Algorithmische Geometrie Mitschrift /

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1 Einleitung Algorithmische Geometrie beschäftigt sich mit dem Entwurf und der Analyse von effizienten Algorithmen für geometrische Probleme. Eingabedaten sind dabei geometrische Objekte, wie - Punkte - Strecken - Polygone In der Vorlesung seltener behandelt werden - Kurven - Kreise Arten von Problemstellungen - Lokalisierungsprobleme - Wächterprobleme - Sichtbarkeitsprobleme - Suchprobleme -... Beispiele 1. Punktmenge in der Ebene geringster euklidischer Abstand zweier Punkte naiver Algorithmus m := for i := 1 to n-1 do for j := i+1 to n do d = (x i - x j )² + (y i - y j )² if d < m m := d return m 1/2 Laufzeit: O(n²) - Es geht schneller! Fläche in der Ebene (Museumsgrundriss) minimale Anzahl Punkte (Kameras), so dass die gesamte Fläche eingesehen werden kann. Fläche in der Ebene (Museumsgrundriss) Kürzeste Route für Museumswärter, so dass er das gesamte Museum überwachen kann. Menge von Objekten (Strecken, Rechtecke, Polygone) Paare von sich schneidenden Objekten sven scholz / valeri felberg Seite 1 von 9

2 5. Menge von Punkten minimal aufspannender Baum 6. Polygon Triangulierung Delauney Triangulierung 7. Menge von Punkten konvexe Hülle 8. Menge von Punkten Voronoi Region eines Punktes / Voronoi-Diagramm... sven scholz / valeri felberg Seite 2 von 9

3 Anwendungsgebiete Computergraphik / VR - 2D / 3D: Schnittberechnung; Sichtbarkeitsprüfung; Raytracing - VR: Kollisionserkennung (Schnitterkennung) Robotik - Bewegungsplanung - Kollisionserkennung - Navigation kürzeste Wege Geographische Informations-Systeme (GIS) - Überlagerung geometrischer Daten - Interpolation - Nächste-Nachbar Suche Computer-Aided Design (CAD) / Computer-Aided Manufactoring (CAM) - Entwurf und Manipulation von 3D Objekten - Wegeplanung für Werkzeuge - Realisierbarkeitstests für Objekte (Gießbarkeit / Möglichkeit der Serienfertigung) Bio-Informatik - Proteinfaltung - Docking von Molekülen VLSI Design - Layout-Probleme für geometrische Objekte (Graphzeichnen) - Rundreiseproblem (Bestückungsautomaten) sven scholz / valeri felberg Seite 3 von 9

4 Grundlagen Berechnungsmodelle Random Access Maschine (RAM) - unendlich viele, direkt adressierbare Register, die eine ganze Zahl speichern können - Arithmetische Operationen (+ - * /) in einer Zeiteinheit ausführbar - Kontrollflussanweisungen (bedingte Sprünge, Schleifen etc.) algebraische Registermaschine (real RAM) - unendlich viele, direkt adressierbare Register, die eine reelle Zahl speichern können - Arithmetische Operationen (+ - * /) in einer Zeiteinheit ausführbar - weitere Operationen wie sin, cos in einer Zeiteinheit ausführbar - algebraische Gleichungen konstanten Grades können in einer Zeiteinheit berechnet werden (z.b. 2 ) - Kontrollflussanweisungen (bedingte Sprünge, Schleifen etc.) Im Unterschied zur Turing Maschine wird bei diesen Modellen eine konstante Zeit für arithmetische Operationen angenommen und bei der real RAM sogar die Behandlung algebraisch und transzendent irrationaler Zahlen ermöglicht. Dies ist vertretbar, da der Schwerpunkt auf den geometrischen Eigenschaften der Probleme liegt. Notation Algorithmen werden hier im Allgemeinen in Pseudocode notiert. sven scholz / valeri felberg Seite 4 von 9

5 Konvexe Hülle einer Punktmenge Def: Polygon Ein Polygon ist eine geschlossene, zusammenhängende Folge von Strecken. Ein Polygon wird einfach genannt, wenn sich keine Strecken schneiden. Ein Polygon wird konvex genannt, wenn es eine konvexe Menge umschließt. Def: konvexe Menge Eine Menge S in der Ebene heißt konvex, wenn für alle Punkte a, b ab ebenfalls in S liegt. S gilt, dass die Strecke Def: konvexe Hülle einer Menge Die konvexe Hülle einer Menge S ist die kleinste (bez. Inklusion) konvexe Menge, die S enthält. Bezeichnung: kh(s) Lemma: konvexe Hülle einer Punktmenge Die konvexe Hülle einer Punktmenge P ist das eindeutig bestimmte, konvexe Polygon mit den Eigenschaften: alle Eckpunkte des Polygons sind Element von P alle Punkte aus P sind in der vom Polygon umschlossenen Fläche enthalten Die konvexe Hülle wird als Folge der Eckpunkte, geordnet im / gegen den Uhrzeigersinn angegeben. Satz: konvexe Hülle einer Punktmenge 'rechts-von' Regel Die Strecke pq ist genau dann Teil von kh(p) wenn für jeden Punkt r r liegt rechts von der orientierten Geraden von p durch q. Also genau dann, wenn nicht gilt: isleftof(r,p,q) := A(p,q,r) > 0 P\{p, q} gilt: mit Dabei entspricht A(p,q,r) der doppelten, orientierten Fläche des Dreiecks, das von p,q,r gebildet wird. sven scholz / valeri felberg Seite 5 von 9

6 Algo: Eingabe: Ausgabe: konvexe Hülle einer Punktmenge - naiv Punktmenge P Menge der Strecken (als Paare der Endpunkte) unsortiert E :={} for i := 1 to n do for j := 1 to n, j i do valid := true for k := 1 to n, k i, k j do if isleftof(p k, p i, p j ) valid := false if valid return E E := E {(p i, p j )} Laufzeit: O(n³) Gesucht ist ein schnellerer Algorithmus. Die Idee ist, die obere konvexe Hülle und die untere konvexe Hülle (bezogen auf den Punkt am weitesten links / am weitesten rechts) inkrementell zu bestimmen. Das heißt: ausgehend von kh_oben({p 1,..., p i-1 }) Bestimmung von kh_oben({p 1,..., p i-1, p i }) Def: lexikographische Ordnung von Punkten Eine Menge P = {p 1,..., p n } von Punkten in der Ebene heißt lexikographisch geordnet, wenn gilt: p i < lex p j für i < j mit p < lex q p x < q x (p x = q x p y < q y ) Algo: Eingabe: Ausgabe: obere konvexe Hülle einer Punktmenge Graham Scan Punktmenge P lexikographisch geordnet Menge der Punkte auf der oberen konvexen Hülle H 2 :={p 1, p 2 } for i := 3 to n do H i := H i-1 {p i } while H i > 2 isleftof(p Hi, p Hi -2, p Hi -1 ) do // letzten drei Punkte von H i bilden Linksknick H i := H i \ {p Hi -1 } // vorletzten Punkt aus H i entfernen return H n sven scholz / valeri felberg Seite 6 von 9

7 Korrektheit des Graham Scan Beweis mittels vollständiger Induktion Induktion über i H i sei die obere konvexe Hülle der Punkte P i = {p 1,..., p i } IA: IV: i = 2; trivial alle Punkte aus P i liegen nicht oberhalb von H i IB: wenn die IV gilt, dann liegen auch alle Punkte aus P i+1 nicht oberhalb von H i+1 Beweis: 1. nach IV liegen alle Punkte aus P i \H i unterhalb von H i 2. nach Konstruktion liegt H i nicht oberhalb von H i+1 3. da P lexikographisch sortiert ist, liegt kein Punkt aus P in V q.e.d. Laufzeitanalyse obere asymptotische Schranke Beim Graham Scan wird jeder Punkt aus P nur einmal zu H hinzugefügt (in O(1)) und höchstens einmal aus H entfernt (in O(1)). Also wird für die for-schleife und für die while-schleife nur O(n) Zeit insgesamt benötigt. Für eine (nichtsortierte) Menge von Punkten in der Ebene kann die konvexe Hülle in O(n log(n)) Zeit berechnet werden. 1. O(n log(n)) für lexikographisches Sortieren 2. O(n) für obere konvexe Hülle mit Graham Scan 3. O(n) für untere konvexe Hülle (analog / rückwärts) 4. O(1) Verschmelzen der beiden Teile Laufzeitanalyse untere asymptotische Schranke Idee: lineare Reduktion des Problems 'Sortieren von beliebigen Zahlen' auf das Problem 'Finden der konvexen Hülle von beliebigen Punkten in der Ebene'. 1. Transformation der Zahlenfolge x 1,..., x n in eine Folge von Punkten (x 1, x 1 ²),..., (x n, x n ²) in O(n) Zeit 2. Berechnung der konvexen Hülle (als Folge geordnet gegen den Uhrzeigersinn) 3. Extrahieren der Zahlenfolge in O(n) Zeit 4. Rotieren der Zahlenfolge in O(n) Zeit Damit lässt sich das 'Sortieren' in linearer Zeit auf das 'Finden der konvexen Hülle' reduzieren. Da jeder (vergleichsbasierte) Algorithmus zum Sortieren beliebiger Zahlen im worst case die untere Schranke (n log(n)) besitzt, gilt dies auch für die konvexe Hülle. sven scholz / valeri felberg Seite 7 von 9

8 Degenerierte Fälle GPA Zur Vereinfachung des Algorithmenentwurfes macht man problemspezifische Annahmen über die (Geometrie der) Eingabe, sog. GPAs (general position assumptions). allgemeine Lage Die Eingabe ist in allgemeiner Lage, wenn sie alle GPAs erfüllt. degenerierte Eingabe Die Eingabe ist degeneriert, wenn sie mindestens eine GPA nicht erfüllt. Degenerierte Fälle stellen beim Entwurf der meisten geometrischen Algorithmen ein Problem dar, denn: Ein korrekter Algorithmus muss zu jeder möglichen Eingabe die / eine spezifizierte Ausgabe berechnen, aber es ist i.allg. schwierig, alle degenerierten Fälle in einem Algorithmus korrekt zu behandeln, da es oft viele degenerierte Fälle gibt und manchmal nicht einmal klar ist, dass man alle degenerierten Fälle berücksichtigt / erkannt hat. Ein Algorithmus, der Eingaben in allgemeiner Lage korrekt behandelt, kann (durch Spezialbehandlung der degenerierten Fälle) ausgebaut werden zu einem Algorithmus der auch degenerierte Eingaben korrekt behandelt. Degenerierte Fälle bei der Berechnung der konvexen Hülle Was passiert, wenn drei Punkte in der Eingabe auf einer Geraden liegen ("kollinear" sind) und auf dem Rand der konvexen Hülle liegen gehört der mittlere Punkt zur konvexen Hülle oder nicht? Das gewünschte Resultat hängt von der Anwendung ab. Das Verhalten des Algorithmus (Graham Scan) hängt von der Implementierung ab. z.b. isleftof(r,p,q) := A(p,q,r) > 0 oder isleftof(r,p,q) := A(p,q,r) 0 Robustheit Problem bei der Implementierung geometrischer Algorithmen: Mit Fließkommazahlen kann man nicht exakt rechnen! Problematisch beim Graham Scan: p,q,r sind "fast kollinear", d.h. A(p,q,r) ist so klein, dass das Vorzeichen auf Grund von Rundungsfehlern falsch bestimmt wird, IsLeftOf liefert dann ein falsches Ergebnis Lösungsansätze Exakte Arithmetik Numerische Berechnungen werden exakt ausgeführt ("Implementierung" der Real RAM). Softwarebibliotheken mit Implementierungen exakter Zahlentypen sind verfügbar (z.b. LEDA, CORE) aber i.allg. sehr langsam. Algorithmenspezifische Ansätze Verwendung von Fliesskommaarithmetik und Erkennen und Behandeln von inkonsistenten Konfigurationen im Algorithmus selbst. Ist nicht immer machbar bzw. oft sehr schwierig aber im Allg. schneller als exakte Arithmetik In dieser Vorlesung wird die Fragestellung der Robustheit weitgehend vernachlässigt. sven scholz / valeri felberg Seite 8 von 9

9 Schnittpunktberechnung für Strecken in der Ebene Motivation z.b. Überlagerung thematischer Karten(Strassen / Flüsse) in einem GIS liefert wichtige Daten über Brücken usw. Dabei können alle Objekte durch Strecken und Streckenzüge modelliert werden. Problemstellung Menge von n Strecken in der Ebene alle echten Schnittpunkte Satz: Schnitt von zwei Strecken Seien s und t zwei Strecken, gegeben durch ihre Endpunkte {s 1, s 2 } und {t 1, t 2 }. s und t schneiden sich genau dann, wenn gilt: ((isleftof(s 1, t 1, t 2 ) isrightof(s 2, t 1, t 2 )) (isrightof(s 1, t 1, t 2 ) isleftof(s 2, t 1, t 2 ))) ((isleftof(t 1, s 1, s 2 ) isrightof(t 2, s 1, s 2 )) (isrightof(t 1, s 1, s 2 ) isleftof(t 2, s 1, s 2 ))) Algo: Eingabe: Ausgabe: naiv Streckenmenge S Menge der Schnittpunkte P :={} for i := 1 to n-1 do for j := i+1 to n do if SchnittpunktExistiert(s i, s j ) return P P := P {Schnittpunkt(s i, s j )} Laufzeit: (n²) kann im worst case auch nicht verbessert werden, da bis zu n*(n-1)/2 Schnittpunkte existieren Gesucht ist ein ausgabesensitiver Algorithmus, bei dem die Laufzeit von der Größe k der Ausgabe abhängig ist - hier ((n+k) log(n)). sven scholz / valeri felberg Seite 9 von 9