A. Monjallon Einführung in die moderne Mathematik

Transkript

1 A. Monjallon Einführung in die moderne Mathematik

2 Logik und Grundlagen der Mathematik Herausgegeben von Prof. Dr. Dieter Rödding, Münster Band 5 Band 1 L. Felix, Elementarmathematik in moderner Darstellung Band 2 A. A. Sinowjew, Über mehrwertige Logik Band 3 J. E. Whitesitt, Boolesche Algebra und ihre Anwendungen Band 4 G. Choquet, Neue Elementargeometrie Band 5 A. Monjallon, Einführung in die moderne Mathematik Band 6 S. W. Jablonski / G. P. Gawrilow / W. B. Kudrjawzew, Boolesche Funktionen und Postsehe Klassen Band 7 A. A. Sinowjew, Komplexe Logik Band 8 J. Dieudonne, Grundzüge der modernen Analysis Band 9 N. Gastinei, Lineare numerische Analysis

3 Albert Monjallon Einführung in die modeme Mathematik Mit 83 Bildern 2., durchgesehene Auflage SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH

4 Übersetzung: Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck VerJagsredaktion : AI/red Schubert Titel der französischen Ori&inalauspbe Introduction aux matbematiques modemes Copyright 1963 by Librairie Vuibert, Paris ISBN ISBN (ebook) DOI / Alle Rechte an der deutschen Ausgabe vorbehalten Copyright 1970/1971 Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg + Sohn GmbH, Verlag Braunschweig 1971

5 Vorwort Die ständige Entwicklung der Wissenschaft, deren Ergebnisse die Welt immer schneller verändern, hat wahrscheinlich bei Dmen Verwunderung hervorgerufen, die nicht ohne Angst geblieben ist. Sicher haben Sie an die bedeutende Rolle gedacht, die die Mathematik dabei spielt. In keinem Bereich ist sie unentbehrlich: Flugwesen und Schiffahrt, Eisenbahn- und Kraftverkehr, Bergwerke und Bohrwesen, hydraulische und nukleare Energiegewinnung stehen ständig unter ihrem Einfluß. Die Wissenschaftler sind nicht damit zufrieden, von der Entwicklung der Sterne bis zum Verhalten der Elektronen nur alles zu verstehen und zu erklären, sondern sie bemühen sich mit der Hilfe der Mathematik, immer größere Kraftquellen zu entdecken, zu untersuchen und nutzbar zu machen. So öffnet sich den jungen Wissenschaftlern unserer Tage wie früher den jungen Abenteurern der Zeit der großen Entdeckungen ein Bereich mit fesselnden Arbeiten und fruchtbaren Forschungen. In der Schule sind Sie mit der Arithmetik, der Algebra, der Elementargeometrie bekannt geworden. Wenn Sie ein gewisses Interesse für Abstraktion haben, bewundern Sie wahrscheinlich die Eleganz dieser Wissenschaft und hoffen, den magischen "Sesam" zu fmden, der alle Türen des Wissens für Sie öffnen wird. Aber vielleicht haben Sie auch im Laufe Ihres Studiums - das haben wir alle durchgemacht - eine gewisse Entmutigung erlebt, als die Mathematik Du Aufnahmevermögen zu übersteigen und Ihre Anstrengungen zu Fall zu bringen schien. Schon nahe daran, an sich selbst zu verzweifeln, haben Sie sich gefragt: "Warum entzieht sie sich meinen Bemühungen? Was fehlt mir, um die Mathematik ganz zu beherrschen?" Zwei große Männer - von denen einer den Nobel-Preis erhielt - haben sich diese Fragen gestellt und haben sie auf sehr ähnliche Weise beantwortet, indem sie die Art, Mathematik zu lehren, als schlecht bezeichneten. Nach ihren Meinungen wird das Wesentliche, d.h. der grundsätzliche Aufbau, der das Verständnis erleichtern soll, nicht genug herausgearbeitet. Ist das auch der Grund, warum Sie daran zweifeln, den notwendigen Fortschritt machen zu kömen? Sollte nicht der hergebrachte Unterricht in der Flementarmathematik gründlich verändert werden? Ich glaube es nicht, aber man müßte auf die Grundlagen zurückgehen, um mit den Kenntnissen, die zum Verständnis der höheren Mathematik notwendig sind, umgehen zu kömen. Dies war der Grund, dieses Buch für die, die zweifeln, zu schreiben. Die Mengen, deren vorherrschende Rolle in der modernen Mathematik bekannt ist, bilden unseren Ausgangspunkt. Das Studium der Mengenalgebra und der Operationen auf Mengen zeigt uns die Notwendigkeit, einige Begriffe von Logik und Axiomatik genau zu defmieren. Nach einem kurzen Überblick über kommutative Gruppen wird

6 gezeigt, wie man durch Kenntnis der Konstruktion einer Gruppe verschiedene mathematische Systeme bilden kann. So hoffen wir, durch das Studium dieser Grundlagen dem Leser Vertrauen und Hoffnung ftir seine zukünftigen Arbeiten gegeben zu haben. Die verschiedenen Abschnitte enthalten abgestufte Übungen, durch die der Leser seine Kenntnisse überprüfen kann. Seine Fortschritte kann er kontrollieren, indem er die Problemaufgaben am Ende jedes Abschnittes löst. Ich wäre den Lesern dankbar, wenn sie mich auf Irrtümer - ich hoffe, es sind nur wenige - die sie in diesem Buch fmden, aufmerksam machten. Albert Monjallon

7 I nhaluverzeichnis 1. Mengen 1.1. Finleitung und elementare Begriffe Eigenschaften der Elemente und der Mengen Variable und Variablenbereiche Die Konstruktion von Mengen Die Namen flir Objekte und Mengen Die allgemeine Gleichheitsrelation Die Gleichheit Übungen Weiteres über Mengen Untermengen und Obermengen. Die Inklusion Betrachtungen über die Gleichheit und die Inklusion Der Gebrauch gewisser Mengen Die leere Menge und die Einermenge Disjunkte Mengen. Strikte Inklusion Geordnete Paare. Diskrete Mengen und kontinuierliche Mengen Cartesische Produkte Übungen Operationen auf Mengen Allgemeines über die Mengenalgebra Der Durchschnitt von Mengen Vereinigung von Mengen Vermischte Operationen Das Komplement einer Menge Dualität Zusammengesetzte Mengen und ihre Komplemente Übungen Relationen Gewöhnliche Relationen Mathematische Relationen Darstellung von Relationen in endlichen Mengen Darstellung von Relationen in unendlichen Mengen Komplementäre und inverse Relationen Mathematische Nomenklatur Spezielle Arten von Relationen Erweiterung des Begriffes der Relation Übungen Funktionen Die Grundlagen des Funktionsbegriffes Verschiedene Betrachtungsweisen von Funktionen Spezielle Typen von Funktionen Übungen 91

8 6. Über die mathematische Sprache Das Gespräch und der Satz Modifikatoren und Bindewörter Allgemeingültige Aussagen Quantoren Quantorenregeln Absolute Variable und Substitution Übungen Ein wenig Axiomatik l. Die Ausdrücke eines mathematischen Systems Primitive Ausdrücke Definitionen Postulate und Theoreme Modelle eines mathematischen Systems Die Beweisregeln Direkte und indirekte Beweise Deduktive Systeme Übungen Die kommutative Gruppe Allgemeines über die Methode der Abstraktion Anwendung auf die Konstruktion einer Gruppe. Das Abschlußpostulat Die Postulate der Assoziativität, Kommutativität und Identität Das Postulat des Inversen Die Postulate und Theoreme der kommutativen Gruppe Erweiterung der Theorie. Binäre Operationen. Die Operation "Kreis" Verschiedene Modelle der kommutativen Gruppe. Symmetrische Differenz und direkte Summe Übungen 158 Sachwortverzeichnis 162