Matthias Treydte Fakultät für Informatik TU Chemnitz

Transkript

1 Einführung MRM / LOD Matthias Treydte Fakultät für Informatik TU Chemnitz

2 Übersicht Wozu das Ganze? Wie kann man Polygonzüge vereinfachen? Wie sind Vereinfachungen zu bewerten? Welche Verfahren sind bekannt? Diskrete MRMs Stetige MRMs Spannbäume & Vertex Hierarchies

3 Motivation Es existieren riesige Datenbanken mit sehr detaillierten Polygonmodellen, z.b.: Medizinische Daten CAD Modelle Für Archivierung evtl. sinnvoll Für ständige Verarbeitung (z.b. Darstellung) werden weniger detaillierte Modelle benötigt Lösung: automatische Vereinfachung

4 Ein Beispiel Links : Polygone Mitte : Polygone Rechts : 1000 Polygone

5 Wie sind Vereinfachungen zu bewerten? Die Frage: Wie ähnlich ist die Vereinfachung dem Original? zwei Ansätze: ähnliche Erscheinung geometrische Näherung

6 Nach ähnlicher Erscheinung Erscheinung ist das Rasterbild, welches ein Renderer erzeugt Differenz zweier m x m Rasterbilder : 1 2 I 1 I 2 img = 2 I 1 u, v I 2 u, v m u v zu berechnen für alle wichtigen Sichtpunkte Modell so verändern, dass Differenz minimal

7 Für & Wieder Pro: misst direkt die Ähnlichkeit verdeckte Teile können komplett entfernt werden Kontra: Auswahl der Sichtpunkte ist schwierig Berechnung der Ansichten ist aufwändig

8 Nach geometrischer Näherung ähnliche Erscheinung bleibt oberstes Ziel die geometrische Näherung ist leichter zu bestimmen wird stellvertretend für ähnliches Aussehen verwendet die Ergebnisse sind nicht nur für die Darstellung nützlich (z.b. Volumen berechnen,...)

9 Funktionen approximieren haben Funktion f t und Approximation g t Eine stückweise lineare Approximation aus n Segmenten ist optimal, wenn es keine andere Appr. aus n Elementen gibt welche einen kleineren Fehler hat. Größter Fehler f g =max f t g t a t b Durchschnittlicher Fehler f g 2= f t g t dt b a 2

10 am Beispiel erkennen... h...daß es auch darauf ankommt, was man unter einer guten Approximation versteht h

11 Das Ganze mit Oberflächen... es gibt keine Vorzugsrichtung mehr messen jetzt die Entfernung zwischen Punkten v und w M d v M =min v w w M also E max M 1, M 2 =max max d v M 2, max d v M 1 v M 1 (Hausdorff - Entfernung) v M 2

12 ...auch als durchschnittliche Abweichung beide Normen sind symmetrisch Aufgebaut und aufwändig zu berechnen in der Praxis werden i.d.r. vereinfachte Varianten eingesetzt E avg M 1, M 2 = v M d v M 2 v M d v M 1 w1 w2 1 2

13 Objekte vereinfachen zwei verbreitete Ansätze: refinement: beginnt mit einem Basismodell und fügt iterativ Details hinzu decimation: beginnt mit dem ursprünglichen Modell und entfernt iterativ Details Gemeinsamkeit: Beide Verfahren suchen nach einer Approximation, indem sie eine Ausgangsgeometrie transformieren

14 Die Topologie verändern? die Veränderung kann sein: verboten implizit durch Veränderung der Geometrie explizit erwünscht

15 Kurven und Funktionen approximieren Abschnittsweise lineare Kurven sind mit refinement Algorithmen einfach zu approximieren (Douglas-Peucker) schnell und sogar optimal nach L Norm Decimation Algorithmen liefern gleich gute Ergebnisse bei höherer Laufzeit für Raumkurven ist die Approximation 3 deutlich aufwändiger ( O n log m )

16 Height Fields approximieren werden definiert durch eine Gleichung der Form z= f x, y Agrawal und Suri: eine L - optimale Approximation zu finden ist NP Hart 2 in Polynomialzeit ( O n ) möglich: n Punkte in der Eingabe Approximation mit O(k log k) Dreiecken wenn die optimale Lösung k Dreiecke enthält meist werden refinement Algorithmen verwendet

17 allgemeine Oberflächen Height Fields sind ein Sonderfall von Oberflächen Oberflächen zu approximieren ist auch NP Hart klassische Methode ist das manuelle Erstellen der (MR-) Modelle refinement Algorithmen sind kompliziert: Woher soll man das Ausgangsmodell für die Iteration nehmen? Diese muss die selbe Topologie wie das Originalmodell haben.

18 Vertex Clustering Idee: Die Punkte in eine Menge von Gruppen einteilen und alle Punkte in einer Gruppe durch einen neuen Punkt ersetzen schnell, aber i.d.r. schlechte Qualität Hausdorff - Fehler durch Größe der Cluster beschränkt Verbesserung: adaptive Partitionierung, z.b. mit Octrees

19 Region Merging Kalvin & Taylor: Superfaces - Algorithmus teilt die Oberfläche in disjunkte Regionen anhand eines flachheits - Kriteriums die Grenzen dieser Regionen werden vereinfacht die Regionen werden neu trianguliert funktionieren am besten mit recht ebenen Oberflächen lassen sich schlecht mit MRMs kombinieren nicht sehr weit verbreitet

20 Vertex Decimation der Algorithmus: zu entfernenden Punkt wählen diesen und alle angrenzenden Flächen entfernen das resultierende Loch neu triangulieren Topologie bleibt unverändert eng verwandt mit dem Iterative Contraction - Verfahren braucht Projektion in die Ebene (zum triangulieren; flach )

21 Iterative Contraction Schreibweise v i, v j v bedeutet: v i und v j nach v verschieben alle v j durch v i ersetzen v j und alle degenerierten Flächen entfernen Umgebung der Vereinfachung muss nicht flach sein

22 Iterative Contraction Zusammenfassungen von Punkten ohne gemeinsame Kante sind möglich wo liegt eigentlich v? subset placement optimal placement entweder bei v i oder v j welche Position auch immer den kleinsten Fehler ergibt welches Paar wird zusammengeführt? das mit den kleinsten Kosten

23 ein Beispiel Topologie wurde implizit verändert

24 diskrete MRMs sind eine Sammlung von immer einfacher werdenden Modellen Renderer wählt für jedes Frame eines von ihnen zur Darstellung aus wenn man gute Approximationen der Oberfläche erzeugen kann, kann man auch diskrete MRMs erzeugen Problematisch ist der Übergang zwischen zwei Detailstufen ( popping ) nur die vorberechneten Modelle sind verfügbar

25 Wie überblenden? LOD blending der Übergang wird auf mehrere Frames verteilt beide Auflösungsstufen werden gerendert mittels Alpha blending wird der Übergang zwischen den Detailstufen weich gemacht Geomorphing die Modelle selbst werden interpoliert braucht Abbildung der Knoten des komplexeren Modells auf die des einfacheren (=> iterative contraction) Komplexität des Modells ist die des komplexeren der beteiligten

26 stetige MRMs können das Gelände Problem lösen passen das LOD an die Art der Betrachtung an es gibt einige Methoden welche auf Gelände spezialisiert sind, viele basieren auf der Unterteilung der Fläche in rechteckige Abschnitte

27 Darstellung stetiger MRMs M M M M k oder k M M k 1 M k 2 M 0 Darstellung als simplification streams oder vom komplexen Modell zum einfachen nützlich als Cache zur Verbesserung von iterative contraction - Verfahren progressive meshes vom einfachen zum komplexen

28 Progressive Meshes die Kontraktion ist eine umkehrbare Operation: aus einer contraction wird ein vertex split Vorteile: das resultierende Modell kann kleiner sein als das Original der Aufwand für die Rekonstruktion ist proportional zur Größe der Approximation

29 Spannbäume? betrachten ein Modell als Graphen ein Spannbaum verbindet alle Knoten (Vertexe) des Graphen (Modells) jedes Vertex in einer Approximation steht für eine Menge von Vertexen in einem Detaillierteren Modell, welche wiederum... und ist azyklisch hierarchische Struktur eine Kante im Spannbaum steht für mehrere Kanten im Modell

30 ...ein Beispiel

31 Vertex Hierarchies Progressive Meshes sind etwas zu restriktiv: es sind nur Approximationen möglich, die während der Vereinfachung erstellt wurden Zusammenziehungen sind nur in der Reihenfolge ihrer Entdeckung möglich eine unnötige Einschränkung alle Schnitte durch die Hierarchie sind gültige Approximationen