhaltsverzeichnis A.1.2 Modellierung dynamischer Systeme mit Differenzialgleichungen A.1.3 WIENER Prozess A.1.4 Bedingte Erwartungen A.1.5 Martingale und Eigenschaften des WIENER Prozesses. 213 A.1.6 Stochastische Integration A.1.7 Vom ITo-Integral zu stochastischen Differenzialgleichungen A.2 Der ITo-Kalkiil A.2.1 Quadratische Variation und Kovariation 224 A.2.2 Die ITo-Formel A.2.3 Beispiele stochastischer Differenzialgleichungen 228 B Zusammenhang von stochastischen und partiellen Differenzialgleichungen 230 B.1 Die Warmeleitungsgleichung B.2 Der Darstellungssatz von FEYNMAN-KAC 232 B.3 Zuriick zur Warmeleitungsgleichung 233 BA Der Satz von GIRSANOV Literaturverzeichnis 237 Index 244