3.4 Die relationale Algebra

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1 Algebra: 3.4 Die relationale Algebra gegeben eine Menge N ( Anker der Algebra ) Menge von Operationen { σ 1,, σ n } der Form σ j :N k N elationale Algebra Anker ist die Menge aller elationen {(, I) I ist eine Instanz des chemas } insgesamt gibt es 6 Grundoperationen eite 58 von 73

2 3.4.1 Grundoperationen der relationalen Algebra Gegeben seien zwei elationen = ({A 1,,A r }, I ) und = ({B 1,,B s }, I ) mit Grad r und Grad s. Es wird durch die folgenden Operationen eine neue elation T berechnet. Es sei hier angenommen, daß die Attribute des elationenschema geordnet sind. Dann gilt: I = {(a 1,,a r ) a i dom(a i ), 1 i r} und I = { (b 1,,b s ) b i dom(b i ), 1 i s} Vereinigung: Voraussetzung: und besitzen gleiches chema (bis auf Umbenennung der Attribute identisch) T = I T = I I Differenz: Voraussetzung: und besitzen gleiches chema (bis auf Umbenennung der Attribute identisch) T = I T = I I eite 59 von 73

3 Kartesisches Produkt: T = I T = I I Projektion: π X ( ) Voraussetzung: X. T = X I T = { rx [ ] r I } Einige Anmerkungen zur chreibweise: Da wir angenommen haben, daß das chema einer elation geordnet ist, kann die Teilmenge X des elationenschema durch Indizes spezifiziert werden. = {A 1, A 2, A 3 } und X = {A 1, A 3 }: π 1, 3 ( ) = π X ( ) Die bevorzugte chreibweise ist jedoch die Menge der Attribute aufzulisten, wobei die Mengenklammern weggelassen werden: π A1, A ( ) = π 3 X ( ) elektion: σ F ( ) F bezeichnet eine Formel (F: I -> {true,false}), die sich aus Atomen der Form a op b zusammensetzt. Dabei sind eite 60 von 73

4 a und b Operanden: Konstanten oder Name eines Attributs op ein Vergleichsoperator aus =,, <,, >,. Die Atome können in einer Formel durch boole sche Operatoren:,, beliebig miteinander verknüpft werden. Die Ergebnisrelation T ergibt sich dann folgendermaßen: T = I T = { tt I Ft ()} Umbenennen von Attributen ρ B A ( ) Attribut A der elation wird umbenannt in B. Ansonsten unterscheidet sich das chema der elationen nicht. Umbenennung unterscheidet sich von den anderen Operatoren dadurch, daß keine neue Instanz erzeugt wird, sondern nur das chema der elation verändert wird. Operator ist notwendig, wenn eine elation mehrfach in einer Anfrage vorkommt. eite 61 von 73

5 Beispiele A B C a b c d a f c b d D E F b g a d a f a b c d a f c b d b g a a b c c b d π A C A, C ( ) A B C ( ) a d c c f d σ B = b a b c c b d ρ B D A B C D E F a b c b g a a b c d a f d a f b g a d a f d a f c b d b g a c b d d a f ( ) B E F b g a d a f eite 62 von 73

6 Beispiele für Anfragen elationenschemata: tädte( Name, Einw, LName) Länder( LName, LEinw, Partei) Bestimme alle Großstädte und ihre Einwohnerzahlen π Name, Einw σ Einw ( ( tädte) ) In welchem Lande liegt die tadt Passau? π LName ( σ Name = Passau ( tädte) ) Bestimme die Namen aller tädte, deren Einwohnerzahl die eines Landes übersteigt. π Name ( σ Einw > LEinw ( tädte Länder) ) Finde alle tädtenamen in CDU-regierten Ländern. π Name ( σ tädte.lname = Länder.LName ( tädte σ Partei = CDU ( Länder) )) Gib alle tädte, die es nur in Hessen gibt? π Name ( σ LName = Hessen ( tädte) ) π Name ( σ LName Hessen ( tädte) ) eite 63 von 73

7 3.4.2 Abgeleitete Operationen Durchschnitt: = ( ) Beispiel: B C D b c a b c d b f b a d c B C D b c d b c e a d b B C D b c d eite 64 von 73

8 Quotient (Division): vereinfachende Annahme: I r > s, und A r = B s, A r-1 = B s-1,, A r-s+1 = B 1 elationenschema = { A 1,, A r s } Instanz des Quotienten: I := {( a 1,, a r s ) ( b 1,, b s ) I : ( a 1,, a r s, b 1,, b s ) I } Ableitung des Quotienten durch die Basisoperationen (siehe Übung) Beispiel: A B C D a b c d a b e f b c e f e d c d e d e f a b d e C D c d e f A B a b e d eite 65 von 73

9 Theta-Join (Verbund): iθj Auswahl bestimmter Tupel aus dem kartesischen Produkt : iθj := σ Ai θ B ( ) j mit θ { =,, <,, >, } Für θ = = wird der Join auch als Equijoin bezeichnet. Beispiel: A B C D E B < D A B C D E eite 66 von 73

10 Natürlicher Verbund (natural join): wichtigste Operation neben der elektion vereinfachende Annahme: A 1 = B 1,, A k = B k und A j B i für alle j und i mit k< j r und k< i s Dann ist: ( ) := π ik + 1, i k + 2,, i σ r + s.a1 =.B 1.A k =.B ( ) k Beispiel: B C A b c a b c d b f b a d c B C D b c d b c e a d b B C A D b c a d b c a e b c d d b c d e a d c b eite 67 von 73

11 Beispiele Datenbankschema: P-M-Zuteilung: pnr mnr Fähigke it Abteilungsleiter: abtnr pnr B10 67 A A64 51 Abteilung: abtnr AName B10 pielzeug A63 Computer A64 uppen Personal: pnr PName Vorname abtnr Lohn 67 Meier Helmut B10 L4 73 Müller Margot B10 L5 114 Bayer Martin A63 L6 51 Daum Birgit A64 L7 69 törmer Willi A64 L6 333 Haar Hans A63 L6 701 einer Willi A64 L6 82 Just Michael A64 L6 Maschinen: mnr MName 84 Presse 93 Füllanlage 101 äge eite 68 von 73

12 Anfragen Gib alle Namen von Personen, die an einer Maschine ausgebildet sind. π PName ( Personal P-M-Zuteilung) Gib alle Namen der Personen, die an keiner Maschine genügend gut ausgebildet sind. π PName (( π pnr ( Personal) π pnr ( σ Fähigkeit < 5 ( P-M-Zuteilung) )) Personal) Gib die Namen der Personen aus Abteilung uppen, die an der Maschine mit mnr = 93 ausgebildet sind. π PName ((( σ AName = uppen ( Abteilung) ) Personal) σ mnr = 93 ( P-M-Zuteilung) ) Gib die Namen der Personen, die an der gleichen Maschine ausgebildet sind wie die Person mit pnr = 114. π PName ( Personal (( π mnr ( σ pnr = 114 ( P-M-Zuteilung) )) P-M-Zuteilung) ) eite 69 von 73

13 Weitere Join-Operatoren bisherige Join-Operatoren werden auch als innere Joins bezeichnet Datensätze ohne Join-Partner gehen verloren äußere Join-Operatoren (engl.: outer joins): Datensätze ohne Join-Partner werden (teilweise) berücksichtigt linker äußerer Join : Tupel von bleiben erhalten rechter äußerer Join : Tupel von bleiben erhalten vollständiger äußerer Join : Tupel von und bleiben erhalten emi-join = Π ( ) Enthält alle Tupel der elation, die an dem Join mit der elation beteiligt sind. eite 70 von 73

14 Beispiele A B C a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 C D E c 1 d 1 e 1 c 3 d 2 e 2 linker äußerer Join A B C D E a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 c 2 NULL NULL emi-join A B C a 1 b 1 c 1 eite 71 von 73

15 3.5 Vergleich rel. Algebra und Tupelkalkül die relationale Algebra wird als Maß für die Ausdrucksstärke einer Anfragesprache genommen. Es gilt: die relationale Algebra, sichere Ausdrücke des elationenkalkül und sichere Ausdrücke des Bereichskalkül sind äquivalent zueinander prache L heißt relational vollständig, g.d.w. jeder Ausdruck der elationenalgebra kann in L simuliert werden. prache L heißt streng relational vollständig, g.d.w jeder Ausdruck der relationalen Algebra kann durch einen Ausdruck in der prache L simuliert werden. Tupel- und Bereichskalkül sind streng relational vollständig eite 72 von 73

16 Von relationaler Algebra zum Tupelkalkül eien 1 und 2 elationen mit = { t ( i ) Ψ i () t }, i = 12,. Vereinigung: 1 2 Differenz Projektion: elektion: = { t Ψ 1 () t Ψ 2 () t } i 1 2 = { t ( Ψ 1 () t Ψ 2 () t )} π i1,, i ( m 1 ) = { t u( Ψ 1 ( u) ( t[ 1] = ui [ 1 ]) ( tm [ ] = ui [ m ]))} σ F ( 1 ) = { t ( Ψ 1 () t ti []θa)} für F = ( t[]θa i ) eite 73 von 73