SMART. Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX. Kernphysik (Physik)

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1 SMART Sammlung mathematischer Aufgaben als Hypertext mit TEX Kernphysik (Physik) herausgegeben vom Zentrum zur Förderung des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts der Universität Bayreuth 1. Mai 010 Die Aufgaben stehen für private und unterrichtliche Zwecke zur Verfügung. Eine kommerzielle Nutzung bedarf der vorherigen Genehmigung.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Aufbau der Kerne 3 Strahlungsarten 5 3 Strahlungsintensität 6 4 Massendefekt und Bindungsenergie 7 5 Radioaktiver Zerfall 9 6 Zerfallsreihen 10 7 Zerfallsgesetz und Aktivität 11 8 Dosimetrie 15 9 Kernreaktionen 17

3 1 Aufbau der Kerne 1. Q = 1kg e m e = 1, C = I t = t = Q I = 1, s = 55,7a. Mittlere Masse eines Goldatoms: M = 196,97 u Masse des Goldes: m = 19,3 g cm cm 3 = 19,3kg Zahl der Goldatome: n = m M = 5, (a) Kernladungszahl: Z = = 54 = Xe (Xenon) (b) A = = 33 (c) N = = E Z A N Be 6 Be 7 Be Be Be Be 4 11 Be 1 Be Li 5 Li 6 Li 7 Li 8 Li 9 Li 10 Li He 3 He 4 He 5 He 6 He 7 He 8 He H 1 H H n N 1 A r1 = N A r = N 1 = N A r 38uN A r1 35u 6. x ist der Bruchteil der 14 N-Atome: = 1,018 = 1,8% x A 14 +(1 x)a 15 = A = x = A 15 A A 15 A 14 = 0, ,99704 = 0,99636 = 99,636% 14 N und 0,364% 15 N 7. Unter Ne-Atomen sind Ne-, 7 1 Ne- und 9 Ne-Atome: A = , , , = 0,179 3

4 8. n m n = (n+1)m p = n = 9. A = 11A 1 Aufbau der Kerne m p = 1, m n m p 0, = 75,48 = 75 (A Z ) = 1(A Z) = A = 1Z Z Z = Z +70 A Z = 5 Z 4 = A = 11Z 70 = A = 9 Z = 11Z Z = 70 Z = 8, Z = 78, A = 18, A = 198 = 18 O und Pt 10. (a) Masse eines Aluminiumatoms: M = 0,991 13(m p +m e )+14m n = 0,991 4, kg = 4, kg = M d 3 = 4, kg kg 1, =, m3 m 3 =,70 g cm 3 (b) Zahl der Atome: N = 1kg M =,3 105 A = N 10 d = 1, m 4

5 Strahlungsarten 1. (a) Von links nach rechts: α, γ, und β. (b) Die Bahn von α Teilchen ist im Vergleich zu der von Elektronen kaum gekrümmt. Zwar ist der Betrag der Ladung von α Teilchen doppelt so groß wie der Elektronen (was eine Vergrößerung des Krümmungsradius zur Folge hätte), aber ihre Masse ist etwa 3600 mal so groß wie die der Elektronen. Also ist der Krümmungsradius der α Teilchen etwa 1800 mal so groß wie der der Elektronen. Daher braucht man um α Teilchen abzulenken sehr starke Magnetfelder.. (a) Von Bedeutung sind giftig, Halbwertszeit, ausscheidbar, nachweisbar (b) geeignet: B und D nicht geeignet: A, weil Reichweite zu klein und C, weil Halbwertszeit zu lang (c) Vorteile, z. B. gute Abbildung innerer Organe möglich, Einsatz zur Krebsbekämpfung Gefahren, z. B. Schädigung von gesundem Gewebe durch Strahlenbelastung von Patienten und von medizischem Personal

6 3 Strahlungsintensität 6

7 4 Massendefekt und Bindungsenergie 1. (a) 3 90 Th α 8 88 Ra β 8 89 Ac β 8 90 Th α 4 88 Ra α 0 86 Rn α Po α 1 8 Pb β 1 83 Bi β 1 84 Po α 08 8 Pb (b) Alle Massenzahlen der Zerfallsreihe sind Vielfache von 4. (c) (31, , , ) uc = 4,1MeV ( 11, , , ) uc =,MeV. (a) t A Diagramm A in Bq t in min (b) Zunächst kann man dem Diagramm entnehmen, dass die Nullrate nicht größer als 13 Bq ist. Man kann vermuten, dass die Nullrate bei 1 Bq liegen dürfte. Die um die Nullrate korrigierten Messwerte lauten t in min A(t) in Bq so, dass man auf eine Halbwertzeit von etwa 0min kommt. 3. (a) 35 (8,3MeV 7,6MeV) = 0,16GeV (b) 1, ;0,006mg 7

8 4 Massendefekt und Bindungsenergie (c) 1,6t (d) In natürlich vorkommendem Uran sind nur 0,718% Uran-35. (e) 1,Mio. t 4. (a) Freiwerdende Energie pro Fusionsreaktion: W = (4 M H1 M He4 )c = (1, , )uc = = 0, uc = 4, J = 6,7MeV (b) Abgestrahlte Energie pro Sekunde: W = P 1s = 3, J Zahl der Fusionsreaktionen und somit der entstehenden He-Atome pro Sekunde: N = W W = 8, M = N m = 3, kg 8

9 5 Radioaktiver Zerfall 1. β -Zerfall: 198Ir Pt+e +ν e. β + -Zerfall: 00Tl Hg+e+ +ν e (a) 3 He (b) Ir (c) Po (d) 6 3 Li (e) Rn (f) 3 90 Th (g) Hg 5. (a) H+ 3 H 4 He+ 1 n+17,58949mev (b) H+ H 3 He+ 1 n+3,68939mev (c) H+ H 3 H+ 1 p+4,03940mev (d) H+ 3 He 4 He+ 1 p+18,3535mev 9

10 6 Zerfallsreihen 1. Massenzahl: = 06. Kernladungszahl: = 8, also 06 8 Pb.. α: (41 09) : 4 = 8; β : n = 83 n = = (a) 3 90 Th α 8 88 Ra β 8 89 Ac β 8 90 Th α 4 88 Ra α 0 86 Rn α Po α 1 8 Pb β 1 83 Bi β 1 84 Po α 08 8 Pb (b) Alle Massenzahlen der Zerfallsreihe sind Vielfache von 4. (c) (31, , , ) uc = 4,1MeV ( 11, , , ) uc =,MeV

11 7 Zerfallsgesetz und Aktivität 1. (a) t = 16,7min (b) 18 F 18 O+e + +ν p + n+e + +ν maximale kinetische Energie E = [m A ( 18 F) m A ( 18 O) m(e)] c Die meisten Positronen haben eine geringere Energie, da das Neutrino einen Teil der beim Prozess frei werdenden Energie erhält. (c) Die beiden Gammaquanten müssen sich aufgrund des Impulserhaltungssatzes (Anfangsimpuls von Elektronen und Positron ist nahezu Null) in entgegengesetzte Richtungen und mit gleicher Energie ausbreiten. Berechnung der Energie: Jedem Gammaquant steht die Ruheenergie E = Mc des zerstrahlten Elektrons bzw. Positrons zur Verfügung. Daraus folgt E = 511keV.. 3. (a) t A Diagramm A in Bq t in min (b) Zunächst kann man dem Diagramm entnehmen, dass die Nullrate nicht größer als 13 Bq ist. Man kann vermuten, dass die Nullrate bei 1 Bq liegen dürfte. Die um die Nullrate korrigierten Messwerte lauten 11

12 7 Zerfallsgesetz und Aktivität t in min A(t) in Bq so, dass man auf eine Halbwertzeit von etwa 0min kommt. 4. Ermittle die Nullrate und die Halbwertzeit von Pb Bq; 3,3 h 5. (a) 30 P Si+e+ +ν e (b) m = N 0 M N 0 30u = 9, kg 0,10mg (c) N(75s) = N 0 1 = N 0 t s N N(t) ,1 10,0 5,00,50 1, N(t 1 ) = t 1 T = t 1 T = 0 7 =,857 t 1 T = 1,5146 t 1 = 7s t t s (d) N(t ) = N 0 t T = = 5, N(t 3 ) = N 0 t 3 T = = 4, N = N(t ) N(t 3 ) = 9, = A(300s) = N 4s =, s 6. (a) N 0 = m = 0,1kg M Sm u = 4,15 103, N 1 = m 1 = 0,095kg = 3, M Sm u (b) N 1 = N 0 t 1 T = t 1 T = N 1 N 0 = m 1 m 0 = 0,95 = t 1 T = 0,115 t 1 = 0,115 T = 1, a x = t 1 v = 1, , s m s = 3, m 1

13 7 Zerfallsgesetz und Aktivität 1LJ = m s 365, s = 9, m = x = 386LJ oder eleganter: x = vt 1 = v c ct 1 = 3, , LJ = 386LJ 7. (a) 148 Gd Sm+4 He W = (M Gd148 M Sm144 M He4 )c = = (147, , , )uc = = 0, uc = 5, J = 3,7MeV (b) N 0 = m M Gd148 = 4, In der Zeichnung: T =3,0cm N ,5 0 0 T t a (c) N(t 1 ) = N 0 t 1 T = 3, N 0 = t 1 T = 3, = t 1 T = 317,46 t 1 T = 8,31 = t 1 = 60a 8. (a) 38 Pu U+4 He W = (M Pu38 M U34 M He4 )c = = (38, , , )uc = = uc = 8, J = 5,593MeV (b) N 0 = m M Pu38 = 8, N N 0 N(t 1 ) = N 0 t 1 T = 0,1N0 t 1 T = 0,1 = t 1 T = 10 t 1 T = 3,3 = t 1 = 91a In der Zeichnung: T =,cm N t a 13

14 7 Zerfallsgesetz und Aktivität (c) N = N 0 N 0 1h T = N 0 ( ) = N 0 9, = 7, A(0) = A 0 = N 3600s =, s, A(t) = A 0 t T P 0 = P(0) = P(t) = P 0 t T N W t 80% = A 0 W 0,08 = 180W 0,08 = 14,4W 9. (a) Bi+1 n 10Bi Po+ 0 1 e (b) 10 Po Pb+4 He (c) Am : N 1 : Zahl der Po10-Kerne, N : Zahl der Pb06-Kerne λ = ln = 5, s = 1 5, d t1 N 1 = A λ =, , N = m 06u = 5, Die Zahl der Po 10-Kerne zum Zeitpunkt der Herstellung ist N 1 = N 0 e λt N 0 = N 1 +N = 6, = t = 1 ( ) λ ln N1 = 5, s = 60d N 0 60 = = = Datum der Herstellung:

15 8 Dosimetrie 1. (a) Bei einer Äquivalentdosis von 41 Sv hätte man eine Wahrscheinlichkeit größer als 1 an Krebs zu erkranken. 5% (b) 1Sv 30mSv = 0,15% Die Äquivalentdosis einer CT-Aufnahme des Bauchraums ist 15 mal so groß wie die gesamte Äquivalentdosis, die in einem Jahr durch medizinische Diagnostik verursacht wird!!! 5% (c) 1Sv 80 4,1mSv = 1,6% Man muss davon ausgehen, dass man die gesamte Äquivalentdosis am Anfang des Lebens bekommt, was natürlich nicht richtig ist. So ist es für einen 80 jährigen relativ egal, ob er im 81.ten Lebensjahr 4 msv oder 5 msv Äquivalentdosis abbekommt. Der daraus resultierende Krebs tritt wohl eh erst zehn Jahre später ein. (d) Radioaktiver Fallout, radioaktive Belastung im näheren Umkreis von Atomkraftwerken, beruflich bedingte Exponiertheit etwa vom Personal in Kernkraftwerken (kann statistisch eingerechnet werden). (e) Die Wahrscheinlichkeit in einem Jahr bei einem Autounfall zu sterben ist statistisch gesehen genau so groß wie aufgrund der Äquivalentdosis von 1 Sv an Krebs zu erkranken. Dennoch sollte man die Belastung durch die Radioaktivität nicht unterschätzen und ernst nehmen. Einige Leute sind der Ansicht, dass die Selbstheilungskräfte des Immunsystems, das heißt hier die Fähigkeit Strahlenschäden zu reparieren, durch geringe Dosen gestärkt wird (Training des Immunsystems). Dies bezeichnet man als Strahlenhormesis.. (a) (365 40:3) 365 0,4mSv+ (40:3) 365 1,1mSv = 0,6mSv (b) 38% 3. (a) 0,00kg 0, , kg = 3, (b) Pro Kilogramm: A = λ N = ln N T H Standardmensch: 70 A = 4,3kBq (c) H = qd = q E m = q A 1a 1,3MeV m = 6Bq = 0,41mSv 15

16 ( 4. (a) N (t) = N (0) exp ( N (0) exp ln t ln ( Frau: 65d; Mann: 1,1 10 d 8 Dosimetrie ) ( t T physikalisch exp ln 1 T physikalisch + 1 (b) A(0) = 5, Bq ; A(t) = A(0) exp Frau: 4, ; Mann: 6, (c) Frau: 0,054mSv; Mann: 0,074mSv t T biologisch ) = T biologisch )) = N (0) exp ( ln t T eff ) ( ln t T eff ) 5. (a) Physikalisch: 93%; Biologisch: 0,10%. (b) T physikalisch T biologisch T physikalisch +T biologisch T physikalisch T eff = T biologisch T physikalisch T biologisch +T physikalisch T biologisch T physikalisch T physikalisch (c) Durch Summieren der Rechtecksflächinhalte aus A(t) in kbq 5,0 = T biologisch 1, t in d kommt man auf 110d: 3, ; 1100d: 7, (d) H = q E m = 1 7, ,511MeV 75kg = 0,078mSv 16

17 9 Kernreaktionen 1. (a) Mit γ D = 199 und γ n = 396,01675 gilt: W T = (γ D +1)m D c γ n m n c = 4, J = 3038,94MeV = 1,08189 m }{{} T c γ T W = W0 +p c = p = 1 W c W0 = W 0 γ c 1 = mc γ 1 p D = m D c p T = m T c γ D γ T 1 = 1, kg m s = 400,69uc 1 = 6, kg m s = 1,45uc p n = m n c γn 1 = 1, kg m s = 399,447uc = p D = p T +p n (b) n p + +e +ν e Freie Neutronen existieren viel zu kurz in Freiheit, da sie beim Auftreffen auf Materie sofort von anderen Kernen eingefangen werden. (c) Mit λ = ln t = t1 gilt e λt = 1 10 t 1 β n = γ n t = 8, s, β n = = t = ln10 λ = ln10 t1 ln 1 1 γ n = 3,3 t1 = 0, x = β n ct ct = 8, Ls = 5Lh = 9,36Ld =, m = 043s 17