Interferometrie. Praktikumsversuch am Gruppe: 3. Thomas Himmelbauer Daniel Weiss

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1 Interferometrie Praktikumsversuch am Gruppe: 3 Thomas Himmelbauer Daniel Weiss Abgegeben am:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Versuchsaufbau 3 Versuchsdurchführung 4 Gangweitenbestimmung Dierentialschraube Sichtbarmachung der Brechzahländerung 4 6 Interferometrische Wellenlängenbestimmung 7 Bestimmung des spektralen Abstands benachbarter Linien 6 8 Bestimmung der Kohärenzlänge der Natriumdampampe 7 A Fehlerrechnung 8 A.1 Gangweite A. Wellenlänge Natriumdampampe A.3 spektraler Abstand benachbarter Linien A.4 Kohärenzlänge

3 1 Einleitung Ziel der Versuche ist es, die Funktionsweise eines Lasers besser zu verstehen. Ebenfalls werden mittels verschiedener Strahlungsquellen Interferenzphänomene erzeugt. Versuchsaufbau Als Lichtquelle dient in den ersten Versuchen ein He-Ne-Laser, der fest mit der Arbeitsplatte verschraubt ist. Ein Michelson-Interferometer dient zur Erzeugung von Laufzeitunterschieden des kohärenten Lichts und ist auch auf der Arbeitsplatte fest verankert. Durch zwei Stellschrauben, eine Mikrometer- und eine Dierentialschraube, kann eine der beiden Spiegelebenen verschoben werden. Die Laserlichtquelle wird in einem späteren Versuch durch eine Natriumdampampe ausgetauscht. Durch Anbringen verschiedener optischer Linsen kann der Brennpunkt verschoben werden, wodurch eine Vergröÿerung des Interferenzbildes möglich ist. 3 Versuchsdurchführung Vor den Messungen ist der He-Ne-Laser exakt auszurichten. Dies geschieht mit Stellschrauben an der Grundplatte des Lasers. Der Justiervorgang wird gemäÿ Unterlagen ausgeführt[hm07]. Der Laserstrahl ist absolut horizontal und mittig auf das Interferometer zu richten. Die fest am Interferometer justierte Spiegelebene kann mit Stellschrauben gekippt werden, um später das Interferenzbild in die Mitte der Projektionsäche zu bringen. Nach Beendigung des Justiervorganges, werden die jeweils für den Versuch benötigten Linsen angebracht. Vor Einsetzen der optischen Linsen ist darauf zu achten, dass sie frei von Verunreinigungen sind. 4 Gangweitenbestimmung Dierentialschraube Bei diesem Versuch wird bestimmt, wie sich das Interferenzbild bei betätigen der Dierenzialschraube, genauer der Mikrometerschraube der verstellbaren Spiegelebene, ändert. Für diesen Versuch werden gemäÿ Versuchsanleitung eine Sammellinse direkt vor dem Laser und eine Mikroskop-Linse vor dem Michelson-Interferometer eingesetzt[hm07] (Abb. 1). Da die Wellenlänge des He-Ne-Lasers bekannt ist (λ = 633nm) kann durch Verschieben der Spiegelebene, und somit der Lauänge einer der Lichtstrahlen, die Gangweite

4 Abbildung 1: Versuchsaufbau. Bild ist der Anleitung entnommen[hm07]. bestimmt werden. Hierfür werden bei konstantem verstellen der Schraube die dabei entstehenden, oder verschwindenden, Interferenzringe im Mittelpunkt der Projektionsäche gezählt. Der Gangunterschied der Strahlen beträgt s = (l l 1 ) (1) Die Längen werden hier jeweils vom halbdurchlässigen Spiegel des Michelson-Interferometers bis zur Spiegelebene gemessen. Da der Lichtstrahl diese Länge zweimal durchläuft, muss der doppelte Weg berücksichtigt werden. Für die Berechnung der Länge ist die Anzahl der Streifenverschiebungen m im Interferenzbild notwendig. l l 1 N = l = m λ N wobei die Wellenlänge des Laserslichts der Versuchsanleitung entommen wird: () λ = 63,8nm (3) und N für die Anzahl der mit der Schraube weitergedrehten Striche steht. Die Messergebnisse sind in Tabelle 1 aufgelistet. Als Ergebnis folgt der Mittelwert (Fehler in Abschnitt A.1 berechnet): l = 1 i=1 Die Standardabweichung (siehe Gl. 17) ist: ( ) li = (0,4 ± 0,0)µm (4) 1 s = 0,07µm () Diese Werte gelten für das Weiterdrehen um einen Strich. Die Ganghöhe der Schraube entspricht einer vollen Umdrehung (0 Striche). Ganghöhe: L Gang = 0 λ = 0 (0,4 ± 0,0)µm = (, ± 1,0)µm (6) 3

5 Messung m Anzahl Striche l[µm] 1 7 ± 1 ± 0, 0,44 ± 0,08 16 ± 1 10 ± 0, 0,1 ± 0, ± 1 8 ± 0, 0,44 ± 0, ± 1 9 ± 0, 0,49 ± 0,04 17 ± 1 11 ± 0, 0,49 ± 0, ± 1 ± 0, 0,44 ± 0, ± 1 6 ± 0, 0,47 ± 0, ± 1 7 ± 0, 0,4 ± 0, ± 1 9 ± 0, 0,3 ± 0, ± 1 7 ± 0, 0,4 ± 0, ± 1 8 ± 0, 0,36 ± 0,0 1 7 ± 1 6 ± 0, 0,37 ± 0,06 Tabelle 1: Messergebnisse für Gangweitenbestimmung. l wird gemäÿ Formel berechnet. Die Fehlerrechnung ist unter Abschnitt A.1 zu nden. Anzahl Striche steht für die Anzahl der an der Dierentialschraube weitergedrehten Striche. Sichtbarmachung der Brechzahländerung Für diesen Versuch wird mit dem Versuchsaufbau aus 3.1 ein gut sichtbares Interferenzbild mit annähernd parallelen Streifen erzeugt. Die einzige Abänderung ist ein nun zwischen Interferometer und verschiebbarer Spiegelebene eingeklemmter elektrischer Heizwiderstand mit 300Ω. Der Widerstand ist dann auf der Projektionsäche zu erkennen. Abbildung : kalter Widerstand im Strahlengang. Da sich die Brechzahl von atmosphärischer Luft mit der Temperatur ändert, ändert sich auch das Interferenzmuster nach Aufheizen des Widerstandes. 4

6 Abbildung 3: heiÿer Widerstand im Strahlengang. 6 Interferometrische Wellenlängenbestimmung Bei dieser Versuchsdurchführung wird der Laser durch eine Natriumdampampe ersetzt. Da die Lampe erst nach circa zehn Minuten die volle Intensität erreicht hat, ist dieser Zeitpunkt abzuwarten. Die Lampe wird in der Höhe so justiert, dass sie mittig auf das Interferometer strahlt. Zwischen Lampenönung und Interferometer werden eine Sammellinse und eine Irisblende eingesetzt. Die Sammellinse dient hierbei zum Fokussieren des Lichts auf den Mittelpunkt der Blende. Die Blende selbst wird benötigt um möglichst nur achsenparallele Strahlen in das Interferometer zu lassen. Das Gesamte System wird so verschoben, dass zwischen fünf und zehn Interferenzstreifen auf der Projektionsäche erkennbar sind. Es wird zusätzlich ein schwarzes Tuch über den Versuchsaufbau gelegt, um seitliches Abstrahlen zu verhindern (siehe Abb. 4). Abbildung 4: Versuchsaufbau. Bild ist der Anleitung entnommen[hm07]. Durch Verstellen der Dierentialschraube kann gegengleich zur Vorgehensweise aus dem Versuch 3.1 die Wellenlänge der Na-Dampampe bestimmt werden. Es werden die auftretenden oder verschwindenden Interferenzringe bei Betätigung der Schraube abgezählt. Aus der bekannten Ganglänge der Schraube kann nun die Wellenlänge berechnet werden

7 (Tab. ). Messung Anzahl Striche L[µm] λ[nm] 1 3 ± 0, 14,4 ± 0,7 77,0 ±,4 39 ± 0, 17,8 ± 0,67 703, ± 30, ± 0, 1,33 ± 0,60 613,0 ± 6,8 4 7 ± 0, 1,17 ± 0,49 486,8 ±,0 9 ± 0, 13,07 ± 0,,9 ± 3,4 Tabelle : Messung der Wellenlänge der Natriumdampampe. Anzahl Striche steht für die Anzahl der weitergedrehten Striche auf der Dierentialschraube; L für die daraus resultierende Verschiebung des Spiegels. Die Fehlerrechnung steht unter Abschnitt A.. Die Verschiebungslänge des Spiegels L berechnet sich mit der bereits bekannten Gangweite der Schraube l zu L = N l (7) wobei N für die Anzahl der weitergedrehten Striche steht. Die Wellenlänge folgt aus Umstellen der Formel zu λ = L (8) m Da die Gangweite der Stellschraube nicht genau bekannt ist, wird mit Fehlerfortpanzung gerechnet (siehe Abschnitt A.). Es folgt als Mittelwert der Wellenlänge (analog zu 4 berechnet): λ = (80,6 ± 11,)nm (9) mit einer Standardabweichung von s = 84,0nm (10) 7 Bestimmung des spektralen Abstands benachbarter Linien Ziel des Versuchs ist die Bestimmung des Wellenlängenunterschieds der Na-D-Linien. Am Versuchsaufbau wird nichts verändert, jedoch wird nun mittels Mikrometerschraube die Spiegelebene von einem Kontrastmaximum zum nächsten verschoben (Abstand d). Da die Wellenlänge nicht exakt mit dem vorherigen Versuch bestimmt werden konnte wird auch hier die Fehlerfortpanzung berücksichtigt. Tabelle 3 zeigt die Messwerte. Die Wellenlängendierenz λ ergibt sich mit (siehe Anleitung) λ = λ d wobei sich der Abstand d aus der Anzahl der abgelesenen Striche N ergibt: (11) d = N 0, mm (1) 0 6

8 Messung Abstand d[mm] λ[nm] 1 0,0 ± 0,01 0,84 ± 0,04 0,4 ± 0,01 0,70 ± 0,03 3 0,19 ± 0,01 0,89 ± 0,04 4 0,0 ± 0,01 0,84 ± 0,03 0,0 ± 0,01 0,84 ± 0,03 Tabelle 3: Messung der Wellenlängendierenz der Natrium-D-Linie. d entspricht der Differenz der beiden Spiegelpositionen. Die Fehlerrechnung ist im Abschnitt A.3 zu nden. Als Gesamtwert ergibt sich (siehe Abschnitt A.3 zur Fehlerberechnung): λ = (0,8 ± 0,0)nm (13) Die Standardabweichung ist s = 0,07nm (14) 8 Bestimmung der Kohärenzlänge der Natriumdampampe Auch hier muss am Versuchsaufbau nichts verändert werden. Der Unterschied zur vorherigen Messung liegt darin, dass nun mittels Mikrometerschraube der Beginn und das Ende der Interferenzen ermittelt werden. Dieser Abstand ist direkt proportional zur Kohärenzlänge. Es wird zu Beginn der Messung die Spiegelebene mittels drehen der Mikrometerschraube möglichst nah an das Michelson-Interferometer herangefahren. Beim Zurückfahren der Ebene wird der Punkt des ersten Auftretens von Interferenzen notiert. Es wird der Abstand bis zu dem Punkt vergröÿert, bis keine Interferenz mehr auftritt. Daraus ergibt sich der Mittelwert Messung Anzahl Striche Kohärenzlänge d[mm] ± 0, 9,96 ± 0, ± 0, 16,88 ± 0, ± 0, 17,3 ± 0, ± 0, 16,0 ± 0, ± 0, 1,76 ± 0,01 Tabelle 4: Messung der Kohärenzlänge der Natriumdampampe. Die Fehlerberechnung ist unter A.4 zu nden. S = 14,9mm (1) mit der Standardabweichung s = 3,1mm (16) 7

9 A Fehlerrechnung Ein Maÿ für den statistischen Fehler ist die Standardabweichung. Diese ist die Wurzel der Varianz und wird folgendermaÿen berechnet: s = 1 N (x i x) N (17) i=0 Für weitere Berechnungen wird die Fehlerfortpanzung benötigt, um den Gesamtfehler des Ergebnisses anzugeben: ( f ) ( ) f σ g = σx x + σy y + (18) Beide Formeln sind der Versuchsanleitung zur Fehlerrechnung entnommen. A.1 Gangweite Als Ablesefehler der Anzahl der entstehenden Streifen nehmen wir m = ±1 Streifen und für die Anzahl der mit der Dierentialschraube weitergedrehten Striche einen Ablesefehler von ±0, Striche an; die Wellenlänge ist ohne Fehler angegeben, sodass wir sie als exakt annehmen. Die Fehlerfortpanzung (siehe Gleichung 18) für die Gangweite (siehe Gleichung ) ergibt einen Fehler von ( ) λ ( ) mλ σ l = 1 N + N 0, (19) für den Längenunterschied pro Strich der Dierentialschraube. Die Fehlerwerte sind in Tabelle 1 eingetragen. Mit der Fehlerfortpanzung folgt für den Mittelwert (Gl. 4): σ m = 1 i=1 [ ( 1 1 ) F i ] = 1 i=0 F i 1 wobei F für den Fehler des jeweiligen Messwertes steht (siehe Tabelle 1). = 0,0µm (0) A. Wellenlänge Natriumdampampe Als Ablesefehler der Anzahl der entstehenden Streifen wird wie oben m = ±1 Streifen angenommen. Der Ablesefehler der Anzahl der weitergedrehten Striche auf der Dierentialschraube ist ±0, Striche. 8

10 Als Fehler für die Gangweite der Schraube wird der in Gleichung 4 bestimmte Fehler genommen. Für den Fehler der Verschiebungslänge L folgt mit der Fehlerfortpanzung und Gleichung 7: σ L = N F l + ( l) FN (1) wobei N für die Anzahl der weitergedrehten Striche steht (siehe Tabelle ), l für die bereits bestimmte Gangweite der Schraube und F für die Fehler der jeweils im Index angegebenen Gröÿen. Für die Wellenlänge folgt nun mit Gleichung 8 und der Fehlerfortpanzung: ( ) ( ) L σ λ = FL m + m Fm () Dabei ist m die Anzahl der entstehenden Maxima (jeweils 0 in diesem Versuch) und L die bereits bestimmte Verschiebungslänge. F sind die jeweiligen Fehler. Der Gesamtfehler errechnet sich nun mit der Fehlerformel für den Mittelwert. Analog zu Gleichung 0: σ m = [ (1 ) ] Fi i=0 = F i = 11,nm (3) i=1 A.3 spektraler Abstand benachbarter Linien Der Ablesefehler der Schraube wird als ±0, Striche angenommen. Der Fehler von Gleichung 1 ist (0, ) σ = 0 mm 0, = 0, mm = 0,01mm (4) 0 Für Gleichung 11 ergibt sich als Folgefehler: (λ ) ( ) λ σ = F d λ + d Fd () wobei F λ der Fehler der vorher bestimmten Wellenlänge und F d der Fehler aus Gleichung 4 ist. 9

11 Bei der Mittelwertsbildung ergibt sich als Gesamtfehler: σ m = [ (1 ) ] Fi i=0 = F i = 0,0nm (6) i=1 F i sind die in Tabelle 3 aufgeführten jeweiligen Einzelfehler der Wellenlängendierenzen. A.4 Kohärenzlänge Die Fehlerrechnung ist analog zu der im Abschnitt A.3. Der Fehler des Mittelwerts ist schlieÿlich σ m = [ (1 ) ] Fi i=0 = F i = 0,004nm (7) i=1 und somit zu genau und nicht mehr sinnvoll angebbar. Der schwer einzuschätzende Fehler des richtigen Sehens der Interferenzen konnte nicht quantiziert und somit nicht berücksichtigt werden. Literatur [HM07] H. Michor, E. S.: Interferometrie,