QR-Iteration. Ax = λx Q T AQQ T x = λq T x.
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- Gerhardt Fiedler
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1 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration Vorüberlegung: Die Multipliation mit einer orthonormalen Matrix Q heißt Ähnlicheitstransformation. Die Eigenwerte einer Matrix A bleiben unter einer Ähnlicheitstransformation erhalten: Sei λ ein Eigenwert der Matrix A, dann folgt Ax = λx Q T AQQ T x = λq T x. Außerdem bleibt bei der Multipliation mit einer orthonormalen Matrix die Kondition erhalten, so dass eine numerischen Stabilitätsprobleme auftreten. Idee der QR-Iteration: Durch eine Multipliation mit einer orthonormalen Matrix ann die Matrix A auf eine Form gebracht werden, für welche die Berechnung der Eigenwerte leichter ist. Dies ist zum Beispiel bei einer oberen Dreiecsmatrix der Fall. Kapitel II.4 (linalg63) 1
2 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Algorithmus Algorithmus: QR-Iteration Voraussetzung: Die Matrix A besitzt nur reelle Eigenwerte. for = 0,1,...do A := Q R A +1 := R Q end for ( QR-Zerlegung) (lima +1 = obere Dreiecsmatrix) Satz: Die mit dem Algorithmus erzeugten Matrizen A +1 sind ähnlich zu A. Kapitel II.4 (linalg64) 2
3 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - A symmetrisch 20 Diagonaleinträge von A () Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () Step Step Kapitel II.4 (linalg69) 3
4 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A symmetrisch = 0,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () A (0) = Matrixmultipliation A (1) = A (2) = A (5) = A (10) = A (20) = Kapitel II.4 (linalg70) 4
5 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - A unsymmetrisch Diagonaleinträge von A () Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () Step Step Kapitel II.4 (linalg52) 5
6 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A unsymmetrisch = 0,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () A (0) = Matrixmultipliation A (1) = A (2) = A (3) = A (5) = A (10) = Kapitel II.4 (linalg52b) 6
7 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Hessenberg-Matrix Aufwand der QR-Iteration: Bei vollbesetzten Matrizen beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt O(n 3 ). Idee: Überführe A durch Ähnlicheitstransformationen in eine obere Hessenberg-Matrix H mit H = , 0 also ist H ij = 0 für i > j +1. Dann beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt nur noch O(n 2 ). Für symmetrische Matrizen beträgt der Aufwand pro Schritt sogar nur noch O(n). Kapitel II.4 (linalg66) 7
8 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Konvergenz Problem: Langsame Konvergenz der QR-Iteration im Fall betragsmäßig nahe beieinander liegender Eigenwerte. Ausweg: Einfache Shift-Strategie zusammen mit Deflation. Bemerung: Wenn A omplexe Eigenwerte hat, so ist eine doppelte Shift-Strategie notwendig. Kapitel II.4 (linalg65) 8
9 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration: Algorithmus mit Shift und Deflation function QR(A) %input: A R n n in Hessenbergform, T 0 := A, l := 0, C, l max %output: Eigenwerte von A while{ T l (n,n 1) > Ceps ( T l (n,n) + T l (n 1,n 1) ),l l max } % noch eine Deflation, µ (l) := T l (n,n) T l µ (l) Id =: Q l+1 R l+1 T l+1 := R l+1 Q l+1 +µ (l) Id return(t l (n,n)) QR(T l [1 : n 1],[1 : n 1])) Kapitel II.4 (linalg76) 9
10 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration ohne Shift, A symmetrisch 10 2 Subdiagonaleinträge A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz im EW Step Kapitel II.4 (linalg71) 10
11 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration mit Shift und Deflation, A symmetrisch Subdiagonaleinträge A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man ubische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz der EW Step Kapitel II.4 (linalg74) 11
12 Lehrstuhl für Numerische Mathemati A = QR-Iteration ohne Shift, A unsymmetrisch Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 2008, Seite 257ff Konvergenz der EW Step Kapitel II.4 (linalg73) 12
13 Lehrstuhl für Numerische Mathemati QR-Iteration mit Shift µ und Deflation, A unsymmetrisch A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man quadratische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 2008, Seite 257ff Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz der EW Step Kapitel II.4 (linalg75) 13
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