Beurteilung. Theoretische Informatik für Lehramt I. Christian Fermüller, Gernot Salzer,

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1 Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik für Lehramt I Christian Fermüller, chrisf@logic.at Gernot Salzer, salzer@logic.at 1 Beurteilung Übung N... Anzahl aller Übungsbeispiele ( 50) n... Anzahl der angekreuzten Übungsbeispiele k... Anzahl der Tafelergebnisse ( 2) ti... Ergebnis an der Tafel (ti {0.0, 0.5, 1.0, 1.2}) n t u = min(1, N 5 i k ) 3 Vorlesungtermine: Di, 16:15 17:45, AudiMax Do, 13:15 14:45, AudiMax Übungsteil: in Kleingruppen, betreut von TutorInnen Anmeldung ab Mittwoch, , 10:00 unter (Ja zum Zertifikat! https!) Erste Übungseinheit: Übungsbeispiele in der Vorwoche auf Homepage 2 Vorlesungprüfung Haupttermin: Freitag, , 18:00-20:00, Anmeldung! 3 Ersatztermine im Herbst Voraussetzung: u 0.3 v = p P (p... erreichte Punkte, P... erreichbare Punkte) Gesamtnote g := round(30u + 70v) Note 100 g g g g g 0 5 4

2 Unterlagen Skriptum: Donnerstag, , 12:45 vor AudiMax Vorlesungsfolien Bücher für ersten Teil: P.Linz: An Introduction to Formal Languages and Automata. Jones and Bartlett Publishers Inc., J.Hopcroft, R.Motwani, J.Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Pearson Studium, Weitere Literatur: siehe Homepage der Lehrveranstaltung. 5 Handbook of Theoretical Computer Science Formale Sprachen und Automaten Algebraische Spezifikation Modelle verteilter Berechnungen Theorie relationaler Datenbanken Syntax und Semantik von imperativen, funktionalen, logikorientierten Sprachen von Rewrite-Systemen Aussagen über Programme (z.b. Verifikation): Hoare Logik Dynamische Logik Temporal- und Modallogik 7 Handbook of Theoretical Computer Science 7 Kapitel Komplexität: Maschinenunabhängige Komplexität Komplexität von Problemen, Algorithmen Komplexität von Schaltkreisen und VLSI-Schaltungen Algorithmen: Suchen von Mustern in Zeichenketten Computergraphik Planen von Roboterbewegungen Algorithmen auf Graphen Algorithmen der Zahlentheorie Kryptographie Parallele Algorithmen 6 Typische Aussagen der theoretischen Informatik Ein optimaler Sortieralgorithmus benötigt zum Sortieren von n Datensätzen etwa n log(n) Rechenschritte. Das Halteproblem für Visual Basic Programme ist unentscheidbar. Java ist berechnungsuniversell: jeder vorstellbare Algorithmus kann als Java-Programm formuliert werden. Die Prädikatenlogik erster Stufe ist vollständig axiomatisierbar, die Arithmetik hingegen nicht. Reguläre Sprachen sind abgeschlossen unter Durchschnitt und Komplementbildung. 8

3 Lehrziel und Inhalt Ziel: Vermittlung der Grundbegriffe der theoretischen Informatik, Einführung in ihre mathematisch-formale Methodik. Inhalt: Formale Sprachen und Automaten Grundbegriffe der Komplexitätstheorie Aussagenlogik Prädikatenlogik Grundbegriffe der formalen Verifikation 9 Formale Sprachen und Automaten Inhalt Grundlagen Reguläre Sprachen: reguläre Mengen, reguläre Ausdrücke (Algebra, EBNF, grep), Syntaxdiagramme Endliche Automaten (EA): reguläre Menge NEA DEA reguläre Menge Grammatiken: regulär, kontextfrei, monoton/kontextsensitiv Kellerautomaten, beschränkte Maschinen, Turing-Maschinen Chomsky-Hierarchie 11 Za wos brauch i des? Weil es im Studienplan steht. Weil Sie es in der Praxis brauchen: reguläre Ausdrücke, EBNF, Aussagenlogik,... Weil es Basiswissen einer akademischen InformatikerIn ist: Halteproblem, P vs. NP, Church-Turing-These,... Weil es Ihr Abstraktionsvermögen und Ihr formales Verständnis schult. 10 Was sind formale Sprachen? Formale Sprache: (un)endliche Menge von endlichen Zeichenketten Beispiele: Programmiersprachen (C, Java,...) Markup-Sprachen (Html,...) Kommunikationsprotokolle natürliche Sprachen Warum formale Spezifikation? Referenz für Anwender, Implementierer, Auftragnehmer/geber Automatische Programmgenerierung: Compilergeneratoren Formale Verifikation (Korrektheit, Deadlockfreiheit,...) Kriterium für Spezifikationsmethode: Endlichkeit Jede Methode induziert eine Sprachklasse. 12

4 Beispiele für Spezifikationsmethoden Reguläre Ausdrücke: DOS: dir a*.exe Unix: ^[0-9]+\.[0-9]*(E[+-]?[0-9]+)?$ Syntaxdiagramme: digit digit. ScaleFactor 13 Grundlagen: Wörter Alphabet: endliche, nicht-leere Menge atomarer Symbole (Σ, T). Wort über Σ: endliche Folge von Symbolen aus Σ. Leerwort: ε Σ + : Menge aller nicht-leeren Wörter über Σ. Σ + = {s1 sn si Σ, 1 i n} Σ = Σ + {ε} Verkettung: Sei w, w1, w2 Σ. w1 w2 = w1w2 w ε = ε w = w w 0 = ε, w n+1 = w w n Σ,, ε bildet Monoid. 15 Automaten: digit digit digit q0. q4 +, digit E digit digit q1 q2 q3 q5 Grammatik: Satz HwP ZwP HwP Art Hw ZwP Hzw HwP Zw Art die das Hw Katze Dosenfutter Hzw wird Zw fressen 14 Grundlagen: Sprachen Formale Sprache über Σ: beliebige Teilmenge von Σ P(Σ ): Menge aller Sprachen Verkettung: Sei L1, L2 P(Σ ). L1 L2 = {w1 w2 w1 L1, w2 L2} Potenzbildung: L 0 = {ε} und L n+1 = L L n für n 0. Stern-Operator: L = n 0L n Kleene-Stern Plus-Operator: L + = n 1 L n P(Σ ),, {ε} bildet Monoid. 16

5 Rechenregeln A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = A B A C (B C) A = B A C A {ε} A = A A {ε} = A (A {ε}) = A (A ) = A A A = A + A A = A + A + {ε} = A Beispiel. Real-Zahlen digit = {0,...,9} scale = {E,E+,E } digit + real = digit + {.} digit ({ε} scale) 17 Induktive Definition Gegeben: Grundmenge A0 B, Bildungsregel f: B n B Stufenweise Konstruktion von Mengen: Ai+1 = Ai {f(e1,...,em) e1,...,em Ai} Limes von Ai für i nach unendlich: A = i 0Ai Definition. A heißt abgeschlossen unter f, wenn gilt: x1,...,xn A f(x1,...,xn) A 19 Reguläre Sprachen Gebildet durch Vereinigung, Verkettung und Kleene-Stern Äquivalent: endliche Automaten, reguläre Grammatiken Anwendungen in der Informatik: Compilerbau: Tokens bilden reguläre Sprache, verarbeitet durch Scanner (Lexer). Reguläre Ausdrücke dienen als Eingabe für Scannergeneratoren (lex, flex). Texteditoren: erweiterte Suche DOS, Unix-Shells, grep, awk, Perl, Xml, Satz. (a) A ist abgegeschlossen unter f. (b) Ist A abgeschlossen unter f und gilt A0 A B, dann gilt A A. D.h.: A ist die kleinste Menge, die A0 enthält und abgeschlossen ist unter f. Schema der induktiven Definition A ist die kleinste Menge, für die gilt: (a) A0 A (b) x1,...,xn A f(x1,...,xn) A (A ist abgeschlossen unter f) 20

6 Definition. Die Menge der regulären Sprachen über Σ, Lreg(Σ), ist die kleinste Menge, sodass (a) {}, {ε}, {s} Lreg(Σ) für alle s Σ (b) A, B Lreg(Σ) A B, A B, A Lreg(Σ) Satz. Lreg(Σ) ist abgeschlossen gegenüber Vereinigung, Durchschnitt, Verkettung, Komplement, Differenz, Stern- und Plus-Operator, Homomorphismen und Quotientenbildung. Satz. Seien L1 und L2 reguläre Sprachen spezifiziert durch Verkettung, Vereinigung und Stern-Operator. Die Probleme (a) Gehört ein Wort w der Sprache L1 an? (b) Ist L1 leer, endlich, unendlich? (c) Gilt L1 = L2? sind entscheidbar. 21 EBNF-Notation EBNF reg. Menge Kommentar AB A B Aufeinanderfolge A B A B Alternativen [A] {ε} A Option {A} A Wiederholung ( A) (A) Gruppierung "s" {s} s Σ Beispiel. Real-Zahlen (EBNF) real = digit {digit} "." {digit} [scale] scale = "E" ["+" "-"] digit {digit} digit = "0" "1" "2" "9" 23 Algebraische Notation s statt {s} für s Σ ε statt {ε} statt {} L1 + L2 statt L1 L2 L1L2 statt L1 L2 L bleibt L hat die höchste Priorität, + die niedrigste. Beispiel. Real-Zahlen (algebraisch) digit = scale = E(ε )digit digit real = digit digit.digit (ε + scale) 22 Syntaxdiagramme Syntaxdiagramm reg. Menge EBNF A A A s {s} "s" A A + A{A} A A {A} A B A B AB A A B A B B A A {ε} [A] 24

7 Beispiel. Real-Zahlen (Syntaxdiagramm) real digit digit. scale scale + E digit - digit egrep unter Unix Ausdruck selektiert s Zeichen s (kein Spezialsymbol) \s Zeichen s. alle Zeichen außer Zeilenende ^ Zeilenanfang $ Zeilenende [s1 sn] alle Zeichen in {s1,..., sn} [^s1 sn] alle Zeichen außer {s1,..., sn} r* null Mal oder öfter r r+ ein Mal oder öfter r r? null oder ein Mal r 27 Reguläre Definitionen Verwendung von Abkürzungen für reguläre Teilausdrücke. Erhöht nicht die Ausdruckskraft. Bessere Strukturierung, bessere Lesbarkeit. Keine direkte oder indirekte Rekursivität: digits = digit digits {ε} ist nicht zulässig! 26 Ausdruck selektiert r{i} i Mal r r{i,} i Mal oder öfter r r{i,j} i bis j Mal r r1r2 r1 gefolgt von r2 r1 r2 r1 oder r2 (r) r Beispiel. Real-Zahlen (egrep) ^[0-9]+\.[0-9]*(E[+-]?[0-9]+)?$ 28