Teil XV. Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
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- Helge Sternberg
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1 Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme IN8008, Wintersemester 2014/
2 Wiederholung: Relaxationsverfahren Direkte Lösung des LGS ist viel zu teuer; Daher wird versucht, den Fehler lokal zu beseitigen. Echter Fehler nicht messbar, daher Zugang über Residuum; Innere Schleife läuft über alle Gitterpunkte; Äußere Schleife wiederholt Relaxation, bis das Residuum klein genug ist; Anzahl der äußeren Schleifendurchläufe von der Anzahl an Gitterpunkten abhängig; IN8008, Wintersemester 2014/
3 Konvergenz Jacobi: Fourier-Analyse Szenario Stationäre Wärmeleitung (1D) auf dem Einheitsintervall Randbedingung überall Null Lösung: Null auf gesamtem Intervall Initialer Lösungsvektor: x 0 = e 0 Untersuchung: Veränderung des Fehlers in einer Iteration Initialer Fehler als Kombination von Sinus-Kurven unterschiedlicher Frequenz ab jetzt zur Vereinfachung: 1D: x = m a m (sin(mπhi)) i=1..n IN8008, Wintersemester 2014/
4 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? IN8008, Wintersemester 2014/
5 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Eine Frequenz ist hoch/niedrig bezüglich der Anzahl an Abtastpunkten. Ein Signal mit Maximalfrequenz f max muss mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden. Für gegebene Abtastfrequenz f ist die höchste darstellbare Frequenz also 1/2f. Die Abtastfrequenz entspricht gerade der Anzahl an Diskretisierungspunkten! IN8008, Wintersemester 2014/
6 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i IN8008, Wintersemester 2014/
7 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. IN8008, Wintersemester 2014/
8 Änderung des Fehlers in einer Iteration x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. Für x gegen Null nimmt cos(x) den maximalen Wert an Taylor-Entwicklung um 0 + πh: λ 1 = cos(0) πhsin(0) cos(0)π 2 h 2 / π 2 h 2 /2 = 1 c h 2 IN8008, Wintersemester 2014/
9 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 IN8008, Wintersemester 2014/
10 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 IN8008, Wintersemester 2014/
11 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 Wie können wir es besser machen? IN8008, Wintersemester 2014/
12 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen IN8008, Wintersemester 2014/
13 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen Was passiert für verschiedene Aufmarschformationen? IN8008, Wintersemester 2014/
14 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
15 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
16 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
17 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
18 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
19 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
20 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
21 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
22 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
23 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
24 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
25 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
26 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
27 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) IN8008, Wintersemester 2014/
28 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; D.h. lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. D.h. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß, d.h. solche Frequenzen werden schnell beseitigt, niedrige hingegen nicht. IN8008, Wintersemester 2014/
29 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; D.h. lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. D.h. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß, d.h. solche Frequenzen werden schnell beseitigt, niedrige hingegen nicht. Abbildung: 1D Wärmeleitung mit Rand=0 und zufälligen Startwerden für die Temperatur Jacobi, 10 Schritte Jacobi, 100 Schritte Mehrgitter, 1 Schritt IN8008, Wintersemester 2014/
30 Mehrgitter: Motivation Optimales LGS-Verfahren: Rechenaufwand wächst linear mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten Besser geht es nicht (jeder Punkt muss mindestens einmal betrachtet/bearbeitet werden) Jacobi/Gauss-Seidel: Kosten einer Iteration sind O(n) Die Anzahl an Iterationen wächst mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten. Niedrige Fehlerfrequenzen verschwinden nur sehr langsam. Ursache: Informationen müssen durch das gesamte Gebiet (damit durch alle Punkte) propagiert werden Mehrgitter-Verfahren propagiert Informationen sehr viel schneller. IN8008, Wintersemester 2014/
31 Grundidee des Mehrgitter-Verfahrens Jacobi/Gauss-Seidel sind schlecht für niedrige Frequenzen Shannon: Eine Frequenz ist niedrig bezüglich einer bestimmten Zahl an Diskretisierungspunkten Bei Halbierung der Diskretisierungspunkte wird die Frequenz bezüglich der Diskretisierung verdoppelt D.h. für jede Frequenz gibt es eine Diskretisierung, für die diese Frequenz mittel/hoch ist Durch Einsatz verschiedener Gitterauflösungen gibt es für jede Komponente des Fehlers ein Gitter, bezüglich dessen die Frequenz der Fehlerkomponente niedrig ist. IN8008, Wintersemester 2014/
32 Multigrid: Zutaten Beispiel Militärkapelle: Restriktion von einzelnen Punkten auf gröberes Gitter Verwandlung von niedrigen Frequenzen (feines Gitter) in hohe Frequenzen (grobes Gitter) Anwendung eines Glätters (z.b. Jacobi) auf verschiedenen Gitterauflösungen Entfernen von hohen Frequenzen (auf dem entspr. Gitter) Prolongation von Punktinformation auf feines Gitter Korrektur der Feingitter-Lösung Im Folgenden: h : Feines Gitter, 2h : Nächstgröberes Gitter (doppelte Zellgröße) IN8008, Wintersemester 2014/
33 Zwei-Gitter Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, A 2h : vergröberte Darstellung von A h, e 2h : Fehler der Grobgitterrepräsentation Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h IN8008, Wintersemester 2014/
34 Rekursiver Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h, h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, Rekursion: MG(α 1, α 2, A 2h, e 2h, r 2h,2h) Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h IN8008, Wintersemester 2014/
35 Restriktion Für neue Näherung x k+1 auf grobem Gitter sind nötig: x k und r k bezüglich des groben Gitters Bisherige Näherungslösung muss auf das nächstgröbere Gitter transportiert werden Einfachste Methode: Injektion. Nur jeder zweite Punkt wird verwendet, die dazwischen verworfen Teilweise bessere Ergebnisse, wenn zwischen drei benachbarten Punkten gemittelt wird (Full Weighting) IN8008, Wintersemester 2014/
36 Prolongation Der auf dem groben Gitter berechnete Fehler muss auf das feine übertragen werden Feingitterpunkte, die zugleich Grobgitterpunkte sind, erhalten den Wert direkt vom Grobgitterpunkt Feingitterpunkte zwischen zwei Grobgitterpunkten erhalten den Wert durch (lineare) Interpolation IN8008, Wintersemester 2014/
37 Konstruktion von A 2h Galerkin Ansatz: R 2h h! = (P h 2h ) A 2h = (P h 2h ) A h P h 2h Für Poisson-Problem (Bsp 1D) mit Full Weighting und linearer Interpolation: A h = 1 h 2 [ ] A 2h = 1 (2h) 2 [ ] IN8008, Wintersemester 2014/
38 Mehrgitter-Verfahren (1) import numpy as np import math import sys class Mehrgitter : def init (self, level ): self. level = level self. anzahlpunkte =2** level +1 self.h = 1.0/(2.0** level ) self.x = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) self.b = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) IN8008, Wintersemester 2014/
39 Mehrgitter-Verfahren (2) def solve ( self ): # pre - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () if self. level >1: nextmg = Mehrgitter ( self. level -1) # Restriktion self. restriktion ( nextmg.b) # Loese grobes Gitter nextmg. solve () # Prolongation self. prolongation ( nextmg.x) # post - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () IN8008, Wintersemester 2014/
40 Jacobi-Verfahren def jacobi ( self ): temp = np. copy ( self.x) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): self.x[i] = 0.5*( self.h* self.h* self.b[i] \ + temp [i -1] + temp [i +1]) IN8008, Wintersemester 2014/
41 Restriktion und Prolongation def restriktion ( self, bgrob ): temp = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): temp [i] = self.b[i] - (- self.x[i -1] \ + 2* self.x[i] - self.x[i +1])/( self.h **2) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): bgrob [i /2] = 0.25*( temp [i -1] + 2* temp [i] \ + temp [i +1]) def prolongation ( self, egrob ): # Punkte, die direkt mit Grobgitterpunkten # uebereinstimmen for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): self.x[i] = self.x[i] + egrob [i /2] # Punkte, die zwischen Grobgitterpunkten liegen for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1,2): self.x[i] = self.x[i] \ + 0.5*( egrob [i /2]+ egrob [i /2+1]) IN8008, Wintersemester 2014/
42 Beispiel if name == " main ": # Einlesen von Parametern levels = int ( sys. argv [1]) tol = float ( sys. argv [2]) solvertype = sys. argv [3] res = tol counter = 0 # Initialisierung des Mehrgitter - Loesers mg = Mehrgitter ( levels ) # Setzen der Randwerte mg.x [0] = 0.0 mg. x[ mg. anzahlpunkte -1] = 1.0 IN8008, Wintersemester 2014/
43 Beispiel Cont. while res > tol : counter = counter +1 if solvertype ==" jacobi ": mg. jacobi () elif solvertype =="mg": mg. solve () else : print " ERROR : Unbekannter Loeser " res = mg. maxerror () print " Iteration %d: %f" % ( counter, res ) IN8008, Wintersemester 2014/
44 Fehler def maxerror ( self ): res = abs ( self.x[1] - self.h) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -1): tmp = abs ( self.x[i]-i* self.h) if tmp > res : res = tmp return res IN8008, Wintersemester 2014/
45 Kosten des Mehrgitter-Verfahrens (1D) Pro Level zwei bis vier Jacobi/Gauss-Seidel Iterationen: O(n) Residuumsberechnung: O(n) Restriktion: O(n) Prolongation: O(n) Rekursion Kosten auf feinstem Level: cn Kosten auf zweitfeinstem Level: 1/2cn... Kosten cn i=0 (1/2)i = 2.0cn Anzahl Iterationen O(1) (im Optimalfall!) Gesamtkosten: O(n) IN8008, Wintersemester 2014/
46 Scientific Computing in Computer Science, Technische Universita t Mu nchen Commercial: Ferienakademie Programm 2015 Ferienakademie Ferienakademie Sarntal / Südtirol Sonntag, 20. September bis Freitag, 2. Oktober Sarntal (Südtirol) Direktor: Univ.-Prof. Dr. Hans-Joachim Bungartz, Institut für Informatik der Technischen Universität München Spenden von Firmen und von Fördervereinen der drei veranstaltenden Universitäten ermöglichen die Durchführung der Ferienakademie 2015 im Sarntal in Südtirol. Sie soll der Motivation und der Förderung begabter und interessierter Studierender der drei veranstaltenden Universitäten dienen. Fahrt- und Aufenthaltskosten für die Teilnehmer werden aus Spendenmitteln getragen. Weitere Informationen sowie Hinweise zur Bewerbung finden Sie unter: Für jeweils ca. 14 Studierende aus Studiengängen der angegebenen Fachrichtungen werden folgende Kurse angeboten (selbstverständlich auch für entsprechende Fachsemester in Diplomstudiengängen). Kurs Thema Dozenten Gastdozenten (GD) Fachrichtungen (und Fachsemester) 1 Xtreme Coder Camp H. Seidl, München S. Wagner, Stuttgart Informatik, Mathematik (Bachelor im 1. oder 2. Studienjahr) 2 Quality of Life: Mobile Apps for Rehabilitation and Wellness B. Brügge, München D. Siewiorek, Pittsburgh (GD) Informatik, Ingenieurwissenschaften, Psychologie, Design (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) 3 Physik und Elektronik im Alltag G. Denninger, Stuttgart R. Gross, München V. Krstic, Erlangen (GD) Physik, Elektro- und Informationstechnik (Bachelor im 1. oder 2. Studienjahr) 4 Engineering Models, Numerical Simulation and Measurements in Technical Acoustics 5 Let's play! Simulated Physics for Interactive Games 6 Erkenntnis und Verantwortung in R. Kötter, Erlangen Natur- und Technikwissenschaften K. Mainzer, München 7 Modern Channel Coding - Theory and Applications J. Huber, Erlangen G. Kramer, München S. ten Brink, Stuttgart (GD) Elektrotechnik, Informations- und Kommunikationstechnik, Informatik, Mathematik, Physik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) 8 Die Grenzen der Nanoelektronik L. Frey, Erlangen J. Schulze, Stuttgart Elektro- und Informationstechnik, Physik, Werkstoffwissenschaften (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) 9 Large-Scale Simulation H. Köstler, Erlangen M. Mehl, Stuttgart M. Bader, München (GD) Ingenieurwissenschaften, Mathematik, Informatik, Physik (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) R. Lerch, Erlangen G. Müller, München H.-J. Bungartz, München D. Pflüger, Stuttgart G. Greiner, Erlangen (GD) Organisation: T. Neckel, München, neckel@in.tum.de F. Gruber, Erlangen, gruber@lnt.de L. Augel, Stuttgart, augel@iht.uni-stuttgart.de Ingenieurwissenschaften (Bachelor ab 3. Studienjahr oder Master) Ingenieurwissenschaften, Mathematik, Informatik, Physik (alle Fachsemester) Alle (Bachelor ab 2. Studienjahr oder Master) Beauftragte der Universitäten: E. Rank, München J. Huber, Erlangen J. Schulze, Stuttgart Bewerbungsschluss: Direktor: H.-J. Bungartz, Institut für Informatik, 10. Mai 2015 TU München Bewerbungsschluss 10. Mai 2015 w w w. f e r i e n a k a d e m i e. d e P. Neumann: Einfu hrung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008, Wintersemester 2014/
47 Klausurstoff Teil I: Erste Schritte Teil II: Datentypen Teil III: Kontrollstrukturen Teil IV: Funktionen und Module Teil V: IO und Datentypen Teil VI: OOP Teil VII: Reguläre Ausdrücke Teil VIII: Exceptions Teil IX: Grafik Teil X: Partikelsysteme Teil XI: Bäume,... Teil XII: Wiss. Rechnen Teil XIII: Wärmeleitung Teil XIV: Lösung von LGS Teil XV: Mehrgitterverfahren ja ja ja ja ja (ausser Modul os) ja (außer UML) Theorie nicht, Verwendung schon (Maskierungszeichen wie \d,... werden angegeben) ja (außer Build-In Exceptions) Nein (außer Rekursion) ja ja Nur numpy, keine Paketnamen nein ja nein IN8008, Wintersemester 2014/
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