2.1 Überblick. 2 Das Relationale Datenmodell

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1 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell Das Relationale Datenmodell 2.1 Überblick Ende der 60er Jahre: Grundlagenforschung am IBM-Forschungslabor San Jose, CA., mit dem Ziel die Erstellung von Datenbankanwendungen einfacher zu machen. 1970: erste Veröffentlichung von E.F. Codd zum Relationalen Datenmodell. In der Folge verschiedene Prototyp-Entwicklungen, am bekanntesten wurden System R, IBM San Jose, CA. Ingres, University of California at Berkeley Relationale Datenbanken sind gegenwärtig die weitverbreitetesten Datenbanken in kommerziellen Anwendungen.

2 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-2 Grundlagen: Mathematisches Datenmodell: Relationen = Mengen von Tuplen Entwurfstheorie / Normalformen: Analyse von guten Datenbankschemata Deklarative Anfragesprachen Formale Grundlage Relationenalgebra Relationenkalkül Praktische Nutzung SQL QbE, QbF,... Optimierung umfassend analysiert seit den 70er Jahren immer noch neue Ergebnisse Verbesserung bekannter Ergebnisse Integration neuer Entwicklungen Kommerzielle Systeme: verschiedene relationale DBMSe auf dem Markt: DB2 (IBM) Oracle (Oracle) Ingres (CA) Sybase Informix SQL-Server (Microsoft)... Industriestandard: SQL ( Kapitel 3) Aktuelle Weiterentwicklungen: Objektorientierung OLAP Multimedia Geo-Datenbanken Zeitfolgen Verbesserung der Leistungsfähigkeit...

3 2.2 Basiskonzepte des Relationenmodells c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-3 Darstellung der Miniwelt in Tabellenform (DB-Schema = Menge von Relationen / Tables) Ansatz + Folge einzige Datenstruktur: Tabelle Relation saubere mathematische Grundlage: Mengentheorie (vgl. math. Relation) einfache Operationen, mengenorientiert Abgeschlossenheit: Operationen überführen Tabellen in Tabellen Entwurfstheorie: was sind gute Tabellen? Relation = Menge von Tupeln (mit atomaren Komponenten) R ) Schema sch(r) n { A 1 A 2... A n A S } Tupel Wert val(r) Attribut Attributwert Relation Typ = Menge von Attributen (mit entspr. Domains) z } { Eine Relation R ist ein Paar: Schema, Wert {z} Menge von Instanzen (Tupeln)

4 Eigenschaften des Relationenmodells c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-4 Alle Informationen (Entity- und Beziehungs-Typen) werden als Relationen modelliert. Relation= zweidimensionale Tabelle von Werten. = Menge von Tupeln (keine Duplikate, keine Reihenfolge (Sortierung)!) Jede Zeile genannt Tupel entspricht einem Entity- oder einer Beziehung. Die Spalten der Tabelle (Relation) sind benannt und werden als die Attribute der Relation bezeichnet. Die Reihenfolge der Spalten ist nicht relevant, da Attribute über ihren Namen identifiziert werden. Jedem Attribut ist ein Wertebereich (domain) zugeordnet. Ein Wertebereich ist eine Menge atomarer Werte, welche aus Sicht des DBMS elementar sind, d.h. keine weitere Substruktur mehr aufweisen. Beziehungen werden ausschließlich über Attributwerte realisiert (keine informationstragenden Verbindungen).

5 Schreibweisen und Definitionen c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-5 Relation R mit Attributen A 1 bis A 5 = R(A 1, A 2, A 3, A 4, A 5 ) Relation mit Attributen A bis D oft auch: ABCD dom(a i )= D i : Domain (Wertebereich) von A i sch(r)= {A 1,..., A n } : Schema einer Relation val(r) dom(a 1 )... dom(a n ) : Wert einer Relation (= Menge von Tupeln über den Wertebereichen der Attribute) Tupel t = A 1 : v 1,..., A n : v n mit v i D i meist mit fester Reihenfolge der Attribute: t = (v 1,..., v n ), t val(r) Tupelkomponenten / Attributwerte: t(a i ) = v i oftmals auch t [A i ] oder t.a i ; Notation auch auf Mengen von Attributen erweitert A sch(r) : t(a) ( Set of Mappings Definition von Relationen: Relation ist Menge von Abbildungen: t j : sch(r) S i D i, so dass t j (A i ) D i ) K sch(r) heißt Schlüsselkandidat, wenn für alle möglichen val(r) gilt: t, t val(r) : t(k) = t (K) = t = t und K ist minimal (d.h. die Bedingung ist für kein K K erfüllt). Primärschlüssel: ein ausgewählter Schlüsselkandidat Fremdschlüssel F in Relation R: F sch(r) und F sch(s) für eine Relation S, in der F Primärschlüssel ist. A sch(r) heißt Schlüsselattribut, wenn es Teil eines Schlüsselkandidaten ist.

6 Modell-inhärente Integritätsbedingungen des Relationenmodells c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell Entity Integrity : Primärschlüsselattribute dürfen nie undefiniert sein 2. Referential Integrity : Fremdschlüssel sind entweder undefiniert oder es gibt ein entsprechendes Tupel mit diesem Primärschlüssel in der anderen (referenzierten) Relation» 3. Domains Attribute dürfen nur Werte aus dem jeweiligen Domain annehmen (oder undefiniert sein).

7 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-7 Zu einer Datenbank über Kurse und deren Teilnehmer etc. könnte ein ER-Entwurf so aussehen: Kurs KursNr Titel id:kursnr 0-N hat 1-1 Voraus VorNr KursNr id:vornr KursNr 0-N wird_angeboten/ist_zugeordnet 1-1 Angebot Angebots_Nr Kursleiter Datum PersNr KursNr 1-1 fuehrt_durch 1-N Name Ort Gehalt id:angebots_nr id:persnr KursNr 1-N nimmt_teil 0-N Teilnehmer TnNr Name Ort id:tnnr Dazu passen die folgenden Relationenschemata: Kurs (KursNr, Titel) Kursleiter (PersNr, Name, Gehalt) Teilnehmer (TnNr, Name, Ort) Angebot (AngNr, KursNr, Datum, Ort) Vorauss (VorNr, KursNr) Nimmt-teil (AngNr, KursNr, TnNr) Führt-durch (AngNr, KursNr, PersNr)

8 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-8 Vorauss VorNr KursNr G08 P13 G10 P13 G08 I09 G10 I09 P13 I09 Teilnehmer TnNr Name Ort 143 Schmidt, M. Bremen 145 Huber, Chr. Augsburg 146 Abele, I. Senden 149 Kircher, B. Bochum 155 Meier, W. Stuttgart 171 Möller, H. Ulm 173 Schulze, B. Stuttgart 177 Mons, F. Essen 185 Meier, K. Heidelberg 187 Karstens, L. Hamburg 194 Gerstner, M. Ulm Angebot AngNr KursNr Datum Ort 1 G München 2 G Bremen 1 G München 2 G Hamburg 1 P Ulm 2 P Essen 1 I Stuttgart 2 I Hamburg 3 I München Kursleiter PersNr Name Gehalt Meier, I Schulze, H Huber, L Müller, K Kurs KursNr Titel G08 Grundlagen I G10 Grundlagen II P13 C-Programmierung I09 Datenbanken Nimmt teil AngNr KursNr TnNr 2 G P G P I P I I I P I I P Fuehrt durch AngNr KursNr PersNr 1 G G G G P P I I I Abbildung 2-1: Beispiel-Relationen zu KursDB-Rel

9 2.3 Sprachen für das Relationenmodell: Relationen-Algebra und -Kalkül c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell Eigenschaften Deskriptiv / Deklarativ Im Gegensatz zu prozedural: man beschreibt was man haben möchte, nicht wie (auf welchem Weg) es berechnet wird Mengenorientiert Im Gegensatz zu satzorientiert, navigierend abgeschlossen, d.h. Operationen liefern immer wieder Relationen orthogonal, d.h. Operationen lassen sich beliebig kombinieren Mathematische Fundierung Relationen-Algebra (5 Basisoperatoren: Vereinigung, Differenz, Produkt, Selektion, Projektion) Relationen-Kalkül (vgl. Prädikatenkalkül 1. Ordnung) Deduktionsformeln (Horn-Klauseln, s. später: rekursive Anfragen)

10 2.3.2 Relationen-Algebra c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell Operatoren der Relationen-Algebra (Teil 1) Charakteristisch: Konstruktion der Ergebnis-Relation durch ggf. geschachtelte Anwendung von Algebra-Operationen auf die Argument-Relation(en). Abgeschlossenheit: die Anwendung einer Algebra-Operation auf eine (oder zwei) Relation(en) liefert wieder eine Relation; Komponierbarkeit: daher kann auf das Ergebnis wieder eine Algebra-Operation angewendet werden. Minimalität: man kommt so mit wenigen Grundoperationen aus, aus denen durch Komposition komplexe Operationen zusammengefügt werden können. Formal: Algebra-Operationen sind Funktionen auf Relationen.

11 Selektion c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-11 σ F (R) steht für eine Selektion (Tupelauswahl) angewandt auf Relation R unter Anwendung der Selektionsformel F (Suchbedingung, Prädikat) Beispiel 2-1: Teilnehmer TnNr Name Ort 143 Schmidt, M. Bremen 145 Huber, Chr. Augsburg 146 Abele, I. Senden 149 Kircher, B. Bochum 155 Meier, W. Stuttgart 171 Müller, H. Ulm 173 Schulze, B. Stuttgart 177 Mons, F. Essen 185 Meier, K. Heidelberg 187 Karstens, L. Hamburg 194 Gerstner, M. Ulm Anfrage: σ TnNr>155 (Teilnehmer): Ergebnis-Rel TnNr Name Ort 171 Müller, H. Ulm 173 Schulze, B. Stuttgart 177 Mons, F. Essen 185 Meier, K. Heidelberg 187 Karstens, L. Hamburg 194 Gerstner, M. Ulm

12 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-12 Selektionsformel F : Attributwerte, Konstanten, Vergleiche (=, <, >,,, ) sowie logische Verknüpfungen (,, ) und ggf. Klammerung Beispiel 2-2: Anfrage: σ (TnNr 146) (Ort= Ulm ) (Teilnehmer): Ergebnis-Rel TnNr Name Ort 143 Schmidt, M. Bremen 145 Huber, Chr. Augsburg 146 Abele, I. Senden 171 Müller, H. Ulm 194 Gerstner, M. Ulm Anfrage: σ (TnNr<180) (Ort= Ulm ) (Teilnehmer): Ergebnis-Rel TnNr Name Ort 171 Müller, H. Ulm Formal: sch(σ F (R)) = sch(r) val(σ F (R)) = {t val(r) F (t)}

13 Projektion c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-13 π Attr (R) steht für eine Projektion angewandt auf Relation R, wobei Attr die Teilmenge der Attribute ist, auf die R abgebildet (projiziert) wird. Beispiel 2-3: Anfrage: π {TnNr, Name} (Teilnehmer): Ergebnis-Rel TnNr Name 143 Schmidt, M. 145 Huber, Chr. 146 Abele, I. 149 Kircher, B. 155 Meier, W. 171 Müller, H. 173 Schulze, B. 177 Mons, F. 185 Meier, K. 187 Karstens, L. 194 Gerstner, M. Anfrage: π Ort (Teilnehmer): Ergebnis-Rel Ort Bremen Augsburg Senden Bochum Stuttgart Ulm Essen Heidelberg Hamburg Formal: sch(π L (R)) = L... L sch(r) val(π L (R)) = {t(l) t val(r) t (L) = t}... Duplikatelimination!

14 Beispiel 2-4: Zusammengesetzte Anfrage Gib (nur) Teilnehmer-Nummer und -Name aller Kurs- Teilnehmer aus Ulm aus c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-14 Anfrage: π {TnNr, Name} σ Ort= Ulm (Teilnehmer) (logische!) Abarbeitungsreihenfolge: 1. Schritt: Berechnung des σ-ausdrucks = Rel 1 2. Schritt: Anwendung des π-operators auf Rel 1 = Erg Die alternative Formulierung σ Ort= Ulm π {TnNr, Name} (Teilnehmer) wäre nicht korrekt warum? Attribut-Umbenennung Es ist sinnvoll, den Projektions-Operator mit der Möglichkeit zur Attribut-Umbenennung zu versehen. Wir wollen hierfür die folgende Notation verwenden: π {..., NeuerName : AlterName,...} (Rel) Beispiel: Gib die Teilnehmer-Relation aus, aber benenne Name in Nachname um : π {TnNr,Nachname:Name} (Teilnehmer) oder falls Name nicht eindeutig wäre: π {TnNr,Nachname:Teilnehmer.Name} (Teilnehmer) Anmerkung: Einige Lehrbücher verwenden zur Umbenennung einen eigenen Operator, z.b. ρ.

15 Vereinigung, Differenz, Produkt c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-15 R S steht für die Vereinigung (union) der Relationen R und S, wobei R und S strukturgleich sein müssen. D.h. es muss gelten: sch(r) = sch(s). Kurzschreibweise: S i=1,2,...,k R i R 1 R 2... R k R S steht für die Differenz der Relationen R und S. D.h. alle Tupel von R, die auch in S vorkommen, werden aus R entfernt. (Auch hier: sch(r) = sch(s)). R S steht für das kartesische (relationale) Produkt der Relationen R und S. Beispiel 2-5: R A B a 1 b 1 a 2 b 2 S C D c 1 d 1 c 2 d 2 c 3 d 3 R S A B C D a 1 b 1 c 1 d 1 a 1 b 1 c 2 d 2 a 1 b 1 c 3 d 3 a 2 b 2 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 a 2 b 2 c 3 d 3 Anmerkung: Der Schnitt R S R (R S)... ist ableitbar, wie üblich!

16 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-16 Formal: sch(r S) = sch(r S) = sch(r) val(r S) = val(r) val(s) val(r S) = val(r) val(s) sch(r S) = sch(r) sch(s)... disjunkte Vereinigung! val(r S) = {t t(sch(r)) val(r) t(sch(s)) val(s)} Beispiel 2-6: Kombination von und σ: Beispiel für die Verknüpfung von Tabellen Anfrage: Welche Kurse (Ausgabe: Kurs-Nummer und -Titel) sind für welche anderen Kurse (Ausgabe: Kurs- Nummer) Voraussetzung? KursNr G08 G10 P13 I09 Kurs Titel Grundlagen I Grundlagen II C-Programmierung Datenbanken Vorauss VorNr KursNr G08 P13 G10 P13 G08 I09 G10 I09 P13 I09

17 Die Anfrage in Relationen-Algebra c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-17 π VorNr, Titel, Vorauss.KursNr σ VorNr = Kurs.KursNr (Vorauss Kurs) Abarbeitungsreihenfolge: 1. Schritt: Berechnung Vorauss Kurs Rel 1 Rel 1 VorNr Vorauss.KursNr Kurs.KursNr Titel G08 P13 G08 Grundlagen I G08 P13 G10 Grundlagen II G08 P13 I09 Datenbanken G10 P13 G08 Grundlagen I G10 P13 I09 Datenbanken P13 I09 I09 Datenbanken 2. Schritt: Anwendung von σ VorNr=Kurs.KursNr auf Rel 1 Erg-Rel VorNr Vorauss.KursNr Kurs.KursNr Titel G08 P13 G08 Grundlagen I G10 P13 G10 Grundlagen II G08 I09 G08 Grundlagen I G10 I09 G10 Grundlagen I P13 I09 P13 C-Programmierung

18 Mit Umbenennung c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-18 Mögliche Umbenennung von Attributen + Änderung der Attribut-Reihenfolge mittels (erweitertem) π-operator: π {VorNr, Titel, Vorauss für: Vorauss.KursNr} (Erg-Rel) bzw. σ VorNr = Kurs.KursNr (Vorauss Kurs) π {VorNr, Titel, Vorauss für: Vorauss.KursNr} Erg-Rel VorNr Titel Vorauss für G08 Grundlagen I P P13 C-Programmierung I09

19 Joins c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-19 Verknüpfung von Tabellen aufgrund von Attributwert-Beziehungen häufige Operation in relationalen Datenbanksystemen, daher durch spezielle Verbund-Operation explizit unterstützt: R F S steht für den Verbund (join) der Relationen R und S unter Verwendung der Verbund- Bedingung F. R F S ist semantisch äquivalent zu σ F (R S) Beispiel 2-7: (siehe Beispiel 2-6:) σ VorNr = Kurs.KursNr (Vorauss Kurs) führt zum selben Resultat wie: Vorauss VorNr = KursNr Kurs -Ausführungslogik: Nested Loops Algorithmus for each Tupel x in Vorauss do for each Tupel y in Kurs do if x.vornr = y.kursnr then erzeuge Resultat-Tupel x y; fi done done

20 Beispiel 2-8: c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-20 Kursleiter PersNr Name Gehalt Meier, I Schulze, H Huber, L Müller, K KursNr G08 G10 P13 I09 Kurs Titel Grundlagen I Grundlagen II C-Programmierung Datenbanken Fuehrt durch AngNr KursNr PersNr 1 G G G G P P I I I Anfrage: Gib (nur) KursNr und Titel aller Kurse sowie den Namen des Kursleiters aus, die von dem Kursleiter mit der Personalnummer durchgeführt werden Mögliche Anfrageformulierung: π {Kurs.KursNr, Titel, Name} σ PersNr = (Kurs K.KNr=Kl.KNr (Kursleiter Kl.PNr=F.PNr Fuehrtdurch)) Anmerkung: Die Join-Bedingung kann auch mittels <, >,, sowie (,, ) formuliert werden.

21 Wichtiger Sonderfall: c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell Joins werden oft zwischen Attributen gleichen Namens (Wertebereich sollte ohnehin gleich sein) formuliert ( Schlüssel-Fremdschlüssel-Join) 2. Joins mit = -Bedingung sind am häufigsten. Hierauf abgestellte Join-Variante: Natural Join R S steht für natürlichen Verbund (natural join) der Relationen R und S. Wirkungsweise: Alle in R und S auftretenden Attribute gleichen Namens werden mittels = -Bedingung verknüpft. Haben R und S keine gemeinsamen Attribute, so hat R S die gleiche Wirkung wie R S. Attribute gleichen Namens treten in der Ergebnis-Relation nur einmal auf (es findet also auch noch eine Projektion zur Entfernung der doppelten Attribute statt). Also: sch(r S) = sch(r) sch(s). Beispiel 2-9: Die Anfrage von eben mittels natürlichem Verbund formuliert: π {KursNr, Titel, Name} Kurs (σ PersNr = (Kursleiter) Fuehrt durch)

22 Beispiel 2-10: Beispiele zur Relationenalgebra c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-22 Gegeben: R: A B C 1 a d 3 c c 4 d f 5 d b 6 e f S: B D a 100 b 300 c 400 d 200 e 150 T: B D a 100 d 200 f 400 g 120 Anfragen und Ergebnisse: σ D < 300 S: B D a 100 d 200 e 150 π {A,C} R: A C 1 d 3 c 4 f 5 b 6 e R R.B=S.B S: A R.B C S.B D 1 a d a c c c d f d d b d e f e 150 π {C} R: C d c f b S T: B D b 300 c 400 e 150 S T: B D a 100 b 300 c 400 d 200 e 150 f 400 g 120 T S: B D f 40 g 12

23 Beispiele (Forts.): c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-23 R T: A R.B C T.B D 1 a d a a d d a d f a d g c c a c c d c c f c c g d f a d f d d f f d f g d b a d b d d b f d b g e f a e f d e f f e f g 120 S T: B D a 100 d 200 R T: A B C D 1 a d d f d b 200 R A 100=D S: A R.B C S.B D 1 a d a d f c c c b 300

24 Äquivalenz-Umformungen c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-24 Seien R, S und T drei jeweils geeignet definierte Relationen: Klassifikation algebraischer Umformungen: Vertauschbarkeit von unären Operationen f, g {σ, π}:?? f (g(r)) g(f (R)) Kommutativität von binären Operationen {,,, }: R S?? S R Assoziativität von binären Operationen {,,, }:?? R (S T ) (R S) T Idempotenz (bzw. Zusammenfassung) von unären Operationen f {σ, π}:?? f 1 (f 2 (R)) f 3 (R) Distributivität von unären und binären Operationen:?? f (R S) f (R) f (S) Hinweis: Es gilt: Relations-Typ R Relations-Typ S sch(r) = sch(s) Die Reihenfolge der Attribute ist wie immer ohne Bedeutung. D.h. es gilt: R(A, B, C) R(A, C, B) R(C, A, B)... R(C, B, A).

25 Äquivalenz-Umformungen von Relationen-Algebra-Ausdrücken Nr Regel Nebenbedingung 1 σ F1 (σ F2 (R)) σ F2 (σ F1 (R)) 2 σ F (π A (R)) π A (σ F (R)) : Attr(F ) A 3 R S S R 4 R S S R 5 R F S S F R 6 (R S) T R (S T ) 7 (R S) T R (S T ) 8 (R F1 S) F2 T R F1 (S F2 T ) : Attr(F 2 ) (Attr(S) Attr(T )) : Attr(F 1 ) (Attr(R) Attr(S)) 9 π A1 R π A1 π A2 R A 1 A 2 Attr(R) 10 σ F R σ F1 σ F2 R F = F 1 F 2 11 σ F (R S) (σ F R) (σ F S) 12 σ F (R S) (σ F R) (σ F S) 13 σ F (R S) (σ F1 R) (σ F2 S) : (F = F 1 F 2 ) (Attr(F 1 ) Attr(R)) (Attr(F 2 ) Attr(S)) 14 σ F (R F3 S) (σ F1 R) F3 (σ F2 S) : F = F 1 F 2 : (F = F 1 F 2 ) (Attr(F 1 ) Attr(R)) (Attr(F 2 ) Attr(S)) : F = F 1 F 2 15 π A (R S) (π A R) (π A S) 16 π A (R S) (π A1 R) (π A2 S) : (A 1 = A Attr(R)) (A 2 = A Attr(S)) : A = A 1 A 2 17 π A (R F S) (π A1 R) F (π A2 S) : (Attr(F ) A) (A 1 = A Attr(S)) (A 2 = A Attr(R)) : A = A 1 A 2 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-25

26 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell R R R 19 R R R 20 R R 21 R (σ F R) σ F R 22 R σ F R R 23 R σ F R σ F R 24 (σ F1 R) (σ F2 R) σ (F1 F 2 ) R 25 (σ F1 R) (σ F2 R) σ (F1 F 2 ) R 26 (σ F1 R) (σ F2 R) σ (F1 F 2 ) R Beispiele und Erläuterungen zu den Äquivalenz-Umformungen: Gegeben seien die Relationen R(A, B, C), R 1 (A, B, C), R 2 (A, B, C), S(D, E) und T (F, G, H) wobei die Wertebereiche der Attribute A bis H jeweils Teilmengen der natürlichen Zahlen sein sollen. Zu 1: σ A<10 C>8 (σ B>8 R) kann in σ B>8 (σ A<10 C>8 R) transformiert werden und umgekehrt. Zu 2: σ B<200 (π {A,B} R) kann in π {A,B} (σ B<200 R) transformiert werden. Geht man von der rechten Seite aus, d.h. von π {A,B} (σ B<200 R), so kann die Transformation nur dann durchgeführt werden, wenn sich die Selektions-Bedingung lediglich auf Attribute bezieht, die auch in der Projektion spezifiert sind (siehe NB zu Regel 2). Im vorliegenden Fall entspricht Attr(F ) der Attributmenge {B} und A entspricht der Attributmenge {A, B}. Die Nebenbedingung ist also erfüllt. D.h. die Transformation in die -Richtung ist ebenfalls möglich.

27 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-27 Zu 8: Gegeben sei (R A=D S) E=F T. Für die -Transformation muss folgende Nebenbedingung erfüllt sein: {E, F } ({D, E} {F, G, H}). Dies ist hier der Fall. Der Ausdruck kann somit in R A=D (S E=F T ) transformiert werden. Bei (R A=D S) A=F T ginge dies z.b. hingegen nicht. Zu 9: π {A} R kann in π {A}π{A,B} R transformiert werden und umgekehrt. Zu 10: σ A<100 B>30 R kann zerlegt werden in σ A<100 σ B>30 R. Umgekehrt kann man σ A<100 σ B>30 R durch Zusammenfassen der Selektionsbedingungen (UND-Verknüpfung) in σ A<100 B>30 R transformieren. Zu 11: σ B<300 (R 1 R 2 ) kann in (σ B<300 R 1 ) (σ B<300 R 2 ) transformiert werden und umgekehrt. Anmerkung: Hier ist keine Nebenbedingung erforderlich, da die Vereinigung nur zwischen Relationen gleichen Typs definiert ist. Zu 12: σ B<300 (R 1 R 2 ) kann in (σ B<300 R 1 ) (σ B<300 R 2 ) transformiert werden und umgekehrt. (σ bei R 2 kann auch entfallen!) Zu 13: Gegeben sei σ A<300 D>50 (R S). Dieser Ausdruck kann in zwei Selektion überführt werden, indem man die Selektions-Bedingung geeignet aufspaltet. In diesem Fall wäre etwa (σ A<300 R) (σ D>50 S) eine mögliche Aufspaltung. Zu 14: Da ein Verbund R F S äquivalent zu σ F (R S) ist, gilt das im vorangegangenen Beispiel Gesagte analog übertragen auch hier.

28 Zu 15: Ein Ausdruck der Art π {A,B} (R 1 R 2 ) kann stets ausmultipliziert werden zu (π {A,B} R 1 ) (π {A,B} R 2 ). c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-28 Zu 16: Die Nebenbedingung für die -Richtung besagt, dass nach dem Ausmultiplizieren die Projektions-Attribute so gewählt werden müssen, dass sie für die jeweilige Relation auch definiert sind. Im Falle des Ausdruckes π {A,R.B,D} (R S) wäre z.b. (π {A,R.B} R) (π {D} S) eine korrekte Transformation, (π {A} R) (π {R.B,D} S) hingegen nicht. Zu 17: Die Nebenbedingung für die -Richtung kann wie folgt interpretiert werden: Sind die in der Verbund-Bedingung angegebenen Attribute eine Teilmenge der in der Projektion angegebenen Attribute (d.h. gilt Attr(F ) A), dann kann der Ausdruck ausmultipliziert werden, wobei wieder zu beachten ist, dass die in der Projektion auf der linken Seite angegebenen Attribute wieder korrekt auf ihre Relationen verteilt werden. Z.B. kann π {A,B,E} (R B<E S) transformiert werden in (π {A,B} R) B<E (π {E} S). π {A,B,D} (R B<E S) hingegen wäre nicht transformierbar, da {B, E} {A, B, D}. Die umgekehrte Richtung ( ) ist trivial. Hier sind lediglich die Projektions-Attribute zusammenzufassen. Wichtiger Spezialfall : π A1 A 2 R? (π A1 R) (π A2 R) Die -Richtung gilt i.a. nicht!! Voraussetzung, damit sie doch gilt: lossless join = siehe Kapitel?? Zu 23: Etwa: R σ B<200 (R) σ B 200 (R) Zu 26: Etwa: (σ A<10 R) (σ B>100 R) σ A<10 B 100 R

29 Abgeleitete Operatoren der Relationenalgebra c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-29 R S Durchschnitt, wie üblich: R S R (R S) R S Division Sei D = R S, dann muss gelten: sch(s) sch(r) sch(d) = sch(r) sch(s) t D s val(s) : t, s val(r) Beispiel 2-11: R: A B a1 b1 a2 b1 a3 b1 a4 b1 a1 b2 a3 b2 a2 b3 a3 b3 a4 b3 a1 b4 a2 b4 a3 b4 S: A a1 a2 a3 R S: B b1 b4

30 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-30 Anwendungsbeispiele: Welchen Lieferanten liefern alle Teile? Welche Mitarbeiter arbeiten an allen Projekten mit? Welche Kursleiter können alle Kurse halten? Berechnung von D = R S äquivalent zu: (1) Temp1 π Attr(R S) R (2) Temp2 π Attr(R S) ((S Temp1) R) (3) D Temp1 Temp Abschließende Bemerkungen zur Relationen-Algebra Relationen-Algebra als Datenbanksprache nur bei den ersten relationalen DBMS-Prototypen als Anfragesprache an der Benutzerschnittstelle verwendet. Heute als DB-Sprache an der DBS-Schnittstelle keine praktische Bedeutung. Jedoch bis heute wichtigste formale Grundlage für DBMS-interne Anfrage-Optimierung. Relationale Algebra dient als Maßstab für die Ausdrucksmächtigkeit relationaler DB-Sprachen = relationale Vollständigkeit Relationale Algebra ist streng genommen (im Vgl. zum Kalkül, s. unten) nicht rein deklarativ, wegen der Reihenfolgeabhängigkeiten (sie ist eine funktionale Sprache). Jedoch: Die Äquivalenz-Regeln erlauben Umformung und Optimierung.

31 2.3.3 Relationen-Kalkül c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-31 Relationen-Algebra: Konstruktion der Ergebnisrelation durch sukzessive (geschachtelte) Anwendung von Algebra-Operatoren auf die Ausgangsrelationen ( prozedurale Vorgehensweise ) Relationen-Kalkül liegt andere Philosophie zugrunde: Beschreibung, welche Bedingungen (Prädikate) die Tupel der Ergebnisrelation erfüllen müssen, vgl. Prädikatenkalkül ( deklarative Vorgehensweise ) Beispiel 2-12: Gegeben seien die folgenden Relationen: Vorauss(VorNr, KursNr) Kurs(KursNr, Titel) Angebot(AngNr, KursNr, Datum, Ort) Zu beantworten sei folgende Anfrage: Gib für alle Kurse, die zwischen dem und stattfanden und den Kurs G08 als Voraussetzung haben, die KursNr, den Titel, das Datum und den Ort aus.

32 Anfrageformulierung in Algebra: (schrittweise Konstruktion der Ergebnismenge) c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-32 π KursNr, Titel, Datum, Ort ((Kurs σ <Datum< Angebot) (σ VorNr= G08 Vorauss)) (Tupel-) Relationenkalkül: (prädikative Beschreibung der Ergebnismenge) {t ( a)( v)( k) : Kurs(k) Angebot(a) Vorauss(v) k(kursnr) = a(kursnr) k(kursnr) = v(kursnr) a(datum) < a(datum) > v(vornr) = G08 t(kursnr) = k(kursnr) t(titel) = k(titel) t(datum) = a(datum) t(ort) = a(ort)} Relationenkalkül: vgl. Prädikatenlogik 1. Stufe Tupel-Relationenkalkül vs. Domain-Relationenkalkül: Variablen für Tupel bzw. einzelne Attributwerte

33 Tupel-Relationenkalkül (TRC) 1 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-33 Aufbau von Formeln Atome : 1. R(t): R = Relationenname, t = Tupelvariable Aussage: Tupel t ist in R enthalten (t val(r)) 2. XΘY : X, Y = Konstanten oder Tupelkomponenten t[i] (t = Tupelvariable, i = i-te Tupelkomponente) Θ = arithm. Vergleichsoperator (<, >, =,...) Alle Tupel einer Relation haben eine konstante Stelligkeit. Falls hierauf explizit Bezug genommen wird, so schreiben wir t (s). freie/gebundene Variablen in Formeln: Analogie: gebundene Variablen lokale Variablendeklaration einer Prozedur, kann nicht von außen referenziert werden. freie Variablen globale Variablen, außerhalb der betrachteten Prozedur deklariert. Sei eine freie Tupelvariable t global bzgl. Formel F, dann entspricht ( t) bzw. ( t) in etwa der Deklaration der Variablen t. 1 In Anlehnung an (Ullman 1988/1989)

34 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-34 Formeln, freie und gebundene Variablen im TRC: 1. Jedes Atom ist eine Formel. Alle in einem Atom auftretenden Tupelvariablen sind frei. 2. Falls F 1 und F 2 Formeln sind, dann sind auch F 1 F 2, F 1 F 2 und F 1 Formeln. Tupelvariablen sind frei oder gebunden, wenn sie in F 1 oder F 2 frei oder gebunden sind. 3. Wenn F eine Formel ist, dann ist ( t)f auch eine Formel. Alle in F auftretenden freien Tupelvariablen t werden durch ( t) in der Formel ( t)f gebunden. Der Status anderer Tupelvariablen in F ändert sich hierdurch nicht. 4. Wenn F eine Formel ist, dann ist ( t)f auch eine Formel. Alle in F auftretenden freien Tupelvariablen t werden durch ( t) in der Formel ( t)f gebunden. Der Status anderer Tupelvariablen in F ändert sich hierdurch nicht. 5. Formeln können bei Bedarf eingeklammert werden. 6. Nichts anderes ist eine Formel. Anfrage im TRC: {t F (t)} mit t als einziger freier Tupelvariablen in Formel F

35 c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-35 Beispiel 2-13: Algebra-Operatoren im TRC nachgebildet: Vereinigung von R 1 und R 2 : {t R 1 (t) R 2 (t)} Anmerkungen: Jedes Tupel hat auch eine feste Stelligkeit. R 1 und R 2 müssen also entsprechend kompatibel sein. In dieser einfachen Form sind alle Komponenten (Attribute) auch domain-kompatibel. Projektion auf Attribute (Komponenten) i 1, i 2,..., i k von R {t (k) ( u)(r(u) t[1] = u[i 1 ]... t[k] = u[i k ])} Selektion aller Tupel aus R, die Bedingung F erfüllen: {t R(t) F (t)} Anmerkung: F (t) steht hier stellvertretend für die konkrete Bedingung an die Tupelkomponente(n) z.b. (t[1] = 17) (t[3] = 24) Differenz zweier Relationen R und S: {t R(t) S(t)} Kartesisches/Relationales Produkt von R und S: {t (r+s) ( u (r) )( v (s) )(R(u) S(v) t[1] = u[1]... t[r] = u[r] t[r + 1] = v[1]... t[r + s] = v[s])}

36 2.3.4 Sicherer Tupel-Relationenkalkül c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-36 Eine Anfrage des TRC liefert nicht notwendig eine endliche Tupelmenge! Beispiel: Gib alle Tupel t aus, die nicht in R vorkommen! (Negation): {t R(t)} Beobachtungen: Welche Ergebnistupel (Schema)? Mögliche vereinfachende Annahme: Schema von R Dennoch: Welche Ausprägungen? Vereinfachend: Komplement von R bzgl. Produkt der Attributdomains Dann jedoch: Resultat von Domains abhängig! Evtl. immer noch nicht endlich! Wunsch: Domain-unabhängige TRC-Anfragen Problem: Domain-Unabhängigkeit lässt sich zu geg. TRC-Anfrage nicht automatisch feststellen (semantisches Kriterium, syntaktisch unentscheidbar). Ausweg: Wir suchen ein syntaktisches Kriterium, das einfach zu überprüfen ist, und Domain- Unabhängigkeit garantiert. Dies kann nur gelingen, indem wir noch stärker ( zu stark ) einschränken, dabei dürfen aber keine interessanten TRC-Anfragen ausgeschlossen werden. Lösung: sichere Anfragen des TRC

37 Domain-Unabhängigkeit c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-37 Überlegung: 1. Wir fragen nach Werten aus der DB, nicht von sonst irgendwoher 2. Jede Relation in der konkreten DB ist endlich, damit auch der betrachtete DB-Zustand 3. Einschränkung: Als Domain (für die Auswertung von Anfragen) werden nur in der DB vorkommende Werte oder in der Anfrage auftretende Konstanten zugelassen. Formal: 1. F (v 1,..., v n ) = Formel des TRC DOM(F ) = Menge der möglichen Werte für Komponenten der v i = Konstanten in F alle Werte aus DB 2 Beispiel 2-14: Für die Formel F = P (t) Q(s) s[1] = t[2] t[1] > 10 ist mit zweistelligen Prädikaten P, Q: DOM(F ) = {10} π 1 (P ) π 2 (P ) π 1 (Q) π 2 (Q) 2. Wert von F (v 1,..., v n ) bzgl. Datenbank D = Menge aller Tupel aus D, die F wahr machen 3. F heißt domain-unabhängig, wenn für alle DOM(F ) D gilt: Wert von F bzgl. DOM(F ) = Wert von F bzgl. D 2 Dies ist zwar eine sehr großzügige Abschätzung nach oben, genügt aber, um die Abgeschlossenheit zu gewährleisten.

38 Anmerkungen c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-38 Domain-Unabhängigkeit ist ein semantischer Begriff Es gibt keinen Algorithmus, der zu geg. F entscheidet, ob F domain-unabhängig ist oder nicht Wir brauchen ein anderes Kriterium, das sich einfach (syntaktisch) testen lässt das keine praktisch relevanten Anfragen ausschließt Sicherheit (safety)

39 Sichere Ausdrücke des TRC c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-39 Definition 2-1: Safety Eine Formel F des TRC heißt sicher, wenn 1. keine -Quantoren vorkommen; 2. bei F 1 F 2, F 1 und F 2 jeweils nur eine freie Variable haben, und zwar die gleiche; 3. bei (maximalen) konjunktiven Teilformeln F 1 F 2... F n alle freien Tupelkomponenten in den F i begrenzt sind. F i nicht negiert, kein arithm. Vergleich, freie Tupelvariable t alle Komp. von t begrenzt; F i t[a] = c oder F i c = t[a] für Konstante c t[a] begrenzt. F i t[a] = t [a ] oder F i t [a ] = t[a] und t [a ] begrenzt t[a] begrenzt. 4. Negation ( ) nur auf Termen innerhalb einer Konjunktion wie in 3) erlaubt. Bemerkung zu 1: ( t)f (t) ( t)( F (t))... d.h. keine Einschränkung Alternative: beschränkte Quantoren nur in der Form: ( t)( R(t) F (t)) bzw. ( t R)(F (t))... und bei : ( t)(r(t) F (t)) bzw. ( t R)(F (t))

40 Satz 2-1: c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-40 Relationenalgebra und sicherer Relationenkalkül (TRC) sind äquivalent. Beweisansatz: Finde zu jedem Ausdruck in Relationenalgebra einen sicheren TRC Ausdruck und umgekehrt. ( siehe Lehrbücher) Definition 2-2: ( Relational Completeness ) Eine Anfragesprache für das Relationenmodell heißt relational vollständig, wenn sie (mindestens) so ausdruckskräftig wie die Relationenalgebra (oder der sichere TRC) ist (Codd 1970).

41 2.4 Literaturhinweise c M. Scholl, 2005/06 Informationssysteme: 2. Das Relationale Datenmodell 2-41 Codd, E.F. (1970). A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks. Communications of the ACM, 13( ). Elmasri, R. und S. Navathe (2000). Fundamentals of Database Systems. Addison-Wesley, Reading, MA., 3 Aufl. Titel der deutschen Ausgabe von 2002: Grundlagen von Datenbanken. Korth, H.F., A. Silberschatz und S. Sudarshan (1997). Database Systems Concepts. McGraw-Hill. Maier, D. (1983). The Theory of Relational Databases. Computer Science Press. Ullman, J. (1988/1989). Principles of Database and Knowledge-Base Systems I & II. Computer Science Press. Vossen, G. (1994). Datenmodelle, Datenbanksprachen und Datenbank-Management-Systeme. Addison-Wesley, 2 Aufl.