Teil XV. Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
|
|
|
- Britta Lorenz
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
2 Konzept von Teil XV: Mehrgitterverfahren Zeit: 90 Minuten Inhalt Einfache Konvergenzanalyse des Jacobi-Verfahrens Mehrgitterverfahren: Motivation, nötige Bausteine und Codebeispiele T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
3 Konzept von Teil XV: Mehrgitterverfahren Zeit: 90 Minuten Inhalt Einfache Konvergenzanalyse des Jacobi-Verfahrens Mehrgitterverfahren: Motivation, nötige Bausteine und Codebeispiele Lernziele Die Teilnehmer können das Problem langsamer Konvergenz bei iterativen Verfahren am Beispiel des Jacobi-Verfahrens benennen und grob beschreiben. Sie sind in der Lage, die Grundidee des Mehrgitterverfahrens zu skizzieren. Sie können wesentliche Bausteine von Mehrgitterverfahren auflisten und zugehörige Codebeispiele erklären. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
4 Wiederholung: Relaxationsverfahren Direkte Lösung des LGS ist viel zu teuer; versuche, den Fehler lokal zu beseitigen; Echter Fehler nicht messbar Zugang über Residuum; Innere Schleife läuft über alle Gitterpunkte; Äußere Schleife wiederholt Relaxation, bis das Residuum klein genug ist; Anzahl der äußeren Schleifendurchläufe von der Anzahl an Gitterpunkten abhängig; T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
5 Konvergenz Jacobi: Fourier-Analyse Szenario Stationäre Wärmeleitung (1D) auf dem Einheitsintervall Randbedingung überall Null Lösung: Null auf gesamtem Intervall Initialer Lösungsvektor: x 0 = e 0 Untersuchung: Veränderung des Fehlers in einer Iteration Initialer Fehler als Kombination von Sinus-Kurven unterschiedlicher Frequenz ab jetzt zur Vereinfachung: 1D: x = m a m (sin(mπhi)) i=1..n T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
6 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
7 Was sind hohe/niedrige Frequenzen? Niedrige Frequenz: eine Schwingung (sin(πx)) im betrachteten Bereich Ist sin(1000πx) eine hohe Frequenz? Nyquist-Shannon-Abtasttheorem Eine Frequenz ist hoch/niedrig bezüglich der Anzahl an Abtastpunkten. Ein Signal mit Maximalfrequenz f max muss mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden. Für gegebene Abtastfrequenz f ist die höchste darstellbare Frequenz also 0.5 f. Die Abtastfrequenz entspricht gerade der Anzahl an Diskretisierungspunkten! T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
8 (Änderung des Fehlers in einer Iteration) x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
9 (Änderung des Fehlers in einer Iteration) x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
10 (Änderung des Fehlers in einer Iteration) x (k+1) = x (k) D 1 Ax (k) = (I D 1 A)x (k) = Mx (k) e (k+1) = Me (k) (M(sin(mπhi))) i = cos(mπh)(sin(mπhi)) i Eigenwerte von M λ m = cos(mπh) sind Eigenwerte zu den Eigenvektoren (sin(mπhi)) i Frequenzen zu betragsmäßig niedrigen Eigenwerten (nahe Null) verschwinden schnell. Frequenzen zu betragsmäßig hohen Eigenwerten (nahe Eins) verschwinden langsam. Für x gegen Null nimmt cos(x) den maximalen Wert an Taylor-Entwicklung um 0 + πh: λ 1 = cos(0) πhsin(0) cos(0)π 2 h 2 / π 2 h 2 /2 = 1 c h 2 T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
11 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
12 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
13 Konvergenz der Iteration Was passiert bei Verdopplung der Gitterpunkte? Eine Iteration mit h drückt den Fehler um 1 c h 2 h h/2 Eine Iteration drückt Fehler um: 1 c (h/2) 2 = 1 (1/4)c h 2 Zwei Iterationen: (1 c (h/2) 2 ) 2 1 (1/2)c h 2 Vier Iterationen: (1 (1/2)c h 2 ) 2 1 c h 2 Bei Halbierung von h sind vier Mal so viele Iterationen nötig! Anzahl an Iterationen wächst mit 1/h 2 Wie können wir es besser machen? T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
14 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
15 Militärkapelle (1) Eine Militärkapelle marschiert auf Die Soldaten sollen so schnell wie möglich eine gerade Linie formen Was passiert für verschiedene Aufmarschformationen? T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
16 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
17 Militärkapelle (2) geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
18 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
19 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
20 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
21 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
22 Militärkapelle (3) : Jacobi geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
23 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
24 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
25 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
26 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
27 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
28 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
29 Militärkapelle (4) : Multigrid geliehen von U. Rüde, Multigrid Methods, CIRM Winter school, 2009, und A. Brandt ;-) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
30 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß solche Frequenzen werden schnell beseitigt; niedrige aber nicht. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
31 Reduktion des Fehlers bei Jacobi/Gauss-Seidel Jacobi-Verfahren erfüllt die PDE lokal; lokal ist die zweite Ableitung Null bzw. sehr klein. für glatte Funktionen ist das Residuum gering. Für hohe Frequenzen ist das Residuum groß solche Frequenzen werden schnell beseitigt; niedrige aber nicht. Abbildung: 1D Wärmeleitung mit Rand=0 und zufälligen Startwerden für die Temperatur Jacobi, 10 Schritte Jacobi, 100 Schritte Mehrgitter, 1 Schritt T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
32 Mehrgitter: Motivation Optimales LGS-Verfahren: Rechenaufwand wächst linear mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten Besser geht es nicht (jeder Punkt muss mindestens einmal betrachtet/bearbeitet werden) Jacobi/Gauss-Seidel: Kosten einer Iteration sind O(n) Die Anzahl an Iterationen wächst mit der Anzahl an Diskretisierungspunkten. Niedrige Fehlerfrequenzen verschwinden nur sehr langsam. Ursache: Informationen müssen durch das gesamte Gebiet (damit durch alle Punkte) propagiert werden Mehrgitter-Verfahren propagiert Informationen sehr viel schneller. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
33 Grundidee des Mehrgitter-Verfahrens Jacobi/Gauss-Seidel sind schlecht für niedrige Frequenzen Shannon: Eine Frequenz ist niedrig bezüglich einer bestimmten Zahl an Diskretisierungspunkten Bei Halbierung der Diskretisierungspunkte wird die Frequenz bezüglich der Diskretisierung verdoppelt D.h. für jede Frequenz gibt es eine Diskretisierung, für die diese Frequenz mittel/hoch ist Durch Einsatz verschiedener Gitterauflösungen gibt es für jede Komponente des Fehlers ein Gitter, bezüglich dessen die Frequenz der Fehlerkomponente niedrig ist. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
34 Multigrid: Zutaten Beispiel Militärkapelle: Restriktion von einzelnen Punkten auf gröberes Gitter Verwandlung von niedrigen Frequenzen (feines Gitter) in hohe Frequenzen (grobes Gitter) Anwendung eines Glätters (z.b. Jacobi) auf verschiedenen Gitterauflösungen Entfernen von hohen Frequenzen (auf dem entspr. Gitter) Prolongation von Punktinformation auf feines Gitter Korrektur der Feingitter-Lösung Im Folgenden: h : Feines Gitter, 2h : Nächstgröberes Gitter (doppelte Zellgröße) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
35 Zwei-Gitter Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, A 2h : vergröberte Darstellung von A h, e 2h : Fehler der Grobgitterrepräsentation Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
36 Rekursiver Algorithmus zum Lösen von A h x h = b h Start: x (0) h (feines Gitter) In Iteration k, rufe MG(α 1, α 2, A h, x (k) h, b h, h) auf: α 1 Glätterschritte (pre-smoothing, feines Gitter) Berechne Residuum r h := b h Ax (k) h Restriktion: r 2h := Rh 2hr h, Rh 2h Restriktionsoperator Löse Residuumsgleichung (grobes Gitter) A 2h e 2h = r 2h, Rekursion: MG(α 1, α 2, A 2h, e 2h, r 2h,2h) Prolongation des Fehlers e 2h und Korrektur der Feingitter-Lösung x (k) h := x (k) h + P h 2h e 2h, P h 2h Prolongationsoperator α 2 Glätterschritte (post-smoothing, feines Gitter) Rückgabe: x (k+1) h T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
37 Visualisierung Multigrid: V-Zyklus Tafelbild T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
38 Restriktion Für neue Näherung x k+1 auf grobem Gitter sind nötig: x k und r k bezüglich des groben Gitters Bisherige Näherungslösung muss auf das nächstgröbere Gitter transportiert werden Einfachste Methode: Injektion. Nur jeder zweite Punkt wird verwendet, die dazwischen verworfen Teilweise bessere Ergebnisse, wenn zwischen drei benachbarten Punkten gemittelt wird (Full Weighting) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
39 Prolongation Der auf dem groben Gitter berechnete Fehler muss auf das feine übertragen werden Feingitterpunkte, die zugleich Grobgitterpunkte sind, erhalten den Wert direkt vom Grobgitterpunkt Feingitterpunkte zwischen zwei Grobgitterpunkten erhalten den Wert durch (lineare) Interpolation T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
40 Konstruktion von A 2h Galerkin Ansatz: R 2h h! = (P h 2h ) A 2h = (P h 2h ) A h P h 2h Für Poisson-Problem (Bsp 1D) mit Full Weighting und linearer Interpolation: A h = 1 h 2 [ ] A 2h = 1 (2h) 2 [ ] T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
41 Mehrgitter-Verfahren (1) import numpy as np import math import sys class Mehrgitter : def init (self, level ): self. level = level self. anzahlpunkte =2** level +1 self. h = 1.0/(2.0** level ) self.x = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) self.b = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
42 Mehrgitter-Verfahren (2) def solve ( self ): # pre - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () if self. level >1: nextmg = Mehrgitter ( self. level -1) # Restriktion self. restriktion ( nextmg.b) # Loese grobes Gitter nextmg. solve () # Prolongation self. prolongation ( nextmg.x) # post - smoothing for i in xrange (2): self. jacobi () T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
43 Jacobi-Verfahren def jacobi ( self ): temp = np. copy ( self.x) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): self.x[i] = 0.5*( self.h* self.h* self.b[i] \ + temp [i -1] + temp [i +1]) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
44 Restriktion und Prolongation def restriktion ( self, bgrob ): temp = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): temp [i] = self.b[i] - (- self.x[i -1] \ + 2* self.x[i] - self.x[i +1])/( self.h **2) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): bgrob [i /2] = 0.25*( temp [i -1] + 2* temp [i] \ + temp [i +1]) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
45 Restriktion und Prolongation def restriktion ( self, bgrob ): temp = np. zeros ( self. anzahlpunkte ) for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1): temp [i] = self.b[i] - (- self.x[i -1] \ + 2* self.x[i] - self.x[i +1])/( self.h **2) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): bgrob [i /2] = 0.25*( temp [i -1] + 2* temp [i] \ + temp [i +1]) def prolongation ( self, egrob ): # Punkte, die direkt mit Grobgi tterpu nkten # uebereinstimmen for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -2,2): self.x[i] = self.x[i] + egrob [i /2] # Punkte, die zwischen Grobgi tterpu nkten liegen for i in xrange (1, self. anzahlpunkte -1,2): self.x[i] = self.x[i] \ + 0.5*( egrob [i /2]+ egrob [i /2+1]) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
46 Beispiel if name == " main ": # Einlesen von Parametern levels = int ( sys. argv [1]) tol = float ( sys. argv [2]) solvertype = sys. argv [3] res = tol counter = 0 # Initialisierung des Mehrgitter - Loesers mg = Mehrgitter ( levels ) # Setzen der Randwerte mg.x [0] = 0.0 mg.x[mg. anzahlpunkte -1] = 1.0 T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
47 Beispiel Cont. while res > tol : counter = counter +1 if solvertype ==" jacobi ": mg. jacobi () elif solvertype =="mg": mg. solve () else : print " ERROR : Unbekannter Loeser " res = mg. maxerror () print " Iteration %d: %f" % ( counter, res ) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
48 Fehler def maxerror ( self ): res = abs ( self.x[1] - self.h) for i in xrange (2, self. anzahlpunkte -1): tmp = abs ( self.x[i]-i* self.h) if tmp > res : res = tmp return res T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
49 Kosten des Mehrgitter-Verfahrens (1D) Pro Level zwei bis vier Jacobi/Gauss-Seidel Iterationen: O(n) Residuumsberechnung: O(n) Restriktion: O(n) Prolongation: O(n) Rekursion Kosten auf feinstem Level: cn Kosten auf zweitfeinstem Level: 1/2cn... Kosten cn i=0 (1/2)i = 2.0cn Anzahl Iterationen O(1) (im Optimalfall!) Gesamtkosten: O(n) T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
50 Klausurstoff Teil I: Erste Schritte Teil II: Datentypen Teil III: Kontrollstrukturen Teil IV: Funktionen und Module Teil V: IO und Datentypen Teil VI: Reguläre Ausdrücke Teil VII: Exceptions Teil VIII: OOP Teil IX: Grafik Teil X: Partikelsysteme Teil XI: Bäume, stacks & queues Teil XII: Wiss. Rechnen Teil XIII: Wärmeleitung Teil XIV: Lösung von LGS Teil XV: Mehrgitterverfahren ja ja ja ja ja (außer Modul os) Theorie nicht, Verwendung schon (Maskierungszeichen wie \d,... werden angegeben) ja (außer Liste Eingebaute Exceptions) ja (UML: nur Klassendiagramme) nein (außer Rekursion) (ja) nur stacks + Bäume (außer AVL-Bäume) Benutzung von numpy nein nur Gauß-Elim. nein T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2017/
Teil XV. Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Teil XV Mehrgitterverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme IN8008, Wintersemester 2014/2015 376 Wiederholung: Relaxationsverfahren Direkte Lösung des LGS ist viel zu teuer; Daher wird versucht,
Ferienakademie. Ferienakademie
Scientific Computing in Computer Science, Technische Universita t Mu nchen Commercial: Ferienakademie Programm 2016 Ferienakademie Ferienakademie 18. 30.09. 2016 Sarntal (Südtirol) Sarntal / Südtirol Sonntag,
Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Technische Universität Braunschweig Prof. Hermann G. Matthies, Ph. D. Dipl.-inform. Oliver Kayser-Herold Praktikum Wissenschaftliches Rechnen 7. Aufgabenblatt Die
Modellbildung und Simulation SS2011 Lineare Iterationsverfahren
restart; with(plots): with(linearalgebra): Modellbildung und Simulation SS2 Lineare Iterationsverfahren Hilfsfunktionen: Bilder malen bild malt einen Vektor als stueckweise lineare Funktion ueber dem Einheitsintervall.
6a. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima. Besser, schneller, höher, weiter!
6a. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima Besser, schneller, höher, weiter! Part-II - Reserve Page 1 of 15 Konjugierte Richtungen Anstelle der Residuen oder negativen Gradienten r (i) suchen wir
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen
Entwicklung von p-mehrgitter-verfahren für turbulente Strömungen Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik DLR 10.11.2011 1 / 24 Übersicht Motivation DG-Verfahren Gleichungen p-mehrgitter Voraussetzungen
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme
38 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 38.1 Motivation Viele praktische Probleme führen auf sehr große lineare Gleichungssysteme, bei denen die Systemmatrix dünn besetzt ist, d. h. nur wenige
4. Mehrgitterverfahren. 4. Mehrgitterverfahren Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 31
Perlen der Informatik I, Hans-Joachim Bungartz page 1 of 31 4.1. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Vorbemerkungen Mehrgitterverfahren und ihre Verwandten (multi-scale, multi-resolution, multi-something)
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 4. Vorlesung 170 004 Numerische Methoden I Clemens Brand und Erika Hausenblas Montanuniversität Leoben 17. März 2016 Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung: Normen, Jacobi-Matrix,
13 Beispiel: Poisson-Gleichung
13 Beispiel: Poisson-Gleichung Etwas komplizierter wird die Simulation, wenn wir mehr als eine Raumdimension haben während sich im Eindimensionalen die Unbekannten einfach der Reihe nach in eine Liste
Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen
www.dlr.de Folie 1 > STAB Workshop, 12.11.2013 > Marcel Wallraff, Tobias Leicht 12.11.2013 Mehrgitter-Verfahren für DG Finite-Elemente-Diskretisierungen von turbulenten Strömungen Marcel Wallraff, Tobias
Angewandte Strömungssimulation
ngewandte Strömungssimulation 8. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung uswertung Parameter und Kennzahlen
Einführung Eigenwerte
Einführung Eigenwerte Bei der Modellierung von Stabweren, entstehen folgende Systeme: p = Ax mit A = ENE T, Verschiebungsvetor x und Lastvetor p und Diagonalmatrix N mit den Materialeigenschaften. Betrachtet
Einführung Eigenwerte
Einführung Eigenwerte Bei der Modellierung von Stabweren, entstehen folgende Systeme: p = Ax mit A = ENE T, Verschiebungsvetor x und Lastvetor p und Diagonalmatrix N mit den Materialeigenschaften. Betrachtet
Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen... 1 Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken... 10
Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen...1 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen...2 1.2 Berechnen von Summen und Produkten...3 1.3 Primfaktorzerlegung...4 1.4 Größter gemeinsamer Teiler...4 1.5 Kleinstes gemeinsames
1 Berechnung von Summen (ca = 10 Punkte)
Einführung in die wissenschaftliche Programmierung Klausur 26.02.2013 Seite 1/8 Name, Vorname, Unterschrift: Matrikelnummer: 1 Berechnung von Summen (ca. 5 + 4 + 1 = 10 Punkte) Gegeben sind natürliche
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen Dünn
Numerisches Rechnen. (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang. Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen
Numerisches Rechnen (für Informatiker) M. Grepl P. Esser & G. Welper & L. Zhang Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Wintersemester 2011/12 IGPM, RWTH Aachen Numerisches Rechnen
Glättung durch iterative Verfahren
Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Glättung durch iterative Verfahren Vorlesung Numerische Methoden in der Finanzmathematik II Sommersemester 211 Numerische Methoden in der
Numerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SoSe 20 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 6 Übungsblatt:
Collatz-Folge. falls a i ungerade.
14 Klausurtraining Heute gibt s nichts Neues mehr wir machen nochmal einen Streifzug durch die behandelten Themen unter besonderer Berücksichtigung von Aufgaben in der Art, wie sie in Klausuraufgaben vorzukommen
Waermeleitungsgleichung
Waermeleitungsgleichung October 26, 2018 1 Ausführliche Diskussion des Wärmeleitungsgleichungs-Beispiels der Vorlesung Wir betrachten die folgende Aufgabe: Ein Stab der Länge π (auf dem Zahlenstrahl von
Mathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
Algorithmik kontinuierlicher Systeme
Algorithmik kontinuierlicher Systeme Iterative Verfahren (2/2) Ziel dieser Vorlesung Wie schnell können wir Gleichungssysteme lösen? O(n 3 ) LR- oder QR-Zerlegung: Immer anwendbar Standardverfahren Aber:
18.4 Das Newton-Verfahren
18.4 Das Newton-Verfahren Ziel: Wir suchen die Nullstellen einer Funktion f : D R n, D R n : f(x) = 0 Wir kennen bereits die Fixpunktiteration x k+1 := Φ(x k ) mit Startwert x 0 und Iterationsvorschrift
Mathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
Inhaltsverzeichnis. Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen. Kapitel 2: Umformen von Ausdrücken. Kapitel 3: Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme
Kapitel 1: Rechnen mit Zahlen 1.1 Rechnen mit reellen Zahlen 1.2 Berechnen von Summen und Produkten 1.3 Primfaktorzerlegung 1.4 Größter gemeinsamer Teiler 1.5 Kleinstes gemeinsames Vielfaches 1.6 n-te
Iterative Lösung dünnbesetzter Gleichungssysteme
Iterative Lösung dünnbesetzter Gleichungssysteme Stefan Lang Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen Universität Heidelberg INF 368, Raum 532 D-69120 Heidelberg phone: 06221/54-8264 email:
Gültigkeitsbereich. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2016/
Gültigkeitsbereich Funktionen Erinnerung: Python ist eine interpretierte Sprache! Funktionen müssen definiert sein, bevor sie aufgerufen werden können. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Iterationsverfahren: Konvergenzanalyse und Anwendungen Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester 2007 U. Rüde,
3) Algebraische Mehrgitterverfahren
3) Algebraische Page 1 of 44 Vorbemerkungen und ihre Verwandten (multi-scale, multi-resolution, multi-something) sind die effizientesten iterativen Lösungsverfahren für große, schwach besetzte lineare
Klausur. Physik auf dem Computer SS JP Dr. Axel Arnold Dr. Olaf Lenz Florian Fahrenberger Dominic Röhm 15. August 2012
Universität Stuttgart Institut für Computerphysik Klausur Physik auf dem Computer SS 2012 JP Dr. Axel Arnold Dr. Olaf Lenz Florian Fahrenberger Dominic Röhm 15. August 2012 Name Vorname Matrikelnummer
Angewandte Strömungssimulation
Angewandte Strömungssimulation 7. Vorlesung Stefan Hickel Druck-Geschwindigkeits-Kopplung Lösung der Navier-Stokes Gleichungen Kompressible NSG! Massenerhaltung! Impulserhaltung ρu t! Energieerhaltung
Probeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
Lineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme
Begleitmaterial zur Vorlesung Numerik linearer Gleichungssysteme Andreas Meister Universität Kassel, AG Analysis und Angewandte Mathematik Andreas Meister (Universität Kassel) Begleitmaterial Numerik 1
Ausgleichsproblem. Definition (1.0.3)
Ausgleichsproblem Definition (1.0.3) Gegeben sind n Wertepaare (x i, y i ), i = 1,..., n mit x i x j für i j. Gesucht ist eine stetige Funktion f, die die Wertepaare bestmöglich annähert, d.h. dass möglichst
Algorithmik kontinuierlicher Systeme
Algorithmik kontinuierlicher Systeme Iterative Verfahren (2/2) Ziel dieser Vorlesung Wie schnell können wir Gleichungssysteme lösen? O(n 3 ) LR- oder QR-Zerlegung: Immer anwendbar Komplexität im Allgemeinen
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB)
Einführung in numerische Methoden für Ingenieure (nach A. Quarteroni, F. Saleri: Wissenschaftliches Rechnen mit MATLAB) Prof. R. Leithner, Dipl. Phys. E. Zander Wintersemester 2010/2011 Kapitel 8 Partielle
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
1 Stückweise konstante Funktionen (ca =10 Punkte)
Einführung in die wissenschaftliche Programmierung Klausur Seite 1/5 Name, Vorname, Unterschrift: Matrikelnummer: 1 Stückweise konstante Funktionen (ca. 4+2+4=10 Punkte) In dieser Aufgabe soll eine Klasse
Kontrollstrukturen. T. Neckel Einführung in die wissenschaftliche Programmierung IN8008 Wintersemester 2016/
Kontrollstrukturen Generelle Bemerkungen Blöcke (siehe Struktogramme) müssen im Code markiert werden In vielen Sprachen üblich: geschweifte Klammern Python verwendet stattdessen Einrückungen Einrücktiefe
3. Lineare Gleichungssysteme
3. Lineare Gleichungssysteme 1 3.1. Problemstellung 2 3.2. Direkte Verfahren 3 3.3. Normen und Fehleranalyse 4 3.4. Iterative Verfahren 5 3.5. Konvergenz von linearen Iterationsverfahren 6 3.6. Gradienten-Verfahren
Lösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
Musterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt
TU ILMENAU Institut für Mathematik Numerische Mathematik PD Dr. W. Neundorf Musterlösungen zur Leistungsnachweisklausur vom.0.006 Studiengang Informatik, Ingenieurinformatik, Lehramt 1. Lineare Algebra
Diskrete Modellierung
Diskrete Modellierung Wintersemester 2016/17 Martin Mundhenk Uni Jena, Institut für Informatik 24. Oktober 2016 3.2 Erzeugen von Datentypen Der Datentyp Charge Charge ist eine Datentyp für geladene Teilchen
Nichtlineare Ausgleichsrechnung
10. Großübung Nichtlineare Ausgleichsrechnung Allgemeines Problem: Wir betrachten ein nichtlineares System F : R n R m mit (m > n, d.h. das System ist überbestimmt und F i (x g(t i ; x g i! 0 i 1,.., m.
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 14 K. Nipp, A. Hiltebrand Lösung vom Test 2
D-MAVT NUMERISCHE MATHEMATIK FS 4 K Nipp, A Hiltebrand Lösung vom Test Sei A ( 3 3 ) a) Bestimmen Sie κ(a), die Kondition von A (in der -Norm): κ(a) b) Berechnen Sie den Spektralradius von A: ρ(a) 4 c)
Beispiellösung Serie 7
D-MAVT FS 2014 K. Nipp A. Hiltebrand NUMERISCHE MATHEMATIK Beispiellösung Serie 7 1. a) Exakt: 0.005 1 1 1 0.005 1 ( 1 0 200-199 L = 200 1 Rückwärts einsetzen Lz = b : z 1 = 0.5, z 2 = 1 100 = 99 Rx =
I. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.
Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 5 Aufgabe 5.1 Kommutierende Matrizen In der Vorlesung und vergangenen
Klausur DI/LA F 2006 LA : 1
Klausur DI/LA F 26 LA : Aufgabe (4+2=6 Punkte): Gegeben seien die Matrix A und der Vektor b mit λ A = λ und b = λ a) Bestimmen Sie die Werte λ R, für welche das Gleichungssystem Ax = b genau eine, keine
2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren
2. Lineare Gleichungssysteme: direkte und iterative Lösungsverfahren Problem (P2): Löse Ax = b, A R n und b R. 2.1 Satz: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (i) Ax = b ist für jedes b eindeutig lösbar;
FHZ. K13 Rekursion. Lernziele. Hochschule Technik+Architektur Luzern Abteilung Informatik, Fach Programmieren. Inhalt
Inhalt 1. Einführung 1. Beispiel: Fakultät 2. Beispiel: Zahlenfolge 3. Beispiel: Formale Sprache 4. Unterschied Iteration/Rekursion 2. Rekursive Methoden 1. Beispiel: Fakultät 2. Beispiel: "Türme
Name: Matr.-Nr.: 2. Aufgabe 1. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem: b a 2 3a 1
Name: Matr.-Nr.: 2 Aufgabe 1. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem: 1 1 0 2 b 1 1 2 4 1 1 4 6 x = 1 1. 2 2 2a 2 3a 1 (a) Bringen Sie das lineare Gleichungssystem auf Treppenform. (b) Für welche
(d) das zu Grunde liegende Problem gut konditioniert ist.
Aufgabe 0: (6 Punkte) Bitte kreuzen Sie die richtige Lösung an. Es ist jeweils genau eine Antwort korrekt. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung)
Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine
Einführung in die Programmierung (MA8003)
Theorie 2.2: Schleifen, Vektorisierung, bedingte Ausführung Dr. Lorenz John Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik M2 05.10.2016 Numerische Mathematik M2
Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe der Programmierung Strukturelle Programmierung
Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe der Programmierung... 1 1.1 Das erste Programm: Hallo Welt... 1 1.2 Vom Problem zum Algorithmus... 3 1.2.1 Begriff des Algorithmus... 3 1.2.2 Eigenschaften eines Algorithmus...
5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
Determinante und Inverse
Vorzeigeaufgaben: Determinante und Inverse Bestimmen Sie für welche a R die folgende Matrix invertierbar ist und berechnen Sie deren Inverse: A = a cos(x) sin(x) a sin(x) cos(x) Bestimmen Sie ob folgende
Übungsblatt 2 Musterlösung
MSE SS17 Übungsblatt Musterlösung Lösung 5 (Transformation von Variablen) Zur Transformation gehen wir analog zur Vorlesung vor. Zunächst bestimmen wir die durch die PDGL definierte Matrix A und deren
Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 2016
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 0 0090 Aufgabe Punkte: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 0 und b
5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
Aufgabe 1. Berechnen Sie die absolute und die relative Kondition des Problems x f(x) für die Abbildung. x = x 2 e x 1.
Name: Matrikel-Nr.: 1 Aufgabe 1. Berechnen Sie die absolute und die relative Kondition des Problems x f(x) für die Abbildung R 3 R 2, x 1 f : x 1 + e x2 2 sin(x3 ) x = x 2 e x 1 (1 + x 2 1 + x, 2x 3 )
Numerische Methoden. Thomas Huckle Stefan Schneider. Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker.
Thomas Huckle Stefan Schneider Numerische Methoden Eine Einführung für Informatiker, Naturwissenschaftler, Ingenieure und Mathematiker 2. Auflage Mit 103 Abbildungen und 9 Tabellen 4Q Springer Inhaltsverzeichnis
Numerisches Verfahren für Eigenwert-Probleme aus der Instabilitätstheorie der Plasma-Rand-Wechselwirkung
Numerisches Verfahren für Eigenwert-Probleme aus der Instabilitätstheorie der Plasma-Rand-Wechselwirkung D. Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität
OOP Aufgabenblatt 7 6. Dezember 2013
1 Prof. Dr. Th. Letschert OOP Aufgabenblatt 7 6. Dezember 2013 Aufgabe 1 Hausaufgabe Nr. 4 (Klein) Implementieren Sie, ohne Arrays oder eine sonstige Kollektion zu nutzen, folgende Fingerübungen zu Rekursion
Computerphysik II. Python Einführung. S. Gerlach. WiSe S. Gerlach Computerphysik II
Computerphysik II Python Einführung S. Gerlach WiSe 2016 Programmiersprachen In der Wissenschaft: Programmiersprachen - Einteilung Eigenschaften: Skriptsprachen: Shell, Python, Perl,... Kompilierte Sprachen:
Vermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie
Aufgabe : Vermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie Bilden die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme jeweils einen Unterraum des IR 3? Begründen Sie. (i) (ii) + 3 =
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers)
Finite Elemente Methoden (aus der Sicht des Mathematikers) Alfred Schmidt Übersicht: Partielle Differentialgleichungen, Approximation der Lösung, Finite Elemente, lineare und höhere Ansatzfunktionen, Dünn
Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden - Wintersemester 2016/17
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden - Wintersemester 6/7 837 Aufgabe Punkte): Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 6 3 und
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
D-ITET, D-MATL. Prüfung Numerische Methoden, Sommer 2012 Dr. Lars Kielhorn
Name: Wichtige Hinweise D-ITET, D-MATL Prüfung Numerische Methoden, Sommer 2012 Dr. Lars Kielhorn Prüfungsdauer: 90 Minuten. Nur begründete Resultate werden bewertet. Zugelassene Hilfsmittel: 10 A4-Seiten
Iterative Löser: Einführung
Iterative Löser: Einführung Im vergangenen Semester wurden folgende Löser für LGS betrachtet: LU-Zerlegung (mit und ohne Pivotisierung) QR-Zerlegung (Householder und Givens) Lösung beliebiger, regulärer,
Übungsblatt 12 Musterlösung
NumLinAlg WS56 Übungsblatt 2 Musterlösung Lösung 44 (QR-Algorithmus mit Wilkinson-Shift und Deflation) a)+b) Die QR-Iteration zur Berechnung aller Eigenwerte einer Matrix A kann wie folgt implementiert
Informatik I: Einführung in die Programmierung
Informatik I: Einführung in die Programmierung 7. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Bernhard Nebel 31. Oktober 2014 1 31. Oktober 2014 B. Nebel Info I 3 / 20 Um zu, muss man zuerst einmal. Abb. in Public
5.3.5 Abstiegs & Gradientenverfahren
5.3 Iterative Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 5.3.5 Abstiegs & Gradientenverfahren Die bisher kennengelernten Iterationsverfahren zur Approximation von linearen Gleichungssystemen haben
Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 2. Februar Programmieren I. Übungsklausur
Technische Universität Braunschweig Dr. Werner Struckmann Institut für Programmierung und Reaktive Systeme 2. Februar 2017 Hinweise: Klausurtermine: Programmieren I Übungsklausur Programmieren I: 13. März
MATLAB Ferienkurs WS 2010/2011
MATLAB Ferienkurs WS 2010/2011 Teil 4 von 6 Andreas Klimke, Matthias Wohlmuth Technische Universität München Fakultät Mathematik, Lehrstuhl für Numerische Mathematik Basier auf Kursunterlagen von Boris
Mehrgitterverfahren. Bachelorarbeit. Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum
Mehrgitterverfahren Bachelorarbeit Fakultät für Mathematik Ruhr-Universität Bochum Hrik Flaskühler Bochum, September 202 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme und Iterationen
Kapitel 5 Nichtlineare Gleichungssysteme und Iterationen Wir betrachten das System f() = 0 von n skalaren Gleichungen f i ( 1,..., n ) = 0, i = 1,..., n. Gesucht: Nullstelle von f() = 0. Es sei (0) eine
Diplomarbeit. Ein paralleles graphenbasiertes algebraisches Mehrgitterverfahren
Diplomarbeit Ein paralleles graphenbasiertes algebraisches Mehrgitterverfahren Angefertigt am Institut für Numerische Simulation Vorgelegt der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen akultät der Rheinischen
EINFÜHRUNG IN DIE PROGRAMMIERUNG
EINFÜHRUNG IN DIE PROGRAMMIERUNG GRUNDLAGEN Tobias Witt!! 24.03.2014 ORGANISATORISCHES 09:00-10:30! Täglich Übungen zur Vertiefung! Laptop hier nicht erforderlich! Linux, OS X! Freitag: http://hhu-fscs.de/linux-install-party/
Übungsblatt 13 Ausgabe: 11. Juli 2018
Universität Stuttgart 1. Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. Jörg Main Übungen zur Vorlesung Physik auf dem Computer Sommersemester 218 Übungsgruppenleiter: Robin Bardakcioglu rhb@itp1.uni-stuttgart.de;
Einführung in Python Teil II Bibliotheken für wissenschaftliches Rechnen
Einführung in Python Teil II Bibliotheken für wissenschaftliches Rechnen Valentin Flunkert Institut für Theoretische Physik Technische Universität Berlin Fr. 28.5.2010 Nichtlineare Dynamik und Kontrolle
Aufgabe 1 (12 Punkte)
Aufgabe ( Punkte) Ein Medikament wirkt in drei Organen O, O, O 3. Seine Menge zur Zeit t im Organ O k wird mit x k (t) bezeichnet, und die Wechselwirkung wird durch folgendes System von Differentialgleichungen
Lösungshinweise zur Klausur
Höhere Mathematik 1 und 4..14 Lösungshinweise zur Klausur für Studierende der Fachrichtungen el, kyb,mecha,phys Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind.
Musterlösung. Aufgaben zu Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme. Vordiplomskurs Numerische Methoden Sommer 2008
Musterlösung Aufgaben zu Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme Vordiplomskurs Numerische Methoden Sommer 8. Betrachte das Gleichungssystem Ax b mit ( ( 3 A, b. 6 8 a Konvergiert das Jacobi Verfahren
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen IGPM RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Verständnisfragen-Teil (24 Punkte) Es gibt zu jeder der 12 Aufgaben vier Teilaufgaben. Diese sind mit wahr bzw. falsch zu kennzeichnen
Tutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Definition Als lineare Gleichungssysteme bezeichnet man in der linearen Algebra Gleichungssysteme der folgenden
11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen
11. Rekursion, Komplexität von Algorithmen Teil 2 Java-Beispiele: Power1.java Hanoi.java K. Bothe, Institut für Informatik, HU Berlin, GdP, WS 2015/16 Version: 23. Nov. 2015 Anwendung der Rekursion Rekursiv
Kapitel 6. Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Kapitel 6 Iterationsverfahren für lineare Gleichungssysteme Falls n sehr groß ist und falls die Matrix A dünn besetzt ist (sparse), dann wählt man zur Lösung von Ax = b im Allgemeinen iterative Verfahren.
3.2. Divide-and-Conquer-Methoden
LUDWIG- MAXIMILIANS- UNIVERSITY MUNICH DEPARTMENT INSTITUTE FOR INFORMATICS DATABASE 3.2. Divide-and-Conquer-Methoden Divide-and-Conquer-Methoden Einfache Sortieralgorithmen reduzieren die Größe des noch
6. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima. Besser, schneller, höher, weiter!
6. Iterative Verfahren: Nullstellen und Optima Besser, schneller, höher, weiter! Page 1 of 27 6.1. Große, schwach besetzte lineare Gleichungssysteme I Relaxationsverfahren Einführung Numerisch zu lösende
PCG Verfahren. B ist symmetrisch positiv definit. Eine Matrix-Vektor-Multiplikation mit B hat geringen Aufwand
PCG Verfahren Zur Verbesserung des Konvergenzverhaltens des CG-Verfahrens, wird in der Praxis oft ein geeigneter Vorkonditionierer konstruiert. Vorraussetzungen an einen Vorkonditionierer B sind: B ist