Einführung Eigenwerte
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- Oskar Simen
- vor 6 Jahren
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1 Einführung Eigenwerte Bei der Modellierung von Stabweren, entstehen folgende Systeme: p = Ax mit A = ENE T, Verschiebungsvetor x und Lastvetor p und Diagonalmatrix N mit den Materialeigenschaften. Betrachtet man nun das dynamische System: mẍ(t) = Ax(t) So erhält man zu einem Eigenvetor v und zugehörigem Eigenwert λ x(t) = cos( λt)v als eine Lösung des Systems. Eigenschwingungen lassen sich diret aus den Eigenwerten ablesen. Numerische lineare Algebra (numalg66) 1 Einführung Eigenwerte Betrachtet man folgendes Stabwer z_1 z_2 z_3 z_ z_5 15 z_6 16 z_7 17 z_8 18 so erhält man bei gegebener Matrix A u.a. folgende Eigenwerte samt Verschiebung. Numerische lineare Algebra (numalg67) 2
2 Einführung Eigenwerte 1. Eigenschwingung: λ= Eigenschwingung: λ=2.827 Numerische lineare Algebra (numalg68) 3 Einführung Eigenwerte 6. Eigenschwingung: λ= Eigenschwingung: λ= Numerische lineare Algebra (numalg69) 4
3 2.1 Beispiele 2.2 Vetoriteration 2.3 QR-Iteration Eigenwerte: Inhalt Numerische lineare Algebra (numalg69) 5 Vetoriteration (Bsp. 1): A symmetrisch = = 1, λ λ C*(λ 2 / ) 2 C*(λ 2 / ) error of eigenvalue error eigenvector Step Konvergenzraten symmetrische Matrix EW: C λ 2 2 EV: C λ 2 Numerische lineare Algebra (numalg48) 6
4 Vetoriteration (Bsp. 2): A symmetrisch = = 1, λ λ C*(λ 2 / ) 2 C*(λ 2 / ) error of eigenvalue error eigenvector Step Konvergenzraten symmetrische Matrix EW: C λ 2 2 EV: C λ 2 Numerische lineare Algebra (numalg49) 7 Vetoriteration (Bsp. 3): A symmetrisch A = , = 36, λ 2 = 9, λ 2 = 1 4, x 1 = 1 1 1, x () = C*(λ 2 / ) 2 C*(λ 2 / ) Fehler Eigenwert Fehler Eigenvetor ter Schritt Konvergenzraten symmetrische Matrix EW: C λ 2 2 EV: C λ 2 Numerische lineare Algebra (numalg49b) 8
5 Vetoriteration (Bsp. 4): A unsymmetrisch A = , = 8, λ 2 = 6, λ 2 = 3 4, x 1 = 1 3 5, x() = 1 1 C*(λ /λ ) Fehler Eigenwert 1 Fehler Eigenvetor ter Schritt Konvergenzraten unsymmetrische Matrix EW: C λ 2 EV: C λ 2 Numerische lineare Algebra (numalg48b) 9 Inverse Vetoriteration (Bsp. 5) Als Beispiel betrachten wir die Matrix A = λ = 15 mit den Eigenwerten = 1, λ 2 = 4, λ 3 = 3. Ausgehend von verschiedenen Werten für den Shift µ führen wir 15 Schritte der inversen Vetoriteration mit dem Startvetor x () = (1,, ) aus. Beachte dabei die Anordnung von µ λ i : λ = 11 Für µ = 15: < 15 4 < 15 3 Für µ = 11: < 11 4 < Numerische lineare Algebra (numalg5) 1
6 Für µ = 6: 6 4 < 6 3 < 6 11 Für µ = 3.6: < < Inverse Vetoriteration (Bsp. 5) λ = λ = Für µ = 3.5: < < Für µ = : 3 < 4 < λ = λ = Numerische lineare Algebra (numalg51) 11 Vetoriteration : Konvergenzaussagen A unsymmetrisch λ λ λ +1 A /(1 A )*(λ λ 1 ) ter Schritt λ () un- Problem: Fehler beannt. λ (+1) λ () unterschätzt Fehler λ (). A ( 1 A λ () λ ( 1)) ist gutes Maß für λ () für groß genug. A := λ() λ ( 1) λ ( 1) λ ( 2) Numerische lineare Algebra (numalg53) 12
7 A = , 2 Inverse Vetoriteration: µ fest µ = 3.5, min j λ j µ =.5, λ 4 = 4, min j 4 λ j µ = 1.5, λ 4 µ min j 4 λ j µ = C*(1/3) λ λ λ +1 A /(1 A )*(λ λ 1 ) ter Schritt Numerische lineare Algebra (numalg54) 13 Inverse Vetoriteration: µ adaptiv A = , 2 λ λ λ +1 µ () = 3.5, µ () = λ ( 1) quadratische Konvergenz λ (+1) λ () λ () ter Schritt Numerische lineare Algebra (numalg55) 14
8 Inverse Vetoriteration: Poisson-Matrix A R ,,1 = 8sin 2( 1π 2 17) λ λ λ +1 A /(1 A )*(λ λ 1 ) λ adapt λ λ λ +1 A /(1 A )*(λ λ 1 ) λ adapt ter Schritt ter Schritt µ = 5.1,,1 µ min λ l µ.1 µ = 5.12,,1 µ min λ l µ.82 Numerische lineare Algebra (numalg56) 15 Inverse Vetoriteration (3): Poisson-Matrix B Id A = Id B Id Rn2 n 2, Id B 4 1 B = Rn n, 1 4 [ ( ) ( )] πh πlh λ l = 4 sin 2 +sin 2, 2 2 1,l n, h = 1 n+1 λ λ λ +1 A /(1 A )*(λ λ 1 ) λ adapt ter Schritt Numerische lineare Algebra (numalg56z) 16
9 QR-Iteration Vorüberlegung: Die Multipliation mit einer orthonormalen Matrix Q heißt Ähnlicheitstransformation. Die Eigenwerte einer Matrix A bleiben unter einer Ähnlicheitstransformation erhalten: Sei λ ein Eigenwert der Matrix A, dann folgt Ax = λx Q T AQQ T x = λq T x. Außerdem bleibt bei der Multipliation mit einer orthonormalen Matrix die Kondition erhalten, so dass eine numerischen Stabilitätsprobleme auftreten. Idee der QR-Iteration: Durch eine Multipliation mit einer orthonormalen Matrix ann die Matrix A auf eine Form gebracht werden, für welche die Berechnung der Eigenwerte leichter ist. Dies ist zum Beispiel bei einer oberen Dreiecsmatrix der Fall. Numerische lineare Algebra (linalg63) 17 QR-Iteration: Algorithmus Algorithmus: QR-Iteration Voraussetzung: Die Matrix A besitzt nur reelle Eigenwerte. for =,1,...do A := Q R A +1 := R Q end for ( QR-Zerlegung) (lima +1 = obere Dreiecsmatrix) Satz: Die mit dem Algorithmus erzeugten Matrizen A +1 sind ähnlich zu A. Numerische lineare Algebra (linalg64) 18
10 2 Diagonaleinträge von A () QR-Iteration - A symmetrisch Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () Step Step Numerische lineare Algebra (linalg69) 19 QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A symmetrisch =,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () Matrixmultipliation A () = A (1) = A (2) = A (5) = A (1) = A (2) = Numerische lineare Algebra (linalg7) 2
11 Diagonaleinträge von A () QR-Iteration - A unsymmetrisch Betrag des größten Eintrages der unteren Dreiecsmatrix von A () Step Step Numerische lineare Algebra (linalg52) 21 QR-Iteration - Beispiel: Berechnung aller EW, A unsymmetrisch =,1,... A () = Q () R () QR-Zerlegung A (+1) = R () Q () Matrixmultipliation A () = A (1) = A (2) = A (3) = A (5) = A (1) = Numerische lineare Algebra (linalg52b) 22
12 QR-Iteration: Hessenberg-Matrix Aufwand der QR-Iteration: Bei vollbesetzten Matrizen beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt O(n 3 ). Idee: Überführe A durch Ähnlicheitstransformationen in eine obere Hessenberg-Matrix H mit H = , also ist H ij = für i > j +1. Dann beträgt der Aufwand der QR-Iteration pro Schritt nur noch O(n 2 ). Für symmetrische Matrizen beträgt der Aufwand pro Schritt sogar nur noch O(n). Numerische lineare Algebra (linalg66) 23 QR-Iteration: Konvergenz Problem: Langsame Konvergenz der QR-Iteration im Fall betragsmäßig nahe beieinander liegender Eigenwerte. Ausweg: Einfache Shift-Strategie zusammen mit Deflation. Bemerung: Wenn A omplexe Eigenwerte hat, so ist eine doppelte Shift-Strategie notwendig. Numerische lineare Algebra (linalg65) 24
13 QR-Iteration: Algorithmus mit Shift und Deflation function QRrayleigh(A) A R n n, A = A, A in Hessenbergform if n = 1 then return A(1, 1) end if Define l =, TOL, l max while A l (n,n 1) > TOL ( A l (n,n) + A l (n 1,n 1) ) and l l max do µ (l) := A l (n,n) A l µ (l) Id =: Q l+1 R l+1 A l+1 := R l+1 Q l+1 +µ (l) Id l := l+1 end while if n = 2 then return A l (2,2) A l (1,1) else A deflation = A l (1 : n 1,1 : n 1) return A l (n,n) QRrayleigh(A deflation ) end if Numerische lineare Algebra (linalg76) 25 QR-Iteration ohne Shift, A symmetrisch 1 2 Subdiagonaleinträge A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz im EW Step Numerische lineare Algebra (linalg71) 26
14 QR-Iteration mit Shift und Deflation, A symmetrisch Subdiagonaleinträge A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man ubische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. 1 2 a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz der EW Step Numerische lineare Algebra (linalg74) 27 QR-Iteration ohne Shift, A unsymmetrisch A = Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5,4 Durch Anwendung des QR-Algorithmus erhält man lineare Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 28, Seite 257ff Konvergenz der EW Step Numerische lineare Algebra (linalg73) 28
15 QR-Iteration mit Shift und Deflation, A unsymmetrisch A = Durch Anwendung des QR-Algorithmus mit Shift und Deflation erhält man quadratische Konvergenz in der Subdiagonalen gegen die Null. Dahmen/Reusen: Numeri für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 2.orrigierte Auflage, Springer, Berlin 28, Seite 257ff Subdiagonaleinträge a 2,1 a 3,2 a 4,3 a 5, Konvergenz der EW Step Numerische lineare Algebra (linalg75) 29
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