Ferienakademie. Ferienakademie
|
|
|
- Brigitte Maus
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Scientific Computing in Computer Science, Technische Universita t Mu nchen Commercial: Ferienakademie Programm 2016 Ferienakademie Ferienakademie Sarntal (Südtirol) Sarntal / Südtirol Sonntag, 18. September bis Freitag, 30. September 2016 Direktor: Univ.-Prof. Dr. Hans-Joachim Bungartz, Institut für Informatik der Technischen Universität München Spenden von Firmen und von Fördervereinen der drei veranstaltenden Universitäten und Eigenmittel ermöglichen die Durchführung der Ferienakademie 2015 im Sarntal in Südtirol. Sie soll der Motivation und der Förderung begabter und interessierter Studierender der drei veranstaltenden Universitäten dienen. Fahrt- und Aufenthaltskosten für die Teilnehmer werden aus Spendenmitteln getragen. Weitere Informationen sowie Hinweise zur Bewerbung finden Sie unter: Für jeweils ca. 14 Studierende aus Studiengängen der angegebenen Fachrichtungen werden folgende Kurse angeboten: Kurs Thema Dozenten Gastdozenten (GD) Fachrichtungen (und Fachsemester) 1 Extreme Web Programming 2 Digital Sports: Wearable Computing B. Eskofier, Erlangen for Fitness and Wellness A. Schmidt, Stuttgart Informatik, Medieninformatik, Medizintechnik, Computer Games, Sportwissenschaften, Ingenieurwissenschaften, Psychologie, Design (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) 3 Physik und Elektronik im Alltag G. Denninger, Stuttgart R. Gross, München Physik, Elektro- und Informationstechnik (Bachelor im 1. oder 2. Studienjahr) 4 Multiscale Problems and Complex Geometries in Computational Fluid and Structural Mechanics R. Helmig, Stuttgart E. Rank, München P. Knabner, Erlangen (GD) Ingenieurwissenschaften, Mathematik, Informatik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) 5 Playful Simulation - Serious Models M. Bischoff, Stuttgart in Interactive Applications H.-J. Bungartz, München 6 Erkenntnis und Verantwortung in Natur- und Technikwissenschaften R. Kötter, Erlangen K. Mainzer, München Alle (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) 7 Visual Communication for Virtual & Augmented Reality A. Kaup, Erlangen E. Steinbach, München B. Yang, Stuttgart (GD) Elektrotechnik, Informations- und Kommunikationstechnik, Informatik, Mathematik, Physik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) 8 Massive Multiple-Input, MultipleOutput (MIMO) Communication G. Kramer, München R. Müller, Erlangen S. ten Brink, Stuttgart (GD) Elektrotechnik, Informations- und Kommunikationstechnik, Informatik, Mathematik, Physik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) 9 Yes, we scan! G. Greiner, Erlangen D. Cremers, München (GD) M. Burch, Stuttgart (GD) Informatik, Mathematik, Physik, Ingenieurwissenschaften (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) 10 Abhängigkeitsmodellierung im Risiko Management C. Czado, München M. Fischer, Erlangen Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Statistik (Master) 11 Human Vision and Computer Vision D. Fritsch, Stuttgart in Daily Life L. Meng, München 12 Cyber Physical Systems H. Seidl, München B. Brügge, München D. Siewiorek, CMU Pittsburgh (GD) A. Smailagic, CMU Pittsburgh (GD) Informatik, Mathematik (Bachelor im 1. oder 2. Studienjahr) Ingenieurwissenschaften, Mathematik, Informatik, Physik (alle Fachsemester) Ingenieurwissenschaften, Informatik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) Informatik, Software Engineering, Elektrotechnik, Maschinenwesen, Ingenieurwissenschaften, Industrial Design, Human Factors Engineering (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) Organisation: T. Neckel, München, neckel@in.tum.de F. Gruber, Erlangen, gruber@lnt.de L. Augel, Stuttgart, augel@iht.uni-stuttgart.de Beauftragte der Universitäten: E. Rank, München A. Kaup, Erlangen J. Schulze, Stuttgart Direktor: Bewerbungsschluss: H.-J. Bungartz, Institut für8.informatik, Mai 2016 TU München Bewerbungsschluss 8. Mai 2016 w w w. f e r i e n a k a d e m i e. d e T. Neckel: Einfu hrung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008, Wintersemester 2015/
2 Werbung: Stellen für Stud. Hilfskräfte Ferienakademie Umfang: ca. 5 7h/Woche (ca. EUR /Monat) Aufgabe: Auf-/Umbau des Webauftritts Anforderungen hilfreich, aber kein Muss: Typo3-Erfahrung o.ä. Kontakt: Moritz August (moritz.august@tum.de) IN8008, Wintersemester 2015/
3 Werbung: Stellen für Stud. Hilfskräfte Ferienakademie Umfang: ca. 5 7h/Woche (ca. EUR /Monat) Aufgabe: Auf-/Umbau des Webauftritts Anforderungen hilfreich, aber kein Muss: Typo3-Erfahrung o.ä. Kontakt: Moritz August (moritz.august@tum.de) Servicebüro IN Umfang: 6-10 h/woche (ca. EUR /Monat) Aufgabe: Weiter- und Neuentwicklung von MS-Access-Datenbanken Anforderungen: Einführung in Datenbanken Umfeld: MS-Access Datenbanken, Windows Kontakt: Dr. Herbert Ehler (ehler@in.tum.de) IN8008, Wintersemester 2015/
4 Werbung: Chair of Informatics V - SCCS Efficient Numerical Algorithms - Parallel & HPC High-dimensional numerics (sparse grids) Fast iterative solvers (multi-level methods, preconditioners) Adaptive, octree-based grid generation Space-filling curves Numerical linear algebra Uncertainty quantification HW-aware numerical programming Fields of Application in Simulation Seismology/Tsunami simulation Molecular dynamics CFD Plasma physics Quantum chemistry IN8008, Wintersemester 2015/
5 Werbung: Chair of Informatics V - SCCS Efficient Numerical Algorithms - Parallel & HPC High-dimensional numerics (sparse grids) Fast iterative solvers (multi-level methods, preconditioners) Adaptive, octree-based grid generation Space-filling curves Numerical linear algebra Uncertainty quantification HW-aware numerical programming Fields of Application in Simulation Seismology/Tsunami simulation Molecular dynamics CFD Plasma physics Quantum chemistry Further info www5.in.tum.de Feel free to come around and ask for thesis topics ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
6 Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme IN8008, Wintersemester 2015/
7 Wiederholung: Relaxationsverfahren Direkte Lösung des LGS ist viel zu teuer; Daher wird versucht, den Fehler lokal zu beseitigen. Echter Fehler nicht messbar, daher Zugang über Residuum; Innere Schleife läuft über alle Gitterpunkte; Äußere Schleife wiederholt Relaxation, bis das Residuum klein genug ist; Anzahl der äußeren Schleifendurchläufe von der Anzahl an Gitterpunkten abhängig; IN8008, Wintersemester 2015/
8 Konvergenz Jacobi: Fourier-Analyse Szenario Stationäre Wärmeleitung (1D) auf dem Einheitsintervall Randbedingung überall Null Lösung: Null auf gesamtem Intervall Initialer Lösungsvektor: x 0 = e 0 Untersuchung: Veränderung des Fehlers in einer Iteration Initialer Fehler als Kombination von Sinus-Kurven unterschiedlicher Frequenz ab jetzt zur Vereinfachung: 1D: x = m a m (sin(mπhi)) i=1..n IN8008, Wintersemester 2015/
9 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? IN8008, Wintersemester 2015/
10 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Eine Frequenz ist hoch/niedrig bezüglich der Anzahl an Abtastpunkten. Ein Signal mit Maximalfrequenz f max muss mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden. Für gegebene Abtastfrequenz f ist die höchste darstellbare Frequenz also 1/2f. Die Abtastfrequenz entspricht gerade der Anzahl an Diskretisierungspunkten! IN8008, Wintersemester 2015/
11 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i IN8008, Wintersemester 2015/
12 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. IN8008, Wintersemester 2015/
13 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. Für x gegen Null nimmt cos(x) den maximalen Wert an Taylor-Entwicklung um 0 + πh: λ 1 = cos(0) πhsin(0) cos(0)π 2 h 2 / π 2 h 2 /2 = 1 c h 2 IN8008, Wintersemester 2015/
14 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 IN8008, Wintersemester 2015/
15 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 IN8008, Wintersemester 2015/
16 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 Wie können wir es besser machen? IN8008, Wintersemester 2015/
17 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen IN8008, Wintersemester 2015/
18 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen Was passiert für verschiedene Aufmarschformationen? IN8008, Wintersemester 2015/
19 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
20 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
21 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
22 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
23 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
24 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
25 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
26 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
27 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
28 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
29 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
30 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
31 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
32 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2015/
33 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; D.h. lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. D.h. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß, d.h. solche Frequenzen werden schnell beseitigt, niedrige hingegen nicht. IN8008, Wintersemester 2015/
34 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; D.h. lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. D.h. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß, d.h. solche Frequenzen werden schnell beseitigt, niedrige hingegen nicht. Abbildung: 1D Wärmeleitung mit Rand=0 und zufälligen Startwerden für die Temperatur Jacobi, 10 Schritte Jacobi, 100 Schritte Mehrgitter, 1 Schritt IN8008, Wintersemester 2015/
35 Mehrgitter: Motivation Optimales LGS-Verfahren: Rechenaufwand wächst linear mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten Besser geht es nicht (jeder Punkt muss mindestens einmal betrachtet/bearbeitet werden) Jacobi/Gauss-Seidel: Kosten einer Iteration sind O(n) Die Anzahl an Iterationen wächst mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten. Niedrige Fehlerfrequenzen verschwinden nur sehr langsam. Ursache: Informationen müssen durch das gesamte Gebiet (damit durch alle Punkte) propagiert werden Mehrgitter-Verfahren propagiert Informationen sehr viel schneller. IN8008, Wintersemester 2015/
36 Grundidee des Mehrgitter-Verfahrens Jacobi/Gauss-Seidel sind schlecht für niedrige Frequenzen Shannon: Eine Frequenz ist niedrig bezüglich einer bestimmten Zahl an Diskretisierungspunkten Bei Halbierung der Diskretisierungspunkte wird die Frequenz bezüglich der Diskretisierung verdoppelt D.h. für jede Frequenz gibt es eine Diskretisierung, für die diese Frequenz mittel/hoch ist Durch Einsatz verschiedener Gitterauflösungen gibt es für jede Komponente des Fehlers ein Gitter, bezüglich dessen die Frequenz der Fehlerkomponente niedrig ist. IN8008, Wintersemester 2015/
37 Multigrid: Zutaten Beispiel Militärkapelle: Restriktion von einzelnen Punkten auf gröberes Gitter Verwandlung von niedrigen Frequenzen (feines Gitter) in hohe Frequenzen (grobes Gitter) Anwendung eines Glätters (z.b. Jacobi) auf verschiedenen Gitterauflösungen Entfernen von hohen Frequenzen (auf dem entspr. Gitter) Prolongation von Punktinformation auf feines Gitter Korrektur der Feingitter-Lösung Im Folgenden: h : Feines Gitter, 2h : Nächstgröberes Gitter (doppelte Zellgröße) IN8008, Wintersemester 2015/
38 Zwei-Gitter Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, A 2h : vergröberte Darstellung von A h, e 2h : Fehler der Grobgitterrepräsentation Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h IN8008, Wintersemester 2015/
39 Rekursiver Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h, h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, Rekursion: MG(α 1, α 2, A 2h, e 2h, r 2h,2h) Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h IN8008, Wintersemester 2015/
40 Visualisierung Multigrid: V-Zyklus Tafelbild IN8008, Wintersemester 2015/
41 Restriktion Für neue Näherung x k+1 auf grobem Gitter sind nötig: x k und r k bezüglich des groben Gitters Bisherige Näherungslösung muss auf das nächstgröbere Gitter transportiert werden Einfachste Methode: Injektion. Nur jeder zweite Punkt wird verwendet, die dazwischen verworfen Teilweise bessere Ergebnisse, wenn zwischen drei benachbarten Punkten gemittelt wird (Full Weighting) IN8008, Wintersemester 2015/
42 Prolongation Der auf dem groben Gitter berechnete Fehler muss auf das feine übertragen werden Feingitterpunkte, die zugleich Grobgitterpunkte sind, erhalten den Wert direkt vom Grobgitterpunkt Feingitterpunkte zwischen zwei Grobgitterpunkten erhalten den Wert durch (lineare) Interpolation IN8008, Wintersemester 2015/
43 Konstruktion von A 2h Galerkin Ansatz: R 2h h! = (P h 2h ) A 2h = (P h 2h ) A h P h 2h Für Poisson-Problem (Bsp 1D) mit Full Weighting und linearer Interpolation: A h = 1 h 2 [ ] A 2h = 1 (2h) 2 [ ] IN8008, Wintersemester 2015/
44 Mehrgitter-Verfahren (1) import numpy as np import math import sys class Mehrgitter : def init (self, level ): self. level = level self. anzahlpunkte =2** level +1 self. h = 1.0/(2.0** level ) self.x = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) self.b = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) IN8008, Wintersemester 2015/
45 Mehrgitter-Verfahren (2) def solve ( self ): # pre - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () if self. level >1: nextmg = Mehrgitter ( self. level -1) # Restriktion self. restriktion ( nextmg.b) # Loese grobes Gitter nextmg. solve () # Prolongation self. prolongation ( nextmg.x) # post - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () IN8008, Wintersemester 2015/
46 Jacobi-Verfahren def jacobi ( self ): temp = np. copy ( self.x) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): self.x[i] = 0.5*( self.h* self.h* self.b[i] \ + temp [i -1] + temp [i +1]) IN8008, Wintersemester 2015/
47 Restriktion und Prolongation def restriktion ( self, bgrob ): temp = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): temp [i] = self.b[i] - (- self.x[i -1] \ + 2* self.x[i] - self.x[i +1])/( self.h **2) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): bgrob [i /2] = 0.25*( temp [i -1] + 2* temp [i] \ + temp [i +1]) def prolongation ( self, egrob ): # Punkte, die direkt mit Grobgi tterpu nkten # uebereinstimmen for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): self.x[i] = self.x[i] + egrob [i /2] # Punkte, die zwischen Grobgi tterpu nkten liegen for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1,2): self.x[i] = self.x[i] \ + 0.5*( egrob [i /2]+ egrob [i /2+1]) IN8008, Wintersemester 2015/
48 Beispiel if name == " main ": # Einlesen von Parametern levels = int ( sys. argv [1]) tol = float ( sys. argv [2]) solvertype = sys. argv [3] res = tol counter = 0 # Initialisierung des Mehrgitter - Loesers mg = Mehrgitter ( levels ) # Setzen der Randwerte mg.x [0] = 0.0 mg.x[mg. anzahlpunkte -1] = 1.0 IN8008, Wintersemester 2015/
49 Beispiel Cont. while res > tol : counter = counter +1 if solvertype ==" jacobi ": mg. jacobi () elif solvertype =="mg": mg. solve () else : print " ERROR : Unbekannter Loeser " res = mg. maxerror () print " Iteration %d: %f" % ( counter, res ) IN8008, Wintersemester 2015/
50 Fehler def maxerror ( self ): res = abs ( self.x[1] - self.h) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -1): tmp = abs ( self.x[i]-i* self.h) if tmp > res : res = tmp return res IN8008, Wintersemester 2015/
51 Kosten des Mehrgitter-Verfahrens (1D) Pro Level zwei bis vier Jacobi/Gauss-Seidel Iterationen: O(n) Residuumsberechnung: O(n) Restriktion: O(n) Prolongation: O(n) Rekursion Kosten auf feinstem Level: cn Kosten auf zweitfeinstem Level: 1/2cn... Kosten cn i=0 (1/2)i = 2.0cn Anzahl Iterationen O(1) (im Optimalfall!) Gesamtkosten: O(n) IN8008, Wintersemester 2015/
52 Klausurstoff Teil I: Erste Schritte Teil II: Datentypen Teil III: Kontrollstrukturen Teil IV: Funktionen und Module Teil V: IO und Datentypen Teil VI: Reguläre Ausdrücke Teil VII: Exceptions Teil VIII: OOP Teil IX: Grafik Teil X: Partikelsysteme Teil XI: Bäume, stacks & queues Teil XII: Wiss. Rechnen Teil XIII: Wärmeleitung Teil XIV: Lösung von LGS Teil XV: Mehrgitterverfahren ja ja ja ja ja (außer Modul os) Theorie nicht, Verwendung schon (Maskierungszeichen wie \d,... werden angegeben) ja (außer Built-In Exceptions) ja (UML: nur Klassendiagramme) nein (außer Rekursion) (ja) nur stacks nur numpy, keine Paketnamen nein nur Gauß-Elim. + numpy.linalg nein IN8008, Wintersemester 2015/
Teil XV. Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/2018 387 Konzept von Teil XV: Mehrgitterverfahren
Teil XV. Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme IN8008, Wintersemester 2014/2015 376 Wiederholung: Relaxationsverfahren Direkte Lösung des LGS ist viel zu teuer; Daher wird versucht,
Informatics Master Programs
Informatics Master Programs T. Huckle Technichal University of Munich Department of Informatics Scientific Computing Garching, 8.6.2018 Overview Master Informatics Master Informatics: Games Engineering
Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph. D. Dipl.-inform. Oliver Kayser-Herold Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt Die
Modellbildung und Simulation SS2011 Lineare Iterationsverfahren
restart; with(plots): with(linearalgebra): Modellbildung und Simulation SS2 Lineare Iterationsverfahren Hilfsfunktionen: Bilder malen bild malt einen Vektor als stueckweise lineare Funktion ueber dem Einheitsintervall.
6a. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima. Besser, schneller, höher, weiter!
6a. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima Besser, schneller, höher, weiter! Part-II - Reserve Page 1 of 15 Konjugierte Richtungen Anstelle der Residuen oder negativen Gradienten r (i) suchen wir
Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen
www.dlr.de Folie 1 > STAB Workshop, 12.11.2013 > Marcel Wallraff, Tobias Leicht 12.11.2013 Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen Marcel Wallraff, Tobias
Leibniz-Rechenzentrum
Leibniz-Rechenzentrum der Bayerischen Akademie der Wissenschaften Technical Report Perspectives of High End Computing A Joint Workshop of the RRZE, KONWIHR and LRZ Erlangen, March 17, 200 März 2006 LRZ-Bericht
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik DLR 10.11.2011 1 / 24 Übersicht Motivation DG-Verfahren Gleichungen p-mehrgitter Voraussetzungen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Iterationsverfahren: Konvergenzanalyse und Anwendungen Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester 2007 U. Rüde,
4. Mehrgitterverfahren. 4. Mehrgitterverfahren Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 31
Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 31 4.1. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Vorbemerkungen Mehrgitterverfahren und ihre Verwandten (multi-scale, multi-resolution, multi-something)
Master-Studiengang & Bewerbung/Zulassung. Judith Zimmermann Studienkoordinatorin, Departement Informatik, ETH Zürich
Master-Studiengang & Bewerbung/Zulassung Judith Zimmermann Studienkoordinatorin, Departement Informatik, ETH Zürich Master's in Data Science 120 Core Courses 62 Data Analysis 16 Information and Learning
Angewandte Strömungssimulation
ngewandte Strömungssimulation 8. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung uswertung Parameter und Kennzahlen
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen Dünn
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige
Numerische Methoden. Thomas Huckle Stefan Schneider. Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker.
Thomas Huckle Stefan Schneider Numerische Methoden Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker 2. Auflage Mit 103 Abbildungen und 9 Tabellen 4Q Springer Inhaltsverzeichnis
13 Beispiel: Poisson-Gleichung
13 Beispiel: Poisson-Gleichung Etwas komplizierter wird die Simulation, wenn wir mehr als eine Raumdimension haben während sich im Eindimensionalen die Unbekannten einfach der Reihe nach in eine Liste
Computerphysik II. Python Einführung. S. Gerlach. WiSe S. Gerlach Computerphysik II
Computerphysik II Python Einführung S. Gerlach WiSe 2016 Programmiersprachen In der Wissenschaft: Programmiersprachen - Einteilung Eigenschaften: Skriptsprachen: Shell, Python, Perl,... Kompilierte Sprachen:
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 4. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 17. März 2016 Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung: Normen, Jacobi-Matrix,
Einführung Eigenwerte
Einführung Eigenwerte Bei der Modellierung von Stabweren, entstehen folgende Systeme: p = Ax mit A = ENE T, Verschiebungsvetor x und Lastvetor p und Diagonalmatrix N mit den Materialeigenschaften. Betrachtet
Einführung Eigenwerte
Einführung Eigenwerte Bei der Modellierung von Stabweren, entstehen folgende Systeme: p = Ax mit A = ENE T, Verschiebungsvetor x und Lastvetor p und Diagonalmatrix N mit den Materialeigenschaften. Betrachtet
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 12. März 2014 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr Studiengang:
Frauenanteil der im ersten Fachsemester NeuImmatrikulierten in den einzelnen Fachbereichen nach angestrebtem Abschluss (Bachelor/Master) im SoSe 2010
anteil der im ersten Fachsemester NeuImmatrikulierten in den einzelnen Fachbereichen nach angestrebtem Abschluss (Bachelor/Master) im SoSe 2010 Fachbereich I 4 16,2% 33,3% 32 Fachbereich II 10 20 43,5%
Name Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte. Bitte beachten!
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik III Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik,
Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen... 1 Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken... 10
Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen...1 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen...2 1.2 Berechnen von Summen und Produkten...3 1.3 Primfaktorzerlegung...4 1.4 Größter gemeinsamer Teiler...4 1.5 Kleinstes gemeinsames
Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
PG 471: Beyond Graphics. Strömungssimulation in der GPU
Strömungssimulation in der GPU Betreuer: Claus-Peter Alberts, LS VII Dominik Göddeke, LS III (Mathematik) Normale Nutzung von Grafikkarten Normale Nutzung von Grafikkarten STATTDESSEN: GPGPU! Anwendungsfall:
Musterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt
TU ILMENAU Institut für Mathematik Numerische Mathematik PD Dr. W. Neundorf Musterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom.0.006 Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt 1. Lineare Algebra
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 7. September 2015 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 13. März 2017 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr Studiengang:
Einführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 2.2: Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 05.10.2016 Numerische Mathematik M2
Softwareprojektpraktikum Maschinelle Übersetzung
Softwareprojektpraktikum Maschinelle Übersetzung Jan-Thorsten Peter, Andreas Guta, Jan Rosendahl max.bleu@i6.informatik.rwth-aachen.de Vorbesprechung 5. Aufgabe 22. Juni 2017 Human Language Technology
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel Druck-Geschwindigkeits-Kopplung Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Kompressible NSG! Massenerhaltung! Impulserhaltung ρu t! Energieerhaltung
Numerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 20 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 6 Übungsblatt:
Amtliche Mitteilungen
Technische Fachhochschule Berlin University of Applied Sciences Amtliche Mitteilungen 28. Jahrgang, Nr. 9 Seite 1 2. Februar 2007 INHALT Inhaltsverzeichnis des Jahrgangs 2006 (27. Jahrgang) Seite 2 Herausgeber:
MA2000 (6) Math. Grundlagen. MA2003 (5) Maß- und Int. MA2004 (5) Vektoranalysis MA2101 (9) Algebra. MA2203 (5) Geo-Kalküle
weitere Pflichtmodule Reine Mathe frühestes Semester: 1. Sem (WiSe) 2. Sem (SoSe) 3. Sem (WiSe) 4. Sem (SoSe) 5. Sem (WiSe) 6. Sem (SoSe) MA1001 (10) Analysis 1 MA1002 (10) Analysis 2 MA2000 (6) Math.
Prüfungstermine WS 2017/18 Wirtschaftsinformatik Bachelorstudiengang
Prüfungskommission Wirtschaftinformatik Wirtschaftsinformatik Betriebswirtschaftliche Verfahren (BWL 2) Montag, 22. Januar 2018 12:30 14:00 S 0.11 Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Montag, 22. Januar
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 6. März 2013 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr Studiengang:
Modulliste. für den Masterstudiengang. Data & Knowledge Engineering (alt) an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik
Modulliste für den Masterstudiengang Data & Knowledge Engineering (alt) an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik vom Sommersemester 2019 Der Masterstudiengang Data & Knowledge
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 5 Aufgabe 5.1 Kommutierende Matrizen In der Vorlesung und vergangenen
Modulliste. für den Bachelorstudiengang. Wirtschaftsinformatik. an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik
Modulliste für den Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik vom Sommersemester 2019 Der Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik
Die Technische Universität München und die Fakultät für Informatik. Julie Mäding
Die und die Fakultät für 1 TUM. Campus Garching Chemie Physik Mathematik Maschinenwesen TUM Institute for Advanced Study Medizintechnik Forschungs- Neutronenquelle 2 Die Bewerbung an der Fakultät für 3
Herzlich Willkommen. der Fakultät für Informatik!
Herzlich Willkommen beim giti-tag der Fakultät für Informatik! http://www.informatik.tuwien.ac.at TECHNISCHE UNIVERSITÄT WIEN FAKULTÄTEN Architektur und Raumplanung Bauingenieurwesen Elektrotechnik und
MATLAB Ferienkurs WS 2010/2011
MATLAB Ferienkurs WS 2010/2011 Teil 4 von 6 Andreas Klimke, Matthias Wohlmuth Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik Basier auf Kursunterlagen von Boris
Studienverlaufspläne M.Sc. Computational Science. 19. Juli 2011
Studienverlaufspläne M.Sc. Computational Science 19. Juli 2011 1 Vertiefungsfach Wissenschaftliches Rechnen Specialization Scientific Computing Zusatzpraktikum Modellierung und Simulation I P2 4 Modellierung
Lehrstuhl für Systemsimulation
Prof. Dr. Christoph Pflaum 1 1 Department Informatik Universität Erlangen-Nürnberg saot-logo Outline 1 Forschung 2 Anwendungen Strömungsmechanik Optik, Photonik 3 Softwareentwicklung 4 Hochleistungsrechnen
Klausur. Physik auf dem Computer SS JP Dr. Axel Arnold Dr. Olaf Lenz Florian Fahrenberger Dominic Röhm 15. August 2012
Universität Stuttgart Institut für Computerphysik Klausur Physik auf dem Computer SS 2012 JP Dr. Axel Arnold Dr. Olaf Lenz Florian Fahrenberger Dominic Röhm 15. August 2012 Name Vorname Matrikelnummer
Inhaltsverzeichnis. Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen. Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken. Kapitel 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme
Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen 1.2 Berechnen von Summen und Produkten 1.3 Primfaktorzerlegung 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 1.5 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 1.6 n-te
Norbert Köckler. Mehrgittermethoden. Ein Lehr- und Übungsbuch
Mehrgittermethoden Norbert Köckler Mehrgittermethoden Ein Lehr- und Übungsbuch Prof. Dr. Norbert Köckler Institut für Mathematik Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Universität Paderborn
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
1 Berechnung von Summen (ca = 10 Punkte)
Einführung in die wissenschaftliche Programmierung Klausur 26.02.2013 Seite 1/8 Name, Vorname, Unterschrift: Matrikelnummer: 1 Berechnung von Summen (ca. 5 + 4 + 1 = 10 Punkte) Gegeben sind natürliche
Modulliste. für den Bachelorstudiengang. Wirtschaftsinformatik. an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik
Modulliste für den Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik an der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Informatik vom Sommersemester 2017 Der Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik
Einführung in die Didaktik der Informatik D. Engbring mündl.
Bachelor Pflicht BA-INF 021 Lineare Algebra Th. Räsch 02.08.2016/ 9-12 Uhr HS IX+X Hauptg. 12.09.2016/ 9-12 Uhr HS IX+X Hauptg. schriftlich BA-INF 022 Analysis M. Welter 26.07.2016/9.30-11.30Uhr HS IX+X
Mathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 8 Partielle
Algorithmik kontinuierlicher Systeme
Algorithmik kontinuierlicher Systeme Iterative Verfahren (2/2) Ziel dieser Vorlesung Wie schnell können wir Gleichungssysteme lösen? O(n 3 ) LR- oder QR-Zerlegung: Immer anwendbar Standardverfahren Aber:
Waermeleitungsgleichung
Waermeleitungsgleichung October 26, 2018 1 Ausführliche Diskussion des Wärmeleitungsgleichungs-Beispiels der Vorlesung Wir betrachten die folgende Aufgabe: Ein Stab der Länge π (auf dem Zahlenstrahl von
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers)
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht: Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung, Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen, Dünn
3) Algebraische Mehrgitterverfahren
3) Algebraische Page 1 of 44 Vorbemerkungen und ihre Verwandten (multi-scale, multi-resolution, multi-something) sind die effizientesten iterativen Lösungsverfahren für große, schwach besetzte lineare
Grundlagen der Informatik I (Studiengang Medieninformatik)
Grundlagen der Informatik I (Studiengang Medieninformatik) Thema: 3. Datentypen, Datenstrukturen und imperative Programme Prof. Dr. S. Kühn Fachbereich Informatik/Mathematik Email: skuehn@informatik.htw-dresden.de
Probeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 17. Februar 2018 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr
STUDIENGANG INFORMATIK IN DER FAKULTÄT TECHNIK (TI)
STUDIENGANG INFORMATIK IN DER FAKULTÄT TECHNIK (TI) Informationstechnik (TIT) Mobile Informatik (TIM) IT Security (TIS) Stand: 07/2017 www.ravensburg.dhbw.de STUDIENGANG INFORMATIK Studienangebote Studiengang
Übungsblatt 12 Musterlösung
NumLinAlg WS56 Übungsblatt 2 Musterlösung Lösung 44 (QR-Algorithmus mit Wilkinson-Shift und Deflation) a)+b) Die QR-Iteration zur Berechnung aller Eigenwerte einer Matrix A kann wie folgt implementiert
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 1
Glättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
Computational Science and Engineering
S T U D I E N O R D N U N G für den interdisziplinären Masterstudiengang Computational Science and Engineering (International Master s Program) an der TECHNISCHEN UNIVERSITÄT MÜNCHEN Vom 14. November 2001
Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Labor Software-Entwicklung 1
Fakultät für Technik STUDIENGANG MEDIZINTECHNIK Labor Software-Entwicklung Vorbereitungsaufgaben zu Versuch 2 C-Programmierung Mathematische Berechnungen Wintersemester 205/206 Seite von 5 Vorbemerkungen
Iterative Lösung dünnbesetzter Gleichungssysteme
Iterative Lösung dünnbesetzter Gleichungssysteme Stefan Lang Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Universität Heidelberg INF 368, Raum 532 D-69120 Heidelberg phone: 06221/54-8264 email:
Collatz-Folge. falls a i ungerade.
14 Klausurtraining Heute gibt s nichts Neues mehr wir machen nochmal einen Streifzug durch die behandelten Themen unter besonderer Berücksichtigung von Aufgaben in der Art, wie sie in Klausuraufgaben vorzukommen
18.4 Das Newton-Verfahren
18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift
Mathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
Iterative Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
Iterative Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (13.12.2011) Ziel Können wir wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung lösen? φ(t) = e iht ψ(0) Typischerweise sind die Matrizen, die das
11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen
11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen Teil 2 Java-Beispiele: Power1.java Hanoi.java K. Bothe, Institut für Informatik, HU Berlin, GdP, WS 2015/16 Version: 23. Nov. 2015 Anwendung der Rekursion Rekursiv
Orientierungsvorlesung Theoretische Informatik Algorithmen und Kombinatorik Auf der Suche nach schönen Strukturen
Orientierungsvorlesung Theoretische Informatik Algorithmen und Kombinatorik Auf der Suche nach schönen Strukturen Rolf Wanka Universität Erlangen-Nürnberg 29. November 2017 Shearsort: 2-dimensionales Gitter
Modulliste. für den Bachelorstudiengang. Wirtschaftsinformatik. an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik
Modulliste für den Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik an der Otto von Guericke Universität Magdeburg Fakultät für Informatik vom Sommersemester 2016 Der Bachelorstudiengang Wirtschaftsinformatik
Lehrstuhl II für Mathematik. Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung. Höhere Mathematik I
RHEINISCH-WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN Lehrstuhl II für Mathematik Bachelor-Prüfung/Diplom-Vorprüfung/Zwischenprüfung Höhere Mathematik I Prüfer: Prof. Dr. E. Triesch Termin:..9 Fachrichtung:.................
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 14 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test 2
D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 4 K Nipp, A Hiltebrand Lösung vom Test Sei A ( 3 3 ) a) Bestimmen Sie κ(a), die Kondition von A (in der -Norm): κ(a) b) Berechnen Sie den Spektralradius von A: ρ(a) 4 c)
Simulation elastohydrodynamischer Schmierung - ein Lösungsverfahren kommt an seine Grenzen
Simulation elastohydrodynamischer Schmierung - ein Lösungsverfahren kommt an seine Grenzen (1) Tribologie (2) Modell (3) Lösungsverfahren (4) Grenzen (5) Lösungsansätze (6) Konsequenzen Wolfgang Joppich
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
Technische Universität Braunschweig Institut für Programmierung und Reaktive Systeme Programmieren I Dr. Werner Struckmann 8. September 2014 Name: Vorname: Matrikelnummer: Kennnummer: Anrede: Frau Herr
Beispiellösung Serie 7
D-MAVT FS 2014 K. Nipp A. Hiltebrand NUMERISCHE MATHEMATIK Beispiellösung Serie 7 1. a) Exakt: 0.005 1 1 1 0.005 1 ( 1 0 200-199 L = 200 1 Rückwärts einsetzen Lz = b : z 1 = 0.5, z 2 = 1 100 = 99 Rx =
Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe der Programmierung Strukturelle Programmierung
Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe der Programmierung... 1 1.1 Das erste Programm: Hallo Welt... 1 1.2 Vom Problem zum Algorithmus... 3 1.2.1 Begriff des Algorithmus... 3 1.2.2 Eigenschaften eines Algorithmus...
Fakultät für Informations- und Kommunikationswissenschaften Statistik 2010/11. Fakultätsstruktur Studienangebot Personal Haushaltsmittel Kennzahlen
Fakultät für Informations- und Kommunikationswissenschaften Statistik 21/11 Fakultätsstruktur Studienangebot Personal Haushaltsmittel 1 1 Strukturdaten 214 Institute 1 2 3 4 5 6 7 8 Institut für Informatik
MINT-Kolleg Baden-Württemberg
MINT Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft, Technik Karlsruher Institut für Technologie (KIT) KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Klausurtermine Technische Informatik WS 2018/19 (Prüfungszeitraum vom ) Stand: Änderungen rot markiert - vorbehalten!
Klausurtermine Technische Informatik WS 2018/19 (Prüfungszeitraum vom 04.02 05.04.2019) Stand: 10.12.2018 Änderungen rot markiert - vorbehalten! Wochentag Prüfungstermin: Prüfungsbezeichnung: Raum/Räume:
Master of. Mathematics in Operations Research. Dr. Michael Ritter 27. Oktober Technische Universität München
Master of Mathematics in Operations Research Dr. Michael Ritter 27. Oktober 2016 Technische Universität München Operations Research Operations Research Science of Better Operations Research Science of
Masterstudiengänge der Fakultät EI
Masterstudiengänge der Fakultät EI (Standort Innenstadt) MSc Elektrotechnik und Informationstechnik (deutsch/englisch) MSc Power Engineering (englisch) MSc Communications Engineering (englisch) Elite MSc
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
Personen je Fachsemester Abschlussprüfung > 12.
Wintersemester 2018/2019 Stand 30.11.2018 Studierende nach Abschlusszielen (1. Studienfach) - Bildungsausländer/innen Angestrebte Personen je Fachsemester Abschlussprüfung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Iterative Löser: Einführung
Iterative Löser: Einführung Im vergangenen Semester wurden folgende Löser für LGS betrachtet: LU-Zerlegung (mit und ohne Pivotisierung) QR-Zerlegung (Householder und Givens) Lösung beliebiger, regulärer,
Hallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra II Benjamin Fischer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Lineare Rekursion BigInteger Chinesischer
3. Lineare Gleichungssysteme
3. Lineare Gleichungssysteme 1 3.1. Problemstellung 2 3.2. Direkte Verfahren 3 3.3. Normen und Fehleranalyse 4 3.4. Iterative Verfahren 5 3.5. Konvergenz von linearen Iterationsverfahren 6 3.6. Gradienten-Verfahren
Computerphysik II. Python Einführung. S. Gerlach. WiSe S. Gerlach Computerphysik II
Computerphysik II Python Einführung S. Gerlach WiSe 2017 Programmiersprachen In der Wissenschaft: Programmiersprachen - Einteilung Eigenschaften: Skriptsprachen: Shell, Python, Perl,... Kompilierte Sprachen:
Dynamische Datentypen. Destruktor, Copy-Konstruktor, Zuweisungsoperator, Dynamischer Datentyp, Vektoren
Dynamische Datentypen Destruktor, Copy-Konstruktor, Zuweisungsoperator, Dynamischer Datentyp, Vektoren Probleme mit Feldern (variabler Länge) man kann sie nicht direkt kopieren und zuweisen Probleme mit