Quantenphilosophie. Judith Painsi Tobias Sütterlin. 31. Januar 2014

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1 Quantenphilosophie Judith Painsi Tobias Sütterlin 31. Januar

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Unschärferelation 4 3 Kollaps der Wellenfunktion 5 4 EPR-Experiment 6 5 Bell-Ungleichung Herleitung der CHSH-Ungleichung Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik 9 7 Bohmsche Mechanik 10 8 Viele-Welten-Interpretation 11 9 Anhang 12 2

3 1 Einleitung Die Quantenmechanik gilt heute als eine der am besten gesicherten physikalischen Theorien überhaupt. Sie konnte bisher nicht experimentell falsifiziert werden. Gleichwohl wurde sie immer wieder von der Community in Frage gestellt. Vor allem der nichtdeterministische Charakter und die scheinbare Verletzung der Lokalitäts- Hypothese 1 stießen sauer auf und brachten Physiker wie Einstein dazu an der Vollständigkeit der Quantenmechanik zu zweifeln. Um am vertrauten Determinismus festzuhalten wurden von den Realisten 2 sogenannte Hidden Variables eingeführt. Dazu später mehr. Grundsätzlich liefert die Quantenmechanik einen mathematischen Formalismus, um Aussagen über die Ausgänge von Messungen zu liefern. Dazu bedient sie sich der Wahrscheinlichkeitstheorie. 1 Salopp gesprochen: Teilchen können nicht auf beliebige Entfernung Information instantan übertragen (man bedenke die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit) 2 Anhänger der Theorie, dass Dinge fixe Eigenschaften zu jedem Zeitpunkt besitzen 3

4 2 Unschärferelation 1927 fand Werner Heisenberg heraus, dass zwei komplementäre Variablen (wie der Ort x und der Impuls p) nicht zur gleichen Zeit beide mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden können. In Heisenbergs Notation: x p h (1) Die in 1 beschriebene Unschärferelation ist nicht, wie häufig geglaubt, auf Einflussnahme der messenden Person auf das System zurückzuführen, sondern taucht in jedem Fall auf, wenn Systeme durch Wellen beschrieben werden, ist also eine fundamentale Eigenschaft von Quantenobjekten. Die Unschärferelation ergibt sich mathematisch daraus, dass die Verteilung von zwei komplementären Größen durch die Wellenfunktion ψ(x) gegeben ist. Um ein Teilchen genau zu lokalisieren, wird die beschreibende Welle mit weiteren Wellen, die verschiedene Impulse beschreiben, überlagert. Dabei handelt es sich im Prinzip um eine Fourier-Synthese (siehe2 ). Dass heißt es werden harmonische Schwingungen addiert, um die gewünschte Funktion zu erhalten. Abbildung 1: Fourier-Synthese Durch die Grenzwertbildung erhalten wir die Fourier-Transformation. ψ(x) = 1 2π h φ(p) e ipx h d p (2) Da, um den Ort x beliebig genau zu bestimmen, eine Integration über unendlich viele Impulswer- 4

5 te vonnöten ist, ist es offensichtlich, dass man damit jegliche Kenntnis über dessen eigentlichen Wert verliert. 3 Kollaps der Wellenfunktion Dieses Prinzip spielt ebenfalls eine wichtige Rolle für das theoretische Verständnis des Messvorgangs. Erste Gedanken dazu wurden 1932 von Werner Heisenberg und John von Neumann formuliert. In der Quantenmechanik wird ein physikalisches System durch die Superposition von Eigenzuständen beschrieben. ψ = n i=1 c i φ i (3) Bei einer Messung des Systems erhält man nichts desto trotz einen einzigen Messwert. Daraus folgt, dass die Superposition beim Messvorgang auf einen Zustand reduziert wird. ψ φ j (4) Dieser Übergang wird als Kollaps der Wellenfunktion bezeichnet. Er wurde anfänglich als Vorgang a priori postuliert. Vor allem die dadurch ermöglichte instantane Wechselwirkung, die der Lokalitäts-Hypothese widerspricht, führte zu Debatten. 5

6 4 EPR-Experiment 1935 sollte sich das Gedankenexperiment, benannt nach den Physikern Einstein, Podolsky und Rosen, genau um diese Ungereimtheit kümmern. Betrachten wir ein System zweier verschränkter Teilchen A und B, dessen Gesamtspin gleich Null ist, also den Singlett-Zustand: ψ = 1 2 ( + ) (5) Misst man nun den Spin des Teilchens A, kann man daraus sofort auf den Spin des Teilchens B schließen, ohne jegliche Messung und die beiden Teilchen können beliebig weit voneinander entfernt sein. Zur Erklärung dieses Phänomens kamen für Einstein, Podolsky und Rosen zwei Möglichkeiten in Frage. Die Erste, dass die Teilchen mit Überlichtgeschwindigkeit Information austauschen, wurde ausgeschlossen. Die Zweite Möglichkeit, die Annahme von sogenannten Hidden Variables, deren Kenntnis zu einer genauen deterministischen Vorhersage führen sollte, war für diese Physiker der Grund, die Vollständigkeit der Quantenmechanik anzuzweifeln. 5 Bell-Ungleichung Der Physiker John Stewart Bell versuchte 1964 die Existenz von Hidden Variables in die quantenmechanische Theorie zu verstricken. Ihm gelang es eine Ungleichung abzuleiten, die es ermöglichte experimentell die Existenz von Hidden Variables nachzuweisen. Eine Variante ist die CHSH-Ungleichung, die auf Clauser, Horne, Shimony und Holt zurückgeht und besonders gut umsetzbar ist. 5.1 Herleitung der CHSH-Ungleichung Ein verschränktes Photonenpaar wird erzeugt (zum Beispiel durch Zwei-Photonenemission) und die Polarisation der einzelnen Photonen wird von räumlich getrennten Beobachtern A und B gemessen. Dabei schalten sie ihre Polarisatoren zufällig zwischen zwei Richtung X A,Z A bzw X B,Z B hin und her, siehe dazu die Abbildung 2. Für jede Orientierung sind jeweils zwei Ergebnisse möglich, horizontal und vertikal, kodiert durch ±1. Gemäß der Theorie der Hidden Variables 6

7 sind die Polarisierungszustände der Photonen durch verborgene Parameter beschrieben. Wir nenne diese im Folgenden λ. Abbildung 2: Schematischer Aufbau des EPR-Experiments Der Kern des Experiments besteht nun darin, die Korrelation zwischen den Messungen von A und B zu betrachten. Dazu messen die Beobachter bei einer Folge von Emissionen jeweils gleichzeitig die Polarisationsrichtungen. Aus der gesamten Messreiche greifen wir nun jene heraus, wo die Beobachter die Richtung X A und X B gewählt haben. Nun bilden wir den Mittelwert über die beiden Messwerte: a x b x = a x (λ)b x (λ)dλ (6) Aus der Messreihe können wir natürlich noch die restlichen Korrelationsfunktionen a x b z, a z b x und a z b z. Der Trick ist nun, eine Abschätzung zu finden, die eine experimentelle Überprüfung möglich macht. Dazu bilden wird den Betrag κ = a x b x + a z b z + a z b x a x b z (7). Da alle Korrelationsfunktionen die Gestalt 6 haben können wir schreiben: κ = a x (λ)b x (λ) + a z (λ)b z (λ) + a z (λ)b x (λ) a x (λ)b z (λ)dλ (8) Mit der Dreiecksungleichung für Integrale gilt: 7

8 κ (a x b x + a z b z + a z b x a x b z ) dλ (9) Den Betrag kann nun geeignet umgeformt werden, sodass man mit den Werten ±1 für die Messungen, erkennen kann dass: (a x + a z )b x + (a z a x )b z = 2 (10) und daraus folgt die CHSH-Ungleichung a x b x + a z b z + a z b x a x b z 2 (11). Wichtig ist, dass alle Ausdrücke in der obigen Formeln experimentell bestimmbar sind. Das tatsächliche Ergebnis der Messungen widerspricht jedoch diesen Ungleichungen. Im Experiment werden durchaus Werte größer Zwei erreicht. Damit wäre experimentell widerlegt, dass Hidden Variables keinen Platz in der quantenmechanischen Theorie finden. Diese wäre somit als vollständig anzusehen. Wären da nur nicht einige Schlupflöcher beim Experiment, die nicht trivial zu umgehen sind. Zu den sogenannten Loopholes zählen unter anderem, dass die Teilchen auch wirklich weit genug voneinander entfernt sind und die relative Detektionsrate der Messung. Dieses Experiment mit möglichst vielen zugleich geschlossenen Loopholes durchzuführen, ist ein aktuelles Forschungsgebiet und wird an der Universität Wien von der Zeilinger-Gruppe bearbeitet. 8

9 6 Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik Bei der Kopenhagener Deutung handelt es sich um die erste abgeschlossene Interpretation der bis dahin rein mathematischen Quantenmechanik. Sie wurde 1927 von Niels Bohr und Werner Heisenberg während ihrer Zusammenarbeit in Kopenhagen entwickelt. Da die Kopenhagener Deutung sich in großen Teilen im Dialog zwischen den Physikern entwickelte, wurde sie nie präzise formuliert. Daher haben sich viele verschiedene Varianten entwickelt, die sich teilweise gegenseitig ausschließen. Gemein ist dieser Interpretation im allgemeinen jedoch: Ein System wird vollständig durch seine Wellenfunktion beschrieben. Beim Messvorgang kollabiert die Wellenfunktion und eine diskrete Observable kann gemessen werden. Die Wellenfunktion hat keine Entsprechung in der Realität, sondern ist nur ein mathematisches Werkzeug zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten. Es handelt sich also um eine instrumentalistische Interpretation. Die Quantenmechanik wird nicht als unvollständig betrachtet, sondern es wird davon ausgegangen, dass die Natur prinzipiell indeterministisch ist. Die Bornsche Regel erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für unterschiedliche Eigenwerte einer bestimmten Oberservable als Quadrat der Wellenfunktion. Das Komplementaritätsprinzip: Bestimmte Messungen schließen sich gegenseitig aus, gehören jedoch zusammen. Das bekannteste Beispiel ist Ort und Impuls eines Teilchens, die nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Eng verwandt ist der Welle- Teilchen-Dualismus. Quantenobjekte sind sowohl Welle als auch Teilchen, welche Eigenschaft zutage tritt hängt vom jeweiligen Experiment ab. Zwei Phänomene unter der Kopenhagener Deutung: EPR-Experiment: Wenn ein Teilchen A gemessen wird, kollabiert die entsprechende Wellenfunktion, keine ßpukhafte Fernwirkung"notwendig, da Wellenfunktion nicht real ist. Der Beobachter bei Teilchen B muss diese Information auf herkömmliche Art übermittelt werden, damit er davon profitieren kann. Überlichtschnelle Kommunikation ist nicht möglich (no-communication theorem). Doppelspaltexperiment: Die Frage ob ein Teilchen Spalt A oder Spalt B passiert hat ist unter der Kopenhagener Deutung nicht zulässig, da dass Teilchen nicht im Raum lokalisiert ist. Man kann nur die entsprechenden Wellenfunktion berechnen und anschließen die Wahrscheinlichkeit berechnen das Teilchen auf einem bestimmten Teil des Detektors zu registrieren. 9

10 7 Bohmsche Mechanik Die Bohmsche Mechanik ist auch unter dem Namen De-Borglie-Bohm-Theorie bekannt, da die grundlegende Idee zuerst in den 1920ern von De Broglie beschrieben wurde, hier noch unter dem Namen Theorie der Pilotwelle. Seine Interpretation findet jedoch wenig Beachtung. In den 1950ern formuliert der amerikanische Physiker David Bohm unwissend von de Boglies Arbeit eine äquivalente Fassung dieser Theorie. John Steward Bell war einer der wenigen, prominenten Befürworter der Bohm sche Interpretation. Auf seiner Suche nach einem Argument mit dem er seine Meinung untermauern kann fand er jedoch mit den Bellschen Ungleichungen, eines der stärksten Argumente gegen Interpretation mit Hidden Variables. In der Bohmschen Mechanik wird ein quantenmechanisches System durch die Wellenfunktion ψ und die Orte der Teilchen zu Beginn des Experimentes beschrieben. Die Wellengleichung erzeugt ein Führungsfeld dass die Teilchen auf kontinuierlichen, deterministischen Bahnen leitet. Bei der Führungsgleichung, die die Trajektorien der Teilchen beschreibt, handelt es sich um eine Differentialgleichung erster Ordnung. Um eine eindeutige Lösung für ein Teilchen zu finden genügt also der Ort des Teilchens, im Gegensatz zum klassischen Fall. Wie bei den meisten Interpretationen der Quantenmechanik besteht keine Möglichkeit, experimentell zwischen der Bohmschen Mechanik und der üblichen Quantenmechanik zu unterscheiden. Wichtige Eigenschaften der Bohmschen-Mechanik: Nichtlokalität: Alle Teilchen in einem System sind über dieses Führungsfeld verknüpft. Entfernt man zum Beispiel ein Teilchen, so ändert sich das Führungsfeld im ganzen System instantan. So kann ein Teilchen auch ein weit entferntes Teilchen beeinflussen. Signalübermittlung ist jedoch dennoch nicht möglich. Determinismus: Die Bohmsche Mechanik beschreibt Quantensysteme deterministisch, der Zustand des System zu einem beliebigen Zeitpunkt ist also eindeutig bestimmt durch die Anfangsbedingungen. Es ist keine Annahme einer prinzipiellen Zufälligkeit notwendig. Allerdings ist die Kenntnis der genauen Anfangsbedingungen in der Bohmschen Mechanik prinzipiell nicht möglich. Der deskriptive Gehalt beider Theorien ist also identisch. Das Messproblem taucht nicht auf, der "Kollaps der Wellenfunktionïst nicht notwendig. Das Teilchen ist nicht unterwegs verschwunden, sondern bewegte sich die ganze Zeit entlang einer eindeutigen Trajektorie. Verschiedene Messresultate bedeuten, dass die Anfangswerte unterschiedlich waren. 10

11 Kein Welle-Teilchen-Dualismus: Teilchen sind immer Teilchen, sie zeigen nur manchmal wellenartige Eigenschaften, da ihre Bewegungen durch eine Welle definiert werden. 8 Viele-Welten-Interpretation Die Viele-Welten-Interpretation ist eine Interpretation der Quantenmechanik, die auf den amerikanischen Physiker Hugh Everett zurückgeht. In seinem ursprünglichen Artikel Relative State Formulation of Quantum Mechanics von 1957 versucht Everett, die Quantenmechanik nur auf Grundlage der Schrödingergleichung zu rekonstruieren. Er macht möglichst wenige Annahmen, verzichtet also auf Hidden Variables, Kollaps der Wellenfunktion und Quantenpotentiale. Kern der Viele-Welten-Interpretation ist, dass bei einer quantenmechanischen Messung nicht zufällig ein bestimmtes Ergebnis realisiert wird, sondern das alle Ergebnisse realisiert werden. Everett spricht von einer universalen Wellengleichung, die sich in mehrere Äste aufspaltet, die sich in Superposition befinden und nicht mehr miteinander wechselwirken können. In jedem dieser Äste wurde ein bestimmtes Ergebnis realisiert. Niels Bohr stand der Viele-Welten-Interpretation jedoch sehr ablehnend gegenüber, vermutlich auch da Everett in seinem Artikel scharfe Kritik an der Kopenhagener Interpretation übte. Obwohl die Interpretation seinerzeit bekannt war wurde sie weitestgehend ignoriert. Everett zieht sich nach einiger Zeit aus der Forschung zurück und arbeitet von da an für das Pentagon veröffentlichte der amerikanische Physiker Bryce DeWitt einen Artikel, der die Everett sche Interpretation auffasste und neu zur Diskussion stellte. DeWitt führte er auch den Begriff Many- Worlds-Interpretation und die Vorstellung, dass sich die Welt aufspaltet ein. Heutzutage ist die Viele-Welten-Interpretation eine der populärsten Interpretationen, die diverse bekannte Wissenschaftler anerkennen (u. a. Murray Gell-Mann, Stephen W. Hawking, Steven Weinberg). Aus dem Versuch die Viele-Welten-Interpretation weiterzuentwickeln entstand in den 80ern die sog. Consistent-Histories-Interpretation. Es gibt viele verschiedene Varianten der Viele-Welten-Interpretation. Während Everett und De- Witt die anderen Welten für real halten, bevorzugen Hawking und Weinberg bevorzugen nichtreale Variante, bei der über die anderen Welten keine aussagen gemacht werden, wodurch die Viele-Welten-Interpretation zu einer sehr pragmatischen Theorie wird. 11

12 9 Anhang Bohm_theory Richard Feynman - QED Haken, Wolf - Atom- und Quantenphysik 12