Kapitel DB:V (Fortsetzung)

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1 Kapitel DB:V (Fortsetzung) V. Grundlagen relationaler Anfragesprachen Anfragen und Änderungen Relationale Algebra Anfragekalküle Relationaler Tupelkalkül Relationaler Domänenkalkül DB:V-70 Relational Algebra & Calculus STEIN

2 Anfragekalküle Einleitung Anfragealgebren spiegeln das Konzept von abstrakten Datenstrukturen wider; der Datentyp ist die Relation mit entsprechenden Operationen hierauf. Ein relationaler Ausdruck ist eine prozedurale Beschreibung, also eine genau festgelegte Folge von Operationen zur Berechnung einer Anfrage. DB:V-71 Relational Algebra & Calculus STEIN

3 Anfragekalküle Einleitung Anfragealgebren spiegeln das Konzept von abstrakten Datenstrukturen wider; der Datentyp ist die Relation mit entsprechenden Operationen hierauf. Ein relationaler Ausdruck ist eine prozedurale Beschreibung, also eine genau festgelegte Folge von Operationen zur Berechnung einer Anfrage. Anfragekalküle sind ein logikbasierter Ansatz zur Beschreibung der Ergebnismenge einer Anfrage. Sie können als deklarative bzw. nicht-prozedurale Sprache aufgefasst werden. Insbesondere enthält eine Formel des Kalküls keine Information darüber, wie sie auszuwerten ist. Für das relationale Modell betrachtet man folgende Kalküle: 1. relationaler Tupelkalkül 2. relationaler Domänenkalkül, auch Bereichskalkül genannt DB:V-72 Relational Algebra & Calculus STEIN

4 Anfragekalküle Einleitung (Fortsetzung) Die Kalkülsprache verwendet die Namen der Relationen und Attribute. Die Sätze der Kalkülsprache heißen Formeln. Die Grundbausteine der Formeln heißen Atome. Formeln, deren (Un)Wahrheit sich feststellen lässt, heißen Aussagen. Beispiele für Formeln: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Tupel t ist Element der Relation Mitarbeiter. (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Tupel (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ist kein Element der Relation Mitarbeiter. (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Es gibt ein Tupel in der Relation Mitarbeiter, in dem AbtNr = 5 gilt. Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-73 Relational Algebra & Calculus STEIN

5 Anfragekalküle Einleitung (Fortsetzung) Die Kalkülsprache verwendet die Namen der Relationen und Attribute. Die Sätze der Kalkülsprache heißen Formeln. Die Grundbausteine der Formeln heißen Atome. Formeln, deren (Un)Wahrheit sich feststellen lässt, heißen Aussagen. Beispiele für Formeln: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Tupel t ist Element der Relation Mitarbeiter. (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Tupel (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ist kein Element der Relation Mitarbeiter. (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Es gibt ein Tupel in der Relation Mitarbeiter, in dem AbtNr = 5 gilt. Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-74 Relational Algebra & Calculus STEIN

6 Anfragekalküle Einleitung (Fortsetzung) Die Kalkülsprache verwendet die Namen der Relationen und Attribute. Die Sätze der Kalkülsprache heißen Formeln. Die Grundbausteine der Formeln heißen Atome. Formeln, deren (Un)Wahrheit sich feststellen lässt, heißen Aussagen. Beispiele für Formeln: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Tupel t ist Element der Relation Mitarbeiter. (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Tupel (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ist kein Element der Relation Mitarbeiter. (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Es gibt ein Tupel in der Relation Mitarbeiter, in dem AbtNr = 5 gilt. Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-75 Relational Algebra & Calculus STEIN

7 Anfragekalküle Einleitung (Fortsetzung) Die Kalkülsprache verwendet die Namen der Relationen und Attribute. Die Sätze der Kalkülsprache heißen Formeln. Die Grundbausteine der Formeln heißen Atome. Formeln, deren (Un)Wahrheit sich feststellen lässt, heißen Aussagen. Beispiele für Formeln: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Tupel t ist Element der Relation Mitarbeiter. (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Tupel (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ist kein Element der Relation Mitarbeiter. (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Es gibt ein Tupel in der Relation Mitarbeiter, in dem AbtNr = 5 gilt. Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-76 Relational Algebra & Calculus STEIN

8 Anfragekalküle Einleitung (Fortsetzung) Die Kalkülsprache verwendet die Namen der Relationen und Attribute. Die Sätze der Kalkülsprache heißen Formeln. Die Grundbausteine der Formeln heißen Atome. Formeln, deren (Un)Wahrheit sich feststellen lässt, heißen Aussagen. Beispiele für Formeln: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Tupel t ist Element der Relation Mitarbeiter. (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Tupel (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ist kein Element der Relation Mitarbeiter. (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Es gibt ein Tupel in der Relation Mitarbeiter, in dem AbtNr = 5 gilt. Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-77 Relational Algebra & Calculus STEIN

9 Anfragekalküle Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax I Sei Σ eine Menge von Atomen aus einem Anfragekalkül, dann sind folgende Ausdrücke Formeln in diesem Kalkül: 1. Jedes Atom in Σ ist eine Formel. 2. Sind α und β Formeln, so sind es auch (α), α, α β, α β und α β. Beispiele für Aussagen, Aussageformen, Atome: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Aussageform, Atom (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Aussage (falsch), keine atomare Formel (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Aussage (wahr), keine atomare Formel Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-78 Relational Algebra & Calculus STEIN

10 Anfragekalküle Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax I Sei Σ eine Menge von Atomen aus einem Anfragekalkül, dann sind folgende Ausdrücke Formeln in diesem Kalkül: 1. Jedes Atom in Σ ist eine Formel. 2. Sind α und β Formeln, so sind es auch (α), α, α β, α β und α β. Beispiele für Aussagen, Aussageformen, Atome: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Aussageform, Atom (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Aussage (falsch), keine atomare Formel (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Aussage (wahr), keine atomare Formel Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-79 Relational Algebra & Calculus STEIN

11 Anfragekalküle Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax I Sei Σ eine Menge von Atomen aus einem Anfragekalkül, dann sind folgende Ausdrücke Formeln in diesem Kalkül: 1. Jedes Atom in Σ ist eine Formel. 2. Sind α und β Formeln, so sind es auch (α), α, α β, α β und α β. Beispiele für Aussagen, Aussageformen, Atome: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Aussageform, Atom (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Aussage (falsch), keine atomare Formel (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Aussage (wahr), keine atomare Formel Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-80 Relational Algebra & Calculus STEIN

12 Anfragekalküle Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax I Sei Σ eine Menge von Atomen aus einem Anfragekalkül, dann sind folgende Ausdrücke Formeln in diesem Kalkül: 1. Jedes Atom in Σ ist eine Formel. 2. Sind α und β Formeln, so sind es auch (α), α, α β, α β und α β. Beispiele für Aussagen, Aussageformen, Atome: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Aussageform, Atom (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Aussage (falsch), keine atomare Formel (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Aussage (wahr), keine atomare Formel Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-81 Relational Algebra & Calculus STEIN

13 Anfragekalküle Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax I Sei Σ eine Menge von Atomen aus einem Anfragekalkül, dann sind folgende Ausdrücke Formeln in diesem Kalkül: 1. Jedes Atom in Σ ist eine Formel. 2. Sind α und β Formeln, so sind es auch (α), α, α β, α β und α β. Beispiele für Aussagen, Aussageformen, Atome: (a) Mitarbeiter(t) alternativ: t Mitarbeiter Aussageform, Atom (b) Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) Aussage (falsch), keine atomare Formel (c) t : Mitarbeiter(t) t.abtnr = 5 Aussage (wahr), keine atomare Formel Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-82 Relational Algebra & Calculus STEIN

14 Anfragekalküle Bewertung einer Formel / Interpretation der Sprache: Semantik I 1. Auf Basis des Datenbankzustandes d(r) = {r 1,..., r p } lässt sich einem Atom α Σ ein Wahrheitswert, in Zeichen: I(α), zuweisen. 2. Auf Basis der Wahrheitswerte der Atome lässt sich rekursiv gemäß der Semantik für,,, einer Formel α ein Wahrheitswert I(α) zuweisen. Beispiele für die Bewertung von Formeln: (b) I( Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) ) = 0 }{{} α Atom {}}{ (c) I( t : Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 }{{} α ) = 1 Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-83 Relational Algebra & Calculus STEIN

15 Anfragekalküle Bewertung einer Formel / Interpretation der Sprache: Semantik I 1. Auf Basis des Datenbankzustandes d(r) = {r 1,..., r p } lässt sich einem Atom α Σ ein Wahrheitswert, in Zeichen: I(α), zuweisen. 2. Auf Basis der Wahrheitswerte der Atome lässt sich rekursiv gemäß der Semantik für,,, einer Formel α ein Wahrheitswert I(α) zuweisen. Beispiele für die Bewertung von Formeln: (b) I( Mitarbeiter( (Smith, 1234, Weimar, 3334, 5) ) ) = 0 }{{} α Atom {}}{ (c) I( t : Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 }{{} α ) = 1 Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt DB:V-84 Relational Algebra & Calculus STEIN

16 Bemerkungen: Ein Atom ist die einfachste Formel. Eine Formel stellt entweder eine Aussage oder eine Aussageform dar. Von einer Aussage lässt sich feststellen, ob sie wahr oder falsch ist; von einer Aussageform lässt sich nicht die Wahrheit bzw. Unwahrheit feststellen. In einem Anfragekalkül geschieht die Feststellung des Wahrheitswertes (= Interpretation, Semantik) einer atomaren Aussage auf Basis des Datenbankzustandes: das Atom entspricht dem Test, ob ein bestimmtes Wertetupel t oder ein bestimmter Attributwert x ein Element einer Relation r im Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } ist. Der Wahrheitswert (= Interpretation, Semantik) einer komplexen Formel leitet sich in eindeutiger Weise von den Wahrheitswerten der Atome der Formel ab. Dabei ist die Verknüpfung von Wahrheitswerten mit den Junktoren (= Operatoren),,, wie folgt definiert: α β 0 1 α β 0 1 α β 0 1 α Die Interpretationsfunktion wird mit I bezeichnet und liefert für eine Formel α, die eine Aussage darstellt, ihren Wahrheitswert: α I(α), I(α) {0, 1}. Mit Formeln werden die Bedingungen einer Datenbankanfrage nachgebildet. DB:V-85 Relational Algebra & Calculus STEIN

17 Anfragekalküle Freie und gebundene Variablen Sei α eine Formel, die eine Variable x enthält. Dann sei vereinbart: (a) Ist α ein Atom, so ist x eine freie Variable. (b) Das Vorkommen von x in (α), α, α β, α β und α β ist frei oder gebunden abhängig davon, ob es in α frei oder gebunden ist. (c) Alle freien Vorkommen von x in α sind gebunden in xα und xα. (d) In keiner Formel darf eine Variable sowohl frei als auch gebunden auftreten. DB:V-86 Relational Algebra & Calculus STEIN

18 Anfragekalküle Freie und gebundene Variablen Sei α eine Formel, die eine Variable x enthält. Dann sei vereinbart: (a) Ist α ein Atom, so ist x eine freie Variable. (b) Das Vorkommen von x in (α), α, α β, α β und α β ist frei oder gebunden abhängig davon, ob es in α frei oder gebunden ist. (c) Alle freien Vorkommen von x in α sind gebunden in xα und xα. (d) In keiner Formel darf eine Variable sowohl frei als auch gebunden auftreten. DB:V-87 Relational Algebra & Calculus STEIN

19 Anfragekalküle Freie und gebundene Variablen Sei α eine Formel, die eine Variable x enthält. Dann sei vereinbart: (a) Ist α ein Atom, so ist x eine freie Variable. (b) Das Vorkommen von x in (α), α, α β, α β und α β ist frei oder gebunden abhängig davon, ob es in α frei oder gebunden ist. (c) Alle freien Vorkommen von x in α sind gebunden in xα und xα. (d) In keiner Formel darf eine Variable sowohl frei als auch gebunden auftreten. DB:V-88 Relational Algebra & Calculus STEIN

20 Anfragekalküle Freie und gebundene Variablen Sei α eine Formel, die eine Variable x enthält. Dann sei vereinbart: (a) Ist α ein Atom, so ist x eine freie Variable. (b) Das Vorkommen von x in (α), α, α β, α β und α β ist frei oder gebunden abhängig davon, ob es in α frei oder gebunden ist. (c) Alle freien Vorkommen von x in α sind gebunden in xα und xα. (d) In keiner Formel darf eine Variable sowohl frei als auch gebunden auftreten. DB:V-89 Relational Algebra & Calculus STEIN

21 Anfragekalküle Freie und gebundene Variablen Sei α eine Formel, die eine Variable x enthält. Dann sei vereinbart: (a) Ist α ein Atom, so ist x eine freie Variable. (b) Das Vorkommen von x in (α), α, α β, α β und α β ist frei oder gebunden abhängig davon, ob es in α frei oder gebunden ist. (c) Alle freien Vorkommen von x in α sind gebunden in xα und xα. (d) In keiner Formel darf eine Variable sowohl frei als auch gebunden auftreten. Aufbau einer Formel / Grammatik der Sprache: Syntax II [Syntax I] 3. Ist α eine Formel, so sind es auch xα und xα wobei x eine Variable ist, die in α frei vorkommt. Bewertung einer Formel / Interpretation der Sprache: Semantik II [Semantik I] 3. Eine Formel xα ist wahr, falls α bzgl. einer Instanziierung von x wahr wird. Eine Formel xα ist wahr, falls α bzgl. aller Instanziierungen von x wahr wird. Die Menge der möglichen Instanziierungen heißt Universum. DB:V-90 Relational Algebra & Calculus STEIN

22 Bemerkungen: Eine Formel mit freien Variablen stellt eine Aussageform dar. Eine Formel, die keine oder nur gebundene (= instanziierte) Variablen enthält, stellt eine Aussage dar. Die für eine Instanziierung zur Verfügung stehenden Wertetupel t bzw. Attributwerte x stammen aus einem Grundbereich, auch Universum genannt. Das Universum enthält alle möglichen Tupel bzw. Attributwerte, die in einem Datenbankzustand vorliegen können. Im Allgemeinen enthält das Universum unendlich viele Elemente. DB:V-91 Relational Algebra & Calculus STEIN

23 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } DB:V-92 Relational Algebra & Calculus STEIN

24 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name (σ AbtNr= 5 (Mitarbeiter)) Tupelkalkül { α} {(t.name) Atom {}}{ Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 } = {(Smith), (Wong)} DB:V-93 Relational Algebra & Calculus STEIN

25 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name (σ AbtNr= 5 (Mitarbeiter)) Tupelkalkül { α} {(t.name) Atom {}}{ Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 } = {(Smith), (Wong)} DB:V-94 Relational Algebra & Calculus STEIN

26 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name (σ AbtNr= 5 (Mitarbeiter)) Tupelkalkül { α} {(t.name) Atom {}}{ Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 } = {(Smith), (Wong)} DB:V-95 Relational Algebra & Calculus STEIN

27 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name (σ AbtNr= 5 (Mitarbeiter)) Tupelkalkül { α} {(t.name) Atom {}}{ Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 } = {(Smith), (Wong)} DB:V-96 Relational Algebra & Calculus STEIN

28 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name (σ AbtNr= 5 (Mitarbeiter)) Tupelkalkül { α} {(t.name) Atom {}}{ Mitarbeiter(t) Atom {}}{ t.abtnr = 5 } = {(Smith), (Wong)} DB:V-97 Relational Algebra & Calculus STEIN

29 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage (Fortsetzung) Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Schema zur Konstruktion der Ergebnisrelation res für Anfrage { α} : 1. res = 2. Die freien Variablen (= die Variablen in ) werden hinsichtlich aller Tupel (im Tupelkalkül) bzw. aller Attributwerte (im Domänenkalkül) für die in der Datenbank befindlichen Relationen {r 1,..., r p } instanziiert. Durch die Instanziierung wird die Aussageform α zu einer Aussage. 3. Für jede Instanziierung der freien Variablen wird geprüft, ob die Formel α wahr (erfüllt) ist. Falls ja, setze res = res { } 4. res enthält keine weiteren Elemente. DB:V-98 Relational Algebra & Calculus STEIN

30 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage (Fortsetzung) Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Schema zur Konstruktion der Ergebnisrelation res für Anfrage { α} : 1. res = 2. Die freien Variablen (= die Variablen in ) werden hinsichtlich aller Tupel (im Tupelkalkül) bzw. aller Attributwerte (im Domänenkalkül) für die in der Datenbank befindlichen Relationen {r 1,..., r p } instanziiert. Durch die Instanziierung wird die Aussageform α zu einer Aussage. 3. Für jede Instanziierung der freien Variablen wird geprüft, ob die Formel α wahr (erfüllt) ist. Falls ja, setze res = res { } 4. res enthält keine weiteren Elemente. DB:V-99 Relational Algebra & Calculus STEIN

31 Anfragekalküle Auswertung einer Anfrage (Fortsetzung) Gegeben: Anfrage { α} mit freien Variablen im Tupelausdruck und Formel α Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } Schema zur Konstruktion der Ergebnisrelation res für Anfrage { α} : 1. res = 2. Die freien Variablen (= die Variablen in ) werden hinsichtlich aller Tupel (im Tupelkalkül) bzw. aller Attributwerte (im Domänenkalkül) für die in der Datenbank befindlichen Relationen {r 1,..., r p } instanziiert. Durch die Instanziierung wird die Aussageform α zu einer Aussage. 3. Für jede Instanziierung der freien Variablen wird geprüft, ob die Formel α wahr (erfüllt) ist. Falls ja, setze res = res { } 4. res enthält keine weiteren Elemente. DB:V-100 Relational Algebra & Calculus STEIN

32 Relationaler Tupelkalkül Konzepte [Domänenkalkül] 1. Tupelvariablen, die sich auf Relationen r i d(r), d(r) = {r 1,..., r p }, beziehen und mit jedem Tupel aus r i instanziiert werden können. 2. Formeln, mit denen sich auf Basis der Tupelvariablen Zusammenhänge zwischen Attributen formulieren lassen. DB:V-101 Relational Algebra & Calculus STEIN

33 Relationaler Tupelkalkül Anfragen [Domänenkalkül] Anfrage im relationalen Tupelkalkül mit Variablen t 1, t 2,..., t n, t n+1,..., t n+m : {t α} allgemein : {(t 1.A 1, t 2.A 2,..., t n.a n ) α} t 1,..., t n sind freie, t n+1,..., t n+m sind gebundene Tupelvariablen. A 1,..., A n sind Attribute der Relationen bzgl. derer die t i instanziiert sind. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: DB:V-102 Relational Algebra & Calculus STEIN

34 Relationaler Tupelkalkül Anfragen [Domänenkalkül] Anfrage im relationalen Tupelkalkül mit Variablen t 1, t 2,..., t n, t n+1,..., t n+m : {t α} allgemein : {(t 1.A 1, t 2.A 2,..., t n.a n ) α} t 1,..., t n sind freie, t n+1,..., t n+m sind gebundene Tupelvariablen. A 1,..., A n sind Attribute der Relationen bzgl. derer die t i instanziiert sind. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: 1. r(t) alternativ: t r ist ein Atom, wobei t eine Tupelvariable und r eine Relation bezeichnet. r(t) ist wahr für eine Instanziierung von t, falls diese Instanziierung ein Tupel in r ist. DB:V-103 Relational Algebra & Calculus STEIN

35 Relationaler Tupelkalkül Anfragen [Domänenkalkül] Anfrage im relationalen Tupelkalkül mit Variablen t 1, t 2,..., t n, t n+1,..., t n+m : {t α} allgemein : {(t 1.A 1, t 2.A 2,..., t n.a n ) α} t 1,..., t n sind freie, t n+1,..., t n+m sind gebundene Tupelvariablen. A 1,..., A n sind Attribute der Relationen bzgl. derer die t i instanziiert sind. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: 1. r(t) alternativ: t r ist ein Atom, wobei t eine Tupelvariable und r eine Relation bezeichnet. r(t) ist wahr für eine Instanziierung von t, falls diese Instanziierung ein Tupel in r ist. 2. t i.a i op t j.a j ist ein Atom mit op {=, <,, >,, }. t i, t j bezeichnen Tupelvariablen und A i, A j bezeichnen Attribute aus den Relationen hinsichtlich derer t i bzw. t j instanziiert sind. 3. t i.a i op c ist ein Atom mit op {=, <,, >,, }. t i bezeichnet eine Tupelvariable, A i ein Attribut aus der Relation hinsichtlich der t i instanziiert ist und c dom(a i ) ist eine Konstante. DB:V-104 Relational Algebra & Calculus STEIN

36 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 1 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. DB:V-105 Relational Algebra & Calculus STEIN

37 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 1 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL DB:V-106 Relational Algebra & Calculus STEIN

38 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 1 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL Tupelkalkül {(t 1.Name, t 1.Wohnort) Mitarbeiter(t 1 ) t 2 (Abteilung(t 2 ) t 2.AbtName = Forschung t 2.Nr = t 1.AbtNr)} DB:V-107 Relational Algebra & Calculus STEIN

39 Bemerkungen: Die Qualifizierung der freien Tupelvariablen vor dem Trennsymbol bei der Mengenbildung entspricht der Projektion π in der relationalen Algebra. Beispiel: {(t 1.Name,...)...} Eine Bedingung, die sich auf ein Attribut und eine Konstante bezieht, entspricht einer Selektion, σ, in der relationalen Algebra. Beispiel: t 2.AbtName = Forschung Eine Bedingung bzgl. zweier Attribute, die sich auf Tupel aus verschiedenen Relationen bezieht, entspricht einem Verbund (Join),, in der relationalen Algebra. Beispiel: t 2.Nr = t 1.AbtNr DB:V-108 Relational Algebra & Calculus STEIN

40 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 2 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. DB:V-109 Relational Algebra & Calculus STEIN

41 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 2 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. Relationenalgebra π PNr,AbtNr, Name,Wohnort ((ρ PNr Nr, PName Name (σ Ort= Weimar (Projekt))) AbtNr=Nr Abteilung Manager=PersNr Mitarbeiter) DB:V-110 Relational Algebra & Calculus STEIN

42 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 2 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. Relationenalgebra π PNr,AbtNr, Name,Wohnort Tupelkalkül TAFEL ((ρ PNr Nr, PName Name (σ Ort= Weimar (Projekt))) AbtNr=Nr Abteilung Manager=PersNr Mitarbeiter) DB:V-111 Relational Algebra & Calculus STEIN

43 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 3 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in allen Projekten der Abteilung 5 arbeiten. DB:V-112 Relational Algebra & Calculus STEIN

44 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 3 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in allen Projekten der Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name ((ArbeitetInProjekt ρ ProjektNr Nr (π Nr (σ AbtNr= 5 (Projekt)))) Mitarbeiter) DB:V-113 Relational Algebra & Calculus STEIN

45 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 3 [Domänenkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere die Namen der Mitarbeiter, die in allen Projekten der Abteilung 5 arbeiten. Relationenalgebra π Name ((ArbeitetInProjekt ρ ProjektNr Nr (π Nr (σ AbtNr= 5 (Projekt)))) Mitarbeiter) Tupelkalkül TAFEL DB:V-114 Relational Algebra & Calculus STEIN

46 Bemerkungen: Interpretation des -Quantors in der folgenden Formel: α = Mitarbeiter(t 1 ) t 3 β Semantik: α ist erfüllt für diejenigen Mitarbeiter(tupel t 1 ), bei denen für alle Tupel t 3 die Teilformel β erfüllt ist. Beachte, dass t 3 an alle Tupel des Universums bzw. des Datenbankzustandes d(r) gebunden wird und bzgl. aller möglichen Instanziierungen die Formel β erfüllen muss. Die Quantoren können verschoben werden, solange sich keine Variablenbindungen ändern und die Ordnung zwischen den - und -Quantoren erhalten bleibt: {(t 1.Name) Mitarbeiter(t 1 ) t 3 t 4 ( (Projekt(t 3 ) (t 3.AbtNr = 5 )) (ArbeitetInProjekt(t 4 ) t 4.ProjektNr = t 3.Nr t 4.PersNr = t 1.PersNr))} DB:V-115 Relational Algebra & Calculus STEIN

47 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 4 [Domänenkalkül] Buecher Titel Verlag Harry Potter Princeton Heuristics Addison Glücksformel dpunkt Datenbanken Springer Buchhaendler Name Stadt PLZ Lehmann Berlin Meiersche Aachen Amazon Köln Angebote Titel Haendler Harry Potter Lehmann Harry Potter Meiersche Harry Potter Amazon Datenbanken Amazon Glücksformel Amazon Glücksformel Lehmann Anfrage Welche Titel sind bei allen Buchhändlern im Angebot? DB:V-116 Relational Algebra & Calculus STEIN

48 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 4 [Domänenkalkül] Buecher Titel Verlag Harry Potter Princeton Heuristics Addison Glücksformel dpunkt Datenbanken Springer Buchhaendler Name Stadt PLZ Lehmann Berlin Meiersche Aachen Amazon Köln Angebote Titel Haendler Harry Potter Lehmann Harry Potter Meiersche Harry Potter Amazon Datenbanken Amazon Glücksformel Amazon Glücksformel Lehmann Anfrage Welche Titel sind bei allen Buchhändlern im Angebot? Relationenalgebra (ρ Name Haendler (Angebote)) (π Name (Buchhaendler)) DB:V-117 Relational Algebra & Calculus STEIN

49 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 4 [Domänenkalkül] Buecher Titel Verlag Harry Potter Princeton Heuristics Addison Glücksformel dpunkt Datenbanken Springer Buchhaendler Name Stadt PLZ Lehmann Berlin Meiersche Aachen Amazon Köln Angebote Titel Haendler Harry Potter Lehmann Harry Potter Meiersche Harry Potter Amazon Datenbanken Amazon Glücksformel Amazon Glücksformel Lehmann Anfrage Welche Titel sind bei allen Buchhändlern im Angebot? Relationenalgebra (ρ Name Haendler (Angebote)) (π Name (Buchhaendler)) Tupelkalkül {(t 1.Titel) Buecher(t 1 ) t 2 ( Buchhaendler(t 2 ) oder: t 2 (Buchhaendler(t 2 ) t 3 (Angebote(t 3 ) t 3.Haendler = t 2.Name t 3.Titel = t 1.Titel))} DB:V-118 Relational Algebra & Calculus STEIN

50 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 4 [Domänenkalkül] Buecher Titel Verlag Harry Potter Princeton Heuristics Addison Glücksformel dpunkt Datenbanken Springer Buchhaendler Name Stadt PLZ Lehmann Berlin Meiersche Aachen Amazon Köln Angebote Titel Haendler Harry Potter Lehmann Harry Potter Meiersche Harry Potter Amazon Datenbanken Amazon Glücksformel Amazon Glücksformel Lehmann Anfrage Welche Titel sind bei allen Buchhändlern im Angebot? Relationenalgebra (ρ Name Haendler (Angebote)) (π Name (Buchhaendler)) Tupelkalkül {(t 1.Titel) Buecher(t 1 ) t 2 ( Buchhaendler(t 2 ) oder: t 2 (Buchhaendler(t 2 ) t 3 (Angebote(t 3 ) t 3.Haendler = t 2.Name t 3.Titel = t 1.Titel))} DB:V-119 Relational Algebra & Calculus STEIN

51 Relationaler Tupelkalkül Beispiel 4 [Domänenkalkül] Buecher Titel Verlag Harry Potter Princeton Heuristics Addison Glücksformel dpunkt Datenbanken Springer Buchhaendler Name Stadt PLZ Lehmann Berlin Meiersche Aachen Amazon Köln Angebote Titel Haendler Harry Potter Lehmann Harry Potter Meiersche Harry Potter Amazon Datenbanken Amazon Glücksformel Amazon Glücksformel Lehmann Anfrage Welche Titel sind bei allen Buchhändlern im Angebot? Relationenalgebra (ρ Name Haendler (Angebote)) (π Name (Buchhaendler)) Tupelkalkül {(t 1.Titel) Buecher(t 1 ) t 2 ( Buchhaendler(t 2 ) oder: t 2 (Buchhaendler(t 2 ) t 3 (Angebote(t 3 ) t 3.Haendler = t 2.Name t 3.Titel = t 1.Titel))} DB:V-120 Relational Algebra & Calculus STEIN

52 Bemerkungen: Bei (formalen, logischen, natürlichen) Sprachen unterscheidet man zwischen Sätzen aus der Sprache selbst und der Formulierung von Zusammenhängen über solche Sätze. Sätze aus der Sprache selbst dienen uns zur Kommunikation mittels dieser Sprache; die Symbole, die vewendet werden, um solche Sätze zu formulieren, gehören zur Objektsprache. Symbole, die verwendet werden, um über Sätze zu sprechen, die in der Objektsprache formuliert sind, gehören zur Metasprache. Die Formelbezeichner α, β, γ, die Prädikatsbezeichner P, Q, die Quantoren,, die Variablenbezeichner t, x, y, z, und die Junktoren,,, gehören zur Objektsprache. Das -Zeichen ist ein Zeichen der Metasprache und steht für ist logisch äquivalent mit. Es gelten u.a. folgende Zusammenhänge: xp (x) x( P (x)) α β α β (α β) α β (α β) γ α β γ DB:V-121 Relational Algebra & Calculus STEIN

53 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen Unter (semantisch) sicheren Anfragen versteht man Formeln eines Anfragekalküls, die für jeden Datenbankzustand d(r) = {r 1,..., r p } nur für eine endliche Menge von Variableninstanziierungen erfüllt sind. Beispiel für eine nicht-sichere Anfrage: r(x) : Alle Instanzen von x (im Universum), die nicht in r d(r) sind. Durch die Forderung bestimmter syntaktischer Einschränkungen kann man die semantische Sicherheit für eine Teilmenge der semantisch sicheren Anfragen auf einfache Art bestimmen. Domäne einer Formel α DB:V-122 Relational Algebra & Calculus STEIN

54 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen (Fortsetzung) Definition 4 (Domäne einer Formel α) Der Bereich bzw. die Domäne einer Formel α ist die Menge aller Konstanten in α vereinigt mit der Menge aller Attributwerte der Relationen r, r α. Beispiel: Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Domäne der Formel Mitarbeiter(t) : {Smith, Wong, Zelaya, Weimar, Köln, Erfurt, 4, 5, 1234, 3334, 8886, 9876, 9998} DB:V-123 Relational Algebra & Calculus STEIN

55 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen (Fortsetzung) [Domänenkalkül] Folgende Anfrage liefert eine unendliche Zahl von Ergebnissen: {t Mitarbeiter(t)} Eine Anfrage {t α} des Tupelkalküls ist sicher, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Gehört t = (c 1, c 2,..., c n ) in das Anfrageergebnis, so wird gefordert, dass {c 1, c 2,..., c n } Teilmenge der Domäne von α ist. Die Suche zur Beantwortung der Anfrage ist auf die Domäne beschränkt. 2. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass β höchstens für Elemente aus der Domäne von β erfüllbar sein kann. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, unerfüllbar. 3. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass tβ dann und nur dann erfüllt ist, wenn β für alle Elemente aus der Domäne von β erfüllt ist. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, immer erfüllt. DB:V-124 Relational Algebra & Calculus STEIN

56 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen (Fortsetzung) [Domänenkalkül] Folgende Anfrage liefert eine unendliche Zahl von Ergebnissen: {t Mitarbeiter(t)} Eine Anfrage {t α} des Tupelkalküls ist sicher, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Gehört t = (c 1, c 2,..., c n ) in das Anfrageergebnis, so wird gefordert, dass {c 1, c 2,..., c n } Teilmenge der Domäne von α ist. Die Suche zur Beantwortung der Anfrage ist auf die Domäne beschränkt. 2. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass β höchstens für Elemente aus der Domäne von β erfüllbar sein kann. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, unerfüllbar. 3. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass tβ dann und nur dann erfüllt ist, wenn β für alle Elemente aus der Domäne von β erfüllt ist. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, immer erfüllt. DB:V-125 Relational Algebra & Calculus STEIN

57 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen (Fortsetzung) [Domänenkalkül] Folgende Anfrage liefert eine unendliche Zahl von Ergebnissen: {t Mitarbeiter(t)} Eine Anfrage {t α} des Tupelkalküls ist sicher, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Gehört t = (c 1, c 2,..., c n ) in das Anfrageergebnis, so wird gefordert, dass {c 1, c 2,..., c n } Teilmenge der Domäne von α ist. Die Suche zur Beantwortung der Anfrage ist auf die Domäne beschränkt. 2. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass β höchstens für Elemente aus der Domäne von β erfüllbar sein kann. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, unerfüllbar. 3. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass tβ dann und nur dann erfüllt ist, wenn β für alle Elemente aus der Domäne von β erfüllt ist. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, immer erfüllt. DB:V-126 Relational Algebra & Calculus STEIN

58 Relationaler Tupelkalkül Sichere Anfragen (Fortsetzung) [Domänenkalkül] Folgende Anfrage liefert eine unendliche Zahl von Ergebnissen: {t Mitarbeiter(t)} Eine Anfrage {t α} des Tupelkalküls ist sicher, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Gehört t = (c 1, c 2,..., c n ) in das Anfrageergebnis, so wird gefordert, dass {c 1, c 2,..., c n } Teilmenge der Domäne von α ist. Die Suche zur Beantwortung der Anfrage ist auf die Domäne beschränkt. 2. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass β höchstens für Elemente aus der Domäne von β erfüllbar sein kann. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, unerfüllbar. 3. Für jede Teilformel tβ wird gefordert, dass tβ dann und nur dann erfüllt ist, wenn β für alle Elemente aus der Domäne von β erfüllt ist. β ist für alle Elemente, die nicht in seiner Domäne sind, immer erfüllt. DB:V-127 Relational Algebra & Calculus STEIN

59 Bemerkungen: Semantische Sicherheit ist eine Eigenschaft, die im Einzelfall leicht zu zeigen sein kann, die aber in der Allgemeinheit nicht automatisch nachprüfbar ist. Die Ursache dafür liegt in der Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik erster Stufe mit Arithmetik. Mit Hilfe der Domäne wird die semantische Analyse (= die Analyse der Erfüllbarkeit) der Formel α deshalb stark vereinfacht, weil vereinbart wird, dass Instanziierungen der Variablen mit Werten von außerhalb der Domäne keinen Einfluss auf die Erfüllbarkeit von α haben. Diese Vereinbarung entspricht einer Closed World Assumption. Da die Domäne endlich ist und sich syntaktisch einfach konstruieren lässt, ist unter der Closed World Assumption semantische Sicherheit in endlicher Zeit überprüfbar. Sobald ein (Datenbank-)System annimmt bzw. voraussetzt, dass die drei Bedingungen erfüllt sind, interpretiert es eine Formel aus Sicht der Closed World Assumption. Die Bedingungen verhindern, dass unendlich viele Variableninstanziierungen evaluiert werden müssen, um die Erfüllbarkeit einer Formel zu analysieren. Beachte, dass auch Anfragen, die ein endliches Ergebnis liefern, die Evaluierung unendlich vieler Variableninstanziierungen erfordern können. Bei solchen Anfragen liegt die Unendlichkeit in der Zeit nicht in der Größe der Ergebnismenge. DB:V-128 Relational Algebra & Calculus STEIN

60 Relationaler Domänenkalkül Konzepte [Tupelkalkül] 1. Domänenvariablen, die sich auf Attribute A in den Relationenschemata R R beziehen und mit jedem Wert aus dem Wertebereich dom(a) von A instanziiert werden können. 2. Formeln, mit denen sich auf Basis der Domänenvariablen Zusammenhänge zwischen Attributen formulieren lassen. DB:V-129 Relational Algebra & Calculus STEIN

61 Bemerkungen: SQL, Structured Query Language, basiert auf dem relationalen Tupelkalkül und wurde von IBM Research, San Jose, Kalifornien, entwickelt. QBE, Query By Example, basiert auf dem relationalen Domänenkalkül und wurde von IBM Research, Yorktown Heights, New York, entwickelt. Diese Entwicklung fand fast zeitgleich mit der Entwicklung von SQL in San Jose statt. QBE war eine der ersten graphischen Anfragesprachen für Datenbanksysteme und ist bei IBM als Interface-Option für DB2 erhältlich. DB:V-130 Relational Algebra & Calculus STEIN

62 Relationaler Domänenkalkül Anfragen [Tupelkalkül] Anfrage im relationalen Domänenkalkül mit Variablen x 1,..., x n, x n+1,..., x n+m : {(x 1, x 2,..., x n ) α} x 1,..., x n sind freie, x n+1,..., x n+m sind gebundene Domänenvariablen. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: DB:V-131 Relational Algebra & Calculus STEIN

63 Relationaler Domänenkalkül Anfragen [Tupelkalkül] Anfrage im relationalen Domänenkalkül mit Variablen x 1,..., x n, x n+1,..., x n+m : {(x 1, x 2,..., x n ) α} x 1,..., x n sind freie, x n+1,..., x n+m sind gebundene Domänenvariablen. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: 1. r(x r1, x r2,..., x rk ) alternativ: (x r1, x r2,..., x rk ) r ist ein Atom, wobei die x ri Domänenvariablen und r eine Relation über k Attribute bezeichnet. r(x r1, x r2,..., x rk ) ist wahr für eine Instanziierung von (x r1, x r2,..., x rk ), falls diese Instanziierung ein Tupel in r ist. DB:V-132 Relational Algebra & Calculus STEIN

64 Relationaler Domänenkalkül Anfragen [Tupelkalkül] Anfrage im relationalen Domänenkalkül mit Variablen x 1,..., x n, x n+1,..., x n+m : {(x 1, x 2,..., x n ) α} x 1,..., x n sind freie, x n+1,..., x n+m sind gebundene Domänenvariablen. α ist eine logische Formel, wobei die Menge der Atome Σ, aus denen α besteht, wie folgt definiert ist: 1. r(x r1, x r2,..., x rk ) alternativ: (x r1, x r2,..., x rk ) r ist ein Atom, wobei die x ri Domänenvariablen und r eine Relation über k Attribute bezeichnet. r(x r1, x r2,..., x rk ) ist wahr für eine Instanziierung von (x r1, x r2,..., x rk ), falls diese Instanziierung ein Tupel in r ist. 2. x i op x j ist ein Atom mit op {=, <,, >,, }. x i, x j bezeichnen Domänenvariablen, die über den Wertebereichen der zugeordneten Attribute instanziiert sind. 3. x i op c ist ein Atom mit op {=, <,, >,, }. x i bezeichnet eine Domänenvariable, die über dem Wertebereich des zugeordneten Attributes instanziiert ist, und c dom(a i ) ist eine Konstante aus dem gleichen Wertebereich. DB:V-133 Relational Algebra & Calculus STEIN

65 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. DB:V-134 Relational Algebra & Calculus STEIN

66 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL DB:V-135 Relational Algebra & Calculus STEIN

67 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL Domänenkalkül {(x 1, x 3 ) x 2 x 4 x 5 y 1 y 2 y 3 (Mitarbeiter(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Abteilung(y 1, y 2, y 3 ) y 1 = Forschung y 2 = x 5 )} DB:V-136 Relational Algebra & Calculus STEIN

68 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL Domänenkalkül Mögliche Konvention: nicht-freie Variablen sind per Default -quantifiziert. {(x 1, x 3 ) x 5 y 1 y 2 (Mitarbeiter(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Abteilung(y 1, y 2, y 3 ) y 1 = Forschung y 2 = x 5 )} DB:V-137 Relational Algebra & Calculus STEIN

69 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL Domänenkalkül Abkürzung: Konstanten als Parameter. {(x 1, x 3 ) x 5 y 2 (Mitarbeiter(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Abteilung( Forschung, y 2, y 3 ) y 2 = x 5 )} DB:V-138 Relational Algebra & Calculus STEIN

70 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 1 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere Name und Wohnort der Mitarbeiter, die in der Forschung arbeiten. Relationenalgebra TAFEL Domänenkalkül Abkürzung: Unifikation von Domänenvariablen {(x 1, x 3 ) (Mitarbeiter(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) Abteilung( Forschung, x 5, y 3 ))} DB:V-139 Relational Algebra & Calculus STEIN

71 Bemerkungen: Eine Bedingung, die sich auf eine Domänenvariable und eine Konstante bezieht, entspricht einer Selektion, σ, in der relationalen Algebra. Beispiel: y 1 = Forschung Eine Bedingung bzgl. zweier Domänenvariablen, die sich auf zwei verschiedene Relationen beziehen, entspricht einem Verbund (Join),, in der relationalen Algebra. Beispiel: x 5 = y 2 DB:V-140 Relational Algebra & Calculus STEIN

72 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 2 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. DB:V-141 Relational Algebra & Calculus STEIN

73 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 2 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. Relationenalgebra π PNr,AbtNr, Name,Wohnort ((ρ PNr Nr, PName Name (σ Ort= Weimar (Projekt))) AbtNr=Nr Abteilung Manager=PersNr Mitarbeiter) DB:V-142 Relational Algebra & Calculus STEIN

74 Relationaler Domänenkalkül Beispiel 2 [Tupelkalkül] Mitarbeiter Name PersNr Wohnort ChefPersNr AbtNr Smith 1234 Weimar Wong 3334 Köln Zelaya 9998 Erfurt Abteilung AbtName Nr Manager Forschung Verwaltung Stab AbtStandort AbtNr Ort 1 Berlin 4 Weimar 5 Hamburg 5 Köln ArbeitetInProjekt PersNr ProjektNr Projekt Name Nr Ort AbtNr X 1 Köln 5 Y 2 Hamburg 5 Z 3 Weimar 4 New 8 Weimar 4 Anfrage Liefere für jedes Projekt in Weimar dessen Nummer, die Nummer der durchführenden Abteilung sowie Name und Wohnort des Abteilungsmanagers. Relationenalgebra π PNr,AbtNr, Name,Wohnort Domänenkalkül TAFEL ((ρ PNr Nr, PName Name (σ Ort= Weimar (Projekt))) AbtNr=Nr Abteilung Manager=PersNr Mitarbeiter) DB:V-143 Relational Algebra & Calculus STEIN