Theoretische Elektrotechnik

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1 Theoretische Elektrotechnik Band 5: Elektrische Netzwerke - Berechnung und Synthese von Schaltungen mit vorgegebenem Bifurkationsverhalten 2. Auflage Priv.-Doz. Dr.-Ing. habil. Roland Süße Univ.-Prof. Dr. rer nat. habil. Bernd Marx Wissenschaftsverlag Ilmenau

2 vii Inhaltsübersicht der erschienenen Bände xiii 1 Einleitung und Zielstellung 1 2 Beschreibung elektrischer Netzwerke und ihre Grundgesetze Definition eines elektrischen Netzwerkes Die Grundgesetze Linearität und Superpositionssatz 13 3 Methoden zur Berechnung von linearen Gleichstromnetzwerken Anwendung der Kirchhoffschen Sätze Berechnung mittels Superpositionsprinzip Die Methode der Ersatzquelle Methode der Knotenpotentiale Die Maschenstromanalyse 24 4 Berechnung von linaren Netzwerken mit zeitabhängigen Strömen Die Symbolische Methode Anwendung der Laplace-Transformation zur Berechnung von linearen Netzwerken 33 5 Nichtlineare Netzwerke Beschreibung nichtlinearer Netzwerke Statische und dynamische Kennlinien Statischer und dynamischer Widerstand Normierung von Kennlinien, Kennlinienfunktionen und Netzwerksgleichungen Kennliniennormierung Normierung von Kennlinienfunktionen Normierte Netzwerksgleichungen Entnormierung Methoden zur Approximation nichtlinearer Bauelementekennlinien Analytische Darstellung nichtlinearer Kennlinien Methoden zur Approximation Methode der ausgewählten Punkte 49

3 Vlll Methode der Rektifikation Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate Die Newtonschen Interpolationsformeln Approximation von Bauelementekennlinien mit MATHEMATICA Implementierung Eingabe der Meßwerte der Zehnerdiode Exakte Interpolation durch gegebene Punkte Interpolationspolynome Spline-Interpolation Kubische Splines Bezier-Splines Zusammengesetzte Bezier-Splines Vergleich aller Spline Näherungskurven an gegebene Datenpunkte Regressionsanalyse Regressionspolynome Approximation von hysteresbehafteten Bauelementekennlinien Die Approximation mit der arctan-funktion Exponentialfunktion-Approximation Approximation nach Wong Approximation nach Rivas, Zamarro, Martin, Pereira Klassische Berechnungsmethoden Schaltungen mit einem nichtlinearen Blindelement Methode der Isoklinen Integration mittels Potenzreihenansatz Schaltungen, die auf nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung führen Einteilung nichtlinearer Schwingungen Herleitung der Gleichung von van der Pol Methode der Phasenebene Veränderung der Parameter von van der Pol Lösung durch Potenzreihenansatz Berechnung nichtlinearer Netzwerke auf der Grundlage der Variationsrechnung Die Methode von Ritz Bestimmung der Lagrange-Funktion zum Duffingeschen Problem Hamilton-Funktion und Poissonklammern der Duffingschen Differentialgleichung Lösung der Duffingschen Differentialgleichung mit Hilfe der Methode von Ritz 94

4 IX Die Methode von Galerkin 99 Grundbegriffe der Funktionalanalysis und Berechnung nichtlinearer Schaltungen Metrischer Raum Normierter Raum und Banachraum Innenproduktraum und Hübertraum Definitionen und Eigenschaften Der Hilbertraum L 2 (a, b) (Standardbeispiel) Orthogonalreihen in Hilberträumen Lineare und nichtlineare Abbildungen Differentialrechnung und implizites Funktionentheorem Herleitung einer Bifurkationsgleichung Anwendung der Bifurkationstheorie auf gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichungen Die lineare Schwingungsgleichung Untersuchungen im Nichtresonanzfall Untersuchungen im Resonanzfall Ein nichtlineares Schwingungsproblem Lösung im Nichtresonanzfall Lösung im Resonanzfall Bestimmung einer periodischen Lösung der van der Pol'sche Differentialgleichung Existenznachweis eines Grenzzykels Stabilitätsuntersuchungen für den Grenzzykel Nachweis des Grenzzykels mittels Poincare-Abbildung Nachweis des Grenzzykels mittels Mittelungsmethode 175 Bifurkationen in skalaren Differentialgleichungen Stabilität von Differentialgleichungen Parameterabhängige Differentialgleichungen und deren Bifurkationsverhalten Sattel-Knoten-Bifurkation Transkritische Bifurkation Die Pitchfork-Bifurkation Schlußfolgerungen für die Synthese des Bifurkationsverhaltens 195 Synthese von Differentialgleichungen mit vorgegebenem Bifurkationsverhalten Syntheseaufgabe und Syntheseetappen Entwurf von Schaltungen mit Bifurkationsverhalten Synthese von Netzwerken unter Einschränkungen Nichtlineare Eigenschaften der Bauelemente Geeignete Analog-Rechenschaltungen 205

5 X Elektrotechnische Anforderungen an die Schaltungen Kriterien und Abfolge des Schaltungsentwurfs Notwendige und nachgeordnete Kriterien Abfolge des Entwurfsprozesses und Reihung der Kriterien Quantitative Kriterien Übersicht des Entwurfsprozesses Charakteristische Eigenschaften von Gleichgewichtszuständen Lage von Gleichgewichtszuständen Stabilitätsverhalten Parameterabhängigkeit der Lage Mathematische Synthese durch Formung der Differentialgleichung für verschiedene Bifurkationstypen Mathematische Synthese der transkritischen Bifurkation Synthese von Sattel-Knoten-Bifurkationen Synthese von Gabel-Bifurkationen Synthese und Realisierungsmöglichkeiten kombinierter Bifurkationen Einzugsbereiche asymptotisch stabiler Gleichgewichtszustände Berücksichtigung des Einschaltzustandes Berücksichtigung des Einschaltverhalten Das Lösungsverhalten bei kontinuierlicher Parameteränderung Zeitabhängiges Lösungsverhalten in der Nähe von Bifurkationspunkten Der Entwurfsprozeß im Überblick Schaltungssynthese für vorgegebenes Bifurkationsverhalten Schaltungssynthese und Simulation Simulation des dynamischen Verhaltens von Differentialgleichungen Vom Strukturbild zum Schaltungsaufbau Berücksichtigung praktischer Aspekte Schaltungen mit parameterabhängigem Lösungsverhalten Schaltungssynthese für verschiedene Bifurkationstypen Transkritische Bifurkation und ihre Synthese Schaltungen mit Sattel-Knoten-Bifurkation Synthese von Schaltungen mit Gabel-Bifurkation Schaltungssynthese bei Falten-Bifurkation Zusammenfassung der Ergebnisse und Anwendungen Synthese von Zufallszahlen - Generatoren mit Hilfe der Gabel-Bifurkation {L, D}-ModeIle für Spulen mit Ferrit-Ringkernen Ferrite und ihre Ummagnetisierungsverluste {L, D}-Modell mit Hilfe der arctan-approximation Schaltung, Geometrie, L- und >-Funktion Vereinfachte {L, D}-Modelle 306

6 XI 10.3 {L,-D}-Modelle auf der Grundlage von Exponentialfunktionen Das {L, D}-Modell mittels der Approximation nach Wong Herleitung des {L, D}-Modells mit der Approximation nach Rivas, Zamarro, Martin, Pereira Gültigkeit der Modelle {L,Z)}-Modell eines Ferrit-Kerns bei zwei Wicklungen Meßschaltung, Bewegungsgleichungen und ihre Lösungen Approximation der B - f/-kennlinie und Konstantenbestimmung Numerische Lösung der Bewegungsgleichungen Berechnung der Hysterese- und der Wirbelstromverluste Vergleich zwischen den Meßergebnissen und den Rechenergebnisse Diskussion der Methode Wandler und ihre Behandlung als Variationsaufgabe Systematisierung der Wandler Lineare Wandler {, >}-Modelle gesteuerter Quellen Die spannungsgesteuerte Stromquelle Die spannungsgesteuerte Spannungsquelle Die stromgesteuerte Stromquelle Stromgesteuerte Spannungsquelle Der ideale Transformator Zweitor-Transformator Dreitor-Transformator Gyrator und sein {L,D}-Modell Dreitor-Zirkulator, Lagrange- und Dissipatiosfunktion Negativübersetzer und seine Beschreibung Stromtyp-Negativübersetzer Spannungstyp-Negativübersetzer Nichtlineare Wandler Nichtlineare gesteuerte Quellen Nichtlineare spannungsgesteuerte Stromquellen Die nichtlineare spannungsgesteuerte Spannungsquelle Nichtlineare stromgesteuerte Stromquelle Die stromgesteuerte Spannungsquelle {L, >}-Modelle von Analogmultiplikatoren DerTraditor Der Operationsverstärker und seine {L, D}-Modelle Transistoren und ihre {L, Z)}-Modelle Bipolar-Transistoren (Injektionstransistoren) Unipolar-Transistoren (Feldeffekttransistoren) n-kanal Sperrschicht Feldeffekt-Transistor 358

7 Xll p-kanal Sperrschicht Feldeffekt-Transistor n-kanal Verarmungstyp MOS-Feldeffekttransistor p-kanal Verarmungstyp MOS-Feldeffekttransistor n-kanal Anreicherungstyp MOS-Feldeffekttransistor p-kanal Anreicherungstyp MOS-Feldeffekttransistor Literaturverzeichnis 369 Index 379