Algorithmen für Geographische Informationssysteme
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- Johannes Vogel
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1 Algorithmen für Geographische Informationssysteme 3. Vorlesung: 23. April 2014 Thomas van Dijk basiert auf Folien von Jan-Henrik Haunert
2 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p 1, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Distanz zu P hat. Map Matching
3 Hausdorff-Distanz d hdorff P 1, P 2 = max d hdorff P 1, P 2, d hdorff P 2, P 1 mit und d hdorff P 1, P 2 = max d p 1, P 2 p 1 P 1 d p 1, P 2 = min d p 1, p 2 p 2 P 2 P 1 d hdorff P 1, P 2 P 2
4 Fréchet-Distanz Herrchen läuft entlang P 1 ohne jemals umzukehren. Hund läuft entlang P 2 ohne jemals umzukehren. Herrchen und Hund sind über Hundeleine verbunden. Wie lang ist die Hundeleine mindestens? P 2 P 1
5 Fréchet-Distanz Definition: d fréchet = min α: 0,1 0,m 1 β: 0,1 0,n 1 max t 0,1 d p 1 α t, p 2 β t wobei α und β monoton wachsende und stetige Funktionen sind und α 0 = β 0 = 1, α 1 = m 1, β 1 = n 1. P 2 P 1
6 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? dann parametrische Suche... P 2 P 1
7 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 p P 2 p ε
8 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 p Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! P 2 p ε
9 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! P 2 p ε p 1 0.1
10 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 P 1 P 2 1 ε 1 P 2
11 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! P 1 P 2 1 ε 1 P 2
12 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! P 1 P 2 1 ε 1 P 2
13 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P 1 F ε = s, t 0,1 2 d p 1 s, p 2 t ε Freiraum hat die Form einer Ellipse! Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.1,0.9 ist nicht zulässig! P 1 P 2 1 F ε ε 1 P 2
14 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0,1 2 d p 1 s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 1 1 F ε 1 P 2
15 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0,1 2 d p 1 s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 1 1 F ε 1 P 2 Hier gibt es ihn nicht, da 0,0 F ε!
16 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0,1 2 d p 1 s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach 1,1 im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 1 1 F ε 1 P 2 Für größeres ε gibt es einen Pfad!
17 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 1 0, n 1 d p 1 s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P 1 P 1
18 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 1 0, n 1 d p 1 s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P 1 F ε kann in O mn Zeit berechnet werden. P 1
19 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 1 0, n 1 d p 1 s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P 1 F ε kann in O mn Zeit berechnet werden. Finde zulässigen Pfad in F ε. P 1
20 Fréchet-Distanz Kanten einer Freiraumzelle: B F i,j, B F i,j+1, L F i,j, L F i+1,j R L i,j R B i,j+1 R L i+1,j Teile dieser Kanten, die von (0,0) aus erreichbar sind: B R i,j, B R i,j+1, L R i,j, L R i+1,j B R i,j = B R i,j, L R i,j bekannt R R B i,j+1, L i+1,j
21 Algorithmus Fréchet-Distanz
22 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? P 2 P 1
23 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? dann parametrische Suche... O mn log mn Zeit (hier ohne Details) P 2 P 1
24 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p 1, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Distanz zu P hat. Map Matching
25 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p 1, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Fréchet-Distanz zu P hat. Map Matching
26 Map Matching Entscheidungsproblem Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p 1, p 2,, p n von Punkten Zulässige Distanz ε Gibt es einen Weg in G, dessen Fréchet-Distanz zu P kleiner ist als ε? Map Matching
27 Map Matching Entscheidungsproblem Freiraumdiagramm für zwei Polygonzüge P 2 P 1
28 Map Matching Entscheidungsproblem Freiraumdiagramm für zwei Polygonzüge P 2 Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph P 1
29 Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph
30 Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph
31 Freiraumdiagramm für Polygonzug und eine Kante Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph
32 Map Matching Suche einen zulässigen Pfad von links nach rechts. Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph
33 Suche einen zulässigen Pfad von links nach rechts. Map Matching Entscheidbar in O E P log E Zeit. Alt et al. 2003: Matching Planar Maps J. Algorithm.
34 Finde einen zulässigen Pfad mit minimaler Fréchet-Distanz Map Matching Lösbar in O E P log E log E P Zeit. Alt et al. 2003: Matching Planar Maps J. Algorithm.
35 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p 1, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Fréchet-Distanz zu P hat. VIDEO Map Matching Lösbar in O E P log E log E P Zeit.
36 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf.
37 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. Direkte Verbindung zwischen Punkten ist schlechte Näherung
38 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. Ergebnis mit minimaler Fréchet-Distanz Idee: Fahrer wählen bevorzugt kürzeste Wege im Straßennetz.
39 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. kürzeste Route Idee: Fahrer wählen bevorzugt kürzeste Wege im Straßennetz.
40 Map Matching Ansatz über kürzeste Wege Lou et al.: Map-Matching for Low-Sampling-Rate GPS Trajectories, Proc. ACM GIS Ein Punkt etwa alle zwei Minuten P. Newson und J. Krum: (z.b. zur Aufzeichnung & Analyse von Hidden Markov Map Matching Taxirouten) Through Noise and Sparseness, Proc. ACM GIS 2009 Eisner et al.: Algorithms for Matching and Predicting Trajectories, Proc. ALENEX 2011
41 Map Matching Ansatz über kürzeste Wege Lou et al.: Map-Matching for Low-Sampling-Rate GPS Trajectories, Proc. ACM GIS P. Newson und J. Krum: Hidden Markov Map Matching Through Noise and Sparseness, Proc. ACM GIS 2009 = Maximum-likelihood estimation + Markov Chains + Hidden Markov Models Eisner et al.: Algorithms for Matching and Predicting Trajectories, Proc. ALENEX 2011
42 Maximum-likelihood estimation Probability versus Likelihood Flipping a coin: P[heads] = p P tails = 1 p Do three independent flips. The coin is fair (p = ½). Model Parameter value Outcome? What is the probability of getting outcome x=(h,h,t)? P x = H, H, T ; p = 1 2 p is not a random variable! P x = H, H, T p = 1 2 = = 0.125
43 Maximum-likelihood estimation Probability versus Likelihood Flipping a coin: P[heads] = p P tails = 1 p Did three independent flips. The result was x=(h,h,t). Model Parameter value? Outcome What is the likelihood that the coin is fair (p = ½)?
44 Maximum-likelihood estimation Likelihood functions Given the outcome x, how likely is a certain parameter value θ? Assuming parameter value θ, what is the probability of outcome x? Define likelihood function L θ x = P[x; θ] Not a probability! The result was (H,H,T). What is the likelihood that the coin is fair (p = ½)? L p = 1 2 x = H, H, T = = L p = 0. 1 x = H, H, T = = L p = 2 3 x = H, H, T = =
45 Maximum-likelihood estimation Predictions versus Estimates Most probable outcome Given parameter p = 2 3 the most probably outcome is (H, H, H). Maximum-Likelihood Estimate ( MLE ) Given outcome (T, H, T) maximum-likelihood estimate is p = 1 3. This value of p best explains the observed outcome. This value of p makes the outcome least surprising.
46 Maximum-likelihood estimation Most probable outcome Maximum-likelihood map matching? Given a path in a road network what is the most probable GPS trajectory to observe? (Noisy.) Model? Parameter? Outcome? Maximum-Likelihood Estimate (MLE) Given the observed GPS trajectory (noisy) what is the most likely path through the road network? Which path through the network best explains the observed GPS trajectory?
47 Пафну тий Чебышёв Ма рков Chains Андре й Ма рков Георгій Вороний Бори с Делоне Wacław Sierpiński
48 Chebyshev Ма рков Chains Markov Voronoi Delaunay Sierpinski
49 Markov Chains Sequence of random variables X 1, X 2, X 3, Markov Property: Pr X n+1 X n = x n, X n 1 = x n 1,, X 1 = x 1 ] = Pr X n+1 X n = x n ] Given the present, the future is independent of the past. Represent as Pr [X 1 ], Pr [X 2 X 1 ], Pr X 3 X 2,
50 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X 1 = Regen ] = 0.3 Pr X 1 = Sonne = 0.7 Pr X n+1 = Regen X n = Regen ] = 0.7 Pr X n+1 = Sonne X n = Regen ] = 0.3 Pr X n+1 = Regen X n = Sonne ] = 0.2 Pr X n+1 = Sonne X n = Sonne ] = 0.8
51 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X 1 = Regen ] = 0.3 Pr X 1 = Sonne = 0.7 Pr X 2 = Sonne? 0.8 Sonne 0.2 Regen
52 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X 2 = Regen ] = 0.35 Pr X 2 = Sonne = 0.65 Pr X 3 = Regen? 0.8 Sonne 0.2 Regen
53 Hidden Markov Models Markov Chain At every time step, it has a certain state But the states are hidden We cannot see its state Emission ( output ) At every time step, get an observation Probability distribution depends on state Emission at each step is independent
54 Hidden Markov Model
55 Hidden Markov Model Gegeben: Beobachtungen O = o 1,..., o n, je eine pro Zeitpunkt mögliche Systemzustände Z für jeden Systemzustand z Z und jede Beobachtung o die Wahrscheinlichkeit Pr(o z) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte f (o z), dass o bei Zustand z beobachtet wird für jedes Paar von Zuständen z 1, z 2 Z die Wahrscheinlichkeit Pr(z 2 was z 1 before), also die Wahrscheinlichkeit für z 2 bei Kenntnis, dass zuvor z 1 vorherrschte (Übergangswahrscheinlichkeit) für jeden Zustand z Z die (a-priori-)wahrscheinlichkeit Pr(z)
56 Hidden Markov Model Gegeben: Beobachtungen O = o 1,..., o n, je eine pro Zeitpunkt mögliche Systemzustände Z für jeden Systemzustand z Z und jede Beobachtung o die Wahrscheinlichkeit Pr(o z) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte f (o z), dass o bei Zustand z beobachtet wird für jedes Paar von Zuständen z 1, z 2 Z die Wahrscheinlichkeit Pr(z 2 was z 1 before), also die Wahrscheinlichkeit für z 2 bei Kenntnis, dass zuvor z 1 vorherrschte (Übergangswahrscheinlichkeit) für jeden Zustand z Z die (a-priori-)wahrscheinlichkeit Pr(z)
57 Hidden Markov Model Gegeben: Beobachtungen O = o 1,..., o n, je eine pro Zeitpunkt mögliche Systemzustände Z für jeden Systemzustand z Z und jede Beobachtung o die Wahrscheinlichkeit Pr(o z) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte f (o z), dass o bei Zustand z beobachtet wird für jedes Paar von Zuständen z 1, z 2 Z die Wahrscheinlichkeit Pr(z 2 was z 1 before), also die Wahrscheinlichkeit für z 2 bei Kenntnis, dass zuvor z 1 vorherrschte (Übergangswahrscheinlichkeit) für jeden Zustand z Z die (a-priori-)wahrscheinlichkeit Pr(z)
58 Hidden Markov Model Gegeben: Beobachtungen O = o 1,..., o n, je eine pro Zeitpunkt mögliche Systemzustände Z für jeden Systemzustand z Z und jede Beobachtung o die Wahrscheinlichkeit Pr(o z) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte f (o z), dass o bei Zustand z beobachtet wird für jedes Paar von Zuständen z 1, z 2 Z die Wahrscheinlichkeit Pr(z 2 was z 1 before), also die Wahrscheinlichkeit für z 2 bei Kenntnis, dass zuvor z 1 vorherrschte (Übergangswahrscheinlichkeit) für jeden Zustand z Z die (a-priori-)wahrscheinlichkeit Pr(z)
59 Hidden Markov Model Gegeben: Beobachtungen O = o 1,..., o n, je eine pro Zeitpunkt mögliche Systemzustände Z für jeden Systemzustand z Z und jede Beobachtung o die Wahrscheinlichkeit Pr(o z) oder die Wahrscheinlichkeitsdichte f (o z), dass o bei Zustand z beobachtet wird für jedes Paar von Zuständen z 1, z 2 Z die Wahrscheinlichkeit Pr(z 2 was z 1 before), also die Wahrscheinlichkeit für z 2 bei Kenntnis, dass zuvor z 1 vorherrschte (Übergangswahrscheinlichkeit) für jeden Zustand z Z die (a-priori-)wahrscheinlichkeit Pr(z)
60 Hidden Markov Model Gesucht: Folge S = z 1,..., z n von Zuständen, die sich am besten mit gegebenen Beobachtungen erklären lässt, also Pr(S O) maximimiert. Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O)
61 Hidden Markov Model Gesucht: Folge S = z 1,..., z n von Zuständen, die sich am besten mit gegebenen Beobachtungen erklären lässt, also Pr(S O) maximimiert. Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O)
62 Hidden Markov Model Gesucht: Folge S = z 1,..., z n von Zuständen, die sich am besten mit gegebenen Beobachtungen erklären lässt, also Pr(S O) maximimiert. Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O) f (O S) = f (o 1 z 1 )... f (o n z n )
63 Hidden Markov Model Gesucht: Folge S = z 1,..., z n von Zuständen, die sich am besten mit gegebenen Beobachtungen erklären lässt, also Pr(S O) maximimiert. Pr(S O) = f (O S) Pr(S)/f (O) Pr(S) = Pr(z 1 ) Pr(z 2 was z 1 before)... Pr(z n was z n 1 before)
64 Hidden Markov Model f (o 1 z 0 1 ) Pr(z0 2 was z0 1 before) f (o 2 z 0 2 ) Pr(z0 3 was z0 2 before) z 0 1 z 0 2 z 0 3 Pr(z 0 1 ) f (o 3 z 0 3 ) s z 1 1 z 1 2 z 1 3 t Z 1 Z 2 Z 3 z 2 1 z 2 2 z 2 3
65 Hidden Markov Model f (o 1 z 0 1 ) Pr(z0 2 was z0 1 before) f (o 2 z 0 2 ) Pr(z0 3 was z0 2 before) Pr(z 0 1 ) z1 0 z2 0 z3 0 s-t-path of maximum weight product f (o 3 z 0 3 ) = state sequence S that maximizes Pr (S O) s z 1 1 z 1 2 z 1 3 t Z 1 Z 2 Z 3 z 2 1 z 2 2 z 2 3
66 Hidden Markov Model ein Beispiel Gegeben: Folge von Beobachtungen O = o 1,..., o n = nass, nass, trocken, nass, trocken Menge möglicher Systemzustände: Z = {Sonne, Regen} Beobachtungswahrscheinlichkeiten: Pr(nass Sonne) = 0.1 Pr(trocken Sonne) = 0.9 Pr(nass Regen) = 0.95 Pr(trocken Regen) = 0.05 Übergangswahrscheinlichkeiten: Pr(Regen zuvor Regen) = 0.7 Pr(Sonne zuvor Regen) = 0.3 Pr(Regen zuvor Sonne) = 0.2 Pr(Sonne zuvor Sonne) = 0.8 A-Priori-Wahrscheinlichkeiten: Pr(Regen) = 0.3, Pr(Sonne) = 0.7 Gesucht: Folge S = s 1,..., s n von Zuständen, so dass Pr(S O) maximal ist.
67 Hidden Markov Model ein Beispiel Sonne Sonne Sonne Sonne Sonne s t Regen Regen Regen Regen Regen o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
68 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
69 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(o 1 Sonne) Pr(Sonne war Sonne zuvor) s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
70 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(nass Sonne) Pr(Sonne war Sonne zuvor) s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
71 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
72 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
73 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(trocken Sonne) s Pr(trocken Regen) o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken 7 9 t
74 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
75 Hidden Markov Model ein Beispiel Pr(Sonne) s Pr(Regen) o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken t
76 Hidden Markov Model ein Beispiel s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
77 Hidden Markov Model ein Beispiel log 2 s t o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken
78 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
79 Hidden Markov Model ein Beispiel s t 1.737
80 Hidden Markov Model ein Beispiel s t 1.737
81 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
82 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
83 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
84 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
85 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
86 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
87 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
88 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
89 Hidden Markov Model ein Beispiel s t
90 Hidden Markov Model ein Beispiel s t O = o 1, o 2, o 3, o 4, o 5 = nass, nass, trocken, nass, trocken S = Regen, Regen, Sonne, Sonne, Sonne
91 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv
92 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv Laufzeit: O( V + A )
93 Algorithmus LongestPath(directed acyclic graph G = (V, A)) Bring V in topologische Ordnung v 1,..., v n v 1.d = 0 v 1.π = nil for j = 2 to n do v j.d = v j.π = nil for v i v j A do if v i.d + w(v i v j ) > v j.d then v j.d = v i.d + w(v i v j ) v j.π = v i u.d: Länge des längsten Wegs von v 1 nach u u.π: Vorgänger von u im längsten Weg von v 1 nach u w(uv): Gewicht von Kante uv Laufzeit: O( V + A ) Laufzeit Dijkstra: O( V log V + A )
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