Mathematik in der Medizintechnik

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1 Mathematik in der Medizintechnik Prof. Dr. Bastian von Harrach Institut für Mathematik, Goethe-Universität Frankfurt am Main NIGHT of SCIENCE 2016 Goethe-Universität Frankfurt am Main 3. Juni 2016

2 Röntgen Bein Detektor

3 Röntgen aus zwei Richtungen

4 Röntgen aus zwei Richtungen

5 Computertomographie: Röntgen aus 580 Richtungen Detektor

6 Computertomographie: Röntgen aus 580 Richtungen Detektor

7 Computertomographie: Röntgen aus 580 Richtungen Detektor

8 Messdaten Position im Scanner Drehung des Scanners

9 Mathematische Modellierung (extrem vereinfacht)???? 2?? 3?????? 2 3 3

10 Mathematische Modellierung (extrem vereinfacht) a c b d 2 3 a b c d a b c d a+b = 2 a+c = 2 a+d = 3 c+d = 3 b+d = 3

11 Mathematische Modellierung (extrem vereinfacht) c+d = 3, b+d = 3, a+d = 3 a = b = c. a+b = 2 a = b = c = 1. a+d = 3 d = 2.

12 Mathematische Modellierung (besser) Energie vor und nach Durchquerung von Material mit Breite s: E(s) f s E(s+ s) = E(s)+ E Anschauung/Experiment: E proportional zu E und s (zumindest für kleine s) E = f E s f : Materialkonstante/Absorptionskoeffizient Differentialgleichung: E E(s+ s) E(s) (s) = lim = f (s)e(s) s 0 s

13 Mathematische Modellierung (besser) Differentialgleichung: E (s) = f (s)e(s) E (s) E(s) = f (s) Integration von Quelle (Q) zu Detektor (D): Mit E (s) E(s) = (lne(s)) folgt Q D E (s) E(s) ds = Q D f (s) ds ln E(D) E(Q) = lne(d) lne(q) = Q D f (s) ds

14 Mathematische Modellierung (besser) ln E(D) E(Q) = Q D f (s) ds E(D) und E(Q): f : Energie an Quelle bzw. Detektor (bekannt für alle Strahlen durch den Körper) Absorptionskoeffizient (unbekannt im Köper) Wie bestimme ich eine (zweidimensionale) Funktion aus ihren (eindimensionalen) Integralmitteln?

15 Mathematische Modellierung (besser) Wie bestimme ich eine (zweidimensionale) Funktion aus ihren (eindimensionalen) Integralmitteln? Explizite Lösungsformel: Radon 1917 Zum Vergleich: Röntgenstrahlen: Röntgen 1895 CT: Cormack und Hounsfield ca (Medizin-Nobelpreis 1979) Im Folgenden: Algebraic-Reconstruction-Technique (Hounsfield, 1972) (schlechter als Radons Lösung, aber elementarer und lehrreich... )

16 Diskretisierung b i f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 f5 f 5 f4 f 4 f 6 f6 f 8 f 9 f 7 f 9 f 7 f 8 l i6 l i3 l i5 Näherung: f konstant auf jedem Pixel l i7 b i = ln E(D i) E(Q i ) = D i f (s) ds = l i7 f 7 +l i5 f 5 +l i6 f 6 +l i3 f 3 Q i

17 Diskretisierung Für i-ten Strahl: l i7 f 7 +l i5 f 5 +l i6 f 6 +l i3 f 3 = b i b i : l i j : f j : bekannt aus Messung des i-ten Strahls bekannt/berechenbar aus Scannergeometrie unbekannter Absorptionskoeff. des j-ten Pixels Z.B Strahlen und Pixel Gleichungen für Unbekannte

18 Numerische Lösung 3. Gleichung 2. Gleichung 1. Gleichung Kaczmarz-Verfahren für 3 Gleichungen in 2 Unbekannten

19 Rekonstruktion Rekonstruktion mit Strahlen und Pixeln, d.h. ca Gleichungen für ca Unbekannte

20 Ergebnisse Noch bessere Ergebnisse: Inverse Radon-Transformation (rechts: Rekonstruktion eines Siemens-Tomographen, ca. 2000)

21 Ausblick: Ströme statt Röntgenstrahlen Elektrische Impedanztomographie

22 Literatur M. Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Springer-Verlag, 3. Auflage, M. Hochbruck, J.-M. Sautter: Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie, Mathematische Semesterberichte 49(1), , 2002.