Aufgaben- und Formelsammlung zur Lehrveranstaltung NICHTLINEARE DYNAMISCHE SYSTEME

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1 Aufgaben- und Formelsammlung zur Lehrveranstaltung NICHTLINEARE DYNAMISCHE SYSTEME Technischen Universität Ilmenau Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik 3. Auflage ( )

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3 MEINEM LEHRER HERRN PROFESSOR DR. SC. TECHN. DR.MULT. EUGEN S. PHILIPPOW IN DANKBARKEIT GEWIDMET

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5 NICHTLINEARE DYN. SYSTEME EINFÜHRUNG 5 1 Einführung Aufgabe 1.1 Begriffe, Zusammenhänge Erläutern Sie die folgenden Begriffe und Zusammenhänge: (a) Auf der Grundlage welcher Gesetze können die Differntialgleichungen zur Beschreibung eines Netzwerkes mit nichtlinearen Elementen aufgestellt werden? Gehen Sie auf die verschiedenen Grundformen der Beschreibungsgleichungen ein! Welche Variablen eines Netzwerkes werden als Zustandsgrößen bezeichnet? Welche Vorteile bringt die Normierung der Differentialgleichungen? (b) Wie können die entstehenden Differentialgleichungen klassifiziert werden? Aufgabe 1.2 Van der Pol DGL, Isoklinenmethode Leiten Sie für die Van der Polsche Differentialgleichung die Isoklinengleichung ab und erläutern Sie die Konstruktion das Isoklinenfeldes prinzipiell ẍ ε(1 x 2 )ẋ + x = 0. Integrieren Sie mit Hilfe eines geeigneten Programms die Differentialgleichung für ε = 1 und ε = 1 in den Intervallen 3 x 3 und 3 ẋ 3. Drucken Sie die Lösungen für die Anfangsbedingungen x = 1 und ẋ = 0 aus und deuten Sie die Konstruktion mit Isoklinen an! Diskutieren Sie den Vorteil der Methode! Bestimmen Sie den Gleichgewichtszustand und dessen Stabilitätseigenschaft! Aufgabe 1.3 Rayleighsche DGL, Methode von Liénard Lösen Sie die Rayleighsche Differentialgleichung : d 2 x dτ 2 ε dx dτ + ε ( ) 3 dx + x = 0 3 dτ mit der Methode von Liénard für ε = 0, 5 bei den Anfangsbedingungen x(τ = 0) = 0 und dx dτ = 4. τ=0 Aufgabe 1.4 Delta-Methode Erläutern Sie das Prinzip der Delta-Methode und leiten Sie daraus einen geeigneten Algorithmus für die numerische Bearbeitung einer Differentialgleichung ab. Modifizieren Sie diesen Algorithmus entsprechend der angegebenen Fragestellungen und führen Sie Testrechnungen mit der einfachen Delta-Methode, der verbesserten Methode und der Methode mit automatischer Zeitschrittweitensteuerung für eine Differentialgleichung Duffingschen Typs d 2 x dx + 0, 5 dτ2 dτ + 0, 65x + 0, 75x9 = 0, 1 cos τ für x(τ = 0) = 0 und dx dτ = 0 aus. τ=0 Wie kann man die Winkelabhängigkeit in eine Zeitabhängigkeit umformen? Wie ist Verbesserung der Rechengenauigkeit möglich? Erläutern Sie den Grundgedanken der automatischen Zeitschrittweitensteuerung! 3. Auflage ( ) DR. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

6 6 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN NICHTLINEARE DYN. SYSTEME 2 Nichtlineare Differentialgleichungen Aufgabe 2.1 Differentialgleichungen I Gegeben ist die folgende Wechselstromersatzschaltung eines Oszillators. Die Übertragungskennlinie des aktiven Elementes ist durch i 2 = a 1 u 1 a 3 u 3 1 approximierbar. Die Strom-Spannungskennlinie des nichtlinearen Widerstandes wird durch die Gleichung u = bi 3 beschrieben. a) Stellen Sie die normierte Differentialgleichung für die Spannung u c am Kondensator auf! (Hinweis : die Dgl. läßt sich in die Form ẍ ε(1 x 2 )ẋ + βẋ 3 + x = 0 bringen, wobei x = u c U 0 und ẋ = dx dτ gilt) b) Welche Bedingungen müssen die Bauelemente- und Netzwerkparameter erfüllen, damit die modifizierte oder erweiterte van der Polsche Differentialgleichung ẍ ε(1 x 2 ẋ 2 )ẋ + x = 0 entsteht? c) Mit welchen realen aktiven Bauelementen ist die angegebene Schaltung in erster Näherung realisierbar? u i (u ) M 2 1 i u 2 L 1 L u(i) C uc Schaltbild zu Aufgabe 1 Aufgabe 2.2 Differentialgleichungen II Leiten Sie aus der normierten Oszillatorgleichung d 2 x dτ 2 M T ( a L C 1 3 a 3 U0 2 x2) dx dτ + b C3 U0 2 L C T ( ) dx 3 + T2 dτ L C x = 0 auf der Basis des Grundwellenansatzes x(τ) = ˆX sin(ντ) ab, wie Amplitude und Frequenz der Schwingung unabhängig voneiander verändert werden können. Aufgabe 2.3 Differentialgleichungen III Durch welche Koeffizienten muß die erweiterte Van der Polsche Differentialgleichung ẍ ε (1 x 2 ẋ 2 ) ẋ + x = 0 ergänzt werden, um eine Amplituden und Frequenzabhängigkeit der allgemeinen Lösungen analysieren zu können. TU Ilmenau, EI/TET DR. W.G. BÜNTIG 3. Auflage ( )

7 NICHTLINEARE DYN. SYSTEME NÄHERUNGSLÖSUNG 7 3 Näherungslösung nichtlinearer Differentialgleichungen Aufgabe 3.1 Näherungslösungen, Verfahren der Variation der Parameter Lösen Sie die van der Polsche Differentialgleichung ẍ ε(1 x 2 )ẋ + x = 0 mit ε > 0, ε 1 mit dem Verfahren der Variation der Parameter von van der Pol. Verwenden Sie den Lösungsansatz x(τ) = b(τ) cos τ. a) Weshalb reicht dieser Lösungsansatz aus? b) Bestimmen Sie die stationäre Lösung! Aufgabe 3.2 Näherungslösungen, van der Polsche Methode Die Differentialgleichung ẍ + εẋ 3 + x = 0 mit ε > 0 ist mit der Methode von van der Pol zu lösen! Verwenden Sie den Ansatz x(τ) = a(τ) sin τ! Welche Bedingung ist zur Anwendung dieser Methode an den Parameter ε zu stellen? Hinweis : cos 3 α = 3 4 cos α cos 3α Aufgabe 3.3 Näherungslösungen, Perturbationsmethode Für die homogene Duffingsche Differentialgleichung ẍ + 2δẋ + x + εx 3 = 0 mit δ = 2, x(0) = X 0, ẋ(0) = Y 0 ist mit der Perturbationsmethode das zugehörige lineare Differentialgleichungssystem aufzustellen. Lösen Sie die lineare Differentialgleichung für das Glied nullten Grades der Potenzreihe des kleinen Parameters für den Lösungsansatz x(t). Erläutern Sie den Lösungsalgorithmus bei Berücksichtigung von Gliedern höheren Grades. Zeigen Sie, daá die Lösung für das Glied nullten Grades unabhängig von ε ist und exakt der Lösung der linearen Differentialgleichung (ε = 0) ẍ + 2δẋ + x = 0 mit den angegebenen Anfangsbedingungen entspricht! Aufgabe 3.4 Näherungslösungen, Prinzip der harmonischen Balance a) Beschreiben Sie das Prinzip der harmonischen Balance! b) Untersuchen Sie die Lösung der Duffingschen Gleichung d 2 x dτ 2 + δ dx dτ + αx + βx3 = ˆΓ cos τ mit der 1. Approximation x(τ) = A 10 cos τ + B 10 sin τ und der 2. Approximation x(τ) = (A 10 + εa 11 ) cos τ + (B 10 + εb 11 ) sin τ + εa 31 cos 3τ + εb 31 sin 3τ Bestimmen Sie die Koeffizienten A 10 und B 10 der ersten Approximation und stellen Sie ein Gleichungssystem zur Ermittlung der Koeffizienten εa 11, εb 11, εa 31 und εb 31 auf. c) Überlegen Sie, wie die numerische Ausführung der in b) durchgeführten analytischen Berechnung prinzipiell erfolgen könnte! 3. Auflage ( ) DR. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

8 8 NÄHERUNGSLÖSUNG NICHTLINEARE DYN. SYSTEME Aufgabe 3.5 Näherungslösungen, Ritzschen Verfahren Eine Differentialgleichung Duffingschen Typs ẍ + x + λx 3 = ˆΓ cos ατ, die einen verlustfreien nichtlinearen Schwingkreis beschreibt, ist mit Hilfe des Ritzschen Verfahrens zu lösen. Als Lösungsansatz soll x(τ) = a 1 cos ατ verwendet werden. Die Lösung ist in allgemeiner Form durchzuführen. Erst bei der Lösung der algebraischen Gleichung sind die Werte α = 1/3, λ = 1 und ˆΓ = 1 einzusetzen. Zeigen Sie mit Hilfe der Legendreschen Bedingung, daß die von Ihnen bestimmte Funktion f (x, ẋ, τ) des Variationsproblems ein relatives Minimum des Funktionals I = τ 1 τ 0 f (x, ẋ, τ)dτ liefern kann. Hinweis: Lösen Sie die auftretende kubische Gleichung g(a 1 ) = 0 grafisch. Zeigen Sie, daß die Gleichung nur eine Nullstelle besitzt, indem Sie nachweisen, daß keine lokalen Extremwerte existieren. Aufgabe 3.6 Näherungslösungen, Methode von Galerkin Lösen Sie das gleiche Problem wie in Aufgabe 3.5 mit der Methode von Galerkin. Verwenden Sie als Lösungsansatz den oben angegebenen und außerdem den Ansatz x(τ) = a 1 cos ατ + a 3 cos 3ατ Vergleichen Sie die hier auftretenden algebraischen Gleichungen mit denen, die beim Verfahren von Ritz auftreten. Schätzen Sie den Lösungsaufwand im Vergleich zum Verfahren von Ritz ein! Aufgabe 3.7 Näherungslösungen,Kollokationsmethode a) Beschreiben Sie das Grundprinzip der Kollokationsmethode! b) Die Differentialgleichung ẍ + x + λx 2 = ˆΓsinατ mit x(0) = 0 ist für λ = 1 und α = 1 mit der Kollokationsmethode zu lösen. Verwenden Sie dabei den Ansatz x(τ) = A 1 sin ατ + A 2 sin2ατ. Wählen Sie die Kollokationsstellen τ 1 = π 4 und τ 2 = 5π 4. Stellen Sie A 1 und A 2 in Abhängigkeit von der normierten Eingangsamplitude ˆΓ dar. Diskutieren Sie das Ergebnis! TU Ilmenau, EI/TET DR. W.G. BÜNTIG 3. Auflage ( )

9 NICHTLINEARE DYN. SYSTEME DIMENSIONIERUNG 9 4 Dimensionierung nichtlinearer dynamischer elektrischer Netzwerke Aufgabe 4.1 Dimensionierung eines Tunneldiodenoszillator Eine Tunneldiode ist ein trägheitsloses Bauelement, mit einer dynamischen Kennlinie entsprechend der dargestellten Skizze. Als spezielle Tunneldiode wird das französische Bauelement AEY 24 gewählt. Laut Datenblatt gilt für dieses Bauelement I p = 2, 5 ma, I p /I v = 2, 94, U p = 55 mv und U v = 257, 5 mv. a) Leiten Sie die Beschreibungsdifferentialgleichung für die Spannung an der Tunneldiode ab! b) Normieren Sie die entstandene Gleichung! c) Prüfen Sie, ob sich unter bestimmten Bedingungen eine bekannte Differentialgleichung ergibt und diskutieren Sie die zu erwartenden Lösungen dieser Gleichung! (d) Führen Sie eine Parameterdiskussion durch mit der Annahme, daß der Wendepunkt der Tunneldiodenkennlinie als Arbeitspunkt gewählt wurde! (e) Diskutieren Sie die entstehende Schwingungslösung und dimensionieren Sie die Bauelemente der Schaltung für R/ρ = 0, 17, ˆX 1 = 1, = Û/U v, T/T 0 = 16, 86 und f = 38kHz! i I' i i L I A i C R U' i (u) u L E 0 U A u Approximation der Tunneldiodencharakteristik zur Aufg. 1 i(u) = a 1 u a 2 u2 + a 3 u3 bzw. i(u) = a (u U A ) + b (u U A ) 2 + c (u U A ) 3 + I A (U A, I A ) Koordinaten des Arbeitspunktes. Aufgabe 4.2 Numerische Analyse eines Tunneldiodenoszillator Bei Verwendung des Wendepunktes als Arbeitspunkt kann der Tunneldiodenoszillator entsprechend Vorlesung durch die normierte Differentialgleichung d 2 x 1 d τ 2 [ a 1 x 2] d x 1 1 d τ + x 1 + ( ) [ R d x ( 1 ρ d τ ax )] 3 x 2 1 = 0 beschrieben werden! Es gilt a = 6, 606 und R/ρ = 0, 155 oder R/ρ = 0, 23. (a) Bestimmen Sie die Anzahl und die Lage der singulären Punkte (Gleichgewichtspunkte)! (b) Bestimmen Sie die Stabilität und den Charakter der Gleichgewichtspunkte für die unterschiedlichen Parametervorgaben! Bewerten Sie die Aussage Ihrer Berechnungen! 3. Auflage ( ) DR. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

10 10 DIMENSIONIERUNG NICHTLINEARE DYN. SYSTEME Aufgabe 4.3 Analyse Tunneldiodenoszillator, Grenzfrequenz Der dynamische Widerstand des abfallenden Kennlinienastes du/di der Tunneldiodencharakteristik kann bei der Schaltungsanalyse in vielen Fällen durch den in diesem Bereich konstanten Wert R N erfaßt werden. I I P L R B R N I V UP U V statische Kennlinie U Wechselstromersatzschaltbild C Charakteristische Werte der Kennliniengrößen und der Elemente des Wechselstromersatzschaltbildes einer Tunneldiode sind : I p = 1mA R N = 150Ω (negativer Widerstand) I v = 0, 1mA C = 5pF (Kapazität pn-übergang) U p = 60mA L = 6nH (Zuleitungsinduktivität) U v = 350mV R B = 1, 5Ω (Bahnwiderstand) a) Geben Sie für das Wechselstromersatzschaltbild den Verlauf der Ortskurve z(ω) an! Leiten Sie die Bestimmungsgleichung für die Grenzfrequenz f g her oberhalb der die Diode keine negative Strom / Spannungscharakteristik mehr zwischen den Anschlußklemmen aufweist. Kennzeichnen Sie den entsprechenden Wert ω g auf der Ortskurve und berechnen Sie f g! b) Stellen Sie eine Gleichung für U 1 (p)/u B (p) im Bildbereich auf. Diskutieren Sie, welche Bauelementerelationen bestehen müssen, um nach Einschalten der EMK im eingeschwungenen Zustand eine harmonische Schwingung u 1 (t) zu erhalten. R S R B L U B u 1 C R N i (u) Ersatschaltbild zu Aufg. 3 b TU Ilmenau, EI/TET DR. W.G. BÜNTIG 3. Auflage ( )

11 NICHTLINEARE DYN. SYSTEME DYNAMISCHE ANALYSE 11 5 Dynamische Analyse nichtlinearer Systeme Aufgabe dynamische Analyse, fremderregte Differentialgleichungen a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen Phasenebene und Mappingebene! Für welche Systeme wird die Darstellung in der Mappingebene verwendet? Was versteht man unter einer Mappingtransformation? b) Erläutern Sie den Begriff Fixpunkt in der Mappingebene und geben Sie die Mappingtransformation für einen Fixpunkt an! Wie kann die Annäherung an einen Fixpunkt in einem Rechenprogramm geprüft werden - geben Sie einen Algorithmus dazu an! c) Wie kann der Begriff Invarianzkurve in der Mappingebene erklärt werden? Wann entstehen subharmonische Fixpunkte? Wann kommt es zur Ausbildung geschlossener Invarianzkurven und wie bezeichnet man die entstehende Lösung? d) Geben Sie die Schwerpunkte einer globalen Analyse an! Aufgabe dynamische Analyse, Vorbereitung der Fixpunktsuche a) Erklären Sie eine einfaches Verfahren zur groben Abschätzung der Lage von Fixpunkten! b) Erläutern Sie das Prinzip für die Erzeugung eines sogenannten Pfeildiagramms! c) Welche topologische Strukturen der Mapping-Ebene können erkannt werden! Erklären Sie die charakteristischen Merkmale der Pfeilstrukturen an geeignet gewählten Darstellungen! Aufgabe dynamische Analyse, Theorie von Floquet, Bifurkation (a) Welche Aussage über periodische Lösungen enthalten die Floquet-Multiplikatoren? (b) Erläutern in einem Prinzipalgorithmus die Bestimmung der Floquet-Multiplikatoren für DGL n 2. Ordnung und geben Sie die Klassifikation der Fixpunkte nach Levinson an! (c) Was versteht man unter dem Begriff Bifurkation? (d) Wie können Sie die Annäherung an einen Bifurkationspunkt feststellen? (e) Geben Sie Grundtypen der Bifurkation an! Aufgabe dynamische Analyse einer Differentialgleichung Duffingschen Typs a) Untersuchen Sie die Differentialgleichung Duffingschen Typs ẍ + δẋ + 0, 65x + 0, 75x 9 = ˆΓ cos(τ + ϕ) mit dem Grundwellenansatz x(τ) = Xˆ 1 sin τ und ermitteln Sie für δ = 0, 15 einen Zusammenhang ˆΓ( Xˆ 1 )! b) Interpretieren Sie den Zusammenhang ˆΓ( ˆ X 1 ) im Hinblick auf zu erwartende Fixpunkte! c) Bestimmen Sie für ˆΓ = 0, 2 die vollständig stabilen Fixpunkte des Systems! Berechnen Sie die dazugehörigen periodischen Lösungen und stellen Sie sie grafisch dar! 3. Auflage ( ) DR. W.G. BÜNTIG TU Ilmenau, EI/TET

12 12 DYNAMISCHE NETZWERKE NICHTLINEARE DYN. SYSTEME 6 Analyse nichtlinearer dynamischer Netzwerke Aufgabe 6.1 Magnetkreis mit Vormagnetisierung a) Erläutern Sie, wie mittels einer zusätzlichen Wicklung w 2, die von einem Gleichstrom I 0 durchflossen wird, eine Verschiebung des Arbeitspunktes bei einem Transformator erfolgen kann. Die Durchflutung sei durch die Gleichung θ = a φ + b φ 3 approximierbar. Für die Spannung gilt u = Uˆ 1 sin(ωt + ϕ). b) Geben Sie einen Zusammenhang zwischen dem Steuerstrom I 0 und der Grundwellenamplitude des Stromes i Iˆ 1 (I 0 ) bzw. Iˆ 1 ( Uˆ 1 ) in normierter Form an und stellen Sie die Zusammenhänge durch entsprechende Grafiken dar! c) Diskutieren Sie kurz die Anwendung der gefundenen Erkenntnisse bei der Schaltungsanalyse! Aufgabe 6.2 Resonanzkurve a) Stellen Sie die Differentialgleichung für den nichtlinearen Reihenresonanzkreis mit der nichtlinearen Kapazität u c (q) = mq + nq 3 auf und normieren Sie diese Gleichung mit den Abkürzungen 2δ = ω R 0 L, ω 0 = m L, α = ω ω 0, λ = Q 2 m n und k = ÊE 0. b) Passen Sie die Lösung des Grundwellenansatzes x(τ) = ˆX cos ατ an die Differentialgleichung an! c) Ermitteln Sie eine Gleichung zur Bestimmung der Resonanzkurve ˆX = ˆX(α) und erläutern Sie den Algortihmus zur Berechnung der Kurve! d) Stellen Sie die Resonanzkurven für λ = 0 (R = 0 bzw. R = 0) und λ = 0 (R = 0 bzw. R = 0) prinzipiell dar! Bewerten Sie die entstehende Kurvenform! TU Ilmenau, EI/TET DR. W.G. BÜNTIG 3. Auflage ( )