Bestimmung der Lebensdauer von Myonen

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1 Technische Universität Darmstadt Fachbereich Physik Institut für Kernphysik Versuch 2.9: Bestimmung der Lebensdauer von Myonen Praktikum für Fortgeschrittene Von Daniel Rieländer ( ) & Mischa Hildebrand ( ) 29. Oktober 2007 Versuchsleiter: Thorsten Kürzeder Diese Ausarbeitung wurde von Daniel Rieländer und Mischa Hildebrand eigenständig erstellt. Eventuell aus anderen Quellen entnommene Zitate sind immer eindeutig als solche gekennzeichnet und im Literaturverzeichnis gelistet.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Was sind Myonen? Ziel des Versuchs Physikalischer Hintergrund Elementarteilchen Zerfallsprozesse Szintillationszähler Aufgaben zur Vorbereitung Energie des Elektrons nach dem Myonenzerfall Berechnung der Kopplungskonstanten Messung der Lebensdauer des Myons Alternativer Versuchsaufbau zur Lebensdauermessung des Myons 6 4 Aufbau und Durchführung 6 5 Auswertung Zeiteichung Grafische Bestimmung der Lebensdauer Mathematische Bestimmung der Lebensdauer Ergebnis 12 2

3 1 Einleitung 1 Einleitung 1.1 Was sind Myonen? Myonen sind Elementarteilchen, die zur Gruppe der Leptonen gehören. Sie entstehen in der Atmosphäre als Folge der Kosmischen Strahlung. Die Kosmische Strahlung besteht vorwiegend aus energiereichen Protonen (bis zu GeV). Wenn diese auf die Erdatmosphäre treffen, entstehen durch Kernreaktionen mit den Atmosphärenmolekülen π ± -Mesonen, welche wiederum in µ ± -Myonen und deren Neutrinos zerfallen. Myonen haben eine Lebensdauer von durchschnittlich 2,19 Mikrosekunden. Durch die hohe Geschwindigkeit der Myonen und die daraus resultierende relativistische Zeitdilatation ist es vielen Myonen trotzdem möglich, bis an die Erdoberfläche zu gelangen. Dort kann man sie über ihre Zerfallsprozesse mit entsprechender Messanordnung registrieren. 1.2 Ziel des Versuchs In diesem Versuch soll die mittlere Lebensdauer von Myonen bestimmt werden. Da wir nicht wissen, zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort die Myonen entstehen, messen wir nur die Zeitspanne zwischen Detektion der Myonen und dem Zerfallszeitpunkt. Aus diesen Werten lassen sich mit statistischen Mitteln wieder Rückschlüsse auf die Lebensdauer der Myonen ziehen. Zur Messung verwenden wir einen Flüssigkeitsszintillisationsdetektor und verschiedene elektronische Bauteile, die im Abschnitt 4 näher erläutert sind. 2 Physikalischer Hintergrund 2.1 Elementarteilchen Als Elementarteilchen betrachtet man atomare Teilchen, die nicht mehr weiter zerteilbar sind. Sie werden in zwei Gruppen unterteilt: Teilchen, die der Starken Wechselwirkung unterliegen, werden als Hadronen bezeichnet; Teilchen, die der Schwachen Wechselwirkung unterliegen, nennt man Leptonen. Zu den Leptonen gehören die Elektronen, die Myonen und die Tau-Teilchen, sowie ihre zugehörigen Neutrinos und Antiteilchen. Bei den Hadronen werden wiederum die Baryonen (halbzahliger Spin) von den Mesonen (ganzzahliger Spin) unterschieden; beide Teilchenarten sind aus den sog. Quarks zusammengesetzt. Zu den Baryonen gehören die Protonen und die Neutronen. Eine anschauliche Einteilung der Elementarteilchen zeigt Abbildung Zerfallsprozesse Nach ihrer Lebensdauer zerfallen µ -Myonen zu Elektronen und 2 Neutrinos und µ -Myonen zu Positronen und 2 Neutrinos. Voher können sie aber auch durch µ -Einfang in einer Atomhülle mit einem Proton zu einem Neutron und einem Neutrino reagieren. Entstehung der π-mesonen: p p p n π 3

4 2 Physikalischer Hintergrund Abbildung 1: Einteilung der Elementarteilchen p n p p π Aus manchen π-mesonen werden Myonen: π µ ν µ π µ ν µ Myonen zerfallen wiederum zu Elektronen: µ e ν µ ν e µ e ν µ ν e Oder werden voher von Atomen eingefangen: 2.3 Szintillationszähler µ p n ν µ Ein Szintillationszähler hat den Vorteil, dass er nich nur die Anzahl der ankommenden γ-quanten zählt, sondern diesen auch Energiewerte zuordnet. Das funktioniert, indem ankommende γ-quanten Atome oder Moleküle des Sintillationskristalls anregen. Die angeregten Atome fallen unter Aussendung von Lichblitzen in ihren Grundezustand zurück. Im Photomultiplier werden diese Lichblitze gesammelt und in Elektonen umgewandelt, welche zwischen den sog. 4

5 3 Aufgaben zur Vorbereitung Dynoden eine Potenzialdifferenz durchlaufen, dadurch beschleunigt werden und ein Vielfaches an Sekundärelektronen erzeugen. Durch Aneinanderreihung vieler Dynoden mit mit jeweils stufenweiser Potenzialerhöhung wird so eine Elektronenkaskade ausgelöst, die einen Stromimpuls hervorruft und von entsprechender Elektronik gemessen werden kann. 3 Aufgaben zur Vorbereitung 3.1 Energie des Elektrons nach dem Myonenzerfall Beim Myonenzerfall enstehen neben dem Elektron zwei Neutrinos. Nach dem Impulserhaltungssatz muss der Impuls des Myons gleich dem Gesamtimpuls der entstanden Teilchen sein. Im Ruhesystem des Myons ist der Myonenimpuls vor dem Stoß gleich Null. Es gilt also: p µ = 0 = p e p νe p νµ p e = p νe p νµ Die kinetische Energie des entstandenen Elektrons ist maximal, wenn die beiden Neutrinos genau in entgegengesetzte Richtung des Elektrons davon fliegen. In diesem Fall gilt: p νe p νµ = p νe p νµ und damit: p e := p e = p νe p νµ. Das Myon hat nach E = mc 2 eine Ruheenergie von 106 MeV. Wegen der relativistischen Energieformel E = m 2 c 4 p 2 c 2 erhalten wir als maximale kinetische Energie für das Elektron unter Vernachlässigung seiner Ruhemasse E e = p e c. Da Neutrinos masselos sind, fällt auch hier der Term m 2 c 4 unter der Wurzel weg und wir erhalten mit dem Energieerhaltungssatz: E µ = p e c p νe c p νµ c = c ( p e p νe p νµ ) = 2p e c = 2E e }{{} p e Damit ist die maximale kinetische Energie des Elektrons: E e = 1 2 E µ = 53 MeV. 3.2 Berechnung der Kopplungskonstanten In der Versuchanleitung sind die Beziehungen für die Lebensdauer τ 0 der Myonen und die Leptonen-Kopplungskonstante g gegeben: τ 0 = 192π3 h 7 m 5 µc 4 G 2, (1) G 2 = g2 m 2 W. (2) 5

6 4 Aufbau und Durchführung Wir lösen die Formel (2) nach g auf, Formel (1) nach G und setzen dann (1) in (2) ein. Wir erhalten: g = 4 192π3 h 7 2m 5 µc 4 m w τ 0 Mit den folgenden Konstanten: h = 6, MeV s c = 2, m s τ 0 = 2, 197 µs m µ = 105, 66 MeV c 2 m w = 80, Mev c 2 erhalten erhalten wir schließlich: g = 0, 2293 h 3 c. 3.3 Messung der Lebensdauer des Myons Wir können nicht direkt die Lebensdauer des Myons messen, da es in der oberen Atmosphäre zu einem unbekannten Zeitpunkt entsteht. Deshalb messen wir die Zeitspanne zwischen der Detektion des Myons und dessen Zerfall. Beide Ereignisse können mit dem Szintillisationsdetektor registriert werden. Integriert man diese gemessenen Zeitintervalle über eine große Anzahl von Zerfälle, so erhält man eine Verteilung, die gut dem exponentiellen Zerfallsgesetz entspricht. Mit dem Ansatz N(t) = N 0 exp( T τ ) können wir also die Zerfallskonstante τ und damit die mittlere Lebensdauer der Myonen bestimmen, ohne den Entstehungszeitpunkt selbst zu kennen. Dies wäre mit der Messung eines einzelnen Myons nicht möglich. 3.4 Alternativer Versuchsaufbau zur Lebensdauermessung des Myons Alternativ zu dem in diesem Versuch verwendeten Verfahren kann man die Messung auch über die sog. Koinzidenzmethode vornehmen. Dazu verwendet man drei Detektoren D 1, D 2 und D 3, von denen die ersten beiden durch eine Bleiplatte vom dritten Detektor D 3 abgeschirmt sind. Zwischen D 1 und D 2 befindet sich das Target, in dem abgebremste Myonen durch die beiden Detektoren registriert werden. Man wählt die Schaltung nun derart, dass dem TAC ein Startsignal übermittelt wird, wenn das Ereignis {D 1 : true D 2 : true D 3 : false} eintritt und ein Stoppsignal, wenn {D 1 : false (D 2 : true D 3 : true)}. Somit ist sichergestellt, dass als Stoppsignal stets das beim Myonenzerfall entstandene Elektron verwendet wird. 4 Aufbau und Durchführung Im Flüssigkeitsszintillator wird immer dann ein Lichtblitz erzeugt, wenn ein Myon eintritt und wenn dieses wieder in Elektron und Neutrinos zerfällt. Diese 6

7 4 Aufbau und Durchführung Abbildung 2: Schematische Darstellung des Messaufbaus Lichtblitze erzeugen im Photomultiplier jeweils ein elektrisches Signal, dessen Amplitude proportional zur Energie des einfallenden Quants ist. Hinter einem Proportional-Verstärker sind zwei Diskriminatoren parallel geschaltet, von denen einer auf die Energie des Myoneneintritts und der andere auf die Energie des Elektrons beim Myonenzerfall eingestellt ist. Durch ein Delay wird das (logische) Ausgangssignal des ersten Diskriminators zusätzlich um eine feste Zeit t verzögert und als Start-Signal eines TAC verwendet. Als Stopp-Signal dient das Ausgangssignal des zweiten Diskriminators. Dieses Delay-Verfahren ist nötig, da andernfalls Start- und Stopp-Signal nahezu zeitgleich den TAC erreichen würden und weiterhin nicht auszuschließen wäre, dass ein eintretendes Myon das Stopp-Signal verursacht anstatt des zugehörigen Elektrons. Der TAC (Time-to-Amplitude-Converter) erzeugt ein Signal, dessen Amplitude proportional abhängig ist von der Zeitdifferenz t zwischen dem Start- und dem Stopp-Signal. Dieses wird vom ADC (Analog-to-Digital-Converter) in ein digitales Signal umgewandelt, das schließlich am Computer von entsprechender Software gezählt wird. Diese Ereignisse zählten wir über einen Zeitraum von ca. 30 Stunden, sodass wir insgesamt über Zerfälle registrierten und somit ein repräsentatives Spektrum über die Lebensdauer der Myonen im Flüssigkeitsszintillator erhielten. Abbildung 3: Zum Messprinzip 7

8 5 Auswertung 5 Auswertung 5.1 Zeiteichung Für die Zeiteichung haben wir die Verzögerungszeiten am Delay jeweils genau so eingestellt, dass wir als Verzögerung zwischen Start- und Stopp-Signal des TACs ganze Mikrosekunden erhielten. Die Justierung erfolgte über ein Oszilloskop, welches parallel zur Messanordnung geschaltet war. Wir vertauschten die Kabel an den Eingängen der beiden Diskriminatoren, da wir somit den TAC mit dem Puls des gleichen Ereignisses stoppen konnten, mit dem wir ihn auch gestartet hatten. Um den gesamten Kanalbereich zur Eichung auszunutzen, führten wir insgesamt sieben Messungen durch und notierten dazu jeweils die zugehörigen Kanalnummern, an denen sich Peaks herausbildeten. Daraus ergab sich folgende Wertetabelle: Zeit in µs Kanalnummer Aus diesen Werten haben wir mit Gnuplot 4.0 einen Graphen erstellt und eine Gerade f(x) = mx n angefittet. Wie man in Abbildung 4 sieht, liegen alle Messpunkte sehr exakt auf dieser Geraden Zeit µs Kanalnummer Abbildung 4: Diagramm zur Zeiteichung Für die Fitparameter ergeben sich: m µs/kanal n µs. Wir können damit jedem Kanal einen bestimmten Zeitabstand zuordnen, indem wir die Kanalnummer mit m multiplizieren. 8

9 5 Auswertung Der Achsenabschnitt n bewirkt lediglich eine Verschiebung der Geraden in Richtung der Zeitachse und hat daher keinen Einfluss auf die mittlere Lebensdauer der Myonen. Er ist nur deshalb ungleich Null, weil die Kabellängen und der zugehörige Signalweg über den ersten und den zweiten Diskriminator nicht exakt gleich sind. Da die Gerade die x-achse im positiven Bereich schneidet, ist davon auszugehen, dass das Signal ohne hinzugeschaltetes Delay über den zweiten Diskriminator länger braucht als über den ersten. Wie gesagt müssen wir diese Tatsache für unsere weitere Analyse aber nicht beachten. 5.2 Grafische Bestimmung der Lebensdauer Registrierte Ereignisse Zeit t / µs Abbildung 5: Messung der Lebensdauer von Myonen Um einen intuitiven Eindruck unserer Messung zu bekommen, haben wir diese zunächst grafisch dargestellt, indem wir die gezählten Ereignisse über der Zeit aufgetragen haben (Abbildung 5). Der exponentielle Verlauf ist hier bereits sehr gut zu erkennen. Da allerdings wie in Abschnitt 4 erläutert im Messzeitraum von ca. 30 Stunden mehrere Zehntausend Ereignisse registriert wurden, lässt sich nur mit großem Aufwand ein sinnvoller Fit durch die Punkte legen. Daher haben wir zur Bestimmung der Lebensdauer der Myonen die Ereignisse von jeweils 16 aufeinander folgenden Kanälen zusammengefasst. Diese Punkte sind mit Fehlerbalken in Abbildung 6 aufgetragen, wobei sich der statistische Fehler ergibt als die Wurzel des Messdatums selbst. An diese Messpunkte, welche jeweils die aufaddierten Ereignisse von 16 Kanälen repräsentieren, haben wir schließlich mit Gnuplot 4.0 eine Funktion N(t) angefittet: N(t) = N U N 0 e λt 9

10 5 Auswertung Registrierte Ereignisse Fitfunktion f(x) Addierte Ereignisse von jeweils 16 Kanälen Zeit t / µs Abbildung 6: Fit an die Lebensdauerverteilung der Myonen Mit dem Startwert N U = 10 für die Iteration erhielten wir folgende Parameter: N U = Mit λ = 1 τ N 0 = λ = µs 1 ergibt dies eine mittlere Lebensdauer der Myonen von τ = ( ± ) µs. Dabei entsteht der Term N U durch die Untergrundstrahlung, welche durch zufällige Zerfälle aus der Umgebung hervorgerufen wird. 5.3 Mathematische Bestimmung der Lebensdauer Eine weitere Möglichkeit, die mittlere Lebensdauer der Myonen zu bestimmen, ist die rechnerische Auswertung der Messung. Wir betrachten dabei die exponentielle Abfallkurve als Wahrscheinlichkeitsverteilung. Setzen wir eine unendlich lange Messdauer voraus, so entspricht der Schwerpunkt der Verteilung gerade der wahrscheinlichsten Lebensdauer der Myonen. Da in der Praxis diese unendliche Messdauer aber niemals erreicht werden kann, benötigen wir ein statistisches Mittel, mit dem dieser Fehler ausgeglichen werden kann. Dies ist die Bartlett sche S-Funktion: N S(τ) = A(τ) (B(τ) Ni t i N ) (3) 10

11 5 Auswertung Dabei sind die Funktionen A(τ) und B(τ) folgendermaßen definiert: B(τ) = τ A(τ) = τ 2 T e T/τ 1 (4) T 2 e T/τ (e T/τ 1) 2 (5) Die Bartlett sche S-Funktion ist derart konstruiert, dass die wahrscheinlichste Lebensdauer durch S(τ) = 0 gegeben ist. Setzen wir die rechte Seite von Gleichung (3) gleich Null, so erhalten wir wie auf dem Anleitungsblatt: τ = Dabei entspricht der zusätzliche Term Ni t i N T e T/τ 1 (6) T e T/τ 1 offenbar gerade dem Korrekturglied, welches die nicht mit berücksichtigten Ereignisse nach dem Ende der Messung ausgleicht. Mit Hilfe von Microsoft Excel haben wir aus den gemessenen Daten den Schwerpunktsterm berechnet: Ni t i = µs N Weiter haben wir für die S-Funktion folgende Werte verwendet: N = T = µs (Summe aller registrierten Ereignisse) (Beobachtungsintervall) Da τ in Gleichung 6 sowohl in einer Exponentialfunktion als auch in linearer Form auftritt, ist diese Funktion analytisch nicht lösbar. Wir haben den Wert für τ daher mit Mathematica numerisch ermittelt. Dazu haben wir die Mathematica- Funktion FindRoot[ ] mit dem Startparameter τ 0 = µs benutzt. Als numerische Lösung erhielten wir: τ = µs. Wir haben nun noch die S-Funktion mit Gnuplot grafisch dargestellt (Abbildung 7). Durch Ablesen des x-wertes der S-Funktion beim Nulldurchgang verifiziert man schnell diesen Wert. 11

12 6 Ergebnis S(τ) τ/µs Abbildung 7: Bartlett sche Funktion im relevanten Bereich Weiterhin haben wir aus dem Diagramm auch die τ-werte für S(τ) = 1 und S(τ) = 1 ermittelt: τ min := τ(s = 1) = µs τ max := τ(s = 1) = µs In dem Intervall {τ : 1 S(τ) 1} liegt die tatsächliche mittlere Lebensdauer zu einer Wahrscheinlichkeit von 70%. Folglich können wir mit hinreichender Genauigkeit sagen, dass der wahre Wert für τ in den folgenden Schranken liegt: τ min τ τ max 6 Ergebnis Durch diesen Versuch haben wir einen Überblick über die Einteilung der Elementarteilchen erhalten. Wir wurden mit der Bartlett schen S-Funktion vertraut gemacht und haben die Lebensdauer der Myonen sowohl auf grafischem als auch auf statistischem Wege verhältnismäßig gut bestimmt. Vergleicht man unsere erhaltenen Werte für τ mit dem Literaturwert von τ = 2, µs, so ist eine Abweichung nach unten von rund 4% festzustellen. Dieser Fehler kann mit kleinen Ungenauigkeiten zusammenhängen, die mit der Messanordnung zusammenhängen. Da der Fehler nicht mehr in den Fehlergrenzen τ min, τ max der Bartlett schen Funktion und auch nicht innerhalb des Fehlerintervalls der bei der grafischen Auswertung liegt, ist es wahrscheinlich, dass ein systematischer Fehler vorliegt. 12